專題04圓中的重要模型-圓中的翻折模型

知識儲備：

1、翻折變換的性質：翻折前后，對應邊相等，對應角相等，對應點之間的連線被折痕垂直平分；

2、圓的性質：在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等，所對的弦也相等；同弧或等弧所對的圓周角

相等；

3、等圓相交：如圖，圓。和圓G為兩個相等的圓，圓。和圓G相交，相交形成的弦為48,則弦為整

個圖形的對稱軸，圓心。和圓心G關于A8對稱，弧AC8和弧ADB為等弧，且關于對稱；

4、弧翻折（即等圓相交）：如圖，以弦2C為對稱軸，將弧翻折后交弦于點。，那么弧88所在的

圓圓G與圓。是相等的圓，且兩個圓關于8C對稱，故圓心。、G也關于8C對稱。

模型L圓中的翻折模型（弧翻折必出等腰）

如圖，以圓。的一條弦BC為對稱軸將弧BC折疊后與弦AB交于點D,則CD=CA

例L（2023春?浙江金華?九年級校聯考階段練習）如圖，A/RC是。。的內接三角形，將劣弧AC沿AC折

若AC=6,ZC=60°,則。。的半徑長為（）

C.海D.-V21

3

例2.（2022秋?江蘇?九年級校考專題練習）如圖，以A8為直徑的半圓沿弦8c折疊后，A8與弧C8相交于

點。’若弧弧血則取

例3.（2023?河北保定?統考一模）如圖，已知A3是。O的直徑，且AB=4,C是。。上一點，將弧AC沿

直線AC翻折，使翻折后的圓弧恰好經過圓心。，則（1）AC的長是—.（2）劣弧BC的長是

例4.（2023春,廣西?九年級專題練習）如圖，8是。。的直徑，A3是。。的弦，ABYCD,垂足為G,

OG:OC=3:5,AB=8,點E為圓上一點，NECD=15。，將CE沿弦CE翻折，交CD于點F,圖中陰影部

分的面積=

例5.（2023?山東濰坊?昌邑市校考二模）如圖，將扇形AOB翻折，使點A與圓心O重合，展開后折痕所在

直線/與弧A3交于點C,連接AC.若。4=3,則圖中陰影部分的面積是（）

.3/9g。5萬9百「963%c3乃

A.-----------------D.-------------------C.-----------------D.—

2424222

例6.（2023?吉林長春?統考模擬預測）如圖，在回。中，點C在優弧山j上，將BC沿BC折疊后剛好經過AB

的中點D,連接AC,CD.則下列結論中錯誤的是（）

①AC=CD；②AD=BD；③AC+BD—C;④CD平分MCB

例7.（2022春?福建福州?九年級校考階段練習）如圖，AB是回。的直徑，BC是回。的弦，先將8C沿2c翻

折交A2于點。，再將B￡）沿A2翻折交BC于點E.若BE=DE，貝崛2。的度數是（）

例8.（2023?湖北黃石?校考模擬預測）如圖，在半圓。中，直徑AB=4,C是半圓上一點，將弧AC沿弦AC

折疊交AB于。，點E是弧AD的中點.連接OE,則OE的最小值為（）

、、C

A.V2-1B.4-V2c.V2+1D.25/2-2

例9.(2023?浙江杭州?統考二模)如圖回。中直徑A8=2,點E是AB的中點，點C是AE上的一個動點，將

C8沿線段BC折疊交于點D.(1)如圖1,當S48c=20。時，求此時AC的長.

(2)如圖2,連結AC,當點。與點。重合時，求此時AC的長.

(3)設AC=x,DO=y,請直接寫出y關于x的函數表達式及自變量x的取值范圍.

圖1

課后專項訓練

1.（2023?福建龍巖?統考模擬預測）如圖，AB.AC為。。的兩條弦，A2=30，AC=4,將A3折疊后

剛好過弦AC的中點。，則。。的半徑為（）

A.2y/2B.V5C.5D.幣

2.（2023?河北唐山?統考二模）如圖，已知AB的半徑為5,所對的弦長為8,點尸是Ag的中點，將Ag

繞點A逆時針旋轉90。后得到AB，三位同學提出了相關結論：

嘉嘉：點尸到A3的距離為2淇淇：AP的長為2百嘉淇：線段AP掃過的面積為2信

A.嘉嘉對，淇淇錯B.淇淇對，嘉淇錯C.嘉嘉錯，嘉淇錯D.淇淇錯，嘉淇對

3.（2023?河北唐山?統考二模）如圖，。。的直徑AB=4,C是。。上一點，將AC沿直線AC翻折，若翻折

后的圓弧恰好經過點。，則圖中陰影部分的面積為（）

C容20

4.（2023?湖北武漢?模擬預測）如圖，在扇形AO3中，點CD在弧AB上，將弧8沿弦以?折疊后恰好與

04,03相切于點瓦尸.已知ZAO5=120。，OA=6,則。的長為（）

A.9B.3回C.4■底D.673

5.（2023秋?浙江寧波?九年級統考期末）如圖，將。。沿弦A3折疊，點C,。分別是兩條弧的中點，AC與

的度數之比為3：4,則NADB的度數是（）

D.150°

6.（2022?河南商丘?校考一模）如圖1所示是一張圓形紙片，直徑A8=8,現將點A折疊至圓心。形成折痕

CD,再把C、。折疊至圓心。處，最后將圓形打開鋪平（如圖2所示），則4的長是（）

圖2

A.—71B.-71C.—71D.-71

3333

7.（2022秋?浙江紹興?九年級校考階段練習）把一張直徑為2的半圓形紙片按如圖所示方式折疊一次后展開,

圖中的虛線表示折痕，則BC的長度是（）

BD

A.-71B.-71C.一兀D.—71

34612

8.（2022春?九年級課時練習）如圖，已知半圓O的直徑AB=8,C是半圓上一點，沿AC折疊半圓得到弧ADC,

交直徑于點。，若ZM、03的長均不小于2,則AC的長可能是（）

A.7B.6C.5D.4

9.（2023?北京?統考二模）如圖，是回。的直徑，C是回。上一點，將弧AC沿直線AC翻折，若翻折后的

圖形恰好經過點。，貝幅CAB=

10.（2023春?北京海淀?九年級校考開學考試）如圖，將半徑為3cm的圓形紙片折疊后，劣弧中點C恰好與

圓心。距離1cm,則折痕AB的長為cm.

11.（2023?河南周口,統考二模）如圖①，A3為半圓。的直徑，點C在A8上從點A向點8運動，將BC沿

弦3C,翻折，翻折后BC的中點為設點A,C間的距離為x,點。，。間的距離為y,圖②是點C運

動時y隨X變化的關系圖象，則A3的長為.

①②

12.（2022秋?河南商丘?九年級校聯考期末）如圖，點A,B,C,D,E是。。上5個點，若AB=AO=2,

將弧。沿弦CO翻折，使其恰好經過點。，此時，圖中陰影部分恰好形成一個"鉆戒型”的軸對稱圖形，"鉆

13.（2023,江蘇宿遷?九年級階段練習）如圖①是半徑為2的半圓，點C是弧AB的中點，現將半圓如圖②

方式翻折，使得點C與圓心O重合，則圖中陰影部分的面積是—.

圖①圖②

14.（2022秋?山東濟寧?九年級校考期末）如圖，將半徑為rem的。。折疊，弧A2恰好經過與A2垂直的半

徑OC的中點。，已知弦A3的長為4厲5,貝什=cm.

C

14.（2023?廣東?九年級專題練習）如圖，已知AA5c是回。的內接三角形，回。的半徑為2,將劣弧AC（虛

線）沿弦AC折疊后交弦BC于點。，連接AD.若NACB=60。，則線段的長為.

15.（2022春?浙江?九年級專題練習）如圖，在。。中，為。。的直徑，弦CDLAfi,垂足H在半徑OB

上.若劣弧。沿著直線CZ）翻折，點B落在上的點E處（點E不與點AO重合），連結8,CE,C8.（1）

求證：ZACE=ZDCO.（2）延長CE交。。于點"，連結AM,若AM=10,OE=3,求/ACE1的正弦值.

16.（2023?江西?九年級統考階段練習）如圖1,在AABC中，AB=AC,以BC為弦的。。與A3相切于點5.

（1）求證：AC是0。的切線；（2）將。。中BC以下部分沿直線8C向上翻折.

①如圖2,若翻折后的弧過A3中點D,并交AC于點E,請判斷DE與8C的關系，并說明理由.

②如圖3,若AB=2g,且翻折后的弧恰好過點A,則O。的半徑為.

17.（2023,江蘇無錫,九年級校聯考期中）如圖1,將長為10的線段OA繞點。旋轉90。得到08,點A的運

動軌跡為尸是半徑。B上一動點，。是AB上的一動點，連接尸。.

（1）當回尸。。=時，