夯實基礎構建網絡

優化策略提升能力

1

2016.7.6.葛洲壩中學數學高考的三個維度

1.知識與技能

2.思想與方法

3.能力與意識

數學科的命題，在考查基礎知識的基礎上，注重對數學思想方法的考查，注重對數學能力的考查，重視試題間的層次性，合理調控綜合程度，堅持多角度、多層次的考查，努力實現全面考查綜合數學素養的要求。數學高考的兩個關注點

●立足基礎能力立意

●多考想的少考算的

數學是一門思維的科學，思維能力是數學學科能力的核心.數學思維能力是以數學知識為素材，通過空間想象、直覺猜想、歸納抽象、符號表示、運算求解、演繹證明和模式構建等諸方面，對客觀事物中的空間形式、數量關系和數學模式進行思考和判斷，形成和發展理性思維，構成數學能力的主體.

一.認真梳理夯實基礎

把握層次

注重實質

例1

已知命題p：

xR

，2x>3x

；命題

q：

xR，x3=1-x2

，則下列命題中為真命題的是：

A.p

q

B.

p

q

C.p

q D.

p

q

x=02x=3x=1p：

xR

，2x>3x

為假；

如圖，函數y=x3與y=1-x2

的圖象有交點，即方程

x3=1-x2有解

q：

xR，x3=1-x2為真

p

q

為真命題

a=-2

f(x)=-2x3-3x2+1=-(x+1)(2x2+x-1)

x=-1是零點，不合題意.

例2若x,y滿足約束條件

則

的最大值為

.

設變量x，y滿足約束條件

，則

3x+2y的最大值為

.（湖北2015文）

例3右邊程序框圖的算法

思路來源于我國古代數學名著

《九章算術》中的“更相減損術”，

執行該程序框圖，若輸入的a,b

分別為14,18,則輸出的a=

A.0B.2C.4D.14

設a是一個各位數字都不是0且沒

有重復數字的三位數.將組成a的3個

數字按從小到大排成的三位數記為

I(a)

，按從大到小排成的三位數記

為D(a)(例如a=815，則I(a)=158，

D(a)=815).閱讀如圖所示的程序

框圖,運行相應的程序,任意輸入一個a,

輸出的結果b=

.（湖北2014理）

例4一個四面體的頂點在空間直角坐標系

O-xyz中的坐標分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，

(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以

zOx平面為投影面，則得到正視圖可以為

在如圖所示的空間直角坐標系

O-xyz中,一個四面體的頂點坐標分別是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).

給出編號①、②、③、④四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為

A.①和②B.③和①

C.④和③D.④和②（湖北2014理文）

例5函數f(x)=ax3-3x2+1，若

f(x)=0存在唯一的零點x0

，且x0>0，則a

的取值范圍為

A.（2，+∞）

B.（-∞，-2）

C.（1，+∞）D.（-∞，-1）

f(x)=ax3-3x2+1

ax3=3x2-1，

f(x)=0存在

唯一的零點x0,且x0>0

a<0.

a=-2

f(x)=-2x3-3x2+1=-(x+1)(2x2+x-1)

x=-1是零點，不合題意.

函數

的零點個數為

．

（湖北2015理）

例6

若

則S1

，S2，S3的大小關系為

A.S1<S2<S3

B.S2<S1<S3

C.S2<S3<S1D.S3<S2<S1

例7（理）投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試。已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為

A.0.648B.0.432 C.0.36D.0.312(文)如果3個正整數可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數為一組勾股數，從1,2,3,4,5

中任取3個不同的數，則這3個數構成一組勾股數的概率為

在區間[0,1]上隨機取兩個數x,y

，記p1為事件

“”的概率，

p2為事件“”的概率，

p3為事件“”的概率，則

（湖北2013理文）

隨機擲兩枚質地均勻的骰子，它們向上的點數之和不超過5的概率記為p1，點數之和大于5的概率記為p2

，點數之和為偶數的概率記為p3，則

（湖北2014文）

例8某公司的班車在7:30，8:00，8:30發車，小明在7:50至8:30之間到達發車站乘坐班車，且

到達發車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超

過10分鐘的概率是

由不等式

確定的平面區域記為

1，

不等式

確定的平面區域記為

2，在

1中

隨機取一點，則該點恰好在

2內的概率（湖北2014理文）

例9已知x和y之間的幾組數據如下表：

假設根據上表數據所得線性回歸直線方程為

某同學根據表中的前兩組數據(1，0)和(2，2)，求得

的直線方程為

則以下結論正確的是

x123456y021334

根據如下樣本數據

得到的回歸方程為

，則

A.a>0,b>0B.a>0,b<0

C.a<0,b>0D.a<0,b<0（湖北2014理）

x345678y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0

例10有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數字不是2”，乙

看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數字

不是1”，丙說：“我的卡片上的數字之和不是5”，

則甲的卡片上的數字是

.

將分別寫有1和2，1和3，2和3的卡片記為A,B,C.

由丙說：“我的卡片上的數字之和不是5”，可知丙持

有的是A或B，必有數字1；又由乙看了丙的卡片后

說：“我與丙的卡片上相同的數字不是1”，可知乙持

有的必是C；再由甲看了乙的卡片后說：“我與乙的

卡片上相同的數字不是2”，可知甲持有的卡片是B，

因此丙持有的一定是A.

甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A，B，C三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過C城市；丙說：我們三人去過同一個城市.由此可判斷乙去過的城市為

.

甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；丙說：我們三人去過同一個城市.可知：甲去過A和C兩個城市；乙說：我沒去過C城市，可知乙去過A.

二.突出重點適度綜合

揭示聯系構建網絡

對數學基礎知識的考查，既要全面又要突出重點，對于支撐學科知識體系的重點內容，要占有較大的比例，構成數學試卷的主體，注重學科的內在聯系和知識的綜合性。從學科的整體高度和思維價值的高度考慮問題，在知識網絡交匯點設計試題，使對數學基礎知識的考查達到必要的深度。

1.函數、導數

與方程、不等式

例11已知曲線y=x+lnx

在點(1,1)處的

切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,則a=

．

例12

設f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x<0時，

f

?(x)g(x)+f(x)g?(x)>0,且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是

A.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)

C.(-∞,-3)∪(3,+∞)

D.(-∞,-3)∪(0,3)

已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當

x≥0時，

若

則實數a的取值范圍為

（湖北2014理）

2.

數列與

函數、不等式

例13等差數列{an}的前n項和為Sn

，已知S10=0，S15=25，則nSn

的最小值為______.

例14設等比數列{an}滿足

，則

的最大值為

.

設.若p：

成等比數列；

q：,則

A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件

B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件

C．p是q的充分必要條件

D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件

（湖北2015理）

3.

平面三角

與平面向量

例15若將函數y=2sin2x的圖象向左平移

個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為

將函數y=2sin2x的圖象向左平移

個單位長

度后，所得圖象對應的函數是

例16在平面直角坐標系中，點O(0，0)，P(6，8)，將向量

繞點O逆時針方向旋轉

后得向量

，則點Q的坐標是

函數

的零點

個數為

.(湖北2015文）

4.空間圖形

與平面圖形

例17

在正方體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何形體的4個頂點，這些幾何形體是

．

①矩形；

②不是矩形的平行四邊形；

③有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體；

④每個面都是等邊三角形的四面體；

⑤每個面都是直角三角形的四面體．

例18已知A,B是球O的球面上兩點，∠AOB=90°,C為該球面上的動點，若三

棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的

表面積為

A．36πB.64πC.144πD.256π

《算數書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現存最早的有系統的數學典籍，其中記載有求“蓋”的術：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.該術相當于給出了有圓錐的底面周長L與高h，計算其體積V的近似公式

，它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率

近似取為3.那么近似公式

相當于將圓錐體積公式中的

近似取為

（湖北2014理文）

5.

解析幾何

與函數、向量

例19已知M(x0,y0)

是雙曲線

上一點，

F1,F2是C的兩個焦點，若

則y0的取值范圍是

例20如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角

x的始邊為射線OA

，終邊為

射線OP，過點P作直線OA的垂線，垂足為M，

將點M到直線OP的距離表示為x的函數f(x)，則y=f(x)在[0,

]上的圖象大致為

將離心率為

e1的雙曲線

的實半軸長a

和虛半軸長b

同時增加

m(m>0)個單位長度，得到離心率為e2

的雙曲線

，則

(湖北2015理文）

A．對任意的a,b

，e1>e2

B．當

a>b時，e1>e2

；當a<b

時，e1<e2

C．對任意的a,b

，e1<e2

D．當a>b

時，e1<e2

；當

a<b時，e1>e2

6.概率與統計

例21對一批產品的長度(單位:mm)進行抽樣檢

測,右圖為檢測結果的頻率分布

直方圖.根據標準,產品長度在區

間[20,25)上的為一等品,在區間

[15,20)和區間[25,30)上的為二等品,在區間[10,15)和[30,35)上的為三等品.用頻率估計概率,現從該批產品中隨機抽取一件,則其為二等品的概率為

A.0.09 B.0.20 C.0.25 D.0.45

抽得一等品概率為0.3，

抽得三等品概率為0.25，

故抽得二等品概率為0.45.

例22根據下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量（單位：萬噸）柱形圖.以下結論不正確的是

A.逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著

B.2007年我國治理二氧化硫排放顯現

C.2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢

D.2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關

T≥57000120≤X≤150,X[120,150]的頻率為0.7，故

利潤T不少于57000元的概率估計為0.7.

設

這兩個正態分布密度曲線如圖所示．下列結論中正確的是

（湖北2015理）

三.領悟數學思想

優化思維策略

數學思想和方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊涵在數學知識發生、發展和應用的過程中。

高考考試大綱

在中學教學和高考考查中，取得共識的數學思想有：函數與方程的思想，數形結合的思想，分類與整合的思想，化歸與轉化的思想，特殊與一般的思想，有限與無限的思想，或然與必然的思想.

高考考試大綱的說明

1.函數與方程的思想

例23

向高為H的水瓶中注

水，注滿為止，如果注水量

V與水深h的函數關系的圖象

如圖所示，那么水瓶的形狀是

函數圖象的特征是

“先陡后平”，表明注水

過程是“先快后慢”，因

此，水瓶的形狀應是

“下底大，而上口小”，

正確選項是B.

由函數圖象可以看出：

當時，注水量已超

過總注水量的一半，只有

B選項中的水瓶符合題意.

例24若函數f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)

的圖象關于直線x=－2對稱，則f(x)的最大

值是

.

f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)=0(-1,0),(1,0)在f(x)的圖象上，又f(x)的圖象關于直線x=-2對稱

點(-5,0)，(-3,0)也在f(x)的圖象上

f(x)=(1－x2)(x2＋8x＋15)=-(x-1)(x+1)(x+3)(x+5)=

-(x2+4x-5)(x2+4x+3).令t=x2+4x=(x+2)2-4≥-4，則

y=

-(t+3)(t-5)=-t2+2t+15=-(t-1)2+16，當t=1時，ymax=16.2.數形結合的思想

例25函數

的部分圖象如圖所示，則

f(x)的

單調遞減區間為

例26設D為△ABC所在平面內一點

，則

例27一個圓經過橢圓

的三個頂點，圓心在x軸正半軸上，該圓

的標準方程為

.

如圖，A(4,0),B(0,2)是

橢圓

兩個頂點，

中點為M(2,1)

，

AB的垂直平分線為y-1=2(x-2)

,令y=0

,得

，

故圓

3.分類與整合的思想

例28已知函數

若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是

A.（－∞，0]B.（－∞，1]

C.[－2，1]D.[－2，0]

例29設函數

(Ⅰ)證明：f(x)≥2；

(Ⅱ)若f(3)<5，求a的取值范圍.

4.轉化與化歸的思想

例30

在坐標平面內，與點A(1，2)距

離為1，與點B(3，1)距離為2的直線有

A.1條B.2條C.3條D.4條

例31

已知向量a≠e，|e|＝1，對任意t∈R,恒有|a－te|≥|a－e|，則

A.a⊥e

B.a⊥(a－e)

C.e⊥(a－e)D.(a＋e)⊥(a－e)

|a－te|=|AT|，|a－e|=|AE|，恒有|a－te|≥|a－e|的

幾何意義是|AE|是連接直線l外一點A與直線l上各

點的距離的最小值，故

AE

l，即e⊥(a－e).

5.特殊與一般的思想

例32觀察下列各式：a+b=1,a2+b2=3,

a3+b3=4，a4+b4=7,a5+b5=11,…，則a10+b10=

A.28B.76C.123D.199

設c1=a+b，c2=a2+b2，c3=a3+b3，c4=a4+b4,c5=a5+b5,…，c10=a10+b10.

則由c1=1，c2=3，c3=4=1+3，c4=7=4+3,c5=11=7+4,

以此類推：

c6=11+7=18，c7=18+11=29,c8=29+18=47,

c9=47+29=76,c10=76+47=123.

例33在Rt△ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則

A.2B.4C.5D.10

例34設[x]表示不大于x的最大整數,則對任意實數x,y,有

A.[－x]＝－[x] B.[2x]＝2[x]

C.[x＋y]≤[x]＋[y] D.[x－y]≤[x]－[y]

四.提升數學能力

探索思維規律

試題包括立意、情境和設問三個方面.以能力立意命題，就是首先確定在能力方面的考查目的，然后根據能力考查的要求，選擇適當的考查內容，設計適當的設問方式.以能力立意命題，不僅是命題方式的變化，更是命題理念和原則的變化.1.空間想象能力

對空間形式的觀察、分析、抽象和處理的能力，主要表現為識圖、畫圖和對圖形的想象.數學高考對空間想象能力提出了三個方面的要求：能根據條件做出正確的圖形，根據圖形想象出直觀形象；能正確地分析出圖形中基本元素及其相互關系；能對圖形進行分解、組合與變換，會運用圖形形象地揭示問題本質.

例35一個四棱錐和一個三棱錐恰好可以拼接成一個三棱柱，這個四棱錐的底面為正方形，且底面邊長與各側棱長相等，這個三棱錐的底面邊長與各側棱長也都相等.設四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為h1、h2、h3，則h1︰h2︰h3=

設棱長為a，則正四

棱錐高，

正三棱錐的高及三棱

柱的高

故h1︰h2︰h3=

例36如圖，等腰△ABC的底邊，高CD=3，點E是線段BD上異于點B,D的動點，點F在BC邊上，且EF⊥AB，現沿EF將△BEF折起到△PEF的位置,使PE⊥AE,記BE=x,V(x)表示四棱錐的體積．

(Ⅰ)求V(x)的表達式；

(Ⅱ)當x為何值時,V(x)取得最大值？

(Ⅲ)當V(x)取得最大值時，求異面

直線AC與PF所成角的余弦值．

（1）由折起過程知，PE⊥平面ABC，故PE是四棱錐的高.由EF//BC,得

2.

抽象概括能力

從具體的、生動的實例，在抽象概括的過程中，發現研究對象的本質；從給定的大量信息材料中，概括出一些結論，并能應用于解決問題或做出新的判斷.

例37傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上面畫點或用小石子表示數.他們研究過如圖所示的三角形數：

將三角形數1,3,6,10,…

記為數列{an}，將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列{bn}，可以推測：b2012是數列{an}中的第____項；b2k-1=______.（用k表示）

例38

定義：曲線C上的點到直線l的距

離的最小值稱為曲線C到直線l的距離，已知曲線C1：y=x2+a到直線l：y=x的距離等于曲

線C2：x2+(y+4)2=2到直線l：y=x的距離，則實數a=_______.

3.推理論證能力推理是數學思維的基本形式，貫穿于數學學習與解題過程的始終.論證是由已有的正確的前提到被論證的結論的正確性的一連串的過程.推理既包括合情推理和演繹推理.一般說來，運用合情推理探索和發現結論，再運用演繹推理進行證明.

例39

將楊輝三角中的奇數換成1，偶數換成0，得到如圖所示的0-1三角數表．從上往下數,第1次全行的數都為1的

是第1行，第2次全行的

數都為1的是第3行,…，

第n次全行的數都為1的

是第

行；第61行中1的個數是

．

◎

11

101

1111

10001

110011

1010101

11111111第61行

110011…11

第62行

1010101…01

第63行

11111111…11

例40設f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0，

f(0)＞0，f(1)＞0，求證：

(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1；

(2)方程f(x)=0在(0，1)內有兩個實根.f(x)=3ax2+2bx+cf(0)>0?c>0①f(1)>0?3a+2b+c>0②a+b+c=0?b=-a-c代入②,得a>c>0;a+b+c=0?a+b=-c代入①,得a+b<0;

代入②,得2a+b>0;-2＜＜-1?-2a<b<-a?2a+b>0,

a+b<0.

例41

等差數列{an}的前n項和為Sn，a1=1+,S3=9+3．

(Ⅰ)求數列{an}的通項與前n項和Sn

；

(Ⅱ)設N*),求證：數列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數列．（1）由已知

解得d=2，故

（2）由（1）得．假設{bn}中存在三項bp，bq，br（p，q，r互不相等）成等比數列，則bq2=bpbr

．即

與p，q，r互不相等矛盾，故{bn}中任意不同三項都不可能成等比數列．4.運算求解能力

會根據法則、公式進行正確的運算和變形；能根據問題的條件，尋找與設計合理、簡捷的運算途徑；能根據要求對數據進行估計和近似計算.

運算能力包括分析運算條件、探究運算方向、選擇運算公式、確定運算程序