圓錐曲線的方程與性質1．橢圓（1）橢圓概念平面內與兩個定點、的距離的和等于常數2（不小于）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離2c叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點，則有。橢圓的原則方程為：（）（焦點在x軸上）或（）（焦點在y軸上）。注：①以上方程中的大小，其中；②在和兩個方程中均有的條件，要分清焦點的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓（，，）當時表達焦點在軸上的橢圓；當時表達焦點在軸上的橢圓。（2）橢圓的性質①范圍：由原則方程知，，闡明橢圓位于直線，所圍成的矩形裏；②對稱性：在曲線方程裏，若以替代方程不變，因此若點在曲線上時，點也在曲線上，因此曲線有關軸對稱，同理，以替代方程不變，則曲線有關軸對稱。若同步以替代，替代方程也不變，則曲線有關原點對稱。因此，橢圓有關軸、軸和原點對稱。這時，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心；③頂點：確定曲線在坐標系中的位置，常需規定出曲線與軸、軸的交點坐標。在橢圓的原則方程中，令，得，則，是橢圓與軸的兩個交點。同理令得，即，是橢圓與軸的兩個交點。因此，橢圓與坐標軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。同步，線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為和，和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為；在中，，，，且，即；④離心率：橢圓的焦距與長軸的比叫橢圓的離心率。∵，∴，且越靠近，就越靠近，從而就越小，對應的橢圓越扁；反之，越靠近于，就越靠近于，從而越靠近于，這時橢圓越靠近于圓。當且僅當時，，兩焦點重疊，圖形變為圓，方程為。2．雙曲線（1）雙曲線的概念平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數的動點軌跡是雙曲線（）。注意：①式中是差的絕對值，在條件下；時為雙曲線的一支；時為雙曲線的另一支（含的一支）；②當時，表達兩條射線；③當時，不表達任何圖形；④兩定點叫做雙曲線的焦點，叫做焦距。（2）雙曲線的性質①范圍：從原則方程，看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側。即，即雙曲線在兩條直線的外側。②對稱性：雙曲線有關每個坐標軸和原點都是對稱的，這時，坐標軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。③頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線的方程裏，對稱軸是軸，因此令得，因此雙曲線和軸有兩個交點，他們是雙曲線的頂點。令，沒有實根，因此雙曲線和y軸沒有交點。1）注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不一樣的（橢圓有四個頂點），雙曲線的頂點分別是實軸的兩個端點。2）實軸：線段叫做雙曲線的實軸，它的長等于叫做雙曲線的實半軸長。虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于叫做雙曲線的虛半軸長。④漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸靠近。⑤等軸雙曲線：1）定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：；2）等軸雙曲線的性質：（1）漸近線方程為：；（2）漸近線互相垂直。注意以上幾種性質與定義式彼此等價。亦即若題目中出現上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同步其他幾種亦成立。3）注意到等軸雙曲線的特性，則等軸雙曲線可以設為：，當時交點在軸，當時焦點在軸上。⑥注意與的區別：三個量中不一樣（互換）相似，尚有焦點所在的坐標軸也變了。3．拋物線（1）拋物線的概念平面內與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不在定直線l上)。定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線。方程叫做拋物線的原則方程。注意：它表達的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標是F（,0），它的準線方程是；（2）拋物線的性質一條拋物線，由于它在坐標系的位置不一樣，方程也不一樣，有四種不一樣的狀況，因此拋物線的原則方程尚有其他幾種形式：，，.這四種拋物線的圖形、原則方程、焦點坐標以及準線方程如下表：原則方程圖形焦點坐標準線方程范圍對稱性軸軸軸軸頂點離心率闡明：（1）通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質的特點：有一種頂點，一種焦點，一條準線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；（3）注意強調的幾何意義：是焦點到準線的距離。4.高考數學圓錐曲線部分知識點梳理方程的曲線：在平面直角坐標系中，假如某曲線C(看作適合某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一種二元方程f(x,y)=0的實數解建立了如下的關系：(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點，那么這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。點與曲線的關系：若曲線C的方程是f(x,y)=0，則點P0(x0,y0)在曲線C上f(x0,y0)=0；點P0(x0,y0)不在曲線C上f(x0,y0)≠0。兩條曲線的交點：若曲線C1，C2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則點P0(x0,y0)是C1，C2的交點{方程組有n個不一樣的實數解，兩條曲線就有n個不一樣的交點；方程組沒有實數解，曲線就沒有交點。二、圓：1、定義：點集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定點O為圓心，定長r為半徑.2、方程：(1)原則方程：圓心在c(a,b)，半徑為r的圓方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圓心在坐標原點，半徑為r的圓方程是x2+y2=r2(2)一般方程：①當D2+E2-4F＞0時，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為半徑是。配方，將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化為(x+)2+(y+)2=②當D2+E2-4F=0時，方程表達一種點(-,-);③當D2+E2-4F＜0時，方程不表達任何圖形.點與圓的位置關系已知圓心C(a,b),半徑為r,點M的坐標為(x0,y0)，則｜MC｜＜r點M在圓C內，｜MC｜=r點M在圓C上，｜MC｜＞r點M在圓C內，其中｜MC｜=。直線和圓的位置關系：①直線和圓有相交、相切、相離三種位置關系：直線與圓相交有兩個公共點；直線與圓相切有一種公共點；直線與圓相離沒有公共點。②直線和圓的位置關系的鑒定：(i)鑒別式法；(ii)運用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離與半徑r的大小關系來鑒定。三、圓錐曲線的統一定義：平面內的動點P(x,y)到一種定點F(c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線l的距離之比是一種常數e(e＞0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點F(c,0)稱為焦點，定直線l稱為準線，正常數e稱為離心率。當0＜e＜1時，軌跡為橢圓；當e=1時，軌跡為拋物線；當e＞1時，軌跡為雙曲線。四、橢圓、雙曲線、拋物線：橢圓雙曲線拋物線定義1．到兩定點F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)的點的軌跡2．與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.（0<e<1）1．到兩定點F1,F2的距離之差的絕對值為定值2a(0<2a<|F1F2|)的點的軌跡2．與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.（e>1）與定點和直線的距離相等的點的軌跡.軌跡條件點集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F1F2｜＜2a}.點集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.=±2a,｜F2F2｜＞2a}.點集{M｜｜MF｜=點M到直線l的距離}.圖形方程原則方程(>0)(a>0,b>0)參數方程(t為參數)范圍─axa，─byb|x|a，yRx0中心原點O（0，0）原點O（0，0）頂點(a,0),(─a,0),(0,b),(0,─b)(a,0),(─a,0)(0,0)對稱軸x軸，y軸；長軸長2a,短軸長2bx軸，y軸;實軸長2a,虛軸長2b.x軸焦點F1(c,0),F2(─c,0)F1(c,0),F2(─c,0)準線x=±準線垂直于長軸，且在橢圓外.x=±準線垂直于實軸，且在兩頂點的內側.x=-準線與焦點位于頂點兩側，且到頂點的距離相等.焦距2c（c=）2c（c=）離心率e=1【備注1】雙曲線：⑶等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.⑸共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為假如雙曲線的漸近線為時，它的雙曲線方程可設為.【備注2】拋物線：（1）拋物線=2px(p>0)的焦點坐標是(,0)，準線方程x=-，開口向右；拋物線=-2px(p>0)的焦點坐標是(-,0)，準線方程x=，開口向左；拋物線=2py(p>0)的焦點坐標是(0,)，準線方程y=-，開口向上；拋物線=-2py（p>0）的焦點坐標是（0,-），準線方程y=，開口向下.（2）拋物線=2px(p>0)上的點M(x0,y0)與焦點F的距離；拋物線=-2px(p>0)上的點M(x0,y0)與焦點F的距離（3）設拋物線的原則方程為=2px(p>0)，則拋物線的焦點到其頂點的距離為，頂點到準線的距離，焦點到準線的距離為p.（4）已知過拋物線=2px(p>0)焦點的直線交拋物線于A、B兩點，則線段AB稱為焦點弦，設A(x1,y1),B(x2,y2)，則弦長=+p或(α為直線AB的傾斜角)，，(叫做焦半徑).五、坐標的變換：（1）坐標變換：在解析幾何中，把坐標系的變換(如變化坐標系原點的位置或坐標軸的方向)叫做坐標變換.實行坐標變換時，點的位置，曲線的形狀、大小、位置都不變化，僅僅只變化點的坐標與曲線的方程.（2）坐標軸的平移：坐標軸的方向和長度單位不變化，只變化原點的位置，這種坐標系的變換叫做坐標軸的平移，簡稱移軸。（3）坐標軸的平移公式：設平面內任意一點M，它在原坐標系xOy中的坐標是（x,y)，在新坐標系x′O′y′中的坐標是.設新坐標系的原點O′在原坐標系xOy中的坐標是(h,k)，則或叫做平移(或移軸)公式.中心或頂點在(h,k)的圓錐曲線方程見下表：方程焦點焦線對稱軸橢圓+=1(±c+h,k)x=±+hx=hy=k+=1(h,±c+k)y=±+kx=hy=k雙曲線-=1(±c+h,k)x=±+kx=hy=k-=1(h,±c+h)y=±+kx=hy=k拋物線(y-k)2=2p(x-h)(+h,k)x=-+hy=k(y-k)2=-2p(x-h)(-+h,k)x=+hy=k(x-h)2=2p(y-k)(h,+k)y=-+kx=h(x-h)2=-2p(y-k)(h,-+k)y=+kx=h六、橢圓的常用結論：點P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的外角.PT平分△PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相離.以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切.若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.若在橢圓外，則過作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.橢圓(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F2，點P為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點角形的面積為.橢圓（a＞b＞0）的焦半徑公式,(,).設過橢圓焦點F作直線與橢圓相交P、Q兩點，A為橢圓長軸上一種頂點，連結AP和AQ分別交對應于焦點F的橢圓準線于M、N兩點，則MF⊥NF.過橢圓一種焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q,A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF.AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。若在橢圓內，則被Po所平分的中點弦的方程是；【推論】：1、若在橢圓內，則過Po的弦中點的軌跡方程是。橢圓（a＞b＞o）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.2、過橢圓(a＞0,b＞0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數）.3、若P為橢圓（a＞b＞0）上異于長軸端點的任一點,F1,F2是焦點,,，則.4、設橢圓（a＞b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在△PF1F2中，記,,，則有.5、若橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當0＜e≤時，可在橢圓上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項.6、P為橢圓（a＞b＞0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為橢圓內一定點，則,當且僅當三點共線時，等號成立.7、橢圓與直線有公共點的充要條件是.8、已知橢圓（a＞b＞0），O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是.9、過橢圓（a＞b＞0）的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.10、已知橢圓（a＞b＞0） ,A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點,則.11、設P點是橢圓（a＞b＞0）上異于長軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2).12、設A、B是橢圓（a＞b＞0）的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，,,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).13、已知橢圓（a＞b＞0）的右準線與x軸相交于點，過橢圓右焦點的直線與橢圓相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC通過線段EF的中點.14、過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則對應交點與對應焦點的連線必與切線垂直.15、過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交對應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16、橢圓焦三角形中,內點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數e(離心率).（注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點.）17、橢圓焦三角形中,內心將內點與非焦頂點連線段提成定比e.18、橢圓焦三角形中,半焦距必為內、外點到橢圓中心的比例中項.七、雙曲線的常用結論：1、點P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的內角.2、PT平分△PF1F2在點P處的內角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3、以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相交.4、以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（內切：P在右支；外切：P在左支）5、若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過的雙曲線的切線方程是.6、若在雙曲線（a＞0,b＞0）外，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.7、雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點分別為F1，F2，點P為雙曲線上任意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為.8、雙曲線（a＞0,b＞o）的焦半徑公式：(,）當在右支上時，,；當在左支上時，,。9、設過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一種頂點，連結AP和AQ分別交對應于焦點F的雙曲線準線于M、N兩點，則MF⊥NF.10、過雙曲線一種焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q,A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF.11、AB是雙曲線（a＞0,b＞0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。12、若在雙曲線（a＞0,b＞0）內，則被Po所平分的中點弦的方程是.13、若在雙曲線（a＞0,b＞0）內，則過Po的弦中點的軌跡方程是.【推論】：1、雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.2、過雙曲線（a＞0,b＞o）上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數）.3、若P為雙曲線（a＞0,b＞0）右（或左）支上除頂點外的任一點,F1,F2是焦點,,，則（或）.4、設雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在△PF1F2中，記,,，則有.5、若雙曲線（a＞0,b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當1＜e≤時，可在雙曲線上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項.6、P為雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為雙曲線內一定點，則,當且僅當三點共線且和在y軸同側時，等號成立.7、雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點的充要條件是.8、已知雙曲線（b＞a＞0），O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是.9、過雙曲線（a＞0,b＞0）的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.10、已知雙曲線（a＞0,b＞0）,A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點,則或.11、設P點是雙曲線（a＞0,b＞0）上異于實軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2).12、設A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點，,,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).13、已知雙曲線（a＞0,b＞0）的右準線與x軸相交于點，過雙曲線右焦點的直線與雙曲線相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC通過線段EF的中點.14、過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則對應交點與對應焦點的連線必與切線垂直.15、過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交對應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16、雙曲線焦三角形中,外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數e(離心率).(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點).17、雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段提成