專題09解答基礎(chǔ)題型之幾何基礎(chǔ)證明

一、解答題

1.（2022春?北京朝陽?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形4BCD中，BC=CD,AADB=AC=90°,乙4=

60°,AB=2屏.求。的長.

【答案】3

【分析】求出乙480=30。，得至&，利用勾股定理求出8。，再根據(jù)20=必，得到2C?=i8,

即可求出CD.

【詳解】解：■:UDB=90。,乙4=60。，

.?280=30°,

.'.AD=--AB=y[6.

■■BD=ylAB2-AD2=J24-6=3亞，

,:BC=CD,NC=90°,

：.CD=CB,

.-.2CD2=BD2,

.?.20=18,

：.CD=3.

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，直角三角形中30。角的性質(zhì)，正確掌握勾股定理的計(jì)算方法是解題的關(guān)

鍵.

2.（2022春?北京順義?八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形/BCD和2EFC都是平行四邊形.求證四邊形/成叫

是平行四邊形.

D

BC

E

【答案】見解析

【分析】首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得AD||BC,AD=BC,BC||EF,BC=EF,進(jìn)而得出AD||EF,AD

=EF,即可判定.

【詳解】解：???四邊形ABCD和BEFC都是平行四邊形，

???ADHBC,AD=BC,BC||EF,BC=EF.

???ADIIEF,AD=EF.

???四邊形AEFD是平行四邊形.

【點(diǎn)睛】此題主要考查利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行平行四邊形的判定，熟練掌握，即可解題.

3.（2022春?北京東城?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在口43a）中，AE、C尸分別平分乙B4D、乙BCD.求證：

AE\\CF.

【答案】見解析

【分析】由四邊形488是平行四邊形，得出4DIIBC,AD=BC,^BAD=^BCD,根據(jù)/E、CF分別平分

乙BAD、乙BCD,得出證AADE三ACBF,所以乙4ED=NC尸5,即可求證.

【詳解】證明：,??四邊形N8CD是平行四邊形，

：.AD\\BC,AD=BC,^BAD=^BCD,

:.乙4DE—CBF,

???/DAE=-/BAD,/BCF=-/BCD,

22

，乙DAE—BCF,

在/中，

/ADE=ZCBF

<AD=BC,

/DAE=ZBCF

'.AADE=ACBF(ASA),

:,乙AED=cCFB,

.-.AE\\CF.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題

關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題.

4.(2022春?北京朝陽?八年級北京八十中校考期末)如圖，比中，ZC=9O°,4D平分乙BAC,交BC

于點(diǎn)。，C￡>=1.5,80=2.5.

(1)求點(diǎn)。到直線的距離；

(2)求線段NC的長.

【答案】(1)1.5；(2)3

【分析】(1)作DEU2,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=CD=1.5,得到答案；

(2)證明R/A4CD三七△NED,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NC=/E,根據(jù)勾股定理求出8￡,再根據(jù)勾股定

理列出方程，解方程得到答案.

(1)解：過點(diǎn)。作。E1/8于￡,

???AD平分M/C,zC=90°,DELAB,

：.DE=CD=1.5,

???點(diǎn)。到直線43的距離為1.5；

(2)解：在上△NCD和必△AED中，

[CD=ED

[AD=AD'

.■.RtAACD=RtAAED(HL)

：.AC=AE,

在RtADEB中，BE=y/BD2-DE2=2，

在比ZUC2中，AB2=AC2+BC2,即(AC+2)2=AC2+42,

解得,AC=3.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理，掌握全等三角形的判定定

理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

5.（2022春?北京石景山?八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形48CZ）是平行四邊形，AE平分乙BAD,交。。的

延長線于點(diǎn)區(qū)求證：BC=DE

【答案】見解析

【詳解】解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

.-.ABHDC,AD=BC,

.,.ZBAE=Z.E,

???AE平分/BAD,

.,.Z.BAE=ZDAE,

.,.Z.E=Z.DAE,

??.DA=DE,

又???AD=BC,

??.BC=DE.

6.（2022春?北京海淀?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形48co中，E為48邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)￡作￡尸〃2C,

交BD于點(diǎn)、M,交CD于點(diǎn)足求證：CF=EM.

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得N8IICD,AD^BC,AB=AD,再證四邊形8CFE是平行四邊形，EFWAD,得

BE=CF,然后證貝即可得出結(jié)論.

【詳解】解：???四邊形/5CD是菱形，

：.AB\\CD,/DII8C,AB=AD,

Z-ADB=AABD,

-EFWBC,

???四邊形5CFE是平行四邊形，EFWAD,

:.BE=CF,UDBSEMB,

???Z-ABD=Z-EMB,

:,BE=EM,

：.CF=EM.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握

菱形的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.（2022春?北京大興?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Y/BCD中，對角線/C,BD交于點(diǎn)O,且點(diǎn)E,尸分別

是/。，C。的中點(diǎn)，連接BE,BF,DE,DF.求證：四邊形3磯＞廠是平行四邊形.

【答案】見解析

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可求得O/=OC、OB=OD,再結(jié)合E、尸為中點(diǎn)，可求得OE=OR則可證得

四邊形E8ED為平行四邊形；

【詳解】證明：???四邊形/BCD是平行四邊形，

：.AO=CO,BO=DO.

丁點(diǎn)￡,尸分別是/O，CO的中點(diǎn)，

：.EO=-AO,FO=-CO.

22

:.EO=FO.

???四邊形BEDF是平行四邊形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，掌握平行四邊形的對角線互相平分是解題的關(guān)鍵.

8.（2022春?北京通州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在口4800中，E,尸分別在8c上，且N￡=C/，連結(jié)

BE、DF.求證：BE=DF.

E

4D

BFC

【答案】詳見解析

【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出ADII8C,AD=BC,求出DE=BF,DE\\BF,得出四邊形DEB尸是平行四

邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可.

【詳解】???四邊形/BCD是平行四邊形，

■■.ADWBC,AD=BC,

■?■AE=CF,

：.DE=BF,DEWBF,

???四邊形DEBF是平行四邊形，

：.BE=DF.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明四邊形。￡3廠是平行四

邊形是解決問題的關(guān)鍵.

9.（2022春?北京門頭溝?八年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，在口/3CZ）中，點(diǎn)E在3C上，點(diǎn)尸在6C的延長

線上，且CF=BE,連接4E,DF.求證：AE=DF.

A.______________J）

【答案】見解析

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)，得到48=DC,AB//DC,再根據(jù)SAS來證明1三ADCT7即可.

【詳解】證明：在口/3。。中，AD=BC,AB=DC,ABIIDC,

ZB=ZDCF,

在“BE和ADCF中，

:必ABE^ADCF(SAS),

AE=DF.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)及SAS證三角形全等，解題關(guān)鍵是找到兩個(gè)三角形全等的條件.

10.（2022春?北京房山?八年級統(tǒng)考期末）已知如圖，平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊BC和AD上

的點(diǎn)，且BE=DF,求證：AE=CF

【答案】詳見解析

［分析］根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知條件證明△ABEmaCDF，再利用全等三角形的性質(zhì)即可得到AE=CF.

【詳解】證：,?,四邊形ABCD是平行四邊形，.-.AB=CD,NB=ND,又?.?BE=DF,.-.AABE=ACDF,：.AE=CF.

（其他證法也可）

11.（2021年陜西省中考復(fù)習(xí)診斷性數(shù)學(xué)檢測試題）已知：如圖，在Y/BCD中，瓦尸是對角線8。上兩個(gè)

【答案】見詳解

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到48=CD,乙4BENCDF,證明出ZUBE三△CDF,得出結(jié)論.

【詳解】證明：,??四邊形是平行四邊形，

：.AB=CD,ABWCD.

:.乙ABE=&CDF.

在AABE和△CDF中

AB=CD

<NABE=ZCDF

BE=DF

：.AABE^ACDF(SAS)

：.AE=CF.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與三角形全等的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵在于掌握平行四邊形的性質(zhì)

與三角形全等的判定.

12.(2022春?北京延慶?八年級統(tǒng)考期末)如圖，已知四邊形4BCD是平行四邊形，BE1AC,DF1AC,求

證：BE=DF.

【答案】見解析

【分析】可證明A42E三即可得到結(jié)論.

【詳解】證明：???四邊形/BCD是平行四邊形，

:.AB=CD,ABWCD,

:億BAC=U)CA,

?:BEBC于E,DF1AC于F,

；.UEB—DFC=9Q°,

在△ABE和△(?￡)尸中，

'ZBAE=NDCF

<NAEB=NCFD,

AB=CD

■■.AABE=ACDFCAAS).

；.BE=DF.

【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的

判定是解決問題的關(guān)鍵.

13.(2022春?北京平谷?八年級統(tǒng)考期末)如圖，在平行四邊形ABCD中，連接AD,取2。中點(diǎn)O,過點(diǎn)。

作直線ER分別交BC于點(diǎn)、E,F,求證：AE=CF.

B

【答案】見解析

【分析】欲證明4&=。尸，只要證明△DOE三ABO尸（4￡4）即可;

【詳解】?:BD的中點(diǎn)是。，

：.OB=OD

???四邊形/BCD是平行四邊形，

：.AD\\BC,AD=BC

■■■/-ODE=Z-OBF,/-OED=/.OFB,

在和△COF中，

'NODE=NOBF

<OD=OB,

ZOED=ZOFB

；.4DOEm4BOF(ASA),

：.DE=BF

：.AD-DE=BC-BF

：.AE=CF.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵是熟記平行四邊形的各

種性質(zhì)以及全等三角形的各種判定方法.

14.（2022春?北京?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在丫/8CD中，點(diǎn)、E,尸分別在8C,AD±,且BE=FD,求證

四邊形/ECF是平行四邊形.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得/川IECAF=EC,然后根據(jù)平行四邊形的定義即可證得.

【詳解】證明：???四邊形/5C。是平行四邊形，

.??ADWBC,AD=BC,

.-.AF\\EC,

,；BE=FD,

；.BC-BE=AD-FD,

：.AF=EC,

.??四邊形AECF是平行四邊形.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證出/尸=￡C是解決問題的關(guān)

鍵.

15.（2021春?北京密云?八年級統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形N8CD中，4cL4B,點(diǎn)E為BC邊中點(diǎn),AD=

6,求/￡的長度.

AD

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出2C=/D=6,由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)果.

【詳解】解：???四邊形488是平行四邊形，

:.BC=AD=6,

???￡為8c的中點(diǎn)，ACLAB,

；.AE=3BC=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，由

直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出/￡是解決問題的關(guān)鍵.

16.（吉林省長春市東北師大附中新城校區(qū)2019-2020學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，在口13。中,

E、尸分別是40、8C上的點(diǎn)，且BF=DE.求證：AF=CE.

【答案】見解析

【分析】首先由平行四邊形的性質(zhì)得出NDII8C,AD=BC,然后判定四邊形/EC尸為平行四邊形，即可得解.

【詳解】???四邊形/BCD是平行四邊形，

：.AD\iBC,AD=BC.

?；BF=DE,

??/￡||CRAE=CF,

???四邊形/ECF為平行四邊形.

：.AF=CE.

【點(diǎn)睛】此題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握，即可解題.

17.（2021春?北京西城?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在58。中，點(diǎn)E,尸分別在邊上，BE=DF,

斯與對角線/C相交于點(diǎn)。.求證：OE=OF.

【答案】見解析

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出N2IICD,AB=CD,證出/E=CF,乙4EO=ACFO,由44s證明

AAOE=ACOF,即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：???四邊形/BCD是平行四邊形，

.-.ABWCD,AB=CD,

■.■BE=DF,

：.AB-BE=CD-DF,即AE=CF,

■：AB\\CD,

：.Z-AEO=/-CFO,

在A4OE和△COE中，

'ZAEO=NCFO

<NAOE=ZCOF

AE=CF

:.AAOEmMOF（AAS）,

■■,OE=OF.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形

的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.

18.（2021春?北京海淀?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在丫4BCD中，點(diǎn)E,尸分別在5C,AD上，S.BE=DF,

連接NE,CF.求證：AEHCF.

FD

B*~Et

【答案】見解析

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得/DII3C,AD=BC,再證/尸=。石，得四邊形NECB是平行四邊形，即

可得出結(jié)論.

【詳解】證明：???四邊形23CD是平行四邊形，

A4DIIBC,AD=BC.

-：BE=DF,

.-.AD-DF=BC-BE.

即AF=CE.

又《AF"CE,

二.四邊形AECF是平行四邊形.

.-.AEUCF.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

19.（2021春?北京延慶?八年級統(tǒng)考期末）如圖，將矩形/BCD沿對角線AD所在直線折疊，點(diǎn)C落在同一

平面內(nèi)，落點(diǎn)記為尸，BF與AD交于點(diǎn)、E,若N3=4,BC=8,求BE的長.

【答案】5

【分析】先證明八43￡和△EDE全等，得出3E和DE相等，從而4E=8-BE,在"臺后中用勾股定理算出BE

長即可.

【詳解】解：在A48E和△陽￡中，

=ZF

<ZAEB=ZDEF,

AB=FD

■■.AABE=AFDE(44S),

:.BE=DE,

設(shè)BE=x,貝i]/E=8-x,

,?-42+（8-x）2=N,

解得x=5,

■■BE的長度為5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定，關(guān)鍵是要能根據(jù)矩形的性質(zhì)，判斷出三角形全等,

矩形的內(nèi)角是90。，對邊相等，對角相等要牢記于心.

20.（2021春?北京朝陽?八年級統(tǒng)考期末）已知：如圖/、。是nDEAF的對角線斯所在直線上的兩點(diǎn)，

且求證：四邊形43c7）是平行四邊形.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)平行四邊形和平行線的性質(zhì)，推導(dǎo)得=NDFC=NBEA；根據(jù)全等三角形的判

定和性質(zhì)，證明△￡>￡1/絲△AFC、4DFC學(xué)4BEA,得4D=BC、CD=AB,即可完成證明.

【詳解】證明：???平行四邊形DE5F,

：.DEHBF,DFHBE,

.-.NDEF=ZBFE,ZDFE=/BEF,

-.■ZDEF+ZDEA=ISO°,NBFE+NBFC=18Q°,ZDFE+ZDFC=1SO°,NBEF+NBEA=18Q°,

ADEA=ZBFC,ZDFC=ABEA,

???平行四邊形DEBF,

：.DE=BF,DF=BE,

在&DEA和ABFC中，

'DE=BF

<NDEA=ZBFC

AE=CF

■■■^DEA^^BFC,

AD=BC,

在△。尸。和ZXBEN中,

DF=BE

<NDFC=NBEA

AE=CF

??.△DFC沿ABEA,

CD=AB,

???四邊形N8CD是平行四邊形.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形、平行線、全等三角形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形、全等

三角形的判定和性質(zhì)，從而完成求解.

21.（2021春?北京房山?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在A42c中，AB=AC,。為2C中點(diǎn).四邊形/ADE是平

行四邊形.

求證：四邊形4DCE是矩形

【答案】見解析

【詳解】證明：???四邊形/8DE是平行四邊形，

■■.AEWBC,4B=DE,AE=BD.

???D為BC的中點(diǎn)，

：.CD=DB.

c.CDUECD=AE,

.??四邊形ADCE是平行四邊形.

?；AB=AC,

：.AC=DE.

???平行四邊形/DCE是矩形.

22.（2021春?北京房山?八年級統(tǒng)考期末）已知如圖，在口/BC。中，點(diǎn)M、N分別是/8、CD的中點(diǎn).求

證：DM=BN.

?（

【答案】見解析

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到48=CD,AD=BC,乙4=NC,利用點(diǎn)M、N分別是/8、CZ）的中點(diǎn)證

得，再證明aADM三ZkCBN即可得到結(jié)論.

【詳解】證明：???四邊形/8C。是平行四邊形，

：.AB=CD,AD=BC,ZG4=ZC.

又?.?點(diǎn)M、N分別是42、CD的中點(diǎn)，

.-.AM=-AB,CN=-CD.

22

AM=CN.

：.AADM^/\CBN（SAS）

：.DM=BN.

【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，根據(jù)題中的已知條件

確定正確全等三角形的思路是解題的關(guān)鍵.

23.（北京市通州區(qū)2020-2021學(xué)年八年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在Y/8CD中，點(diǎn)E,尸分別在

AD、2c上，且