高一財當

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.回答非選

擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

A={z|z=i"+—,neN*}

1.已知集合i”,則A兀素個數為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根據復數的四則運算求出復數z,得出復數的周期性，即可判斷集合中的元素個數.

1

【詳解】當〃=1時，2=i+_二i—i=0,當〃=2時，2=i?9+方=-1-1=—2,

ii2

.31=—i—-=0,當〃=4時，z=i4+t

當〃=3時,Z=1+—=1+1=2,

i3ii4

.51=i+』=i-i=0,當〃=6時，z=i6+^-=i2+^_=—1—1=—2,

當〃=5時,Z=1+—

i5ii6i2

.1,11=丁+，/+：=1+1=2,

當〃=7時,Z=17+—=i+工=—i—=0,當〃=8時，2二

i7ii

L,可知以上四種情況循環，故集合A={0,-2,2},A的元素個數為3.

故選：C

2.已知等差數列{4}的公差dwO,且%,%，%成等比數列，則幺=()

d

A.2B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】根據等差數列和等比數列的知識列方程，化簡求得正確答案.

【詳解】依題意，{4}是等差數列，且%,。3，%成等比數列，

所以a；=q?%,(4+2d)-=q(q+6d),

2

a；+4qd+4d2=a；+6axd,2d=axd,

由于dwO,所以q=2d,幺=2.

d.

故選：A

3.設匕，彩分別是空間中的直線4，,2的方向向量，Ae/-Be。?記甲：匕，v2,AB不共面，乙:

與4異面，則()

A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件

C,甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】從充分性和必要性的角度，結合異面直線的定義，即可判斷和選擇.

【詳解】對空間中的任意兩條直線4,4，

若4，為，反不共面，顯然乙,4不可能平行或相交，兩直線異面，充分性成立；

若是異面直線，根據異面直線的定義，定有用，V；，他不共面，必要性成立；

故甲是乙的充要條件.

故選：c.

4.已知點A(—2,4),B(-l,-3),若直線丁=近與線段A3有公共點，則()

A.kG(-oo,-2]u[3,+oo)B.ke[-2,3]

,11

C.ke(-co,--]o[—,+co)D.ke[--,—]

2323

【答案】B

【解析】

【分析】作出圖像，求斜率范圍即可.

若y=Ax與線段AB有公共點，分析y=依必過(0,0),且自從=-2,臉=3,則左e[—2,3].

故選：B

5.已知直線%-丁+1=。與圓必+y2一4》一2〉+根=0交于八，8兩點，且|AB|=2j5,則實數加=

()

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】

【分析】求出圓心到直線的距離，由垂徑定理得到方程，求出根=1,驗證后得到答案.

［詳解］%2+y2_4工_2,+根=0變形為(％-2)2+(^-1)2=5-m,

故5—加＞0,解得加＜5,故圓心為(2,1),半徑為后二？，

設圓心(2,1)到直線x—y+l=。的距離為d，則4="T+1A/2,

由垂徑定理得215-/=2a，解得切=1，滿足要求

故選：D

6.已知雙曲線C與橢圓二+9=1有相同的焦點可，F2,且P為C與橢圓的一個交點，若/耳P月=120,

則C的方程為()

22222222

A.工-匕=1B.土-匕=1C.土-匕=1D.土-二=1

201212203553

【答案】D

【解析】

【分析】設P在第一象限，設雙曲線方程，由題意可得c的值，且有|助|-|尸鳥|=2"，|尸￡|+|「心|=6,

結合余弦定理即可求得/的值，求出即可求得答案.

【詳解】由題意可設雙曲線方程為二一1=1,(。＞0,b＞0),

ab

由于雙曲線C與橢圓口+產=1有相同的焦點K，F2,故°2=9—1=8,即|丹乙|=4后，

不妨設尸在第一象限，可為左焦點,心為右焦點，則IWHP61=2%\PFl\+\PF2\=6,

以上兩式平方后相加減，得|「耳『+|「居|2=2°2+18,|p/7||p/7|=9-?2,

由于N片/工=120。,故忸!尸耳2+|尸刃2_2「耳卜|尸局85120,

則32=2/+i8+9—a?,，。？=5,則^=C2_。2=3,

22

故雙曲線方程為土-乙=1,

53

故選：D

7.已知在空間直角坐標系中，直線/經過A(3,3,3),3(0,6,0)兩點，則點P(0,0,6)到直線/的距離為()

A.6亞B.2A/3C.2\f6D.6

【答案】C

【解析】

【分析】先求投影長度，然后結合勾股定理即可得解.

\AB-AP\|9-9-9|

【詳解】由題意第=(-3,3,-3),取=(一3,—3,3),所以=6,

網36

ABAP

所以點尸(0,0,6)到直線/的距離為,尸(

AB

故選：C.

8.一個邊長為1的正方形被等分成9個相等的正方形，將中間的一個正方形挖掉如圖(1)；再將剩余的每個

正方形都等分成9個相等的正方形，將中間的一個正方形挖掉如圖(2),如此繼續操作下去，到第九次操作

結束時，挖掉的所有正方形的面積之和為()

圖⑴圖(2)圖⑶

9"_8"?8"—3"8"-18"-7"

A.B.--------D.

9"5?3"7-9"9"

【答案】A

【解析】

【分析】構造第九次新挖掉的面積為數列{4},結合等比數列的前九項和公式，即可求得結果.

【詳解】設第九次新挖掉的面積為明,則第〃+1次新挖掉的面積為4+1，

Q2

根據題意可得，。〃+1=5。〃，又勾

I,公比為g的等比數歹U；

故數列｛q,｝是首項為

設第n次操作后，挖掉的面積之和為Sn,

n

18

1-

故+%++%=99"-8"

9"

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.

9.在復平面內，復數z對應的點的坐標是（_g,弓），則（）

A.z2+z+1^0B.z2二-zC.z3+1^0D.z=(z)2

【答案】AD

【解析】

【分析】根據題意,求得Z,結合復數的運算法則，逐個判斷即可.

1

【詳解】根據題意,Z=-----F烏.1

2V,

\2/

(11—iVl=0,故A正確;

對A：Z2+Z+」.L烏+——+烏3.1+一+

22)22J22)22J

13一二一旦,顯然

對B：由A知，z2-------------1，Xzz2-Z,故B錯誤;

2222

【一烏

32

對C：Z=Z?Z=「5一丁+—i=1,故Z3+1=2,故C錯誤;

2

7

\2

16.——+-^-i=z,故D正確.

對D：-------------1

2222

7

故選:AD.

10.己知A,5是平面內兩個定點，且|AB|=6,則滿足下列條件的動點P的軌跡為圓的是（

A.\PA\+\PB\^6B.PAPB=-1

C.\PA\=2\PB\D.IPA|2+|P5|2=18

【答案】BC

【解析】

【分析】建立平面直角坐標系，分析求出軌跡方程即可.

【詳解】對于A,\PA\+\PB\=6=\AB\,顯然P的軌跡是線段A5,故A錯誤；

以A5中點。為原點，建立平面直角坐標系，設A(—3,0),3(3,0),設P(x,y),

則PA=(x+3,y),PB=(x-3,y),

對于B,已知PA.p5=—l，則/+丁=8,所以，點P的軌跡是圓，故B正確；

22

對于C,由兩點間距離公式得|P4|=J(x+3y+y2,|PB|=^(X-3)+J,

2

代入|PA\=2\PB\中化簡得/一10%+/+9=0,即(%-5)+/=16,

故P的軌跡是圓，故C正確；

對于D,代入|「4|2+|尸5|2=18中化簡得犬+｝72=0,顯然尸的軌跡是一個點，故D錯誤.

故選：BC

11.記S,為數列｛氏｝的前九項和,若S,+i=4a“+2,q=l,則()

A.｛。用-2%｝為等比數列B.為等差數列

仁］為等比數列D.2S”+2｝為等差數列

【答案】AB

【解析】

【分析】根據數列遞推式S,+i=44+2,可得〃時，S〃=4a,T+2,采用兩式相減的方法可推出

an+l-2an=2(an-2anJ,結合等比數列定義，可判斷A；繼而求出。用-2。"=3x2"i,可得

稅-黑=1,根據等差數列定義判斷B；繼而求出％的表達式，可得S,，即可求出［與2］以及

｛S"+|-2S"+2｝的通項公式，結合等比數列以及等差數列定義，即可判斷C,D.

【詳解】由題意知S“M=44+2,%=1,

故2時,S”=4%+2,則%=4(1—心,gpan+l-2an2(an-2an_1),

由S〃+i—44+2,q=1,得q+a2=4q+2.%=5,a2—2q=3w0,

a,1—2〃

故"+i"=2,(〃22),故｛a.+i—2a“｝為等比數列，A正確；

an-

由以上分析知a“+i—24=3x2"“，則一會=：,

故為以&=，為首項,公差為』的等差數列,B正確；

[2)224

Q133131?

則吩=5+4"_1-即4=(1九_^>2'

31

則3+1=44+2=4(—“__)?2"+2=(3“—1)?2〃+2,

44

即S“=(3”—4)-2"T+2,則^^=(3〃4>2"T

2"2"2

S.+「2

<)n+i3〃-13fS—21

則[c=：—-=1+--;不為常數，故當「不為等比數列，c錯誤；

一23〃-43M-412J

2"

由于S.—2s〃+2=(3〃—1)?2"—2(3〃-4)-2向=3?2",

故(S“+2—2sz+2)—(S“M—2S”+2)=3?2n+1-3-2"=3-2"不為常數，

故母M—2S“+2｝不為等差數列，D錯誤，

故選：AB

12.已知圓錐的頂點為P,底面圓心為。，AB為底面直徑，ZAPB=12Q°,Q4=2,點。在底面圓周上,

且點。到平面PAC的距離為也，則()

2

A.該圓錐的體積為3兀B.直線0P與平面PAC所成的角為45°

C.二面角P—AC—o為45°D.直線上4與5C所成的角為60°

【答案】BCD

【解析】

【分析】取線段AC的中點M，連接PW，過。作ON,0垂足為N,可證明ON上面PAC,即

可得卯=交，對于A：求出底面圓半徑，然后用圓錐的體積公式求解；對于B：直線。尸與平面PAC

2

所成的角為NO/W,在直角三角形OPN中求解即可；對于C：二面角尸一AC—O的平面角為NPMO,

在直角三角形中求解即可；對于D：取線段PC的中點。，連接。航,。0DM,DO,OM,直線

E4與所成的角為N0MO或其補角，求出0Mo的三邊，然后利用余弦定理求解.

【詳解】取線段AC的中點M,連接PW，過。作ON,0垂足為N,

又OMcPM=M,面PM。，

所以AC上面又ONu面PMO,

所以ACLON,又ONLPM,且ACPM=M,AC,PMu面PAC,

所以ON，面PAC,所以線段QV的長為點。到平面PAC的距離，

即0N=",

對于A：在等腰三角形APB中，NAPO=60，PA=2,

所以尸O=2cos60=l,AO=2sin60=也,

所以該圓錐的體積為:義兀＞＜（6『＞＜1=兀，A錯誤；

對于B：由ON，面上4C可得直線0尸與平面PAC所成的角為ZOPN,

在直角三角形OPN中，sinZOP^=—＞所以NOPN=45°,B正確；

OP2

對于C：由AC上面巴川可得二面角P—AC—O的平面角為/加0,

在直角三角形中，cosZPMO=cosZPON^—=^,所以/?00=45°,C正確;

0P2

對于D：取線段尸。的中點。，連接DM,。。DM,DO,OM,

明顯有3C〃OM,AP〃必），

則直線與BC所成的角為NOMO或其補角，

因為NPW=45°,則OM=O尸=1,PM=血，

在直角三角形POC中，。。=工尸。=1,

2

在直角三角形尸MC中，MD=-PC=1,

2

MD?+MO?-DO。1+1-11

在LDMO中,cosZDMO=

2MDM0―_2-2

所以/DMO=60°,D正確.

P

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量a=(l,x,2),=(2,2,0),c=(-l,0,2),若a,反c共面，貝！］x=.

【答案】2

【解析】

【分析】由題意a=/U?+〃c,解方程組即可得解.

22—ju=1

【詳解】由題意設a=XZ7+〃c,所以12/l=x,解得;l=〃=l,x=2.

2〃=2

故答案為：2.

14已知數列{a“},對\/m,“eN都有Um+Un=,且4=1,則出+%++=

【答案1n2+n

【解析】

【分析】分析題意，構造等差數列，求其前〃項和即可.

【詳解】令〃2=1，可得4+1-4=q=1,

故｛可｝是以1為首項，1為公差的等差數列，則4=1+n—1=",故%,=2〃=2,

d+i=2〃+2,%-2=2,4=2’

故｛么｝是以2為首項，2為公差的等差數列，

設耳前〃項和為%則出+&++/=4+=+〃.

故答案為：n2+n

15.已知圓(龍-ay+y2=32上恰有三個點到直線x—y—2=0距離等于2&，則實數。的一個取值為

【答案】6或—2其中一個

【解析】

【分析】根據圓的幾何性質以及點到直線的距離公式求得正確答案.

【詳解】圓(》-4+>2=32的圓心為(a,0),半徑r=4后，

由于圓上恰有三個點到直線x-y-2=0的距離等于2a，

所以(a,0)到直線x—y—2=。的距離等于2夜，

即=2夜，解得。=6或。=-2.

V2

故答案為：6或-2其中一個

22

16.已知A,8分別為橢圓C：土+匕=1的左、右頂點，尸為橢圓C上異于A,B的點，若直線Q4,

94

P3與直線x=6交于N兩點，貝葉加用的最小值為.

【答案】473

【解析】

4

【分析】根據題意可知直線E4和直線尸3的斜率存在，且斜率之積為即屋左依=-§，設出兩直線方程解

出M,N兩點坐標，即可得|肱V|的表達式，利用基本不等式即可求出其最小值.

【詳解】如下圖所示：

22

設？(%,%),則￡+?=1,易知4(—3,0),5(3,0),直線和直線PB的斜率存在,

且斜率之積為kPA?怎8==一:?

%Q+3XQ—3%Q—99

設直線的方程為丁=左（1+3）,則M（6,9Z）,

4x-3),則N6,一,

直線PB的方程為y=

9k

所以|MN|=9左+(

=|9A;I+-；—7>2/|9A;|■■；—:=4出.

11|3^|V”3H

當且僅當|94|=百，即左=±孚時，等號成立，故|4例的最小值為46.

9

故答案為：46

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.已知等比數列｛4｝的前幾項和為公比4=2,$3=14.

（1）設（nqqq4T,/，求】；

74Q”

（2）設求數列也,｝的前幾項和4.

【答案】（1）丁=22

1

(2)4=1-2用_]

【解析】

【分析】（1）根據等比數列前n項和求出％,再結合指數運算律計算即可;

（2）應用裂項相消結合指數運算律即可求和.

【小問1詳解】

由題意知,喑工14,

解得％=2,

所以%=2",

彳匚]5+1”

所以T=2ix22x23xx2n=2^~=2丁

【小問2詳解】

six：：")=2(2—1),

1—2

44_2?_11

,n+1--+1

SnS?+i~(2'-l)(2-l)2"-l2"-l'

_J_____1_____1_____1_11

4-^122-l+22-l23-l++2"-l2,,+1-1

18.如圖，在三棱柱ABC-ABJG中，側面A4]B]3和55]GC為正方形，AB=4,AC=472>E,F

分別為AC,4片的中點.

(1)求直線AG與所所成角的余弦值；

(2)求直線AG與平面ABG所成角的大小.

【答案】(1)叵

15

(2)30°

【解析】

【分析】(1)先得到A3，BBI，兩兩垂直，然后建立空間直角坐標系，利用空間向量法求解線線角;

(2)利用空間向量法求解線面角.

【小問1詳解】

證明：因為側面A41AB和為正方形，

所以BC=AB=BB[=4,AB1BBy,BBJBC,

又AC=4A歷，所以A32+5C2=AC?，可得

所以A3,BBl,兩兩垂直，

以8為原點，BC,BA>6用的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標系.

則E(2,2,0),F(0,2,4),A(0,4,0),C/4,0,4),4(0,4,4)

所以E/=(—2,0,4),AC；=(4,—4,4),

所以AC「EP=-8+16=8,|EF|=^/4+16=2A/5,|AC1|=J16+16+16=48

可得cos(EF,AC,\=—―產=—，

\/275x47315

所以直線CD與所所成角的余弦值為叵；

15

【小問2詳解】

BA=(0,4,0),BCX=(4,0,4),4G=(4，一4,0)，

設平面ABCX的一個法向量為n=(x,y,z),

4y=0

則“二c，令z=l，可得”=(—1,0,1),

設直線AG與平面ABG所成角為。，

則sin6=

2

所以直線AQ與平面ABC,所成角的大小為30°.

19.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為尸，過點尸的直線與圓V+(y—2『=3相切于點且

\MF\^y/2.

(1)求P；

(2)若點A3在拋物線C上，且線段A3的中點為(1」)，求|AB|.

【答案】(1)2(2)V15

【解析】

【分析】⑴由題意得歹［goj,設圓心。，由己知有口求解即可得出答案；

（2）直線A3的斜率存在，設4（%,%）,5（々，%），方法一：利用直線與拋物線方程聯立，利用中點

坐標公式、韋達定理，及弦長公式計算即可得出答案；方法二：利用點差法計算，即可得出答案.

【小問1詳解】

由題意知，拋物線的焦點pq,。

圓爐+“一2產=也的圓心設為0（0,2）,半徑廠=6，

貝|」3+2=（?+4,

又。＞0,可得夕=2.

【小問2詳解】

法一：由題意知，直線A3存在斜率，設A3的方程為y-l=Mx-1）,

A6(%,%)，

y1=4x

由《；7/?可得62_4y+4-4左=0,

y_]=Z(%—1)

4

所以A=16(左之—左+1)>0,%+%=——9

k

因為線段A5的中點為(11)，

所以貴手=1,

2

4

即一=2,所以左=2,

k

所以X,%=-2，

所以

法二：設4（王，%），B（x2,y2）,

由”“I,可得（%-%）（%+%）=4（々一為），

也=4%

為一口4

即一-二------

%2一%%+%

因為線段A3的中點為(U)，

所以X+乃_],司+/,],

22

所以二乜

由%i+x2=],由>2=4%，可得：%：%=2,所以+=2,所以％?%=-2,

所以|AB|=J(l+；)x(4+8)=715.

20.如圖，已知正方形A3CD與矩形ACEb所在的平面互相垂直，AB=AF=2>M,N分別為BF，

ER的中點.

(1)證明：MN//平面AOF；

(2)求二面角C—BN—。的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；

⑵①

5

【解析】

【分析】(1)構造與平面E4。平行的平面QMN,通過證明面面平行從而證明線面平行；

(2)以A為坐標原點建立空間直角坐標系，求得平面CBN.BND的法向量，再求二面角的余弦值即可.

【小問1詳解】

設AC與5D相交于點Q,連接MQ,NQ,

因為A3CD為正方形，所以。為6D的中點,

N

因為M,N分別為BF，EF的中點,

故MQ〃陽,MQ<Z面A￡>尸，EDu面AD尸，故MQ〃面AD尸;

又NQ〃E4,NQ<Z面AD尸，E4u面AD尸，故NQ〃面AD產;

又MQcNQ=Q,MQ,NQu面MNQ,故平面MNQ〃面ADF；

又MNu面MNQ,故MN〃面AD尸.

【小問2詳解】

因為四邊形ACER是矩形，所以E4LAC,

又面ABCD面ACEb=AC,E4u面ACW,面ABCD1面ACEF,

所以E4L平面A3CD,可得E4LA5，FA±AD,

以A為原點，AB，A￡>,AF的方向分別為了軸、y軸、z軸正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標系.

因為NQ〃Ab,所以NQL平面A3CD,ACu面ABCD,所以NQLAC,

因為正方形A3CD,所以5DJ.AC,又NQBD=Q,NQ,BDu面NBD,所以AC,平面NBD,

所以AC=（2,2,0）為平面NBD的一個法向量

由題意知，3(2,0,0),C(2,2,0),E(2,2,2),F(0,0,2),N(l,l,2),

所以BC=(O,2,O),BN=(—1,1,2),

設平面NBC的一個法向量為n=(x,y,z),

則Lf2+y=y0+2z=。’令z=l,可得I，故〃=(2,。,1),

4

所以cos<AC,〃>=

2行x百3

所以二面角C—BN—。的余弦值為亞.

5

21.甲、乙兩家企業同時投入生產，第1年的利潤都為。萬元(。>0),由于生產管理方式不同，甲企業

前〃年的總利潤為(1-2〃+2)a萬元，乙企業第九年的利潤比前一年的利潤多彳廣9萬元，設甲、乙

兩家企業第〃年的利潤分別為a?萬元，b?萬元.

(1)求華,,%；

(2)當其中某一家企業的年利潤不足另一家企業同年的年利潤的25%時，該家企業將被另一家企業兼并

收購.判斷哪一家企業有可能被兼并收購，如果有這種情況，出現在第幾年.

fa,n=l「(2丫「「

［答案］(1)4=C八年=3—2彳a

\2n-3)a,n>2(3J

(2)在第8年甲企業兼并收購乙企業

【解析】

【分析】(1)根據前n項和公式求通項結合累加計算即可；

(2)根據數列的單調性判斷即可.

【小問1詳解】

當時，

2

an=^n-2n+2^a--2(n-l)+2a=(2〃-3)a,

所以、，

［2n-3)a.n>2

由題意知，bn—bn-=《)〃—％(H>2),

所以

相加得a=a(n>2),

當〃=1時也滿足上式，所以a二a.

【小問2詳解】

當〃=2時，a2=a,/72=—ci,可得1人2=%，

因此當〃=1或2時，不可能出現兼并收購的情況，

當〃23時，a”三3a,bn<3a,所以%>為,

由題意知，甲企業可能兼并收購乙企業，

如果出現兼并收購的情況，n必滿足工>bn,

4

由J(2〃-3)a>[3-24)"T]a,化簡得正生仁]<1,

4312

令"胃"

當〃28時，f(n)<Q,所以滿足

15—2“3丫17—2〃(3丫T_1,3丫t

/(?)-/(?-1)12uJ「⑸-24uJ(n-2"),

當4V〃W5時，/(?)-/(M-1)>0,即/(〃)>/(八一1),

QI

所以〃5)>〃4)>/(3)=啦>1,

當“26時，/(?)-/(77-1)<0,即/(n)</("一1),

/(6)>/(7)=f|>L

綜上可知，當時，15-2“.<i,

所以在第8年甲企業兼并收購乙企業.

22.已知橢圓C：，+i=l(a>6>0)的離心率為乎，點［在C上.

(1)求C的方程；

(2)若A為C的右頂點，點尸，。在。上，直線AP與AQ的斜率之和為-工，AMLPQ,