概率論與數理統計第五章統計量的分布統計量是樣本的不含任何未知數的函數，它是一個隨機變量統計量的分布稱為抽樣分布。由于正態總體是最常見的總體，因此這里主要討論正態總體下的抽樣分布.由于這些抽樣分布的論證要用到較多的數學知識，故在本節中，我們主要給出有關結論，以供應用.第2頁,共40頁，星期六，2024年，5月正態總體樣本均值的分布設總體，是的一個樣本,則樣本均值服從正態分布U—分布第3頁,共40頁，星期六，2024年，5月概率分布的分位數(分位點)使P{X≥x

}=

，定義對總體X和給定的

(0<<1)，若存在x

，則稱x

為X分布的上側

分位數或上側臨界值.如圖.

x

oyxP{X≥x

}=

若存在數

1、

2，使P{X≥

1}=P{X≤

2}則稱

1、

2為X分布的雙側

分位數或雙側臨界值.oyx

2

1第4頁,共40頁，星期六，2024年，5月雙側

分位數或雙側臨界值的特例當X的分布關于y軸對稱時，則稱為X分布的雙側

分位數或雙側臨界值.如圖.若存在使yxO第5頁,共40頁，星期六，2024年，5月U—分布的上側分位數對標準正態分布變量U～N(0,1)和給定

的，上側

分位數是由：P{U≥u

}=即P{U<u

}=1-

(u

)=1-

確定的點u

.如圖.

(x)xOu

例如，

=0.05，而P{U≥1.645}=0.05所以，u0.05=1.645.第6頁,共40頁，星期六，2024年，5月U—分布的雙側分位數的點u

/2為標準正態分布的雙側

分位數或雙側臨界值.如圖.u

/2可由P{U≥u

/2}=

/2對標準正態分布變量U～N(0,1)和給定

的，稱滿足條件P{|U|≥u

/2}=

即

(u

/2)=1-

/2反查標準正態分布表得到，P{U≥1.96}=0.05

/2例如，求u0.05/2，得u0.05/2=1.96

(x)Ou

/2

/2-u

/2

/2x第7頁,共40頁，星期六，2024年，5月標準正態分布的分位數在實際問題中，

常取0.1、0.05、0.01.常用到下面幾個臨界值：u0.05=1.645，u0.01=2.326u0.05/2=1.96，u0.01/2=2.575第8頁,共40頁，星期六，2024年，5月

數理統計中常用的分布除正態分布外，還有三個非常有用的連續型分布，即

2分布t

分布F分布數理統計的三大分布(都是連續型).它們都與正態分布有密切的聯系.！在本章中特別要求掌握對正態分布、

2分布、t分布、F分布的一些結論的熟練運用.它們是后面各章的基礎.第9頁,共40頁，星期六，2024年，5月——分布

定義設總體，是的一個樣本,則稱統計量服從自由度為n的分布，記作自由度是指獨立隨機變量的個數，分布的密度函數為第10頁,共40頁，星期六，2024年，5月01357911131517x0.50.40.30.20.1n=1n=4n=10圖5-4f(y)其圖形隨自由度的不同而有所改變.

2分布表(附表3(P254)).分布密度函數的圖形第11頁,共40頁，星期六，2024年，5月滿足的數為

2分布的上

分位數或上側臨界值，其幾何意義見圖5-5所示.其中f(y)是

2-分布的概率密度.f(y)xO

圖5-5顯然，在自由度n取定以后，的值只與

有關.例如，當n=21，

=0.05時，由附表3(P254)可查得，32.67即

2分布的上

分位數第12頁,共40頁，星期六，2024年，5月

2分布的雙側

分位數把滿足的數稱為

2分布的雙側

分位數或雙側臨界值.見圖.f(x)xO圖6-4顯然，為

2分布的上分位數.為

2分布的上分位數.如當n=8,

=0.05時，2.1817.53第13頁,共40頁，星期六，2024年，5月

2分布的數學期望與方差（補充）設

2～

2(n)，則E(

2)=n，D(

2)=2n.

2分布的可加性設且相互獨立，則第14頁,共40頁，星期六，2024年，5月性質設(X1，X2，…，Xn)為取自正態總體X～N(

，

2)的樣本，則證明由已知，有Xi～N(

，

2)且X1，X2，…，Xn相互獨立，則且各相互獨立，由定義5.3得(P111第五題要用到此結論.)第15頁,共40頁，星期六，2024年，5月

定理5.1設(X1，X2，…，Xn)為來自正態總體

X～N(

，

2)的樣本，則(1)樣本均值與樣本方差S

2相互獨立；(2)(5.8)(5.8)式的自由度為什么是n-1？從表面上看，是n個正態隨機變量的平方和，但實際上它們不是獨立的，它們之間有一種線性約束關系：=0這表明，當這個n個正態隨機變量中有n-1個取值給定時，剩下的一個的取值就跟著唯一確定了，故在這n項平方和中只有n-1項是獨立的.所以(5.8)式的自由度是n-1.第16頁,共40頁，星期六，2024年，5月

定理5.1設(X1，X2，…，Xn)為來自正態總體

X～N(

，

2)的樣本，則(1)樣本均值與樣本方差S

2相互獨立；(2)(5.8)與以下補充性質的結論比較：性質設(X1，X2，…，Xn)為取自正態總體X～N(

，

2)的樣本，則第17頁,共40頁，星期六，2024年，5月三、t分布定義5.4設隨機變量X～N(0，1)，Y～

2(n)

，且X與Y相互獨立，則稱統計量服從自由度為n的t分布或學生氏分布，記作t分布的概率密度函數為T

～t(n).其圖形如圖5-6所示(P106)，其形狀類似標準正態分布的概率密度的圖形.當n較大時，t分布近似于標準正態分布.第18頁,共40頁，星期六，2024年，5月當n較大時，t分布近似于標準正態分布.一般說來，當n>30時，t分布與標準正態分布N(0，1)就非常接近.但對較小的n值，t分布與標準正態分布之間有較大差異.且P{|T|≥t0}≥P{|X|≥t0}，其中X～N(0，1)，即在t分布的尾部比在標準正態分布的尾部有著更大的概率.t

分布的數學期望與方差（補充）設T～t

(n)，則E(T)=0，D(T)=第19頁,共40頁，星期六，2024年，5月定理5.2設(X1，X2，…，Xn)為來自正態總體

X～N(

，

2)的樣本，則統計量證由于與S

2相互獨立，且由定義5.4得第20頁,共40頁，星期六，2024年，5月定理5.3設(X1，X2，…，Xn1)和(Y1，Y2，…，Yn2)

分別是來自正態總體N(

1

，

2)和N(

2

，

2)的樣本，且它們相互獨立，則統計量其中、分別為兩總體的樣本方差.(證略).第21頁,共40頁，星期六，2024年，5月t分布的上

分位數對于給定的

(0<

<1)，稱滿足條件的數t

(n)為t分布的上

分位數或上側臨界值，其幾何意義見圖5-7.

f(t)tOt

(n)

圖5-7第22頁,共40頁，星期六，2024年，5月t分布的雙側

分位數由于t分布的對稱性，稱滿足條件的數t

/2(n)為t分布的雙側

分位數或雙側臨界值，其幾何意義如圖5-8所示.f(t)tOt

/2(n)

/2

/2-t

/2(n)圖5-8第23頁,共40頁，星期六，2024年，5月在附表4(P256)中給出了t分布的臨界值表.例如，當n=15，

=0.05時，查t分布表得，t0.05(15)=t0.05/2(15)=1.7532.131其中t0.05/2(15)由P{t(15)≥t0.025(15)}=0.025查得.但當n>45時，如無詳細表格可查，可以用標準正態分布代替t分布查t

(n)的值.即t

(n)≈u

，n>45.一般的t分布臨界值表中，詳列至n=30，當n>30就用標準正態分布N(0,1)來近似.第24頁,共40頁，星期六，2024年，5月四、F分布服從第一自由度為n1，第二自由度為n2的F分布，定義5.5

設隨機變量X～

2(n1)、Y～

2(n2)，且與相互獨立，則稱隨機變量記作F～F(n1，n2).概率密度函數其中其圖形見圖5-9.(P108)

第25頁,共40頁，星期六，2024年，5月性質：若X～F(n1，n2)，則～F(n2，n1).F

分布的上

分位數對于給定的

(0<

<1)，稱滿足條件的數F

(n1，n2)為F分布的上

分位數或上側臨界值，其幾何意義如圖5-7所示.f(y)xO

圖5-7F

(n1,n2)其中f(y)是F分布的概率密度.第26頁,共40頁，星期六，2024年，5月F分布的上

分位數

F

(n1,n2)的值可由F

分布表查得.附表5、6、7(P258～P266)分

=0.1、

=0.05、

=0.01給出了F分布的上

分位數.當時n1=2,n2=18時，有F0.01(2,18)=6.01在附表5、6、7中所列的

值都比較小，當

較大時，可用下面公式查表時應先找到相應的

值的表.例如，≈0.166第27頁,共40頁，星期六，2024年，5月F分布的雙側

分位數稱滿足條件為F分布的雙側

分位數的或雙側臨界值.見圖.顯然，為F分布的上分位數；為F分布的上分位數；圖6-4f(y)xO

/2

/2第28頁,共40頁，星期六，2024年，5月定理5.4

為正態總體的樣本容量和樣本方差；設為正態總體的樣本容量和樣本方差；且兩個樣本相互獨立，則統計量證明由已知條件知且相互獨立，由F分布的定義有第29頁,共40頁，星期六，2024年，5月小結幾種常用分布的定義第30頁,共40頁，星期六，2024年，5月正態總體樣本均值的分布設總體，是的一個樣本,則樣本均值服從正態分布U—分布第31頁,共40頁，星期六，2024年，5月——分布

定義設總體，是的一個樣本,則稱統計量服從自由度為n的分布，記作自由度是指獨立隨機變量的個數，n個相互獨立的標準正態分布之平方和服從自由度為n的分布第32頁,共40頁，星期六，2024年，5月t—分布定義5.4設隨機變量X～N(0，1)，Y～

2(n)

，且X與Y相互獨立，則稱統計量服從自由度為n的t分布或學生氏分布，記作T

～t(n).

t-分布的密度函數的圖形相似于標準正態分布的密度函數.當n較大時，t分布近似于標準正態分布.第33頁,共40頁，星期六，2024年，5月F分布服從第一自由度為n1，第二自由度為n2的F分布，定義5.5

設隨機變量X～

2(n1)、Y～

2(n2)，且與相互獨立，則稱隨機變量記作F～F(n1，n2).第34頁,共40頁，星期六，2024年，5月例1

設總體X～N(0,1)，X1，X2，…，Xn為簡單隨機樣本，試問下列統計量各服從什么分布？解(1)因為Xi～N(0,1)，i=1,2,…,n.所以X1-X2～N(0,2)，故～t(2).第35頁,共40頁，星期六，2024年，5月例1

設總體X～N(0,1)，X1，X2，