第52講立體幾何中的軌跡問題

知識梳理

立體幾何中的軌跡問題常用的五種方法總結：

1、定義法

2、交軌法

3、幾何法

4、坐標法

5、向量法

必考題型全歸納

題型一：由動點保持平行求軌跡

例1.（2024?貴州銅仁?高二貴州省銅仁第一中學校考開學考試）設正方體/3CD-4耳G2的

棱長為1,點￡是棱4片的中點，點M在正方體的表面上運動，則下列命題：

①如果則點〃的軌跡所圍成圖形的面積為也；

2

②如果用加〃平面NEC一則點M的軌跡所圍成圖形的周長為遺；

2

③如果EN〃平面。片瓦入則點M的軌跡所圍成圖形的周長為2+應；

④如果9,3。，則點M的軌跡所圍成圖形的面積為述.

4

其中正確的命題個數為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】由42,面44區4,而N4u面區4,則42，工耳，又ABiLBA〉

又4，n34=4，42,34u面B42，則NBJ面B/Q,

1

由501U面842，則同理/C_LBD1,

ABl^AC=A,/q,/Cu面4c4，貝ijADj面/C區,

所以2Di垂直于面4C4所有直線，且/e面4c4，

若AM工BR,則河在邊長為0的正△ZC4的邊上,

故軌跡圖形面積為gx(0)2xsin60°=#,①對;

若尸,G分別為CD,48中點，連接AF,FCX,BtG,GC,CB「

由正方體的性質易得AEIIB.GIIFC,,AE=BtG=FCX,

所以4瓦。,尸共面，且/EC尸為平行四邊形，故面NEG即為面NEC/,

由/Eu面4&G尸，々GO面/EC1尸，則片G//面/EC/，

同理可得CG〃面/EC尸，BXG^CG=G,耳G,CGu面^CG,

所以面耳CG//面/EC/,要使用0〃平面/￡￡,則M在△&CG的邊上,

所以軌跡長為a+2x@=O+?,②錯；

2

若G,/”分別為的中點，連接EG,GI,U,JE,顯然EG//IJ,

所以共面，即用G/JE面EG7J,

由EG/IBB1,EG.面D[B]BD,BB、u面DRiBD,則EG//面。4助，

又IGIIBD,同理可得/G//面5。，EG^IG=G,EGJGu面EGU,

2

所以面〃4助//面EG/J,故面EG。內任意直線都與面。耳助平行,

要使〃平面。為8。，則M在四邊形EG7J的邊上運動，

止匕時軌跡長為2x變+2x1=血+2,③對；

2

若瓦/,K,Z,N分別是,4風出。,CG,CD的中點，并依次連接，

易知ENLKIH為正六邊形,顯然ENHIKHAC,

由E〃(Z面4CB[,48]U面/eq,貝|￡77//面4c4，同理可得EN//面/Cq,

EHCEN=E,EH,ENu面ENLKIH,所以面EWLK7H〃面,

由3,_L面ACBt,則BD\±面ENLKIH,故BDt垂直于面ENLKIH所有直線,

要使EN1BD、,則M在邊長為變的正六邊形ENLKIH邊上運動，

2

所以軌跡圖形面積為6>4X(1)2x1=這，④對；

2224

故選：C

例2.(2024?遼寧沈陽?高一沈陽二十中校聯考期末)在棱長為1的正方體。中，

E在棱。。上且滿足〃E=EZ),點/是側面/8月4上的動點，且〃面NEC,則動點/

在側面/上的軌跡長度為.

【答案】立

2

【解析】如圖，取的中點G,并連接G。、GB、BD、,

3

因為￡在棱上且滿足DXE=ED,即E是棱DDX的中點,

所以3G//CE,又BGcZ平面/EC,CEu平面/EC,

所以8G//平面AEC,同理可證QG〃平面/EC,

又BGCGD、=G,所以平面〃平面NEC,又BGu平面3GR,

所以8G//平面HEC,所以動點廠在側面上的軌跡即為BG,

因為正方體的棱長為1,由勾股定理有：BG7B#+AG=旦.

2

例3.（2024?福建福州?高一福建省福州屏東中學校考期末）如圖所示，在棱長為2的正方體

N3CD-44GA中，E,F,G分別為所在棱的中點，尸為平面BCC4內（包括邊界）一動

點，且2P〃平面EFG,則尸點的軌跡長度為

【解析】因為4A〃BC，則41,四點共面，

連接CA43，

因為￡,9分別為所在棱的中點，則E尸〃48,

且u平面FGE,4B（Z平面FGE,所以〃平面FGE,

因為RG分別為所在棱的中點，則尸G〃4。，

4

且尸Gu平面尸GE,平面尸GE,所以4A〃平面尸GE,

AtBH4。=4,AXB,gu平面A,BCD,,

所以平面尸GE〃平面&BCD,,且平面BCG；4n平面48CA=3C,

可得當且僅當點P在棱8C上時，即D]Pu平面48CA，滿足2尸〃平面EFG,

所以點尸的軌跡為線段3C,長度為2.

故答案為：2.

變式1.（2024?四川成都?高一成都市錦江區嘉祥外國語高級中學校考期末）如圖，在正三棱

柱/8C-44G中，加…,D,E分別為/C的中點.若側面BBCC的中心為。,

M為側面44CC內的一個動點，Q欣//平面3￡）￡,且M的軌跡長度為3也，則三棱柱

ABC-A'BG的表面積為.

【答案】48+86/86+48

【解析】

5

連接交4c于/,取GE的中點尸，過尸作“G//4C,

分別交eq,4G于〃,G,連接HG,OG,OF,OH,BQ,

易得OF!IBE,HG//DE,

因為O￡〃G<z平面BED,BE,DEu平面BED,所以。尸〃平面BED,

HG〃平面BED,因為。尸cHG=尸，且都在面。HG內，所以平面OHG//平面BED,

所以M的軌跡為線段加，

因為ACE/~A4￡/,所以等=洋=2,.?.孑=4=：，

f-jlCCC/J14二口T-

31

HGC.F3

因為AC|“G~AGC4,所以77=U7=彳，

C/2T.|C11'

所以C4=g〃G=4V^,.〔AB=A4二3°4=4，

故三棱柱48。-4月￡的表面積為2x1x4x4x#+3x4x4=48+8/i

22

故答案為：48+873.

變式2.（2024?江蘇揚州?高二統考期中）如圖，正方體力BCD-44G2的棱長為2,點￡是

線段的中點，點M是正方形80CG所在平面內一動點，若AM//平面4BE,則M點

軌跡在正方形BMG內的長度為.

6

【答案】V5

【解析】取8呂的中點尸，連接CP,PA，CA，如圖所示:

因為CR//4B,CRa平面4臺￡,4Bu平面4BE,所以CQ〃平面/①1

因為CPHAXE,CPE平面4BE,4Eu平面AXBE,所以CP〃平面AXBE.

又因為CP,CQu平面。尸，，CP^CDX=C,

所以平面CPDJI平面A.BE.

因為〃平面48E,Me平面43CG，

所以M點在平面gBCG的軌跡為CP.

所以CP=J1+2?=5

故答案為：舊

變式3.（2024?江蘇泰州?高二泰州中學校考階段練習）正方體/BCD-4耳的棱長為3,

點E,尸分別在線段和線段回上，且AE=2ED,/尸=2%,點M是正方形gBCq

所在平面內一動點，若//平面FBE,則M點的軌跡在正方形BXBCCX內的長度為.

【答案】Vio

【解析】

7

A

如圖，在8月上取點我，使得2戶=；5月，在CG上取點G,使得CG=：CG，連接

.J。

FH,EG,HG,D\H,D】G,

根據正方體的性質可知，AAJIBBX,AAi=BB-

由已知可得，AiF=^AF=^AAl,

又B[H=；BB\,所以&H=；BBi=；44=4F.

又耳〃//4尸，所以，四邊形"碼4為平行四邊形，

所以，FHHAR,且FH=44.

同理可得，EG//CD,S.EGCD,EBIIDXH.

根據正方體的性質可知，CD//44,且C。=44，

所以，FHHEG,且FH=EG,

所以，四邊形EEG"是平行四邊形，

所以，HG//EF.

因為“Gz平面FSE,跖u平面必E,所以"G〃平面必￡.

同理可得，〃平面FBE.

因為HGu平面2〃G,平面RHCHG=H,

8

所以，平面G//平面尸BE.

又平面D、HGA平面B\BCC[=HG,

所以，根據面面平行的性質定理可知，只有“在線段加上運動時，滿足條件.

過點〃作垂足為

易知HL=BC=3,且/a_LZG,LG=GCX-LCX=1,

所以，HG7HE+LG?=5.

故答案為：回.

變式4.（2024?全國?高三專題練習）在邊長為2的正方體中，點M是該正

方體表面及其內部的一動點，且W〃平面4。。，則動點M的軌跡所形成區域的面積

是.

AG

【答案】2G

【解析】如圖，邊長為2的正方體/BCD-中,

DiG

動點M滿足8A///平面AD,C,

由面面平行的性質得：當9始終在一個與平面平行的面內，即滿足題意,

連接48,BG，4G，

因為ABHCXDX且N3=CQ],所以四邊形ABC{DX為平行四邊形，

9

所以ADJIBC,,同理A.BHD.C,

又平面4BG，8C|U平面4BG，所以/，〃平面&8G，

因為2c0平面&BG，48u平面42G，所以￡>c〃平面48G，

又因cDXC=Dl,AQ,D[Cu平面ADtC,

所以平面A\BC\H平面ADtC,

又Be平面4BG，所以動點”的軌跡所形成區域為V43G，

A[B=BCX—4G=25/2,

S.Kr=-X2A/2X—x2V2=2<5,

△ZljZJC]22

所以動點M的軌跡所形成區域的面積是2百.

故答案為：2后.

變式5.（2024?全國?高三專題練習）如圖，已知正方體MCD-44GA的棱長為2,Er分

別是棱44,4〃的中點，點尸為底面四邊形N3CD內（包括邊界）的一動點，若直線2尸與

平面BEF無公共點，則點尸在四邊形ABCD內運動所形成軌跡的長度為.

【答案】45

【解析】取3c的中點G,連接NG,。。,/。，如圖所示：

瓦廠分別是棱自、42的中點，所以EF〃皿，

又因為跖u平面麻戶,皿U平面尸，所以〃平面8￡7工

因為世〃BG,FD[=BG,

所以四邊形EBG2為平行四邊形，所以FB〃GR.

10

又因為尸8u平面BEF,GD{<Z平面BEF,所以Gj〃平面BEF.

因為GOn/Q=A，所以平面NAG〃平面3跖.

因為點尸為底面四邊形MCD內（包括邊界）的一動點，直線2尸與平面8跖無公共點,

所以尸的軌跡為線段ZG,則"3+12=6.

F.

AZ

\/

——安

故答案為：石.

變式6.（2024?全國?高三專題練習）如圖所示，正方體MCD-4月GA的棱長為2,￡、尸分

別為74，43的中點，點P是正方體表面上的動點，若G尸〃平面尸，則點尸在正方

體表面上運動所形成的軌跡長度為.

A--------------------------

FB

【答案】V2+2V5/2V5+V2

【解析】取8片的中點G,4片的中點〃，連結GH,C、G,CXH,4及EG,HF.正方體

/BCD-44G。的棱長為2.E,F,G,H為中點、,所以EF〃A〔B,GH〃4B,

所以EF〃GH旦EF=GH=6.

因為尸,X為分別為的中點,

11

所以FH〃Cq,且FH=CG，所以四邊形FNCC為平行四邊形,

所以HG〃B.

因為面CDXEF,CFu面。口￡尸，

所以〃G〃面CAE尸.

同理可證：HG"面CD、EF.

又GHcHC、=H,HQu面CfiH,G〃u面CXGH,

所以面GHG〃面CjE尸.

所以尸點在正方體表面上運動所形成的軌跡為三角形.

因為正方體的棱長為2,所以=GQ=也2+F=石,

所以三角形C]〃G的周長為Ga+〃G+GG=后+店+店=行+2道.

故答案為：72+275.

4

E

A

變式7.（2024?全國?高三專題練習）已知棱長為3的正四面體48c0,E為/。的中點，動

點尸滿足P/=2PD,平面a經過點。，且平面a〃平面3CE,則平面a截點尸的軌跡所形

成的圖形的周長為.

【答案】2岳

【解析】設△BCD的外心為O,3c的中點為尸，過。作3C的平行線，則以。為坐標原點,

可建立如圖所示空間直角坐標系，

12

ZJ

?.?ABC。為等邊三角形，BC=3,:.OD=^DF=^3,；.OA=R,

.-.^(0,0,76),D(0,A/3,0),小-洌,

21_2

設尸(x,y,z),由尸Z=2尸0得：X2+J2+(Z->/6)=4/+卜一e)+z2

z+亨

整理可得：x2++4,

??.動點P的軌跡是以G0,十,-彳為球心，2為半徑的球；

I3JJ

延長到點使得=AF=FQ,AC=CN,

則CE//QN,BEIIMD,又DN,MDu平面MND,CE,BEu平面MND,

.?.C￡〃平面“人。，BE〃平面MND,由。￡03￡=/，CE,BEu平面BCE,

「?平面5CE〃平面M7VD,即平面M2VD為平面。，

則點G到平面的距離d即為點G到直線。。的距離，

,：DG=0,——,——,=（。,一2百,一指），,Z）G?DQ=—2+2=0,即Z）G_LZ）0,

點G到直線DQ的距離1=|方同=1,

截面圓的半徑廠=722-12=5：?球被平面C截得的截面圓周長為2s=2后,

即平面a截點P的軌跡所形成的圖形的周長為2岳.

故答案為：2粗兀.

題型二：由動點保持垂直求軌跡

例4.（2024?湖南株洲?高三株洲二中校考階段練習）在棱長為4的正方體中,

13

點尸、。分別是3。，Bg的中點，點M為正方體表面上一動點，若〃尸與C。垂直，則點

M所構成的軌跡的周長為.

【答案】8+4石

【解析】如圖，只需過點尸作直線的垂面即可，垂面與正方體表面的交線即為動點M

的軌跡.

分別取CG，的中點r，S,

由tan/C10C=tanNBRC=2,知=易知C0_L砂，

又CQ_L/8,ABP[BR=B,4B,BRu平面4BRS,

所以CQ_L平面48RS,

過尸作平面/3RS的平行平面7"?向,點M的軌跡為四邊形穴及4,

其周長與四邊形/2RS的周長相等，

其中/3=7?S=4,BR=AS￡#+2?=2亞，

所以點M所構成的軌跡的周長為2x4+2x26=8+4”.

故答案為：8+46

例5.（2024?湖南長沙?長郡中學校考二模）在正四棱柱/BCD-44GA中，

AB=1,AA1=4,￡為。A中點，P為正四棱柱表面上一點，且弓尸±BXE,則點尸的軌

跡的長為.

【答案】V5+V2/V2+V5

【解析】如圖，連接"D1,4G，由題可知，4G，4。，石2,平面44GA.

因4Gu平面481G2，則EQ14G.

14

又用Qu平面樂B，ED]U平EBR,ERCBR=?,則，平面￡8..又名￡u平

面￡耳2,則C/±B、E；

如圖，過E做。G平行線，交CG于尸，則歹為CG中點.連接所，BXF,

過C1做與尸垂線，交BB、于G.

由題可得，平面8CC內，又EF〃D、G，則跖工平面BCC".

因Cfiu平面BCCXBX,則C]G±EF.

又烏尸u平面片FE,FEu平面4尸￡,FECB、F=F,則平面片尸￡.

因BXEu平面BXFE,則Cfi±BtE；

因C|Gu平面CO4,￡4u平面C]G4,￡4CGG=q,則耳E，平面co4.

連接4G,則點P軌跡為平面0G4與四棱柱的交線，即△4GG.

注意到NB￡G+ZGCjF=ZGQF+nNB￡G=NBg,

則點p的軌跡的長為4G+cfi+=2.+；+也=石+也.

故答案為：V5+V2.

例6.（2024?全國?唐山市第十一中學校考模擬預測）已知N為正方體力BCD-44G2的內

切球球面上的動點，M為3c的中點，DNLMB,若動點N的軌跡長度為應所，則正方

體的體積是.

【答案】64

【解析】如圖所示:

正方體488-48][01,設48=2°,則內切球的半徑尺=。,

其中M為4G的中點，取34的中點連接CH,

則有：CHYMB,DCVMB,

所以平面DCH,

所以動點N的軌跡是平面。CH截內切球。的交線,

即平面DCHG截內切球0的交線，

因為正方體ABCD—44，AB=2a,

如圖所示：

連接OD,OG,O〃,則有0G==且。GLOH,

GH=2a,GD=45a^.GH1GD,

設。到平面。SG的距離為：d,

16

則在三棱錐。-OGH中，有%_GDHOGH，

所以、J_xG//xGZ)xd=WOGXOGXQ,

3232

BP—x—xx45axd=—x—x-J2ax41axa,

3232

解得：d=----a，

5

截面圓的半徑/=一/=停0,

所以動點N的軌跡長度為：。=2仃=退。，

5

即±/瓦=跡E,解得。=2,

55

所以48=4,正方體的體積：%=夕=64，

故答案為：64.

變式8.（2024?全國?高三專題練習）已知直三棱柱/3C-/4G的所有棱長均為4,空間內

的點〃滿足也，陽，且則滿足條件的〃所形成曲線的軌跡的長度為.

［答案］生@/逑萬

【解析】設刊的中點為M,3G的中點為N,易知MN=26,

因為HA_LH4,,且HBLHG，所以7/點在以叫，8G為直徑的球上,

球心分別為W,N,半徑分別為r=M4=2,R=NB=2叵，即3=2,HN=26，

又MN=2出,所以HM°+HN°=MN°,即

因為兩球的交線為圓，所以“點軌跡是以7為圓心，以打為半徑的圓,

所以軌跡長度為27rx婭=也.

33

17

故答案為：巫.

3

變式9.（2024?四川成者B?三模）如圖，45為圓柱下底面圓。的直徑，。是下底面圓周上一

JT_

點，已知乙4OC=§,OA=2,圓柱的高為5.若點。在圓柱表面上運動，且滿足反.麗=0,

則點D的軌跡所圍成圖形的面積為.

【答案】10

【解析】作母線CE,AF,連接￡尸，

因為“尸〃CE,所以4F,CE共面，/CEF是圓柱的一個截面，

EC_L平面43C,3Cu平面4BC,所以EC_L8C,

又由已知得/C/8C,而/CnCE=C,/C,CEu平面/CE尸，

所以8C1平面NCE7"

由瑟?麗=0得CDL3C,所以。u平面/CEF,

矩形NCE/即為。點軌跡，

7T

ZAOC=~,貝!]/C=O/=2,又CE=5,

所以矩形/CEF的面積為2x5=10.

故答案為：10.

尸不二

，------0

c'

變式10.（2024?全國?高三專題練習）如圖，為圓柱下底面圓。的直徑，C是下底面圓

JT

周上一點，已知=圓柱的高為5.若點。在圓柱表面上運動，且滿足

18

BC^AD,則點。的軌跡所圍成圖形的面積為

&一一于8

C

【答案】10

【解析】因為N3是圓柱下底面圓。的直徑，所以8C1AC,

又BCL4D,AC^AD=A,/C,/Du平面/CD,所以3c工平面/CD,

設過A的母線與上底面的交點為E,過C的母線與上底面的交點為尸，連EF,CF,AC,

E'F二

:D

41二七…少B

C

因為4E_L平面4BC,3Cu平面43C,所以NE13C,

因為/En/C=/,/E,/Cu平面/CE,所以5cl平面/CE,

所以點。在平面NCE內，又點。在圓柱的表面，所以點。的軌跡是矩形/EFC,

TT

依題意得AE=5,OA=OC=2,ZAOC=~,所以NC=2,

所以矩形/EFC的面積為5x2=10.

故點。的軌跡所圍成圖形的面積為10.

故答案為：10.

變式11.（2024?浙江寧波?高一慈溪中學校聯考期末）如圖，在直三棱柱NBC-44G中，

BC=CC、=3,4c=4,ACIBC,動點P在△44G內（包括邊界上），且始終滿足8尸，481,

則動點P的軌跡長度是.

19

G

"H

AB

12

【答案】y

【解析】在直三棱柱ABC-4AG中，8可，平面NBC,

因為NCu平面/3C,所以，AC±BBX,

又因為NC13C,BCCBB*,BC、Bgu平面班Q。，

所以，/。，平面8呂。。，

因為BGu平面BBCC，所以，BCJAC,

因為8月〃CG，BBi=CC、=BC,則四邊形BqGC為菱形，所以，BCJBK，

又因為/Cc4C=C,AC,SCu平面/BC，所以，3C]_L平面/3C，

因為4B1U平面/gC,所以，BCX±ABX.

在平面43c內，過點q作月，垂足為點H,

因為8月，平面為8?,平面48?,則百，

因為4耳，BB}^AXBX=BX,BB\、44u平面及4兄

所以，平面448田，

因為4B|U平面①，貝ijagJC",

因為BGnG〃=C1,BC、、平面所以，4月1平面8。戶,

由于動點尸又在△48G內，所以動點尸在平面4片G與平面3。”的交線上,

20

因為4c]=4C=4,BG=BC=3,AXC{LB,CX,

C2C222

所以，4Bx=741+A1=A/4+3=5,

_「小〃

4GB1e14x312

由等面積法可得C1H=1=丫=—,

A]B[55

因此，動點尸的軌跡長度是q12.

12

故答案為：y.

變式12.（2024?山東棗莊?高一統考期末）M,N分別是棱長為1的正方體/3CD-4耳GA

的棱CG，4分的中點，點P在正方體的表面上運動，總有〃尸，8N,則點尸的軌跡所圍成

圖形的面積為.

【答案】/

【解析】取臺片中點G,連接DW,MG,GN,謖AGeBN=F,

則A?]=GB,ZNBtB=ZGBA=90°,BXB=BA,

所以ANB[B二/\GBA,

所以/NBB]=NGAB,

因為N尸G5+/G4B=90°,

21

所以ZFGB+/NBB、=90°,

所以/GFB=90。，即NG_L3N,

因為正方體ABCD-/4G。中40_L面,BNu面AA^B,

所以4DL8N,

因為AD,/Gu面ZDMG,AD^\AG=A,

所以3"_1面40兒心，

因為正方體力3c0-44中40,面幺48田，/Gu面44田田,

所以NDL/G,

所以點P的軌跡為矩形ADMG,

在直角AABG中AG=AB2+BG2=.11+—=,

V42

所以矩形40MG面積為=@xl=1.

22

即點P的軌跡所圍成圖形的面積為在.

2

故答案為：見

2

變式13.（2024?四川廣元?高二廣元中學校考期中）如圖，45為圓柱下底面圓。的直徑，C

__TT

是下底面圓周上一點，己知N/OC=彳，OA=2,圓柱的高為5.若點。在圓柱表面上運動,

2

且滿足則點。的軌跡所圍成圖形的面積為.

C

22

【答案】1072

【解析】因為48是圓柱下底面圓。的直徑，

所以8C1AC,

又BC14D,ACdAD=A,AC,平面/CD,

所以3C工平面/CD,

設過工的母線與上底面的交點為E,過C的母線與上底面的交點為尸，連EF,CF,AC,

則四邊形/EFC為矩形，

因為/E_L平面4BC,BCu平面/3C,

所以NE_LBC,

因為=AE,/Cu平面/CFE,

所以3cl平面ZCbE,

所以點D在平面ACFE內，

又點。在圓柱的表面，

所以點。的軌跡所圍成圖形是矩形NEFC,

TT

依題意得/E=5,OA=OC=2,ZAOC=~,

2

所以NC=2&，

所以矩形/EFC的面積為5x2收=10后，

故點。的軌跡所圍成圖形的面積為10行.

故答案為：10底.

變式14.（2024?陜西榆林?高二校考階段練習）如圖，正方體/BCD-44的棱長為2,

點M是棱3G的中點，點尸是正方體表面上的動點.若DMLCf,則尸點在正方體表面上

運動所形成的軌跡的長度為（）

23

A.V2+V5B.2A/2+A/5

C.V2+2V5D.2V2+2V5

【答案】C

【解析】取8月的中點G,44的中點H，連接￡"、GH、GG、D\M、CM,

設如下圖所示.

因為四邊形44G2是正方形，又點M是棱4a的中點，點”是44的中點,

則耳G=C2，BIH=C[M,NCJBIH=NDgM=90。,

所以，RtA^CjT/^RtAqDjM,所以，NBgH=NCRM,

所以,NCiMR+NB￡H=ACXMD{+NCJ\M=90°,

所以，ZCjOM=90°,即*G_L2W.

在正方體ABCD-44GA中，DDt1平面44G2,

又CXHu平面4B￡R,所以。2，CXH,

又皿門。幽=口,DI、平面所以C"，平面。

又M)u平面DjM,所以同理可得，CfiVMD,

又GGcG〃=G，GG、平面GG〃，所以，DM1平面GG〃.

24

所以尸點在正方體表面上運動所形成的軌跡為0GH的三邊，

因為正方體力4的棱長為2,

由勾股定理可得＜a=JBC+4H2=也2+仔=石,同理可得C]G=右，GH=近，

所以AGG”的周長為GH++GG=&+石+k=&+2石.

故選：C.

題型三：由動點保持等距（或定長）求軌跡

例7.（2024?貴州貴陽?高三貴陽一中校考期末）在棱長為1的正方體/BCD-4片中,

點。為側面班CC內一動點（含邊界），若20=與，則點。的軌跡長度為.

JT

【答案】—1兀

44

【解析】由題意，。在面33。。的軌跡是以。為圓心，半徑為g的四分之一圓弧，

兀

所以軌跡長度為1;x2無x1；=；.

424

故答案為：?

4

例8.（2024?湖北武漢?高一湖北省水果湖高級中學校聯考期末）已知正方體/BCD-44GA

的棱長為3,動點尸在V/4。內，滿足=則點尸的軌跡長度為.

【答案】

【解析】在正方體48co-4用G。中，如圖，

25

4

A

。，，平面48。）,NCu平面/BCD,貝而BZ），/C,

DDtIBD=D,DDX,JB。u平面B。Dl，于是4CL平面AD。，又BRu平面BDR,

則同理而/Cc/q=/,AC,4B|U平面/BC，

因此平面/3C，令AD1交平面/3C于點￡,

=

由^B-ABtC"B、TBC，得5sA皿C=~S^ABC-BB1,

即A.（41AB^-BE=^AB3,解得BE=總AB=右，

而BDI=&B=3B于是Z）JE=2百，

因為點尸在V/4。內，滿足2尸=舊，則￡尸=心尸2_*2=收,

因此點尸的軌跡是以點E為圓心，加為半徑的圓在V/3C內的圓弧，

而V/BC為正三角形，則三棱錐。必為正三棱錐，E為正V/4。的中心，

于是正V/3C的內切圓半徑.=/4乂1義工=3*拒'1'』=逅，

123232

貝i]cos//ffiF="，即4叼=色，ZFEG=~,

263

所以圓在V/4c內的圓弧為圓周長的

即點P的軌跡長度為L2兀.血=也兀

2

故答案為：A/2TI

例9.（2024?河北邯鄲?高一大名縣第一中學校考階段練習）已知正方體48co-HB'C'O的

棱長為1,點P在該正方體的表面HB'C'。上運動，且尸/=百則點P的軌跡長度

是.

【答案】]

26

【解析】當4P=血時，如圖，點尸的軌跡是在面8CC'），CDD'C,4B'C￡>'三個面內以

7T

1為半徑，圓心角為：的三段弧，所以此時點尸點P在該正方體的表面上運動的軌

跡的長度為三7T，

2

變式15.（2024?貴州銅仁?統考模擬預測）已知正方體43co-44G2的棱長為4,點尸在

該正方體的表面上運動，且尸4=4拒，則點尸的軌跡長度是.

【解析】因為尸4=4后>4,所以點尸可能在平面4耳。自內，可能在平面3CC4內，可能

在平面。CG。內.

當點尸在平面4呂。[。內時，

由44I_L平面44GA,4Pu平面44G2，可知44]_L4尸，

所以力2=44；+4尸2,所以4尸2=尸/2_44；=（4/-42=16,

所以點尸到4的距離為4,

所以點P的軌跡為以點4為圓心，4為半徑的圓與正方形4BC。邊界及其內部的交線.

27

AG

A{---------------------Bi

TT

如上圖，耳=],44=4,

—、jr

則42的長/=5*4=2?1,

所以，當點尸在平面4耳C]。內時，點尸的軌跡長度是27t.

同理可得，當點尸在平面8CG耳內時，點P的軌跡長度也是如.

當點P在平面DCGA時，點尸的軌跡長度也是2限

綜上所述，點P的軌跡長度為271+2兀+2兀=671.

故答案為：6n.

變式16.（2024?黑龍江齊齊哈爾?統考二模）表面積為36兀的球M表面上有4,2兩點，且A/A?

為等邊三角形，空間中的動點P滿足|尸/|=2|尸邳，當點尸在AMI四所在的平面內運動時，

點尸的軌跡是；當尸在該球的球面上運動時，點尸的軌跡長度為.

【答案】圓坦叵E

13

【解析】設球的半徑為r,則4兀/=36兀，解得r=3,

在平面內，動點尸的軌跡組成一個圓，以線段所在直線為x軸，以靠近點3且長度為1

處為坐標原點，

則-2,0）,5（1,0）,此時動點P的軌跡方程為（尤-2）2+/=4,

設其圓心為。1，則在空間中，z軸和xQy坐標平面垂直，

動點P的軌跡為平面中的圓（》-2）2+產=4繞》軸旋轉一周形成球的球面，

如圖所示，

28

所以點尸的軌跡是兩個球面的交線，這兩個球分別是以M和a為球心，

在△八四Q中，結合余弦定理得到\O,M\=A/32+1-2X3X1XCOS120°=V13.

設交線所圍成的圓半徑為R則=xV^?=[x3x2,

22

解得火=處.所以交線的長度為呸叵.

1313

故答案為：圓；為叵

13

變式17.（2024,全國?高三專題練習）已知正四棱柱45co-4月。]。的體積為16,E是棱3c

的中點，P是側棱44上的動點，直線G尸交平面￡4。于點尸，，則動點p的軌跡長度的最

小值為.

【答案】正

5

【解析】如圖取的中點河，連接E/交/c于點尸，連接4G、5a交于點。，連接。尸、

BD,

3

因為￡是棱的中點，所以ME//BD,則尸為/C的四等分點且=

由正四棱柱的性質可知。且。2=3耳，所以四邊形DD內8為平行四邊形，所以

所以BR//ME,所以4、〃、M、E四點共面，

所以平面BRMEA平面4cq4=OF,

連接"G交O尸于點G,因為P是側棱上的動點，直線GP交平面協|。于點尸，，

29

所以線段0G即為點P'的軌跡,

如圖在平面Nee/中，過點尸作液，4G，交4G于點“，因為4G〃/c,

所以A/bGsACQG,所以槳=—=],所以OG='OF,

0GOG工4c25

設/D=DC=。、DD、=b,(a,6>0),

i/2

依題意/6=16,CF=C,H=OH=-AC=—a,

144

所以OF70H2+HF?

要求動點尸'的軌跡長度的最小值，即求0G的最小值，即求O尸的最小值,

因為a%=16,所以

0

所以1/+62=」、"+62=62+2=62+!+_123：62，，=3,

88bbbb\bb

當且僅當b2=',即6=1、。=4時取等號，

b

所以（0口需=6,所以（OG）1mn=與，即動點P'的軌跡長度的最小值為竽.

變式18.（2024?全國?高三專題練習）已知棱長為8的正方體/BCD-4耳G。中，平面/BCD

內一點￡滿足礪=；而，點尸為正方體表面一動點，且滿足|尸國=2近，則動點P運動的

30

軌跡周長為.

【答案