專題38中考最值難點(diǎn)突破胡不歸問題（原卷版）模塊一典例剖析+針對訓(xùn)練類型一有輔助角(隱含輔助角)典例1點(diǎn)P在直線上運(yùn)動“胡不歸“問題【數(shù)學(xué)故事】從前，有一個小伙子在外地學(xué)徒，當(dāng)他獲悉在家的老父親病危的消息后，便立即啟程趕路．由于思鄉(xiāng)心切，他只考慮了兩點(diǎn)之間線段最短的原理，所心以選擇了全是沙礫地帶的直線路徑A→B（如圖所示），而忽視了走折線雖然路程多但速度快的實(shí)際情況，當(dāng)他氣喘吁吁地趕到家時，老人剛剛咽了氣，小伙子失聲痛哭．鄰居勸慰小伙子時告訴說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？何以歸”．這個古老的傳說，引起了人們的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他應(yīng)該選擇一條怎樣的路線呢？這就是風(fēng)靡千百年的“胡不歸問題”．針對訓(xùn)練1．（2022春?江漢區(qū)月考）如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝30°．BD是△ABC的邊AC上的高，點(diǎn)P是BD上動點(diǎn)，則32BP+CP的最小值是2．（2021春?麗水期中）如圖，?ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動點(diǎn)．求：（1）當(dāng)PD＝時，PB最短；（2）PB+12PD的最小值等于3．（2017春?農(nóng)安縣校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（0，?3），C（2，0），其對稱軸與x軸交于點(diǎn)D（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M為拋物線的對稱軸上的一個動點(diǎn)，若平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）若P為y軸上的一個動點(diǎn)，連接PD，求12PB+PD類型二構(gòu)造輔助角典例2（2021春?金牛區(qū)期末）如圖，長方形ABCD中，AD＝3，AB＝2，點(diǎn)P是線段AD上一動點(diǎn)，連接BP，則BP+12DP的最小值為針對訓(xùn)練1．（2019?灞橋區(qū)校級一模）如圖，矩形ABCD中AB＝3，BC=3，E為線段AB上一動點(diǎn)，連接CE，則12AE+CE的最小值為

2．（2020秋?宜興市期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（25，0），點(diǎn)B為（0，1），若C為線段OA上一動點(diǎn)，則BC+23AC的最小值是3．（2016?隨州中考）如圖所示，已知拋物線y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），與x軸從左至右依次相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)A的直線y=?3x+b與拋物線的另一個交點(diǎn)為D（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，求拋物線的函數(shù)解析式；（2）若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P，使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)E是線段AD上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接BE．一動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BE以每秒1個單位的速度運(yùn)動到點(diǎn)E，再沿線段ED以每秒233個單位的速度運(yùn)動到點(diǎn)D后停止，問當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時，點(diǎn)

類型三求PA＋kPB＋PC最短問題典例3（2022秋?雨花臺區(qū)校級月考）背景資料：在已知△ABC所在平面上求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個頂點(diǎn)的距離之和最?。@個問題是法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖1，當(dāng)△ABC三個內(nèi)角均小于120°時，費(fèi)馬點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，當(dāng)∠APB＝∠APC＝∠CPB＝120°時，則PA+PB+PC取得最小值．（1）如圖2，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將△APB繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP'處，此時△ACP'≌△ABP這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出∠APB＝；知識生成：怎樣找三個內(nèi)角均小于120°的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與△ABC的另一頂點(diǎn)，則連線通過三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn)．請同學(xué)們探索以下問題．（2）如圖3，△ABC三個內(nèi)角均小于120°，在△ABC外側(cè)作等邊三角形△ABB'，連接CB'，求證：CB'過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．（3）如圖4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，連接AP、BP、CP，求PA+PB+PC的值．針對訓(xùn)練1．（2021春?郫都區(qū)校級期中）如圖，已知邊長為2的等邊△ABC，平面內(nèi)存在點(diǎn)P，則PA+3PB+PC的取值范圍為

2．（2018秋?江岸區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底邊上的高AH上一點(diǎn)．若AP+BP+CP的最小值為22，則BC＝．模塊二2023中考押題預(yù)測1．（2023春?將樂縣校級期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝4，若D是BC邊上的動點(diǎn)，則2AD+DC的最小值是（）A．6 B．8 C．10 D．122．（2023?合肥一模）如圖，△ABC為等邊三角形，BD平分∠ABC，AB＝2，點(diǎn)E為BD上動點(diǎn)，連接AE，則AE+1A．1 B．2 C．3 D．23．（2022秋?任城區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，AB＝AC＝15，tanA＝2，BE⊥AC于點(diǎn)E，D是線段BE上的一個動點(diǎn)，則CD+55A．35 B．65 C．53 D．10

4．（2023?邗江區(qū)校級一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?49x2+83x與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，A．24 B．25 C．30 D．365．（2022?平南縣二模）如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，D是BE上的一個動點(diǎn)，則CD+1A．3 B．33 C．6 D．6．（2022春?覃塘區(qū)期中）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是邊BC的中點(diǎn)，P是對角線BD上的一個動點(diǎn)，連接AE，AP，若AP+12A．AB B．AE C．BD D．BE7．（2022春?新羅區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，BE⊥AC于點(diǎn)E，BE＝2AE，D是線段BE上的一個動點(diǎn)，則CD+55A．25 B．45 C．55 D．108．（2021?澄海區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+3x﹣4的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，若P是x軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q（0，2）在y軸上，連接PQ，則PQ+22A．6 B．2+322 C．2+329．（2022?南山區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，則AB＝2BC．請在這一結(jié)論的基礎(chǔ)上繼續(xù)思考：若AC＝2，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，P為邊CD上一動點(diǎn)，則AP+12A．1 B．2 C．3 D．210．（2022春?武漢期末）如圖，?ABCD中∠A＝60°，AB＝6，AD＝2，P為邊CD上一點(diǎn)，則3PD+2PB最小值為．11．（2023春?姑蘇區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=33x?3分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，若C為x軸上的一動點(diǎn)，則2BC+12．（2022?馬鞍山一模）如圖，AC垂直平分線段BD，相交于點(diǎn)O，且OB＝OC，∠BAD＝120°．（1）∠ABC＝．（2）E為BD邊上的一個動點(diǎn)，BC＝6，當(dāng)AE+12BE最小時BE13．（2021秋?福清市期末）如圖，△ABC為等邊三角形，BD平分∠ABC，△ABC的面積為3，點(diǎn)P為BD上動點(diǎn)，連接AP，則AP+12BP的最小值為14．（2021秋?北碚區(qū)校級期末）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分別是邊AB，AD的動點(diǎn)，滿足AM＝DN，連接CM、CN，E是邊CM上的動點(diǎn)，F(xiàn)是CM上靠近C的四等分點(diǎn)，連接AE、BE、NF，當(dāng)△CFN面積最小時，12BE+AE的最小值為15．（2021秋?亭湖區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0）．根據(jù)教材第65頁“思考”欄目可以得到這樣一個結(jié)論：在Rt△ABC中，AB＝2BC．請在這一結(jié)論的基礎(chǔ)上繼續(xù)思考：若點(diǎn)D是AB邊上的動點(diǎn)，則CD+12AD的最小值為16．（2021秋?宜興市期末）如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點(diǎn)C沿BE折疊與AB上的點(diǎn)D重合．連接DE，請你探究：BCAB=；請在這一結(jié)論的基礎(chǔ)上繼續(xù)思考：如圖②，在△OPM中，∠OPM＝90°，∠M＝30°，若OM＝2，點(diǎn)G是OM邊上的動點(diǎn)，則PG+117．（2021秋?汕尾期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x+c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），若P是x軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，則C點(diǎn)的坐標(biāo)是，2PD+PC的最小值是18．（2021秋?縉云縣期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2），P是直線y=3x（1）∠MOP＝．（2）當(dāng)MP+12OP的值最小時，點(diǎn)P的坐標(biāo)是

19．（2022秋?碑林區(qū)校級期末）問題提出（1）如圖1，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，P為高AE上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥AC于H，則PHAP的值為問題探