題組層級(jí)快練（五十一）

一、單項(xiàng)選擇題

1.直線X—小>，+。=0（〃為常數(shù)）的傾斜角為（）

JIJT

AVBT

2n5無

C?亍D-6-

答案A

2.傾斜角為120°且在），軸上的截距為一2的直線方程為（）

A.尸一向+2B.y=一小x-2

C.y=Sx+2D.y=y[3x—2

答案B

3.直線/過點(diǎn)”（一2,5）,且斜率為直線），=—3x+2的斜率的3則直線/的方程為（）

A.3x+4y-14=0B.3x-4y4-14=0

C.4x4-3>—14=0D.4%一3），+14=0

答案A

解析因?yàn)橹本€/的斜率為直線y=-3x+2的斜率的：，則直埃/的斜率〃=一點(diǎn)故y一5

3

=-1（x+2）,即3x+4y—14=0,故選A.

4.直線工+（/+1）y+1=0的傾斜角的取值范圍是（）

A.[o,f]B.[券,n）

cl'y]u（T'"）D[T'》[筌,"）

答案B

解析由直線方程可得該直線的斜率為一號(hào)]又一1W—*XO,所以傾斜角的取值范

圍是[等,Ji）

5.（2021.北京東城期末）已知直線/的傾斜角為a,斜率為匕那么“a號(hào)”是“6@'的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析當(dāng)?shù)鵹。＜天時(shí)，上0；當(dāng)人＞\份時(shí)，?v2.所以“。＞萬”是“心^”的必要不充分

條件，故選B.

6.）一奴一十=0表示的直線可能是（）

答案B

解析由y—依一（=0,整理得■）="+!，則"W0,排除C；當(dāng)”＞0時(shí)，卜0,排除A；當(dāng)

〃＜0時(shí)，卜0,排除D,故選B.

7.已知點(diǎn)42,-3）,僅一3,-2）,直線/的方程為依一），一4+1=0,且與線段A8相交,

則直線I的斜率k的取值范圍為（）

313

A.(—8,—4JU[-,+8)B.(一8,--]U[-,+oo)

33

cf-?T6

l4,rD.

答案A

解析由"一），一A+1=0得￡（工一1）一。-1）=0,即直線/過定點(diǎn)P（l,1）,如圖,

-3—1—2—13

,.,4(2,-3),仇―3,-2),P(l,1),kp=_.=_4,kpn=.=7,

A491*71?

要使直線/與線段A8相交，則直線/的斜率k應(yīng)滿足W&或AWA肉,

3

3-

：.k^~4或4本即直線I的斜率k的取值范圍是（一8,4

二、多項(xiàng)選擇題

8.下列說法中，正確的有（）

A.直線y=3x-2在y軸上的截距為一2

B.直線l巾），+1=0的傾斜角為60"

C.過點(diǎn)（5,4）并FL傾斜角為90°的直線方程為x-5=0

D.過點(diǎn)P（l,2）且在x,y軸上的截距相等的直線方程為x+y-3=0

答案AC

解析A中，令x=0,得)，=-2,則直線y=3x—2在y軸上的截距為一2,故正確;

B中，x—小,+1=0可化為,，=察+坐，則該直線的斜率上邛，則其傾斜角為30。，故

錯(cuò)誤；

C中，過點(diǎn)(5,4)并且傾斜角為90°的直線上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5,故方程為工一5=0,

故正琬；

D中，點(diǎn)P(l,2)在直線y=2丫上，且該直線在x,，軸上的截矩都為0,故錯(cuò)誤.

9.若直線過點(diǎn)A(l,2),且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等，則直線/的方程為()

A.x-y+\=OB.x+j-3=0

C.2r—y=0D.x—y—1=0

答案ABC

10.如果A8<0,BC<0,那么直線Av+切+C=0經(jīng)過()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案ABC

解析直線AY+8\，+C=0在x軸上的截距為一亨=一祭0,在)，軸上的截距為一$0,故

/1/\DD

直線幾+8y+C=0經(jīng)過第一、二、三象限.故選ABC.

三'填空題與解答題

11.直線/過(一1,一1)，(2,5)兩點(diǎn)，點(diǎn)(1011,b)在/上，則b的值為.

答案2023

.?,..“y—(-1)x—(—1).)'+1x+1?

解析r直線,/的方程為$_(_[)=「_(_])*即-6-=-3—，即)，=2x+I.

令x=1011,得y=2023,.")=2023.

12.⑴過點(diǎn)M(-3,5)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為.

(2)過點(diǎn)M(—2,I),且與點(diǎn)用一I,0),8(3,0)距離相等的直線方程是.

5

案

答-

3(2卜+3y—I=0或y=1

5

-

解析(1)當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線方程為)，=3

當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為：+=一=1(aHO),

(i-a

把(一3,5)代入，得。=一8,所以直線方程為工一)，+8=0.

故所求直線方程為>'=—或x—y+8=0.

(2)據(jù)題意直線與A3平行或過A8的中點(diǎn)(1,0),所以直線的斜率為k=O或4=一7所以直

線方程為x+3y—1=0或y=l.

13.將直線尸1十小-1繞它上面一點(diǎn)(1,小)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)15°,所得到的直線方程

是.

答案產(chǎn)小工

解析由)，=工+小-1得直線的斜率為1,傾斜角為45°.因?yàn)檠啬鏁r(shí)針方向艇轉(zhuǎn)15°,傾

斜角變?yōu)?0。，所以所求直線的斜率為小.又因?yàn)橹本€過點(diǎn)(1,小)，所以直線方程為)，一事

=小(工一1),即y=y[3x.

14.(2022?滄衡八校聯(lián)盟)若直線雙+勿=囪〃>0,歷>0)過點(diǎn)(1,1),則該直線在x軸、y軸

上的截距之和的最小值為.

答案4

解析,直線ax+勿=a〃(a>0,方>0)過點(diǎn)(1,1),'.a-\-b=ab,即!+萬=1，

...截距之和為a+〃=(a+〃)(%3=2+9+注2+2?￡=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)上式

等號(hào)成立.

??.直線在x軸、)，軸上的截距之和的最小值為4.

15.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)44,-6),8(—4,1),C(-l,4).求：

(1)47邊上的高B。所在的直線方程；

(2)A8邊上的中線CE所在的亙線方程.

答案(l)x-2y+6=0(2)13i+2y+5=0

-6-4

解析(1);A(4,-6),仇一4,1),C(-l,4),.,.^c=4_(_；)=-2.

又,.?AC_LB。，.?“==，直線8。的方程為廠1=於+4),即x-2y+6=0.

5

+-

52

-

；八的中點(diǎn)為2，中線CE的方程為5―,即

(2)8E(0,4+-13x+2y+5=O.

2

重點(diǎn)班?選做題,

16.設(shè)尸為曲線C：+2x+3上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處的切線傾斜角的取值范圍為

[(),亍，則點(diǎn)。的橫坐標(biāo)的取值范圍為.

答案[—1，—2

解析由題意知y'=2K+2,設(shè)P(XO,優(yōu))，則曲線C在點(diǎn)P殳切線的斜率為&=2ro+2.又

切線傾斜角的取值范圍為［o,卦所以0WZ1,即0W2S+2W1.所以的仁卜八-2.

17.(2022?八省聯(lián)考)若正方形一條對(duì)角線所在直線的斜率為2,則該正方形的兩條鄰邊所在

直線的斜率分別為.

答案I，-3

解析設(shè)正方形此條對(duì)角線的傾斜角為明由已知得lan。=2,則正方形的兩條鄰邊所在

H

直一段,、的，，傾一斜川角“分、別…為a+彳，?nf+,TnjA=l14--ttaann^a-3uan(-TnjA=tla+nta<7n—.1

=/所以兩條鄰邊所在直線內(nèi)斜率分別為今-3.

題組層級(jí)快練(五十二)

一、單項(xiàng)選擇題

1.若直線〃a+4廠2=0與直線2A—5)，+〃=0垂直，垂足為(1,〃)，則實(shí)數(shù)”的值為()

A.-12B.-2

C.0D.10

答案A

解析由2/〃-20=0,得〃1=10.

由垂足(I,p)在直線"〃+4y—2=0上，得10+4〃-2=0.

.,.p=-2.

又垂足(I,一2)在直線2x—5y+〃=0上，解得〃=-12.

2.“a=2”是“直線ax+3y+2a=0和入+(“+1?—2=0平行”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析直線at+3)，+20=0和2x+(a+1))，-2=0平行的充要條件為

fflX(?+1)=2X3,

?…，r、~vr得a=2或a=_3.又“a=2"是"a=2或a=-3”的充分不

3X(.-2)手(a+1)X2a,

必要條件，所以“a=2”是“直線at+3y+2a=。和微+(4+1))，-2=0平行”的充分不必

要條件.故選A.

3.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)關(guān)于直線/對(duì)稱，則直線/的方程為()

A.x+2y—2=0B.x-2y=()

C.2x-y-3=0D.Zt—y+3=0

答案C

解析因?yàn)辄c(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,C)關(guān)于直線/對(duì)稱，所以直線/的斜率為2,且直線/過點(diǎn)(2,

1).故選C.

4.一條光線從點(diǎn)P(—2,1)射出，與直線/：X—y+1=0交于點(diǎn)。(1,2).經(jīng)直線/反射，

則反射光線所在直線的斜率是()

A.1B.小

C.2D.3

答案D

解析結(jié)合圖象可知，。關(guān)于直線/：x—)，+1=0的對(duì)稱點(diǎn)為(0,-1),所以反射光線的斜

2——1)

率為—F—=3.故選D.

I—0

5.已知直線/：丘一)，+2—攵=0過定點(diǎn)M,點(diǎn)P(x,y)在直線2x+y-l=0上，則|MPJ的最

小值是()

J

C.^6D.3小

答案B

解析直線/:匕一)，+2—2=0,即依￥—1)-y+2=0,過定點(diǎn)M(l,2),

點(diǎn)P(x,y)在直線Zx+y—1=0上，

方法一：*.'y=\~2x,

9

：.\MP\=yj(x-1)2+(l-2x-2)2=yj5x2-l-2xA-2=yl5(x+1)2+-

55

故當(dāng)x=—/時(shí)，|MP|取得最小值為挈，故選B.

方法二：|MP|的最短距離就是點(diǎn)M到直線2A?+y—l=O的距離，日點(diǎn)到直線的距離公式得|歷/)|

的最小值為乎.

6.若動(dòng)點(diǎn)力(為，yi),3(X2,刈分別在直線小1+廠7=0,l2：x+y—5=0上移動(dòng)，則A5

的中點(diǎn)M到原點(diǎn)距離的最小值為()

A.3rB.2V5

C.3小D.4-J2

答案A

解析由題意知，點(diǎn)M所在直線與八，/2平行且與兩直線距離用等.設(shè)該直線的方程為x+

k+7||c+5|

y+c=O(cH—5且cW—7),則rl否=下，解得。=一6.所以點(diǎn)M在直線x+y—6=0上.點(diǎn)

M到原點(diǎn)距離的最小值就是原點(diǎn)到直線工+），-6=0的距離，即〃=尋=36.故選A.

二、多項(xiàng)選擇題

7.已知直線八：（〃+l）x+ay—2=0,b：av+（l—a）y—1=0?則（）

A.八恒過點(diǎn)（2,-2）B.若h〃h，貝1］標(biāo)=￡

C.若/1U2，則4=1D.當(dāng)OWaWl時(shí)，上不經(jīng)過第三象限

答案BD

解析本題考查直線與直線的位置關(guān)系，直線過定點(diǎn).

/）:（a+l）x+ay+2=0Oc/（x+y）+x+2=0,

x+y=O,

由八得工=-2,y=2時(shí)，即直線人恒過點(diǎn)（一2,2）,次A不正確;

［x+2=0,

若則有（4+1）（1—。）=82,解得故B正確；

若則有。（。+1）+。（1一。）=0,解得。=0,故C不正確；

若直線/2不經(jīng)過第三象限，則當(dāng)L2。時(shí)，有±2°.-自也解得°*<1,當(dāng)1

一。=0,即〃=1時(shí)，直線勿x=l,也不經(jīng)過第三象限.綜上可知，當(dāng)OWaWl時(shí)，，2不

經(jīng)過第三象限，故D正確.故選BD.

8.己知三條直線八：2v—3y+1=0,I2：4x+3y+5=0,I3：w—1=0不能構(gòu)成三角形,

則〃？的值口J以為（）

A-3B-4

C.-jD.1

答案ABC

9.已知直線/i：ox-y+l=O，八：x+ay+l=0,“WR,以下結(jié)論正確的是（）

A.不論。為何值時(shí)，A與/2都互相垂直

B.當(dāng)a變化時(shí)，人與分別經(jīng)過定點(diǎn)人（0,1）^05（-1,0）

C.不論a為何值時(shí)，人與/2都關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱

D.如果/］與/2交于點(diǎn)M，則IMOI的最大值是也（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

答案ABD

解析對(duì)于A,aXl+（-l）xa=0恒成立，則八與八互相垂直色成立，故正確.

對(duì)于B,直線八：ov-y十1=0,當(dāng)a變化時(shí)，工=0,y=l恒成立，所以八怛過定點(diǎn)4(0,1)；

〃：x+a.v+l=0,當(dāng)a變化時(shí)，x=-1,,=0恒成立，

所以6恒過定點(diǎn)3(—1,0),故正確.

對(duì)于C,在/［上任取點(diǎn)(x,av+1),

其關(guān)于直線％+y=0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(一ax—l,—x),

代入，2：x+ay+l=0,則左邊不恒等于0,故不正確.

—a—1

對(duì)于D，叫,arm-y++皿1=0,，解得A_TTT，

—a+1

產(chǎn)而

即“瑞瑞')，所以斗

所以|MO|的最大值是小，故正確.故選ABD.

三、填空題與解答題

10.已知點(diǎn)A(—3,—4),華6,3)到直線/：av+)，+1=0的距離相筆,則實(shí)數(shù)a的值為.

答案一號(hào)或一1

|-3a~~4+1||6a+3+1|1.7

解析由點(diǎn)到直線的距離公式得解得〃=一§或一§.

.a2+1勺『+1

11.若點(diǎn)尸是曲線產(chǎn)『Tnx上任一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x-y-4=0的最小距離是

答案2^2

解析要使點(diǎn)P到直線%一)-4=0有最小距離，

只需點(diǎn)P為曲線與直線x—y—4=0平行的切線的切點(diǎn)，

即點(diǎn)尸為曲線上斜率為1的比線的切點(diǎn)，設(shè)P(xo,兆)，戈(>>0,

y=x^—\nx,y1k=.卬=20一2=1,解得沏=1或刈=一/舍云),

|1-1-4|

點(diǎn)尸(1,1)到直線x-y-4=0的距離為=2?

所以曲線y=f—Inx上任一點(diǎn)到直線x-y—4=0的距離的最小值為2小.

12.若函數(shù)>'=67x4-8與y=-5+力的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則a+b=

答案2

解析直線)，=at+8關(guān)于y=A,對(duì)稱的直線方程為x=町+8,

所以x=ay+8與)=—%+〃為同一直線，故得：一，2'所以。+方=2.

乙b=4.

13.已知A(4,0),8(0,4),從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線48反射后再射到直線08上,

最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程是.

答案2<io

解析由題意，求出P關(guān)于直線x+y=4及)，軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為P|(4,2),P2(-2,0),由

物理知識(shí)知，光線所經(jīng)路程即為內(nèi)尸2|=24而.

14.已知點(diǎn)M(a,。)在直線3x+4y=l5上，則，石"的最小值為.

答案3

解析/?在直線3x+4y=15上，.?.3〃+4/)=15.而，石衣的幾何意義是原點(diǎn)到W點(diǎn)

_____I—|5|

的距離IOM,.??漫版+/加產(chǎn)，=3.

y3T14一

15.正方形的中心為點(diǎn)。(一1,0),若它的一條邊所在的直線方程是x+3)，-5=0,求其他

三邊所在直線的方程.

答案x+3y+7=0,3A—y-3=0,3x—y+9=0

解析點(diǎn)C到直線x+3y-5=O的距離]=導(dǎo)管=嚶.

設(shè)與x+3,y—5=0平行的一邊所在直線的方程是x+3y+/〃=0("iW—5),

3^/10

則點(diǎn)C到直線x+3.v+m=0的距離d=解得加=—5(舍去)或/n=7,

-1+9―5

所以與x+3y—5=O平行的邊所在直線的方程是x+3y+7=0.

設(shè)與x+3y—5=0垂直的邊所在直線的方程是3x—y+〃=0,

|—3+2?|3VTb

則點(diǎn)C到直線3L)，+〃=0的距離d=解得〃=—3或〃=9,

人9+1―5

所以與x+3y-5=0垂直的兩邊所在直線的方程分別是3x—y—3=0和3x—y+9=0.

司重點(diǎn)班?選做題.

16.設(shè)定點(diǎn)A(3,1),〃是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，C是直線)一X上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABC周長的最小值

是()

A.小B.2小

C.3小D.VlO

答案B

解析作出43,1)關(guān)于y=A?的對(duì)稱點(diǎn)A'(1,3),關(guān)于x軸的時(shí)稱點(diǎn)A"(3,—1),連接A'

A”,交直線y=x于點(diǎn)C,交x軸于點(diǎn)8,則|AC]=H'C|,|A8|=|4"用，「.△ABC周長的

最小值為|A'A"|=U(1-3)2+(3+(2=2小.故選B.

17.唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”

詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題一“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某

處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)

軍營所在區(qū)域?yàn)椤?VW1,若將軍從點(diǎn)人(2,0)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=3.

并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即|可到軍營，則“將軍飲馬’的最短總路程為（）

A.Vio-1B.2^2-1

C.2yj2D.VW

答案A

解析設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線x+y=3的對(duì)稱點(diǎn)為A'（a,b）,則AA'的中點(diǎn)為（尖廠，5,依

（T）=-1,q

bIa-24=3,

=一>，故〈解得L.’A'（3,1）,“將軍飲馬''的最短總路程即

a—2^+2,b-仍=】，

［—+5=3,

為點(diǎn)A'到軍營的最短走離，即為。（3—0）2+（］一（））2一］二回一］故選人.

題組層級(jí)快練（五十三）

一、單項(xiàng)選擇題

1.（2022?衡水中學(xué)月考）若直線紗+公=1與圓f+）2=1相交，則p（a,力與圓『+），2=i

的關(guān)系為（）

A.在圓上B.在圓外

C.在圓內(nèi)D.以上都有可能

答案B

解析X0薦泮~~~<1,/.a24-/?2>l,.,.P（a,在圓外.

2.如果圓的方程為/+）?+去+2,，+標(biāo)=0,那么當(dāng)圓面積最大時(shí)，圓心坐標(biāo)為（）

A.（-1,1）B.（1,-I）

C.（-1,0）D.（0,-1）

答案D

解析/=表/公+4-43=^4—31c,

當(dāng)k=0時(shí)，/■最大，此時(shí)圓面積最大，，圓心坐標(biāo)為（0,-1）.故選D.

3.圓C的半徑為2,圓心在x軸的止半軸上，直線3、十4），十4=0與圓C相切，則圓。的

方程為（）

A.『+V一2^—3=0B.f+產(chǎn)+4%=0

C..F+y2—4x=0D.『+爐+〃-3=0

答案C

解析由題意設(shè)所求圓的方程為（X一機(jī)）2+）2=4（〃＞0）,則戰(zhàn)卷=2,解得6=2或,〃=一

14

萬（舍去），故所求圓的方程為（X—ZF+./u*即f+y2—4x=0.故選C.

I3

4.“一聲應(yīng)”是“直線/：與圓C：（x—23+4=3相交”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析本題考查直線與圓的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷.由題知，圓（x—2戶+）7

=3的圓心為（2,0）,半徑為小，則直線/：），=匕與圓（工-2）2+），2=3相交0我+＜小。

一巾＜女＜巾.因?yàn)閇一9,I（一小,小），所以“一吳仁!”是“直線/：產(chǎn)心?與圓C：（x

-2）2+）2=3相交”的充分不必要條件.故選A.

5.若圓C的半徑為1,圓心在第一象限，且與直線4冗一3），=0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)

準(zhǔn)方程是（）

2?2

A.(A—3)+0-1)=1B.住—2)2+°，-3/=1

C.。-2)2+°，一1尸1D.(*-3)2+。，一2尸1

答案C

解析本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系.

方法一：因?yàn)閳Ac與x軸相切，半徑為I,且圓心在第一象限，所以設(shè)圓c的圓心坐標(biāo)為m.

D3。）,由圓C與直線41尸。相切，得也解得y2或戶

一女舍去），所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（X—2）2+G，-l）2=].故選C.

方法二：因?yàn)閳A。與x軸相切，且半徑為1,所以圓心C的縱坐標(biāo)為1,排除B、D,又點(diǎn)

3I）到直線4.3產(chǎn)°的距離為器爸gq知,所以圓與直線

23尸。不相切，所以排除A,而點(diǎn)（2,I）到直線41尸。的距離為背卷+I

故選c.

6.己知直線/過點(diǎn)A（a,0）且斜率為I,若圓/十方=4上恰有3個(gè)點(diǎn)到/的距離為1,則a

的值為（）

A.3巾B.±3&

C.±2D.土也

答案D

解析由題知直線/的方程為），=x-a,即4—），一〃=0.若圓/十）2=4上恰有3個(gè)點(diǎn)到/的

距離為1,則圓心0（0,0）到直線工一），一。=0的距離為1,即$=1，得。=地.故選D.

7.過點(diǎn)A（—4,-1）作圓C：戊-2）2+（），-1>=4的一條切線AB,切點(diǎn)為B,則△ABC的面

積為（）

A.2?B.

C.12D.6

答案D

解析本題考查直線與圓的位置關(guān)系.由題可得圓心C的坐標(biāo)為（2,1）,半徑「=2,

所以WC=4（-4-2）2+（—1-1）2=2四,所以|A8|=、|AC|2一，=140-4=6,因此

S.A8C=；|A陰?|C同=：X6X2=6.故選D.

8.圓/+9+21—8=0截直線>，="+R）所得的最短弦長為（）

A.2市B.26

C.4小D.2

答案A

解析本題考查直線與圓的位置關(guān)系、直線被圓所截的弦長.

直緩y=h+l過定點(diǎn)（0,1）,

圓的方程*+〉2+2.%—8=0可化為（x+l）2+y2=32,

故圓心為（一1,0）,半徑/=3.

因?yàn)椋?,1）到（一1,0）的距離為利（-1）2+（一］）2=g<3,所以點(diǎn)（0,I）在圓f+）2+2x

-8=0內(nèi)，

根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，圓?+r+2A—8=0截直線》，=依+1伏仁11）所得的最短弦長為

2x^32—（立）2=2幣.故選A.

9.已知圓C關(guān)于x軸對(duì)稱，經(jīng)過點(diǎn)（0,1）,且被y軸分成兩段弧，弧長之比為2：1,則圓

的方程為（）

近24

+=-

一33

24近2

+_

-_+

'33

答案c

解析方法一（排除法）：由圓心在x軸上，排除A、B,再由圓過點(diǎn)（0,1）,故圓的半徑大于

I,排除D,選C.

方法二（待定系數(shù)法）：設(shè)圓的方程為（.1一。）2+9=/，圓C與），抽交于40.1）,8（0,-1）,

由瓠長之比為2：1,易知NOCA=±NAC3=TX120°=60°,則lan60°=捌=而，所

4/

以4=|OC1=坐,即圓心坐標(biāo)處（土乎，0）,/=|4C|2=I-

3-

、

一4

-

3

10.已知直線/：x—巾），一〃二0與圓C：（X—3）2+G，+巾）2=4交于點(diǎn)M,M點(diǎn)P在圓C

上，且NMPN=T",則4的值為（）

A.2或10B.4或8

C.6±2陋D.6±2于

答案B

解析連接CM,CN.因?yàn)閳A的半徑是r=2,圓心坐標(biāo)是C（3,f）,4MPN=j且P

J

在圓C上，所以NMOV=￥，計(jì)算得IMN1=2小.又。點(diǎn)到直線/的距離（/=弊等=蚱9,

Jyi十3」

作］+/=『，所以（小尸+（”46）：=%則〃=4或8.故選B.

二、多項(xiàng)選擇題

11.已知直線/：履+y=0與圓M：r+爐一〃一2,，+1=0,則下列說法中正確的是（）

A.直線/與圓M一定相交

B.若&=0,則直線/與圓M相切

C.當(dāng)&=-1時(shí)，直線/與圓M的相交弦最長

D.圓心M到直線I的距離的最大值為明

答案BCD

解析由f+k—2x—2y+l=（W^x—l）2+G，-l）2=l,故M（l,1）,r=l,直線/過原點(diǎn)，

不一定與圓M相交，故A錯(cuò)誤；

當(dāng)攵=0時(shí)，/：>'=0,直線/與圓M相切，故B正確；

當(dāng)攵=一1時(shí)，直線/的方程為丁=.口過圓M的圓心，故C正確；

當(dāng)直線LLOM時(shí)，圓心M到直線/的距離最大為|0"|=地，故D正確.

12.一條光線從點(diǎn)（一2,-3）射出，經(jīng)y軸反射后與圓（x+3）2-（y-2）2=1相切，則反射光

線所在直線的斜率可以是（）

23

-B-

A.32

34

C-D-

-43

答案CD

解析由光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點(diǎn)(2,-3),設(shè)反射光線所在直線的

斜率為七則反射光線所在直線的方程為,+3=任1—2),即依一〉，一2上一3=0,又因?yàn)榉瓷?/p>

光線與圓相切，

所以^~3/：止—a=i=]2F+25Z+12=0=A=—4或Z:=—7,故選CD.

yjlr+1J4

13.已知圓/+)2—21—6丁+。=0上至多有?點(diǎn)到直線3%+4)，+5=0的距離為2,則實(shí)數(shù)a

可能的取值為()

A.5B.6

C.7D.10

答案BC

解析圓的方程可化為(x—l)：+(y—3)2=10—a(a<10),圓心為(1,3),半徑為110一a圓心

(I,3)到直線3x+4y+5=0的距離d=支中0=%要使圓上至多有一點(diǎn)到直線3x+4y+5

=0的距離為2,則410一忘4-2=2,得6Wa<10,所以B、C符合題意.故選BC.

三、填空題與解答題

14.若圓(x+l)2十。一3尸=9上相異的兩點(diǎn)P，。關(guān)于直線"+2y—4=0對(duì)稱，則A的值為

答案2

15.若直線/：4%—3)，-12=0與x,y軸的交點(diǎn)分別為4R,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以A8為直

徑的圓的方程為：AAOB內(nèi)切圓的方程為.

。

，2

X-_|十+-245

2)(1)2+0+|)2=|

、

解析由題意知，43,0),8(0,-4),則依同=5.

5

2-

.?.以A3為直徑的圓的圓心2

a+-245

.??圓的方程為2)2

又AAOB的內(nèi)切圓半徑r=F—=1,內(nèi)切圓的圓心坐標(biāo)為(1,-1),

.?.內(nèi)切圓的方程為(X—1)2+。+1)2=1.

16.一個(gè)圓與y軸相切，圓心在直線x—3y=0上，且在直線y=x上截得的弦長為2S，求

此圓的方程.

答案。-3)2+6，-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9

解析方法一：???所求圓的圓心在直線X—3y=0上，且與)，軸相切，

???設(shè)所求圓的圓心為C(3〃,用，半徑為r=3同.

又圓在直線y=x上截得的弦長為2巾，

|3。一〃|

圓心C(3a,a)到直線y=x的電高為d=

(-1)2'

，有心+(幣)2=戶.即加2+7=9R：.a=±\.

故所求圓的方程為

(L3)2+°，一1戶9或(x+3)2+(y+l)2=9.

方法二：設(shè)所求的圓的方程是(X—。)2+°—〃)2=戶,

\a-b\

則圓心(a,〃)到直線x—y=o的距離為

???、=(甯J+(幣產(chǎn)

即2，=3—與2+14.①

由于所求的圓與)，軸相切，，產(chǎn)=/.②

又丁所求圓的圓心在直線“一3)，=0上,

.'.a-3b=0.@

聯(lián)立①?③，

解得a=3,b=l,7=9或a=—3,8=-I,r2=9.

故所求的圓的方程是

(x-3)2+(y-l)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.

方法三：設(shè)所求的圓的方程是/)x+Ey+尸=(),

圓心為(一3，一9，半徑為上步+序一".

令x=0,得產(chǎn)+玲+尸=o

由圓與)，軸相切，得4=0,即爐=4E④

7D八l-f+f('

又圓心(一今，一句到直線x—y=0的矩離為一^―,由已知，得_22+(6)2=戶,

即(。一七)2+56=2(》+/一4b.⑤

又圓心(一學(xué)，-在直線x—3y=0上，

：.D~3E=0.?

聯(lián)立④?⑥，

解得。=-6,E=-2,/=1或0=6,E=2,F=\.

故所求圓的方程是A2+/-6.t-2y+!=0或/+9+64+23，+1=0,即(工一3尸十()，一1尸=9

或(x+3)2+(y+l)2=9.

恒重點(diǎn)班?選做題

17.直線x+y+2=0分別與x軸、『軸交于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)尸在圓(X-2)2+尸=2上，則△A3P

面積的取值范圍是（）

A.[2,6]B.[4,8]

C.詆3例D.3M

答案A

解析設(shè)圓（工一2）2+）2=2的周心為c,半徑為r,點(diǎn)P到直線x+y+2=0的距離為d,則

圓心。（2,0）,r=V2,所以圓心C到直線x+y+2=0的距離為26，可得&.=26+「=

35，4加=26—「=也.由已知條件可得依8|=26，所以△48P面積的最大值為llAAI-dmx

=6,△4BP面積的最小值為例用-dmin=2.綜上，△A8P面積的取值范圍是[2,6J.故選

A.

18.若尸為直線x-y+4=0上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)P引圓C：/+9-4%=0的兩條切線PM,

PN（切點(diǎn)為M,N）,則|MN的最小值是.

答案竽

解析本題考查利用直線與圓相切求最值.

如圖，連接CM,CN,由題可知圓C的圓心為C（2,0）,半徑r=2.

因?yàn)?/2=唱=等

所以當(dāng)|PM|敢小時(shí)，IMN1最小，因?yàn)閨PM|=A/|PC|2-4,

所以當(dāng)伊。最小時(shí)，|MN|最小.

|PQmin=^==3V2,此時(shí)8S/MCP=^=坐，

5

-

cosZMCN=2cos-ZMCP9

則|MMmin=y22+22-2X2X2X

題組層級(jí)快練(五十四)

一、單項(xiàng)選擇題

1.(2022?山東省實(shí)臉中學(xué)期中胭G：(X+2)2+。，-2)2=4和圓。2：住—2)2+(3，-5)2=16的

位置關(guān)系是()

A.相離B.相交

C.內(nèi)切D.外切

答案B

解析易得圓G的圓心為G(-2,2),半徑外=2,圓G的圓心為C?(2,5),半徑廢=4,

22

圓心距|CiC2|=A/[2-(-2)]+(5-2)=5<外+小=2+4,圻以兩圓相交.

2.已知圓『+)2+2L2)，+“=0截直線x+y+2=0所得弦的長度為4,則實(shí)數(shù)。的值是()

A.-2B.-4

C.-6D.-8

答案B

解析先求出圓心、半徑以及圓心到直線的距離，再列方程求解.

由圓的方程『+產(chǎn)+〃-2)，+。=0可得，圓心為(一1,I),半徑,工(“<2).圓心到直

線x+y+2=0的距離為J="~~"』=也?由/=j+(9，得2—a=2+4,所以a=~4.

3.已知圓Oi的方程為/+()，+1產(chǎn)=6,圓02的圓心坐標(biāo)為(2,1).若兩圓相交于A,B兩

點(diǎn)，且|4陰=4,則圓0?的方程為()

A.(A—2)24-(j--1)2=6

B.(L2)2+()，—1產(chǎn)=22

C.。-2)2+。，-1產(chǎn)=6或(%—2產(chǎn)+1產(chǎn)=22

D.(A-2)24-(Y-1)2=36或(十一2)2+()，-1)2=32

答案C

4.在平面直角坐標(biāo)系中，直線工一)，+1=0與圓C：/+)2—*8)，+13=0相交于A,B兩

點(diǎn)，P為圓。上的動(dòng)點(diǎn)，則△布8面積的最大值為()

A.2+26B.2

C.14-^2D.2+6

答案A

解析本題考查直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離.

圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為3-1)2+。-4)2=4,圓心為C(l,4),半徑r=2,圓心C到直線AB的

11-44-11

距離d==6...|AB1=2V?二了=26.由于P為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線

A3距離的最大值為d+r=j+2,因此，ZSAW面積的最大值為梟陰Yd+r)/x2啦X(小

+2)=2+241故選A.

5.(2022?衡水中學(xué)調(diào)斫卷)圓?+〉2一以+2)，+。=0與)，軸交于4B兩點(diǎn),其圓心為尸，若

N"8=9