第21講極值點偏移

知識梳理

1、極值點偏移的相關概念

所謂極值點偏移，是指對于單極值函數，由于函數極值點左右的增減速度不同，使得函

數圖像沒有對稱性。若函數/(X)在x=x0處取得極值，且函數y=/(x)與直線y=b交于

/(石1),5。2,3兩點，則AB的中點為M(三產㈤，而往往與w土產。如下圖所示。

圖1極值點不偏移圖2極值點偏移

極值點偏移的定義：對于函數y=/(x)在區間僅))內只有一個極值點飛,方程/(X)

的解分別為X]、x2，且a<$<*2<6,(1)若“1；%//,則稱函數y=/(x)在區間

(七,X2)上極值點X。偏移；(2)若為；〉2〉X。,則函數了=/(工)在區間(X],%2)上極值點

/左偏，簡稱極值點與左偏；(3)若/72<%,則函數y=/(》)在區間(西,*2)上極

值點X。右偏，簡稱極值點X。右偏。

2、對稱變換

主要用來解決與兩個極值點之和、積相關的不等式的證明問題.其解題要點如下：(1)

定函數(極值點為X。)，即利用導函數符號的變化判斷函數單調性，進而確定函數的極值點

X0.

(2)構造函數,即根據極值點構造對稱函數R(x)=/(x)-/(2x0-x)，若證X1/〉x：，

則令/x)=/(x)—/(%).

(3)判斷單調性，即利用導數討論尸(x)的單調性.

(4)比較大小，即判斷函數b(x)在某段區間上的正負，并得出/(%)與/(2x0-x)的大

1

小關系.

(5)轉化，即利用函數/(x)的單調性，將/(x)與/(2x0-x)的大小關系轉化為x與

2x0-x之間的關系，進而得到所證或所求.

【注意】若要證明/[±的符號問題，還需進一步討論土產與X0的大小，得

出土士邃所在的單調區間，從而得出該處導數值的正負.

2

構造差函數是解決極值點偏移的一種有效方法，函數的單調性是函數的重要性質之一，

它的應用貫穿于整個高中數學的教學之中.某些數學問題從表面上看似乎與函數的單調性無

關，但如果我們能挖掘其內在聯系，抓住其本質，那么運用函數的單調性解題，能起到化難

為易、化繁為簡的作用.因此對函數的單調性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧

和方法，這是非常必要的.根據題目的特點，構造一個適當的函數，利用它的單調性進行解

題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，

有著非凡的功效

3、應用對數平均不等式卮＜廣三二＜色至證明極值點偏移：

]nxi-lnx22

①由題中等式中產生對數；

②將所得含對數的等式進行變形得到戶+-;

In芭-Inx2

③利用對數平均不等式來證明相應的問題.

4、比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構造函數利用函數

的單調性證明題中的不等式即可.

必考題型全歸納

題型一：極值點偏移:加法型

例1.(2024?河南周口?高二校聯考階段練習)已知函數=aeR

⑴若。=2,求的單調區間；

Itny+1

(2)若a=l,Ax?是方程〃x)=上^的兩個實數根，證明：X,+X2＞2.

e

2

例2.(2024?河北石家莊?高三校聯考階段練習)已知函數/(x)=/lnx-a(aeR).

(1)求函數的單調區間;

/、2

(2)若函數7'(x)有兩個零點不、X?,證明1＜七+%＜不.

例3.(2024?廣東深圳?高三紅嶺中學校考期末)已知函數/(x)=lnx.

⑴討論函數g(x)=〃x)-ax(aeR)的單調性;

⑵①證明函數"x)=/(x)-二(e為自然對數的底數)在區間(1,2)內有唯一的零點；

e-

②設①中函數尸(X)的零點為X。，記加(x)=min“f(x),/，(其中min{/b}表示a,b中的較小

值)，若/(x)="(〃eR)在區間(l,+oo)內有兩個不相等的實數根匹,%(王＜%)，證明:

再+'2>2%.

變式1.(2024?重慶沙坪壩?重慶南開中學校考模擬預測)已知函數

/(x)=x-sin^x]-alnx,x=1為其極小值點.

⑴求實數”的值；

⑵若存在網片馬，使得/(尤1)=/(々)，求證：再+%＞2.

3

變式2.(2024?湖北武漢?高二武漢市第六中學校考階段練習)已知函數/'(x)=/^lnx-|A

a為實數.

(1)求函數的單調區間；

⑵若函數在X=e處取得極值，/(x)是函數〃x)的導函數，且/'(再)=/'(%),再<々,

證明：2<xx+x2<e

變式3.(2024?江西景德鎮?統考模擬預測)已知函數/a)=(x+D(：+lnx)

(1)若函數/(x)在定義域上單調遞增，求。的最大值；

(2)若函數“X)在定義域上有兩個極值點X］和4，若》2>再，/I=e(e-2),求2不+々的最

小值.

變式4.(2024?全國?模擬預測)已知函數/(x)=%+lnx-x(aeR).

⑴討論函數/(x)的極值點的個數；

(2)若函數/(x)恰有三個極值點為、芍、x3(xj<x2<x3),且退-再41,求尤1+X2+X3的最

大值.

4

變式5.（2024?廣西玉林?高二廣西壯族自治區北流市高級中學校聯考階段練習）已知函數

f(x)=lux-ax,

⑴討論函數40的單調性;

（2）當a=l時，若/（網）=/（3）區<乙），求證：Xj+x2>2

變式6.（2024?安徽?高二安徽師范大學附屬中學校考階段練習）已知函數

/卜)=33_|/+喀耳a>0,an1).

（1）若/（x）為定義域上的增函數，求。的取值范圍;

⑵令a=e,設函數g(x)=/(尤)-4lnx+9x,且g(xj+g(x2)=0,求證：%+x2>3+>/11.

變式7.（2024?全國?高二專題練習）已知函數/（x）=lnx-a（x-2）（aeR）.

⑴試討論函數/（X）的單調性;

3

⑵若函數/（X）有兩個零點七，巧（玉<馬），求證：國+3x,>--“+2.

a

變式8.（2024?全國?高二專題練習）已知函數/（x）=ax2+（Q—2）x—hix（aER）.

⑴討論“X）的單調性;

2

⑵若/（尤）有兩個零點，證明：X1+X,>-.

a

5

變式9.(2024?全國?高三專題練習)設函數〃x)=ln(x-l)J(x2).

⑴若/(x"0對Vxe[2,+⑹恒成立，求實數k的取值范圍；

(2)已知方程上"~^=’有兩個不同的根4、*2,求證：X]+馬>6e+2,其中e=2.71828…

x-13e

為自然對數的底數.

變式10.(2024?江西宜春?高三校考開學考試)已知函數/(無)=3“lnr-(a-3)x,aeR.

⑴當。=1時，求曲線g(無)=/0)-3瓶-$加在x=T處的切線方程；

⑵設A，x?是"(x)=/(x)-(3a-2)htv-3x的兩個不同零點,證明：a(x1+x2)>4.

變式11.(2024?海南?海南華僑中學校考模擬預測)已知函數〃x)=lnx+x(x-3).

⑴討論/(x)的單調性；

2X

(2)若存在占,馬,工3€(。,+8),M<X2<X3,使得/(%)=/'(工2)=)(工3)，求證：1+X2>X}.

題型二：極值點偏移:減法型

6

例4.(2024?全國?模擬預測)已知函數/'(x)=(x-e-l)e，-gex2+e2x.

(1)求函數〃x)的單調區間與極值.

(2)若/(占)=/匡)=/(三)(不<馬<三)，求證：>2%<e-1.

例5.(2024,全國,二專題練習)已知函數/'(x)=e'-2x-(a+1),

g(x)=x2+(a-l)x-(a+2)(其中e。2.71828是自然對數的底數)

⑴試討論函數“X)的零點個數；

(2)當a>l時，設函數〃(x)=/(x)-g(x)的兩個極值點為毛、巧且占<%,求證:

eX2-eX1<4a+2.

例6.(2024?四川成都?高二川大附中校考期中)已知函數〃x)=gx2-ax+lnx(aeR).

(1)若在定義域上不單調，求。的取值范圍；

(2)設a<e+L%,〃分別是〃幻的極大值和極小值，S.S=m-n,求S的取值范圍.

題型三：極值點偏移:乘積型

例7.(2024?全國?高三統考階段練習)已知函數

f(x)=xex+l,xe>0),g(x)=Z7x-^^-.

7

⑴當6=1,“X)和g(x)有相同的最小值，求。的值;

XX

(2)若g(X)有兩個零點x1M2，求證:12>e.

例8.(2024?全國?高三專題練習)已知函數/(x)=lnx.

⑴證明：/(x+l)<x.

(2)若函數〃(x)=2^(x),若存在再使"㈤=〃&),證明：x1-x2<4-.

e

例9.(2024?全國?高三專題練習)已知函數/(%)=%—sinx—tanx+Mnx+b,XG|0,^

(1)求證：2x<sinx+tanx,xeI0,—

⑵若存在玉、x2efo,j\且當x尸馬時，使得/(再)=〃％)成立，求證：苧<1.

變式12.(2024?全國?高二專題練習)已知函數/(x)=ex-xlnx+x2-ax.

⑴證明:若aKe+1,則/(%)20；

(2)證明：若/(%)有兩個零點七，x2,則不々〈I.

8

變式13.（2024?江西南昌?南昌縣蓮塘第一中學校聯考二模）已知函數〃%）=x（lnx-。）,

（、/（x）

g（XJ-----------FQ-CIX.

（1）當時，無）》-lnx-2恒成立，求a的取值范圍.

2

⑵若g（x）的兩個相異零點為X],*2，求證：XjX2＞e.

變式14.（2024?湖北武漢?華中師大一附中校考模擬預測）已知/（x）=2x-sinx-Olnx.

（1）當a=l時，討論函數的極值點個數；

⑵若存在X1,馬（0"＜》2），使/（無1）=/。2），求證：gva.

變式15.（2024?北京通州?統考三模）已知函數/（》）="-巴-111武。＞0）

⑴已知/（x）在點（1,/（D）處的切線方程為＞=xT,求實數a的值；

（2）已知/G）在定義域上是增函數，求實數。的取值范圍.

⑶已知8（"="%）+?有兩個零點不，X],求實數。的取值范圍并證明為七%.

題型四：極值點偏移:商型

例10.（2024?浙江杭州?高三浙江大學附屬中學校考期中）已知函數〃x）=（2e-x）lnx,其

9

中e=2.71828…為自然對數的底數.

(1)討論函數"X)的單調性；

c11cl

(2)若％i，%2￡(°，1)，且%2111再一％11nx2=2%X2(In3-ln%2)，證明:2e<——I<2e+l

再

例11.(2024?全國?統考高考真題)已知函數/(%)=x(l-Inx).

(1)討論/(x)的單調性；

(2)設。，6為兩個不相等的正數，且blnq-Qlnb=a-b,證明：2<—+y<e.

ab

例12.(2024?全國?高三專題練習)已知函數/(x)=x(l-lnx).

⑴討論的單調性；

(2)設。，b為兩個不相等的正數，且blna-Qlnb=a-b,證明：2<—+^-.

ab

變式16.(2024?廣東茂名?茂名市第一中學校考三模)已知函數/(x)=ax+(a-l)lnx+：,

Q￡R.

⑴討論函數的單調性；

(2)若關于x的方程f(x)=xe，-lnx+1有兩個不相等的實數根玉、々，

(i)求實數a的取值范圍;

10

、…e*儼2a

(ii)求證：——+—>-----.

X2尤］XjX2

題型五：極值點偏移:平方型

例13.（2024?廣東廣州?廣州市從化區從化中學校考模擬預測）已知函數/（無）=lnx-a/.

⑴討論函數的單調性：

⑵若士,三是方程/（x）=0的兩不等實根，求證：x；+x；＞2e；

例14.（2024?全國?高二專題練習）已知函數/（無）=二丁-6.

⑴若v-1,求實數。的取值范圍；

12

⑵若/（%）有2個不同的零點不,9（再＜%2），求證：2x,2+3x1＞—.

例15.（2024?全國?高二專題練習）已知函數"x）=t叵，a＞0.

（1）若〃x）Wl,求。的取值范圍;

（2）證明：若存在X],x2,使得/（再）=/（%），則%;+考＞2.

11

1Iriy

變式17.(2024?全國?高三專題練習)已知函數/(x)=-----

ax

(1)討論外)的單調性；

⑵若(叫廣=(%)”，且西>0,x2>0,x^x2,證明：&+￥>亞.

變式18.(2024?全國?高三專題練習)已知函數/(x)=x-sinxcosx-alnx,asR.

(1)當a=0時，求曲線y=/(x)在點處的切線方程;

2

(2)若/(加)=/(〃),0〈m〈n,求證：m+H2>\a\.

題型六：極值點偏移:混合型

n-1—V

例16.(2024?全國?高三專題練習)已知函數/(x)=——(x>0)(e為自然對數的底數,

e

4￡R).

⑴求的單調區間和極值；

(2)若存在尤1片》2，滿足/'(七)=)(工2)，求證：+%.

a+2

例17.(2024?全國?高三專題練習)已知函數.

12

(1)若/⑴=2,求a的值；

(2)若存在兩個不相等的正實數占,三,滿足/(網)=/。2),證明:

①2<X]+X?<2。；

@—<a2+1

再

例18.(2024?全國?高三專題練習)已知函數/(x)=xlnx-1"x2-x+a(aeR),在其定義域

內有兩個不同的極值點.

(1)求。的取值范圍；

⑵記兩個極值點為為，巧，且再<馬,當人當時，求證：不等式網?E>e”恒成立.

變式19.(2024?陜西寶雞?校考模擬預測)已知/(x)=——g(x)=<x+l).

1-x

(1)求>=/(')的單調區間；

(2)當a>0時,若關于x的方程/W+g(x)=0存在兩個正實數根玉(再<%)，證明：a>/

且xxx2<%1+x2.

變式20.(2024?全國?高三專題練習)已知函數/(%)=一一”(不￡三).

(1)判斷函數/(%)的單調性；

(2)若方程/a)+2〃2_3a+l=0有兩個不同的根，求實數。的取值范圍;

(3)如果芭。％2，且/(芭)=/(工2)，求證：方(再+工2)>加2.

13

變式21.(2024?天津河西?統考二模)設左eR,函數/(x)=Inx-Ax.

(1)若1=2,求曲線T=/(x)在曲1,-2)處的切線方程;

(2)若/(x)無零點，求實數左的取值范圍；

(3)若/(x)有兩個相異零點為,工，求證：In^+lnxj>2.

變式22.(2024?四川成都?高二四川省成都列五中學校考階段練習)已知函數

/(x)=x(l-aln尤)，aeR.

(1)討論/(x)的單調性；

⑵若x[o,；時，都有/(力<1,求實數。的取值范圍；

若有不相等的兩個正實數玉，均滿足=亍,證明：x<exx.

(3)；+2l2

變式23.(2024?全國?高三專題練習)已知函數/(月=1-。/+/-1,其中a,6為常數，e

為自然對數底數，e=2.71828???.

(1)當。=0時，若函數〃切20,求實數6的取值范圍；

(2)當6=2。時，若函數/(x)有兩個極值點毛，現有如下三個命題：

①7%1+她>28；②2G(再+%)>3%入2；③A/國-1+Jx2-1〉2;

請從①②③中任選一個進行證明.

14

(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)

變式24.(2024?陜西咸陽?武功縣普集高級中學校考模擬預測)已知函數

f(x)=aln(x+2)-x(ae7?).

(1)討論/(X)的單調性和最值；

⑵若關于x的方程e'W2-上1ln/m=(加>0)有兩個不等的實數根三,三，求證：爐+產>已2.

mmx+2m

變式25.(2024?湖南長沙?長沙市實驗中學校考三模)己知函數/7(x)=x-alnx(aeR).

⑴若"(x)有兩個零點，。的取值范圍；

2

e

(2)若方程xe,-a(lnx+x)=0有兩個實根為、々，且玉片吃，證明：eX1+%2>-----.

變式26.(2024?廣東佛山?高二統考期末)已知函數/(x)=xeX-"lnx-"，其中a>0.

⑴若a=2e,求〃x)的極值：

X1X2

(2)令函數g(x)=/(x)-ax+a,若存在玉，x2使得g(%)=g(%)，證明:^e+x2e>2a.

15

變式27.(2024?全國?高三專題練習)已知函數/(x)=x(l-Hnx),a20.

(1)討論/(%)的單調性;

(2)若時，都有求實數。的取值范圍；

(3)若有不相等的兩個正實數再"2滿足言吐=逸，求證：/+%2<叫%2.

1I1

題型七：拐點偏移問題

例19.(2024?全國?高三專題練習)已知函數/(x)=Zlnx+x?+x.

(1)求曲線>=/(x)在點(1J⑴)處的切線方程.

(2)若正實數外,三滿足/(再)+/(>2)=4,求證：X1+X2>2.

例20.(2024?全國?高三專題練習)已知函數/(x)=21nx+x2+,(aeA),當

時，/(尤)20恒成立.

(1)求實數。的取值范圍；

(2)若正實數不、電02)滿足/(再)+/(々)=。,證明：xl+x2>2.

例21.(2024?陜西咸陽?統考模擬預測)已知函數=-3x+21nx.

(1)求曲線了=/(%)在點(1J(D)處的切線方程；

16

⑵⑴若對于任意