專題七空間向量與立體幾何

高考數學二輪復習典例分析及重難突破

?典例分析

考查方式

高考對于立體幾何的考查通常在選擇題、填空題中，主要考查幾何體的結構特征，幾何體

表面積、體積的計算，空間點、線、面位置關系的判定，空間角（異面直線所成角、線面角、

二面角）的找法及計算，與截面、球有關的問題（此類問題往往難度較大），在解答題中主要

考查平行與垂直的判定，空間角、空間距離的計算，常采用論證與計算相結合的模式.此外立

體幾何也可能出現以生活、科技等為情境的試題，同時對立體幾何的考查還涉及和其他知識的

交匯，復習的重點在于提高空間想象能力、計算能力和閱讀理解能力.

高考真題

1.[2024年新課標I卷]已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為出，

則圓錐的體積為（）

A.2，§兀B.3#＞兀C.6^371D.9^371

2.[2024年新課標H卷]已知正三棱臺ABC-451G的體積為半，鉆=6,4片=2,則A]A與

平面ABC所成角的正切值為（）

A.-B.lC.2D.3

2

3.[2023年新課標n卷]（多選）已知圓錐的頂點為P,底面圓心為O,AB為底面直徑，

ZAPB=120°,

PA=2,點C在底面圓周上，且二面角P—AC—O為45。，則（）

A.該圓錐的體積為KB.該圓錐的側面積為4百兀

C.AC=2A/2D.ZXB4c的面積為石

4.[2023年新課標H卷]底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面

邊長為2,高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為.

5.[2023年新課標I卷]在正四棱臺A3CD-4gCQ中，AB=2,4與=1,例=也，則該

棱臺的體積為.

6.[2024年新課標I卷]如圖，四棱錐P-ABCD中，24,底面ABC。，PA=AC=2,BC=l,

AB=6

(1)若證明：〃平面PBC；

⑵若ADLOC'且二面角A一中一。的正弦值為年'求AD

7.[2024年新課標H卷]如圖，平面四邊形A3CD中，AB^8,CD=3,AD=5y/3,ZADC=90°,

21

ZBAD^30°,點E,R滿足AE=—AD,AF=-AB,將△AEF沿ER翻折至△尸EF,使得

52

PC=4A/3,

(1)證明：EF±PD：

(2)求平面PCD與平面PBR所成的二面角的正弦值.

參考答案

1.答案：B

解析：設圓柱和圓錐的底面半徑均為「，因為它們的高均為君，且側面積相等，所以

271rx6=nr瓜屏》,得產=9,所以圓錐的體積V=；兀產義6=3島，故選B.

2.答案：B

解析：設正三棱臺ABC-451G的高為〃，三條側棱延長后交于一點P,作平面ABC于

點。，尸。交平面44G于點。I，連接。4，。俎，如圖所示.由A3=34與，可得尸。1=3丸，

2

尸。=，，又SAABC=1X6X^=9V3,所以正三棱臺ABC-A4c

的體積V=Jc—匕*=；*9昂，一?昂/音,解得丸=￥，故吁，=26

由正三棱臺的性質可知，0為底面A3C的中心，則0A=2x病=F=2百，因為POL平面

3

pn

ABC,所以/PAO是4A與平面ABC所成的角，在RtZ\PAO中，tanZPAO=—=l,故選B.

0A

3.答案：AC

解析：對于A,依題意，圓錐母線長/=出=依=2,PO=PA-cos600=1,

AO=BO=PA-sin6Q°=y/3,所以底面圓的半徑廠=百，圓錐的體積為^兀乂代了」=兀，故A

正確；對于B,該圓錐的側面積為兀〃=兀?6-2=2百兀；故B錯誤；

對于C,如圖，取AC的中點M,連接PM,0M,則Q0，AC,又因為24=尸。，所以，AC,

pn

故NPMO為二面角尸—AC—O的平面角，即NPMO=45。，所以1皿45。=~=1,即3/=1,

OM

所以AC=2A/I3r^F=2x萬1=2血，故C正確；

對于D,由選項C可知，AC=2五,PM±AC,PM=^1PA2-^AC^=4^2=42,所以

11lL

△PAC的面積為一PM?AC=—乂必2也=2,故D錯誤.故選AC.

22

解析：法一：由于2=工，截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,所以原正四棱

42

錐的體積為gx(4x4)x6=32,截去的正四棱錐的體積為:X(2X2)X3=4,所以棱臺的體積為

32-4=28.

法二：由法一可知，棱臺的體積為』x3x(16+4+^^)=28.故答案為28.

3

5.答案：還

6

解析：如圖，連接AC,BD交于點0,連接AG，BR交于點連接OOX,過點-作A.H1AC

于點H,則OOX為正四棱臺ABCD-A.B.QD,的高.

在等腰梯形AACG中，AC=4iAB=2垃,AG=0A4=0，貝1JAO=gAC=后，

AO1=1AC1=^,所以=?.又抽=血，所以乎，所以oa=A〃=半，所

以正四棱臺ABCD-A4GR的體積為1X(12+22+712X22)x曰=工￡.

6.答案：(1)證明見解析

(2)AD=#)

解析：(1)證明：由于24,底面ABCD,4。匚底面48。。，；.八4,4。,

又ADLP5,PAPB=P,PA,P5u平面B4B,r.AD，平面以3,

又ABu平面B4B,:.AD±AB.

AB2+BC2^AC2,：.AB±BC,：.BC//AD,

ADu平面PBC,BCu平面PBC,.?.AD〃平面PBC.

(2)由題意知DC,AD,AP兩兩垂直，以。為坐標原點，AD所在直線為x軸，DC所在直

線為y軸，過點。且平行于AP的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則￡>(0,0,0),

設A(a,0,0),a>Q,

AC=(~ci,，4—a2,0

設平面CPD的法向量為〃=(x,y,z),

CDll=Q,即一，4—a?y=0_

則,，可取〃=(2,0,—〃).

CPn=Qax-\4-a2y+2z=0

設平面ACP的法向量為帆二(%,%*]),

m-CP=0口口ax.—^4—a2y,+2z,=0/-------

則，即?'__21,可取m=(，4—Q2,Q,O).

m

,AC-0—axx+，4-=0

二面角人-。尸"的正弦值為半

.?.余弦值的絕對值為9,

痂?/\i_\^nn\244-Y—幣

oXIcos\7?i,n)\——―//.—,

\tn\-\n\'4_/+.2,“+'27

又a〉0,:.a=?,即4。=技

7.答案：(1)證明見解析

“、8765

65

解析：(1)證明：由題，AE=-AD=2y/3,AF=-AB=4,又NBAZ)=30。，

52

所以由余弦定理得石尸=4￡2+人/2—2Ag?■<0530。=4,故EF=2.

又EF°+AE。=AF?,所以EFLAE.

由￡F_LAE及翻折的性質知EFLPE,EF±ED,

又EDPE=E,EZ>,PEu平面PED,所以平面PED

又？Du平面PED,所以EFLPD.

(2)如圖，連接CE,由題，DE=36，CD=3,NCDE=90°,故CE=^D田=6.

又PE=AE=2^,PC=4A/3,所以PE?+“？=尸。2,故PE_LCE.

又PELEF,CEEF=E,CE,Ebu平面A3CD,所以PEJ_平面A3CD

EF,ED,PE兩兩垂直，故以E為原點，EF,ED,PE所在直線分別為x,?z軸建立空間直

角坐標系，

則P(0,0,23)，￡>(0,30,0),尸(2,0,0),A(0,—26,0),。(3,36,0),

連接以，貝UP。=(0,3g,—2g),DC=(3,0,0),AP=Q,2也,2有),AF=(2,2^,0).

設平面PCD的法向量為%=a，x，zj,

n,?PD——2y/3z,=0

則?71',可取為=(0,2,3).

nx-DC—3%i=0

設平面PBF即平面PAF的法向量為〃2=(x2,y2,z2),

則"團2鳳+產「。，可取「(后n),

n2-AF=2X2+2。3y2-0

所以kOS〈》1，〃2〉|

|時|〃2|165

故平面PCD與平面P3R所成二面角的正弦值為、U8廂

V6565

?重難突破

1.已知球的半徑為1,其內接圓錐的高為3,則該圓錐的側面積為（）

2

B.匝

ACD.3兀

-T2T

2.如圖，在長方體ABCD-A4GA中，AB=AD=1^=2e，點后為A3上的動點，則

RE+CE的最小值為（）

BV15C-2+2&D.歷

3.已知c,尸是兩個不同的平面，a,6是兩條不同的直線，下列條件中，一定得到直線/工。

的是（）

A.a,1//(3alia

C.///。，a±aLa，ILb，aua，bua

4.中國冶煉塊鐵的起始年代雖然遲至公元前6世紀，約比西方晚900年，但是冶煉鑄鐵的技術

卻比歐洲早2000年.現將一個軸截面為正方形且側面積為36兀的實心圓柱鐵錠冶煉熔化后，澆

鑄成一個底面積為81兀的圓錐，則該圓錐的母線與底面所成角的正切值為（）

1212

A.-B.-C.-D.-

3399

5.在正方體—4及￡2中，E,R分別是BQ的中點，則（）

A.EF//BDB.FA〃平面BCE

C.EF±BQD.AF,平面BCGB]

6.我國古代數學名著《九章算術》中，將底面為矩形且一側棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.

如圖，四棱錐F—ABCD為陽馬，叢，平面ABC。，^.AB=AD=AP=3,EC=2PE,則

AEDE=（）

C.2D.5

7.如圖，正方體A3CD-A31GA的棱長為1，點。為正方形內的動點，滿足直線5P與

下底面ABC。所成角為60。的點P的軌跡長度為（）

AB

A巫B.3兀C.gD.且兀

362

8.如圖，在多面體EF-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，膽為底面ABCD內的一個

動點（包括邊界），底面底面ABCD,且AE=CF=2,則ME-MR的最小值

與最大值分別為（）

9.圖1是蜂房正對著蜜蜂巢穴開口的截面圖，它是由許多個正六邊形互相緊挨在一起構成.可以

看出蜂房的底部是由三個大小相同的菱形組成，且這三個菱形不在一個平面上.研究表明蜂房

底部的菱形相似于菱形十二面體的表面菱形，圖2是一個菱形十二面體，它是由十二個相同的

菱形圍成的幾何體，也可以看作正方體的各個正方形面上扣上一個正四棱錐（如圖3）,且平

面ABCD與平面AZBS的夾角為45。，則cos/ASB=（）

圖1

D速

A.1B.同c.桓

322

10.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-4gGA中，。為線段瓦。上的動點，則下列結論錯誤

的是（）

A.直線4尸與30所成的角不可能是巴

6

B.若3］尸=；3］。，則二面角3-42-用的平面角的正弦值為1

C.當4P=2PC時，4尸=3叵

3

D.當用「=2PC時，點D.到平面A.BP的距離為多

1113

11.正三棱柱ABC-中，AB=2，AA=C，。為5c的中點，〃是棱5G上一動點，過

。作QVLA"于點M則線段MN長度的最小值為（）

A.亞B.逅C.9D.6

424'

12.“長太息以掩涕兮，哀民生之多艱”，端陽初夏，粽葉飄香，端午是一大中華傳統節日.小

瑋同學在當天包了一個具有藝術感的肉粽作紀念，將粽子整體視為一個三棱錐，肉餡可近似看

作它的內切球（與其四個面均相切的球，圖中作為球。）.如圖：已知粽子三棱錐P-ABC中，

PA=PB=AB=AC=BC,H、I、J分別為所在棱中點，D、E分別為所在棱靠近P端的三等

分點，小瑋同學切開后發現，沿平面CDE或平面H/J切開后，截面中均恰好看不見肉餡.則肉

餡與整個粽子體積的比為（）

13.(多選)下列命題是真命題的有()

A.直線/的方向向量為。=(1,-1,2),直線機的方向向量為5=[2,1,-g],則/與機垂直

B.直線/的方向向量為a=(O,L-D，平面c的法向量為〃=(1,T,T)，則

C.平面a,p的法向量分別為4=(0,1,3),4=(L0,2)，則四

D.平面a經過三點4(1,0,-1),3(0,1,0),C(-l,2,0),向量〃=是平面的法向量，則

u+t=1

14.(多選)在棱長為2的正方體A3CD-A4GA中，點航在線段耳。上，B1M=2MC,過A,

G，M三點的平面截正方體所得的截面記為0,記5。與截面。的交點為N,貝女)

A.截面。的形狀為等腰梯形B.BD=3BN

4

C.MN±平面BOAD.三棱錐C-MND[的體積為-

15.(多選)如圖，一張矩形白紙ABC。，AB=10,AD=lQy/2,E,R分別為AD,3c的中

點，BE交AC于點G,DR交AC于點H.現分別將△ABE,△CDF沿BE,DR折起，且點A,

C在平面BRDE同側，則下列命題為真命題的是()

E

AD

Dpc

A.當平面ABE//平面CDF時，AC//平面BFDE

B.當平面ABEH平面CDF時，AE//CD

C.當A,。重合于點尸時，PG±PD

D.當A,C重合于點尸時，三棱錐P-QEF的外接球的表面積為150兀

16.某同學在參加魔方實踐課時，制作了一個工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個球

被一個棱長為6岔的正方體的六個面所截后剩余的部分，（球心與正方體的中心重合），若其中

一個截面圓的周長為6兀，則該球的表面積是.

17.如圖，在四面體ABCD中，AC=8，BD=6,M、N分別為超、CD中點，并且異面直線

AC與3。所成的角為90。，則"N的長為.

18.在棱長為2的正方體A4G2中，點P滿足=點Q滿足

AQ=JuAAl+AB+AD9其中幾包0,2],〃?0,2]當〃=時，DPLBQ

19.刻畫空間彎曲性是幾何研究的重要內容，用“曲率”刻畫空間彎曲性，規定：多面體頂點

的曲率等于2兀與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度

用弧度制).例如，正四面體的每個頂點有3個面角，每個面角為四，所以正四面體在各頂點

3

的曲率為2兀-|^3=兀.在底面為矩形的四棱錐P-ABCD中，PA_L底面ABC。，AD=0PA，

PC與底面ABC/)所成的角為4,在四棱錐P—ABCD中，頂點3的曲率為.

6

20.如圖，在長方體—4gG2中，AD=A4]=1，AB=2，點E在棱A3上.若二面角

2-EC-。的大小為巴，則AE=.

21.如圖，三棱柱ABC-A與G各棱長均相等，〃為棱AC上一點，。為棱8月的中點，AQ〃平

(2)若平面將三棱柱ABC-451G分為兩部分，較小部分的體積為匕，較大部分的體積

為匕，求去的值.

22.如圖，在四棱錐尸—ABCD中，AB^AD^CD±AD>AB=AD=PD=^CD=1，PA=B

PC=6,點。為棱尸C上一點.

p

c

(1)證明：PA±CD；

(2)當二面角P—5D—Q的余弦值為"I時，求￡2.

11PC

23.如圖，在四棱錐p—ABCD中，底面ABCD為直角梯形，NADC=4CD=90。，BC=1，

CD=6，PD=2,ZPZM=60%ZB4D=30°-且平面AM)_L平面ABC。，在平面ABC。內

過3作50LAD，交AD于。，連尸O.

(2)求二面角A—Pfi-C的正弦值；

(3)在線段期上存在一點使直線與平面2所成的角的正弦值為2紅，求.的

7

長.

24.如圖，在四棱錐P-ABCD中，△PAO是以A。為斜邊的等腰直角三角形Ba/AOCCAZ),

尸。=40=2。。=28=2,后為D￡)的中點.

⑴證明：CE〃平面A4B；

(2)求直線BC與平面所成角的正弦值.

25.如圖1,在ZJWBC中，BM人BC，A,。分別為邊上加，的中點，且5。=40=2，將

△M4D沿A。折起到△B4O的位置，使A4，AB，如圖2,連接尸PC-

(1)求證：44J_平面ABCD；

(2)若E為PC的中點，求直線￡)￡與平面pg。所成角的正弦值；

(3)線段PC上一動點G滿足筆="0＜彳＜1)，判斷是否存在2，使二面角G-AD-P的

正弦值為巫，若存在，求出2的值；若不存在，請說明理由.

10

答案以及解析

1.答案：c

解析：因為球的半徑H=l，其內接圓錐的高為丸=3,

2

所以圓錐的底面圓半徑為廠==與,母線長為％=/等：+[^=6，

所以側面積為5=〃/="無、百=茫.

22

故選：C.

2.答案：D

解析：將ABCZ）繞翻折到與ABC]“共面，平面圖形如下所示:

連接CDi,則CD1的長度即為2E+CE的最小值，

因為AB=AD=1，AAl=2^/2^所以AD】=+0行『=3,

所以。。=4,所以CR=，付+42=屈,即"E+CE的最小值為g.

故選：D

3.答案：C

解析：對于A,a±j3,III（3,則/與￡相交、平行或/ua，故A錯誤;

對于B,/j_a,alla＞則/與a相父、平行或/ua，故B錯誤;

對于C,〃/a，a±a,由線面垂直的性質知/，。，故C正確；

對于D,/j_a，/_!_〃，aua,bua，則/與a相父、平行或/ua，故D錯誤.

故選：C.

4.答案：D

解析：設圓柱的底面半徑為（，母線長為人，圓錐的底面半徑為々，高為為，

則圓柱的側面積為2兀d=兀/；=36兀，解得4=6,/=3,故％（柱=叫[=54兀,

又兀1=81兀，則弓=9,而胃錐=27兀%=54兀，得%=2,

故所求正切值為h生=（2.

馬9

故選：D

5.答案：B

解析：對于A,

設G為8瓦中點，則EG〃皿，但EG,ER相交，所以ER,3。異面，故A錯誤;

對于B,設CC]的中點為H,則3C〃GH，BEHGD、,

因為GH.平面BEC,BCu平面BEC，G0（Z平面3EC,防匚平面BEC，

所以GHH平面BEC,G，〃平面BEC,

又因為GHGD[=G,GH,6。1匚平面6〃2,

故平面BCEH平面GHD],

又FD]U平面G〃2，故/2〃平面3CE,選項B正確.

對于C,在△EBG中，BE力EQ,BF=FQ,故EF與BQ不可能垂直（否則EF垂直平分BCX,

會得到E5=EG，這與BEwEC1矛盾）,C選項錯誤.

對于D,

易知AB,平面BCGg，又尸=A，故D選項錯誤.

故選：B.

6.答案：B

解析：以A為坐標原點，AB,AD,AP的方向分別為x,y,z軸的正方向,

建立空間直角坐標系，如圖：

由題意有：D(0,3,0),P(0,0,3),C(3,3,0),由EC=2PE,可得E(l,l,2),

所以AE=(1,1,2),DE=(1,-2,2),所以AE.￡)E=3.

故選：B.

7.答案：B

解析：直線3P與下底面ABCD所成角等于直線BP與上底面44cl2所成角,

連接與尸，因為551J.平面A4CQ,PB]U平面4月￡2，

所以5片故NBP4為直線BP與上底面A4c12所成角，

貝I]ZBPBl=60°,

因為網=1,所以申=網力,

tan6003

故點P的軌跡為以及為圓心，正為半徑，位于平面a與G2內的圓的

34

故軌跡長度為工義2兀義無=無兀.

436

故選：B

8.答案：A

解析：因為底面平面ABCD,

所以AELAD,AE，AB,

因為四邊形ABCD為正方形，所以ADLAB,

所以AD,AB,AE兩兩垂直，

所以以AD,AB,AE所在的直線分別為蒼y,z軸建立空間直角坐標系,

則E(0,0,2),下(1,1,2),

設M(a,b,0)(0<a<l,0<Z?<l),

貝ljME=(-a,-b,2),MF=(l-a,l-b,2),

^^XME-MF=-a(l-a)-b(l-b)+^=a--a+b2-b+4

因為0<a<l,0<人41，

17

所以當。=人=—時，取得最小值一；

22

當a=0或1,5=0或1時，取得最大值4.

故選：A

解析:

連接AC、3。相交于點。，連接S0，因為四棱錐S-ABCD為正棱錐，

所以SOJL平面ABCD，取AB的中點E，連接SE、0E，

因為&4=S5，OA=OB^所以S￡，AB，OELAB，

所以NSEO即為平面ABCD與平面ATBS的夾角，即NSEO=45°，

設AE=a，則OE=OS=a，

所以汨^OS2+OE2=2a2>SA2=SB2=SE2+BE2=3?2>

在△SAB中，由余弦定理cosNASB=S3?+S&-公=3a2+3/4/=工

2SBxSA2x3a23

故選：A.

10.答案：B

解析：建立如圖所示的空間直角坐標系,

則A（0,0,0）,B（2,0,0）,C（2,2,0）,D（0,2,0）,4（0,0,2）,4（2,0,2）（2,2,2）,^（0,2,2）,

對于A,設4P=用。=《0,2,-2）=（0,2/,-2/）（0</<1），

故尸（22,2-2。，

故4P=（2,2f,—2f），而B￡>=（—2,2,0），

設直線AP與50所成的角為。，

BDAP4-4/

則cos0=

BD^AP2后>,4+4/+4/

若直線A7與50所成的角是巴，

6

貝IJ—":/—正,

20義"+8/2

整理得到：4/+今+1=0,此方程在［0』上無實數解，

故直線與所成的角不可能是4,故A正確.

6

對于B,當男尸=!用0時，結合A分析得/=；,此時

故3P=(o,f,而3=(-2,0,2)，

設此時平面的法向量為〃=(a,4c)，

(■(24

In-BP=0—b+—c=0

則即《33，

nBAi=0[-2a+2c=0

取Q=1，則b=—2,c=l，故為=(1,—2,1),

又,44=(2,0,0)，

設平面的法向量為s=(〃,v,w),

22

…=°即.2u+—v—w=0

則33

n-AB-

il02u=Q

取v=l，則M=0，w=l,故s=(0,1,1),

故COS(S,〃>=L'L=_^-，

'/46x426

故二面角3-AP-4的平面角的正弦值為叵，故B錯誤.

6

對于C,當4P=2PC時，又B的分析可得p12,g,g1,

故”=

故網=,4+曰=半=半,故C正確.

對于D,當4P=2PC時，結合A中分析可得f=2,故p12,上2

13I33

故人〔嗎為

而網=(-2,0,2)-

設平面AjBP的法向量為加=(羽y,z>

((42

lm-BP=Q—y+—z=0

則17n《即《33，

mBAi=0[-2x+2z=0

取x=2，則y=—l，z=2，故加=(2,—1,2),

又24=(0,-2,0)，故2到平面的距離為‘尚a=|,故D正確.

故選：B

1L答案：B

解析：因為正三棱柱ABC-AqG中，。為BC的中點，取用C1中點Q,連接OQ,

如圖，以。為原點，OC，Q4，OQ為x,y,z軸建立空間直角坐標系,

則0(0,0,0),A(O,AO),^(-1,0,73),G(I，O，@

因為M是棱上一動點，設V(a,0,6),且a?-1,1]，所以0%OA=(a,0,括)(0,如,0)0,

則Q4LOM，

因為QVLAM，所以在直角三角形曲中可得：△。跖所以篝=今

MO2tz+3

即MN二于是令公力2+6,?G[V6,V7]

所以苧二=3="。，偌［#,?］,又函數y="。在/"灰,￡］上為增函數,

弋cr+6ttf

所以當”迷時,3I=乒二=旦,即線段MN長度的最小值為它.

LnV622

故選：B.

12.答案：B

解析：如圖所示，取A3中點為R

PF[DE=G,為方便計算,

不妨設PF=CF=1,由K4=PB=AB=AC=BC,

可知PA=P5=A3=AC=BC=，-,

3

又。、E分別為所在棱靠近尸端的三等分點，

22

則PG=—PF=—,且廠，

33

AB1CF,PFCF=F,PF,CFu平面PCF,即AB,平面PCF

又ABu平面ABC,則平面PCF,平面ABC,設肉餡球半徑為r,CG=x,

由于H、I、J分別為所在棱中點，且沿平面H〃切開后，截面中均恰好不見肉餡，則P到

d12

CT的星巨離d=4r,sinZPFC=——=4r,SA”「=—4?—=——，

PFAGFC233

=14+X,

又■SMFC["|J'f

4_

CF+FGca

解得x=l,cosZPFC=-=9=1

2CFFG0123

L,1--

3

又cosZPFC=—=1+Yr解得小考

2-PFCF211

sinZPFC=所以：sinZPFC=,

331

3V2

解得r=^—,=------71

6381

由以上計算可知尸-ABC為正三棱錐,

2A/3273V|62瓜

13.544ABe-d^--ABACsmZBAC-4^---4

32323F~6~^2n~

也兀

所以比值為且聯

2A/618

13.答案：AD

解析：a=(1,-1,2),—g),.-.a-Z>=lx2-lxl+2xf-1j=0,則a,A,二直線/與機

垂直，故A付合題思；a—(0,1,—1)?〃=(1,—1,—1),則a,〃=Ox1+1x(―1)+(―1)x(―1)=0,則aJ_〃,

:」Ha或lua,故B不符合題意；弭=(0,1,3),叼=(1,0,2),二./與〃？不共線，二a〃區不

成立，故C不符合題意；點4(1,0,-1),5(0,1,0),C(-1,2,0),..AB=(-1,1,1),BC=(-1,1,0).

向量〃=是平面e的法向量，"乂'"°'即『+"+’=°'可得"+/=1,故D符合

n-BC=0,[-1+w=0,

題意.故選AD.

14.答案:BCD

解析：如圖，連接G",并延長交3C于點E,易得△BiMqs^CME,:.蛆=皿=2,;.E

CEMC

是3c的中點.取42的中點F連接AE,AF,C]F,易得A/幺C；E.又AR=C7,.??四邊形

AECZ為菱形，且菱形AEC/為。，故A錯誤.同理可得△ANDsAEWB,.?.把=坦=2,

NBBE

:.BD=3BN,故B正確.連接AG，由前兩個相似三角形可知空=空=工，.?.MN//AG.連接

MC】NA2

BQ,在正方體中，易得B°LBCi，B}CLAB,且'ABB,.?.qC，平面ABC1，

.?.與。，4。1洞理可得用2,4。1.又用〃用。=與，AG，平面與C。，平面500,

故C正確.易得N,M為AE,31c上靠近E,C的三等分點，MN=gA￡=子.又

…QAMCD]3?△耳⑷

—x

:.VJMND=_MN.SAMCD————x,故D正確.選BCD.

LiviiNiy^33339

15.答案：AD

、5、6

解析：在△ABE中，tanZABE=—,在△ACD中，tanZDAC=—,所以NABE=4MC,

22

ZBEA=ZAEG,所以△ABES^G4E,NAGE=NSAE=9O。.由題意，將△回￡,ACDF沿

BE,DR折起，且點A,C在平面BRDE同側，此時A,C,G,H四點在同一平面內，平面ABE

平面AGWC=AG,平面CD/T平面AGHC=S,當平面ABE〃平面CDR時，AG//CH,顯

然AG=CH,所以四邊形AGHC是平行四邊形，所以AC〃GH.又4。仁平面跳DE,GHu平

面BFDE,所以AC//平面BRDE,所以A為真命題.

由A知，當平面ABEH平面CDF時，BE//DF,但ZAEB豐ZCDF,所以AE與CD不平行,

所以B為假命題.

當A,C重合于點P時，可得PG=@1,PD=10,連接GD（圖略），GD=10,貝|

3

PG2+PD2^GD-,所以PG和尸。不垂直，所以C為假命題.

當A,C重合于點P時，在三棱錐斯中，△￡￡□和△尸ED均為直角三角形，所以。口為

三棱錐P-DEF的外接球的直徑，又DF=5瓜,則三棱錐P-DEF的外接球的表面積為

4兀回1=150K,所以D為真命題.故選AD.

16.答案：144兀

解析：設球心為。，作出過球心的截面圖如圖所示，則04=3百,

由截面圓的周長為6兀，得=AB=3?

球的半徑是y/o^+AB2=7（373）2+32=6-

所以該球的表面積為4兀><62=144兀-

故答案為：144兀.

17.答案：5

解析：取5c中點P,連接MP，NP，

又因為AC=8，BD=6,M,N分別為A3，C。的中點，

所以PA/〃AC且PM=-AC=4,PN//BD&PN=LBD=3,

22

則NMPN為異面直線AC與所成的角（或補角），

又因為異面直線AC與所成的角為90。，

所以NMPN=90。，

所以MN?=。揚2+小2=42+32=25，所以"N=5,

故答案為：5

18.答案：1

解析：AP=A41+2AB<^AP-A41==2AB-又;le[0,2],

所以點P在射線A用上；

AQ=/JA^+AB+AD^AQ^/JA^+AC

oAQ-AC=〃A410c2=〃例，又〃?0,2],

所以點Q在射線CG上；

因為當幾變化時，小匚平面^用。。，故只需考慮過3且與平面4片。。垂直的線,

因為正方體有44，平面5耳￡C,而5C]U平面所以4耳，3。1,

又4與B[C=Bl,4片,片。匚平面AgCD，所以BQ_L平面人用。,

DPu平面4與8，所以5。1，。尸，

所以當點。在Ci上時DPLBQ,即〃=1時DPL3Q,

故答案為：L

19.答案：—

4

解析：設叢=1，則AD=0PA=V5，

>D

B"

B4工平面ABCD，.?.NPG4即為PC與底面ABC。所成角，即NPCA=二,

6

PC==2AC=^-=6

.兀，兀，

sin—tan—

66

d.j.P/^jr

AB=JAC?-BO?=JAC?-5=1，?,?tanZPBA=—=l,ZPBA=-;

平面ABC。，BCu平面ABC。，:.PA±BC>

又BCLAB，PAAB=A，上4，ABu平面B4B，..6CJ_平面，

PBu平面B45，:.PB_LBC，即NPBC=巴，又NABC=巴，

22

二頂點3的曲率為2兀-二-二-二=里.

4224

故答案為：型.

4

20.答案：2-6

解析：以。為原點，以DA，DCDA為x，V，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，設

AE=2(0<2<2),平面'EC的法向量為加=(x,%z)

由題可知，9(0,0,1)，C(0,2,0),E(l,2,0),D1C=(0,2,-l)-CE=(l,2-2,0)

平面AECD的一個法向量為z軸，二可取平面AECD的法向量為n=(0,0,1)

m=(x,%z)為平面"EC的法向量，

m-DjC=2y—z=0

則m=(2—41,2)

m-CE=x+(A-2)y=0

二面角D.-EC-D的大小為:

COS4=HWJ即4r(2-1+1+22

解得4=2-6,2=2+A/3(舍去)

AE=2-6

故答案為2-6

21.答案：(1)—=_

MC2

解析：(1)連接CQ,與BC\交于H,連接

因為AQ//平面C]BM,平面AQC平面C.BM=HM,

根據線面平行的性質定理，所以

又因為Q5//CC，在△3QC和AF/CG中，由于平行線分線段成比例定理，可得瞿=然=:

HCCjC2

因為AQ〃//M,所以4@=空=工.

MCHC2

(2)在上取一點S,itBS=-BC連接MS，BS,

3t

因為那//43//4用，所以四邊形即為過4耳加三點的截面.

設三棱柱ABC-A31cl的底面積為品，高為k,體積為V,則V=S0丸.

1o

因為那〃AB，且55=上5。，所以△MSC與△ABC相似，相似比為士，

33

根據相似三角形面積比等于相似比的平方，可得△MSC的面積為±S0.

9

對于三棱臺A4G-鄧。，根據體積公式

14I4-14219

^=-/z(5o+-5o+^ox-So)=-/z(5o+-So+-So)=-50/z.

因為K=v—%,v^soh,v2=—soh,

所以耳=SJi-—Sh=—SJi.

1027n27

22.答案：⑴證明見解析;

噂4

解析：（1）因為po=i，CD=2,PC=百，

所以P￡>2+c￡)2=pc2,所以

又CDLAD，且ADPD=D，AD,PDu平面MO,

所以CD，平面Q4￡），

又24u平面PA。，所以B4LCD.

（2）因為尸&=夜，AD=PD=1，所以AD2+PD2=PA2,則PCAD.

由（1）可知p￡）,AD，DC兩兩垂直，以。為原點，以94，DC，0P所在直線分別為X

軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系。盯z.

￡>（0,0,0）.P（0,0,l）,C（0,2,0）-B（l,l,0），A（l,0,0），

可知￡>P=（0,0,1），DB=（1,1,0））

設PQ=2PC=（0,22,-2）（0<2<1）-則￡>Q=DP+PQ=（0,22,1-2）-

設平面3￡>Q的一個法向量/=（4x，zi），

則Pj=°，即卜+x=a、

DQn-,[2打+（1-=0,

令%=1_%,解得Xj—A—1)Z]=—2A,故”]=(2—1,]—2,—22)，

設平面5￡>P的一個法向量為%=（無2，%，Z2），

由,得［%+%=0，

DP-H-,=0,'*2=0,

令%=-1，解得刀2=1，Z2-0,故%=（1，-1,0）,

所以cosUQ」i2||22-2|_3^1

//I)'Wo\勺,〃2/一I11I

V622-42+2-V211

即T7r乎整理，得-2…。,

解得;1=L或；1=—工（舍去）.

42

故2L

PC4

23.答案：（1）證明見解析;

⑵旦;

7

(3)旦.

2

解析：（1）因為BOLAD，因為30/AD，NADC=NBCD=90°，

所以四邊形BODC為矩形