對點練12指數與對數的運算【A級基礎鞏固】1.若代數式eq\r(2x－1)＋eq\r(2－x)有意義，則eq\r(4x2－4x＋1)＋2eq\r(4,（x－2）4)＝()A.2 B.3C.2x－1 D.x－22.(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，則4a－3b＝()A.25 B.5C.eq\f(25,9) D.eq\f(5,3)3.某品牌計算器在計算對數logab時需按“log(a，b).”某學生在計算logab時(其中a>1且b>1)順序弄錯，誤按“log(b，a)”，所得結果為正確值的4倍，則下列結論正確的是()A.a＝2b B.b＝2aC.a＝b2 D.b＝a24.(2024·天津質檢)計算2log32－log3eq\f(32,9)＋(eq\r(2)－1)0＋log38－25log53的結果為()A.－7 B.－3C.0 D.－65.(2024·鄭州調研)點聲源亦稱為“球面聲源”或“簡單聲源”，為機械聲源中最基本的輻射體，點聲源在空間中傳播時，衰減量ΔL與傳播距離r(單位：米)的關系視為ΔL＝10lgeq\f(πr2,4)(單位：dB)，取lg5≈0.7，則r從5米變化到80米時，衰減量的增加值約為()A.18dB B.20dBC.24dB D.27dB6.(多選)已知a，b∈R，4a＝b2＝9，則2a＋b的值可能為()A.eq\f(1,24) B.eq\f(3,8)C.eq\f(8,3) D.247.(多選)下列運算中，正確的是()A.2log2eq\f(1,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq\s\up12(\f(2,3))＝－2B.若a＋eq\f(1,a)＝14，則eq\r(a)＋eq\f(1,\r(a))＝4C.若log73＝a，log74＝b，則log742＝1＋eq\f(1,a)＋eq\f(b,2)D.若4a＝6b＝9c，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(2,b)8.化簡eq\f(\r(a3b2\r(3,ab2)),（a\s\up6(\f(1,4))b\s\up6(\f(1,2))）4·\r(3,\f(b,a)))(a＞0，b＞0)的結果是___________.9.若ex＝2024，e－y＝1012，則x＋y＝________.10.計算：log3eq\r(27)＋lg25＋lg4＋7log72＋8eq\s\up6(\f(1,3))＝___________.11.計算下列各式：(1)(lg2)2＋lg5·lg20；(2)logeq\r(2)4－log23·logeq\f(1,3)8；(3)8eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,9)))eq\s\up12(0)＋(1.5)－4·eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8)))\s\up12(2))－[(－2)4]eq\f(1,2).12.某工廠產生的廢氣，過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P(單位：mg/L)與時間t(單位：h)之間的關系為P＝P0e－kt，其中P0，k是正的常數.如果在前5h消除了10%的污染物，請解決下列問題：(1)10h后還剩百分之幾的污染物？(2)污染物減少50%需要花多少時間(精確到1h)？(參考數據：lg2≈0.301，lg3≈0.477)【B級能力提升】13.2018年9月24日，阿貝爾獎和菲爾茲獎雙料得主，英國著名數學家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數學界的震動.在1859年，德國數學家黎曼向科學院提交了題目為《論小于某值的素數個數》的論文并提出了一個命題，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名數學家歐拉也曾研究過這個問題，并得到小于數字x的素數個數大約可以表示為π(x)≈eq\f(x,lnx)的結論.根據歐拉得出的結論，估計1000以內的素數的個數為(素數即質數，lge≈0.43429，計算結果取整數)()A.189 B.186C.145 D.10914.已知函數f(x)＝eq\f(x\f(1,3)－x－\f(1,3),5)，g(x)＝eq\f(x\f(1,3)＋x－\f(1,3),5).(1)分別計算f(4)－5f(2)g(2)，f(9)－5f(3)g(3)的值；(2)根據(1)的計算過程，寫出涉及函數f(x)和g(x)對所有不等于0的實數x都成立的一個等式，并證明.對點練12指數與對數的運算答案1．B[由eq\r(2x－1)＋eq\r(2－x)有意義，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1≥0，,2－x≥0，))解得eq\f(1,2)≤x≤2.所以x－2≤0，2x－1≥0，所以eq\r(4x2－4x＋1)＋2eq\r(4,（x－2）4)＝eq\r(（2x－1）2)＋2|x－2|＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3.]2．C[因為2a＝5，b＝log83，即23b＝3，所以4a－3b＝eq\f(4a,43b)＝eq\f(（2a）2,（23b）2)＝eq\f(52,32)＝eq\f(25,9).]3．C[由題意，得logba＝4·logab，所以eq\f(lna,lnb)＝eq\f(4lnb,lna)，即(lna)2＝(2lnb)2.因為a>1且b>1，所以lna＝2lnb，即a＝b2，故選C.]4．D[2log32－log3eq\f(32,9)＋(eq\r(2)－1)0＋log38－25log53＝log34－log3eq\f(32,9)＋log38＋1－52log53＝log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4×\f(9,32)×8))＋1－5log59＝log39＋1－9＝－6.故選D.]5．C[當r＝5時，ΔL1＝10lgeq\f(25π,4)，當r＝80時，ΔL2＝10lg1600π，則衰減量的增加值約為ΔL2－ΔL1＝10lg1600π－10lgeq\f(25π,4)＝80lg2＝80(lg10－lg5)≈80×(1－0.7)＝24.故選C.]6．BD[由4a＝9，解得a＝log49＝log2232＝log23，當b2＝9時，解得b＝3＝log28或b＝－3＝log2eq\f(1,8)，當b＝log28時，a＋b＝log23＋log28＝log2(3×8)＝log224，所以2a＋b＝24，當b＝log2eq\f(1,8)時，a＋b＝log23＋log2eq\f(1,8)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×\f(1,8)))＝log2eq\f(3,8)，所以2a＋b＝eq\f(3,8).故選BD.]7．AB[對于A，2log2eq\f(1,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq\s\up12(\f(2,3))＝eq\f(1,4)－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(3)))eq\s\up12(\f(2,3))＝eq\f(1,4)－eq\f(9,4)＝－2，正確；對于B，因為a＋eq\f(1,a)＝14，所以eq\r(a)＋eq\f(1,\r(a))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a)＋\f(1,\r(a))))\s\up12(2))＝eq\r(a＋\f(1,a)＋2)＝4，正確；對于C，因為log73＝a，log74＝b，所以log742＝log77＋log73＋log72＝1＋log73＋eq\f(1,2)log74＝1＋a＋eq\f(b,2)，不正確；對于D，當a＝b＝c＝0時，4a＝6b＝9c成立，但eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(2,b)無意義，不正確．故選AB.]8.eq\f(a,b)[eq\f(\r(a3b2\r(3,ab2)),（a\s\up6(\f(1,4))b\s\up6(\f(1,2))）4·\r(3,\f(b,a)))＝eq\f(a\s\up6(\f(3,2))b·a\s\up6(\f(1,6))b\s\up6(\f(1,3)),（a\s\up6(\f(1,4))b\s\up6(\f(1,2))）4·a－\f(1,3)·b\s\up6(\f(1,3)))＝aeq\f(3,2)＋eq\f(1,6)－1＋eq\f(1,3)b1＋eq\f(1,3)－2－eq\f(1,3)＝ab－1＝eq\f(a,b).]9．ln2[ex＝2024，e－y＝1012，則eq\f(ex,e－y)＝eq\f(2024,1012)＝2，即ex＋y＝2，則x＋y＝ln2.]10.eq\f(15,2)[原式＝log33eq\s\up6(\f(3,2))＋lg52＋lg22＋2＋23×eq\f(1,3)＝eq\f(3,2)＋2lg5＋2lg2＋2＋2＝eq\f(3,2)＋2(lg5＋lg2)＋2＋2＝eq\f(3,2)＋2＋2＋2＝eq\f(15,2).]11．解(1)原式＝(lg2)2＋lg5·lg(4×5)＝(lg2)2＋2lg5·lg2＋(lg5)2＝(lg2＋lg5)2＝1.(2)原式＝4log22＋3log23·log32＝4＋3＝7.(3)原式＝2＋1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(－4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq\s\up12(\f(2,3))－4＝3＋eq\f(4,9)－4＝－eq\f(5,9).12．解(1)由P＝P0e－kt可知，當t＝0時，P＝P0；當t＝5時，P＝(1－10%)P0，于是有(1－10%)P0＝P0e－5k，解得k＝－eq\f(1,5)ln0.9，那么P＝P0·0.9eq\f(t,5)，所以當t＝10時，P＝0.81P0，即10h后還剩下81%的污染物．(2)當P＝50%P0時，0.5P0＝P00.9eq\f(t,5)，解得t＝5log0.90.5＝－5log0.92＝－5×eq\f(lg2,lg0.9)＝－5×eq\f(lg2,2lg3－lg10)≈33，即污染減少50%大約需要花33h.13．C[由題意知，小于數字x的素數個數大約可以表示為π(x)≈eq\f(x,lnx)，則估計1000以內的素數的個數為π(1000)≈eq\f(1000,ln1000)＝eq\f(1000,\f(lg1000,lge))≈eq\f(1000,\f(3,0.43429))≈145.故選C.]14．解(1)f(4)－5f(2)g(2)＝eq\f(4\f(1,3)－4－\f(1,3),5)－5×eq\f(2\f(1,3)－2－\f(1,3),5)×eq\f(2\f(1,3)＋2－\f(1,3),5)＝eq\f(4\f(1,3)－4－\f(1,3),5)－eq\f(（2\f(1,3)－2－\f(1,3)）（2\f(1,3)＋2－\f(1,3)）,5)＝eq\f(4\f(1,3)－4－\f(1,3),5)－eq\f(4\f(1,3)－4－\f(1,3),5)＝0，f(9)－5f(3)g(3)＝eq\f(9\f(1,3)－9－\f(1,3),5)－5×eq\f(3\f(1,3)－3－\f(1,3),5)×eq\f(3\f(1,3)＋3－\f(1,3),5)＝eq\f(3\f(2,