局二數學

（考試時間：120分鐘滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、學校、班級、準考證號填寫在答題卡上，并將條形碼粘

貼在指定位置.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，用0.5毫米黑色字跡簽字

筆將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

2-i

Z-

1.復數1+之的共輾復數是（）

3.3.

A.—iB.—iC.—iD.i

55

【答案】D

【解析】

【分析】先根據復數的除法求z,再根據共軌復數的概念求解.

2-i(2-i)(l-2i)2—4i—i—2

【詳解】復數z=—；

1+21(l+2i)(l-2i)5

則共軟復數為i.

故選：D.

2.已知集合4={劉—2<lnxV2},5={-2,-1,0,1,2,3),則幺口5=()

A.{-1,0}B.{1,2}

C.{-1,0,1)D.{1,2,3}

【答案】D

【解析】

【分析】由對數單調性解集合A中不等式，再求集合交集即可.

【詳解】由—2<lnx<2可得［<x〈e2,故N=

eIe

又因為3={-2,-1,0,1,2,3},

所以Zc8={l,2,3}.

故選：D

3.已知向量不平行，向量31+43與妨—23平行，則上的值是（）

8833

A.B.D.

3322

【答案】C

【解析】

【分析】根據共線定理即可求解.

【詳解】由于3N+4B與版—23平行，故存在實數幾，使得

ka—2b=1（33+4，）n（左—34）a=（42+2）S,

3

由于向量點B不平行，故左—34=0,44+2=0,解得左=—

故選：C

4.少年強則國強，少年智則國智.黨和政府一直重視青少年的健康成長，出臺了一系列政策和行動計劃，

提高學生身體素質.為了加強對學生的營養(yǎng)健康監(jiān)測，某校在3000名學生中，抽查了100名學生的體重數

據情況維.根據所得數據繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結論正確的是（）

［組距

0.06^----------._?

蚱0.05卜三葉一力

o-°rniTn,

O55606570758。春重演

A.樣本的眾數為65B.樣本的第80百分位數為72.5

C.樣本的平均值為67.5D.該校學生中低于65kg的學生大約為1000人

【答案】B

【解析】

【分析】根據眾數，百分位數，平均數的定義判斷A,B,C,再求低于65kg的學生的頻率，由此估計總

體中體重低于65kg的學生的人數，判斷D.

【詳解】由頻率分布直方圖可得眾數為67.5,A錯誤；

平均數為57.5xO.15+62.5x0.25+67.5x0.3+72.5x0.2+77.5x0.1=66.75,C錯誤;

因為體重位于[55,60),[60,65),[65,70),[70,75)的頻率分別為0.15,0.25,0.3,0.2,

因為0.15+0.25+0.3+0.2>0.8,

所以第80百分位數位于區(qū)間[70,75)內，設第80百分位數為x,

則0.15+0.25+0.3+(x-70)x0.04=0.8,

所以x=72.5,即樣本的第80百分位數為72.5,B正確；

樣本中低于65kg的學生的頻率為0.15+0.25=0.4,

所以該校學生中低于65kg的學生大約為3000x0.4=1200,D錯誤；

故選：B.

5.已知圓G:(x+3)~+/=81和G：+/=1,若動圓尸與圓G內切，同時與圓C2外切，則該

動圓圓心的軌跡方程為()

22222222

xyxy1xyxy

AA.—+—=11B.——+—=1C.——+—=1D.——+—=1

1672592516169

【答案】C

【解析】

【分析】根據圓與圓的位置關系可知|尸。1"|尸。2|=10,結合橢圓的定義可得軌跡方程.

【詳解】由己知圓G:(x+3『+y2=81和G:(x—3『+/=1,

可知G(-3,0),19,C2(3,0),r2=l,且『￡|=6，

又動圓尸與圓G內切，同時與圓Q外切，

則=rx-rp=9-rp,\PC2\=r2+rp=l+rp,

所以歸Cj+|尸

所以動點尸到兩個定點Cj-3,0),g(3,0)的距離之和為定值,

即滿足橢圓的定義，

所以點尸的軌跡是以G，C2為焦點的橢圓，

且長軸長度2a=10,焦距2c=6,即a=5,c=3,

所以6=yja1-c1=4，

22

橢圓方程為二+乙=1,

2516

故選：C

6.已知正三棱錐S-4BC的所有頂點都在球。的球面上，棱錐的底面是邊長為2G的正三角形，側棱長

為2石，則球。的表面積為()

A.10兀B.25兀C.lOOnD.125K

【答案】B

【解析】

【分析】先判斷球心在三棱錐的高線陽上，由正弦定理求得CH,求得SH,借助于RtAOHC列方程,

求出外接球半徑即得.

【詳解】如圖，設點S在底面的射影為點〃，

因底面邊長均為26，側棱長均為2石，故球心。在防上，

連接CH,設球。的半徑為7?,則SO=OC=R,

由正弦定理理!_=2cH，解得CH=2,

sin60°

在RtZXS/ZC中，SH=J(262_22=4，則。〃=|4-@，

在RRO//C中，由|4—火「+4=氏2,解得氏=：,

則球。的表面積為S=4JIR2=4兀x(|y=25限

故選：B.

7.已知函數/(x)=xsinx-1與g(x)=a(x2+i)的圖象恰有一個交點，則。=()

A.-1B.1C.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根據函數的奇偶性可確定兩函數的交點在了軸上，由/(0)=g(0)可求得。=-1；代回驗證，結

合導數知識可確定x=0為唯一零點，由此可得結論.

【詳解】:/(X)與g(x)的定義域均為R，/(-x)=-xsin(-x)-l=xsinx-l=/(x),

g(—x)=a[(—x)2+l]=a(x2+l)=g(x),

；J(x)與g(x)均為定義在R上的偶函數，

又/(x)與g(x)的圖象恰有一個交點，，交點必在了軸上,

.?./(O)=g(O),=

當a=-1時，設力(x)=f(x)-g(x)=xsinx+x2=x(sinx+x),

令〃(x)=0,則x=0或sinx+x=0,

令P(x)=sinx+x,貝ij"(x)=cosx+120,p(x)在R上單調遞增，

又夕(0)=0,.,.sinx+x=O有唯一解x=0,

???/(X)與g(x)圖象有唯一交點，橫坐標為x=0,滿足題意；

綜上所述：a=-1.

故選：A.

8.甲、乙兩人同時從A地出發(fā)沿同一路線到達2地，所用的時間分別為小，r2s,甲有一半的時間以速度

加m/s行走，另一半的時間以速度〃m/s行走；乙有一半的路程以速度比m/s行走，另一半的路程以

速度〃m/s行走，且加w〃，則()

A.4>t2B.t1<t2

C.t[=GD.的大小不能確定

【答案】B

【解析】

【分析】設A地到3地相距Sm,根據題意，列出方程①和②，分別求出/[4，通過作差，整理，配方即

可推得％

ttS_S_

【詳解】設A地到3地相距sm,依題意，‘機+'〃=S①，②，

22—+—=t2

mn

由①,可得[=.2S-,由②，可得"="S.

m+n2mn

則上“上——s=s(工一3)=s?駟±±<=s?二^出二

m+n2mnm十n2mn2mn(jn+n)2mn(m+n)

因加w〃，且加,〃〉0,故％一,2<0，即4Vq.

故選：B.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數/(x)=2sin[2x+t],則下列結論成立的是()

A./(x)的最小正周期為兀B,曲線y=/(x)關于直線》='對稱

C.點，],()]是曲線y=/(x)的對稱中心D./(x)在區(qū)間(0,兀)上單調遞增

【答案】AC

【解析】

【分析】根據周期的公式即可求解A,代入驗證即可求解BC,利用整體法，即可求解D.

27T

【詳解】對于A,/(X)的最小正周期為萬=兀,故A正確，

對于B,/=2sin2x^-+y=-2sin^=-1+2,故y=/(%)不關于直線x=g對稱，B錯誤,

V2；V26;62

故，)是曲線()的對稱中心，正

對于c,f2sm2x囁+弓=2sin0=0,1―A0y=/XC

確,

兀7113兀JTJT

對于D,當x6(0,n)時，2x+-e<Z——+2E,—+2E，左eZ,故D錯誤,

622

故選：AC

10.已知尸為拋物線C:/=4x的焦點，C的準線為/,直線x—y—l=0與C交于4,8兩點C4在第一

象限內)，與/交于點。，貝。()

A.\AB\=6

B.\BD\=s/2\BF\

C.以//為直徑的圓與y軸相切

D./上存在點E,使得△幺EF為等邊三角形

【答案】BC

【解析】

【分析】由題意可得直線x-y-l=O經過拋物線焦點/，設a（xi,yi）,B（＞2,y2），聯(lián)立直線與拋物線，可得

西+%的值，從而求解焦點弦，即可判斷A；根據拋物線的定義過43作44'，/,88'JU,垂足為

從而可得忸必，忸目的關系，即可判斷B；結合拋物線的定義以及直線與圓的位置關系，即可判

斷C；根據拋物線的定義結合正三角形的幾何性質，即可判斷D.

【詳解】易知尸（1,0）,準線/的方程為久=—1,則直線x—y—1=0經過焦點尸.

設力（久1，%）風冷72），

y2=4x,

由整理得/一6》+1=0，則再+x,=6,

x-y-l=0,

根據拋物線的定義可知，上理=|4刊+忸刊=3+/+2=8,故A錯誤；

如圖，過45作垂足為H,W,

所以忸司=忸8],所以忸q=0忸典=趣忸刊,故B正確;

以/斤為直徑的圓的半徑為r=M,

2

易知四邊形AFOA"為直角梯形，其中位線長為="1+1=叫,

222

所以/尸為直徑的圓與了相切，故C正確；

當AAEF為等邊三角形時，以可=|/回,

由拋物線的定義可知所以NE4F=45°，這與/為等邊三角形矛盾,

所以/上不存在點￡,使得尸為等邊三角形，故D錯誤.

故選：BC.

11.設函數/（x）=xe，+（l-力廣）則下列結論正確的有（）

A.曲線/⑺是軸對稱圖形

B.函數/（x）有極大值為五

C.若西+%=1,則網/（電）+工2/（々）2八

且乙〉g,則—Xj

D.若%+%2<1

【答案】ACD

【解析】

【分析】將/（1-力代入化簡即可判斷A,求導，根據單調性即可求解B,利用對稱性，結合函數的極值

即可求解CD.

[詳解]對于A,/(1-x)=(l-x)e1-1+[l-(l-x)]e1-('-v)=(l-x)e1-A+xeA=/(x),故/(x)關于

X=1對稱，A正確，

2

對于B,/,(x)=(x+l)e"+(x-2)e1-\易知=+1|卜=o,

所以，在區(qū)間,叫；［上/'（x）<0,則/（x）在,叫g）上單調遞減,

在區(qū)間上/'（x）>0,則/（x）在上單調遞增，

于是/（X）在x=；處取得極小值，即極小值為/［卜正，故B錯誤,

對于C,由玉+々=1，則根據對稱可得/（1一再）=/（再），

%/(國)+X2f(x2)=X1/(X1)+(1-X1)/(1-X1)=^/(Xj)+(1-X1)/(X1)=/(%1),

由選項B可知國/（王）+x2f（x2）=/（xj）>Ve,故C正確,

對于D,由于芭+/<1，且》2〉9，則;<%2<1-七，結合/（X）在

單調遞增，故

/（X2）</（1-X1）>故D正確,

故選：ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.有三臺車床加工同一型號的零件，第一臺為舊車床加工的次品率為10%,第二，三臺為新車床加工的

次品率均為5%,三臺車床加工出來的零件混放在一起.已知一，二，三臺車床加工的零件數分別占總數的

20%,40%,40%.任取一個零件，計算它是次品的概率為.

3

【答案】0.06##-

【解析】

【分析】根據全概率公式求解即可.

【詳解】設3="任取一個零件為次品"，4="零件為第i臺車床加工”[=1,2,3）,

則。二4。4。4，且4，4，4兩兩互斥，

根據題意得尸（4）=02尸（4）=04尸（4）=04，

P（B\4）=0.1,P（B|A1）=P（B\4）=0.05,

由全概率公式得

尸（3）=尸（4）尸（劇4）+尸（4）尸（回4）+尸（4）尸（回4）=02X0.1+04x0.05+0.4x0.05=0.06.

故任取一個零件，它是次品的概率為0.06.

故答案為：0.06.

22

13.已知雙曲線=-￡=1（。〉0力〉0）的左、右焦點分別是片,用，若雙曲線右支上的點

尸]yja2+b2,T）滿足|尸制=?|尸閶，則該雙曲線的離心率為

【答案】互

2

【解析】

【分析】根據雙曲線定義和兩點間距離公式可求得。；由尸在雙曲線上可求得由此可

求得雙曲線離心率.

【詳解】由題意知：4(-c,o),E(GO),P[，|]，

11o3

"尸娟=1|尸閭，?,』尸聞一|尸閭=§|。閶=2。，.?』尸引=片，

.,.|*=J(c—c)2+[￡|=|=|?'解得：0=2；

CL)J2

將x=c代入雙曲線方程得：y2=b2--1=—b?=3,

(aJaT-4

故答案為：旦.

2

—11x>0

14.設aeR,函數/(x)=4J'一八，當a=l時，函數y=/(/(x))有______個零點；若函數

-X+(2X,X<0

V=/(/(》))恰有3個零點，則實數。的取值范圍為.

【答案】①.2(-2,0)

【解析】

【分析】當。=1時，根據零點的定義直接可得解；若函數y=/(/(%?恰有3個零點，設f=/(x),分

情況討論a20和a<0時函數/(x)的圖象，進而討論/(。=0與力=/(x)的解的情況，數形結合即可得

解.

【詳解】當a=l時，/(%)=,2?八，

-x+x,x<0

當x<0時，/(x)<0恒成立，

設/(x)=，，令/(，)=0，可解得/=1，

令/(x)=l，即|x-1|=1,解得x=0或x=2,

即當a=l時，函數y=/(/(x))有2個零點；

當a?0時，由/(x)=9,1可知，

[-X+ax,x<0

當x<0時，/(x)<0恒成立，

所以令/?)=0，/=1，即7=/(x)=l,方程有2個解，

即當a?0時，函數y=/(/(x))有2個零點，不成立；

當a<0時，當xe(—0,0)時/(x)在［一^］］上單調遞增，在［］,()］單調遞減,

r力_

且xe(-e,0)時，/(x)e—00^——,

I4_

此時函數圖象如圖所示，

令/(。=0,解得/=4<0或1=1,

即/(x)=a或/(x)=l，

又f(x)=a有且只有一解，則/(%)=1只能有兩個解，

除?

--<1

叫4，

Q<0

解得一2<。<0,

故答案為：2,(—2,0).

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.記△45C的內角48,C的對邊分別為見“c,且bsin2Z=asin8.

(1)求角A；

(2)若。=嶼,/\48。的面積為38,求△48C的周長.

2

7T

【答案】(1)4=—

3

⑵5+V7.

【解析】

【分析】(1)根據二倍角公式，結合正弦定理邊角互化，即可求解，

(2)根據面積公式可得be的值，結合余弦定理即可求解.

【小問1詳解】

因為加in2Z=asinB,所以2Z?siiL4cosN=asinB.

根據正弦定理，得2sinSsiiL4cosZ=sirUsinS,

因為sing#0,siih4w0,所以cosZ=L

2

又幺e(O,兀)，所以Z=

【小問2詳解】

在△NBC中，由已知SAKC=—besvaA=—be-be=6，

"BC2222

因為幺=巴,°=J7

3

由余弦定理可得/=b2+c2-2bccosA,即7=(b+c)2—2bc—2bc-

即7=(b+c)2—3bc,又6>0,。>0,所以6+。=5.

所以△48C的周長周長為5+J7.

16.隨著互聯(lián)網發(fā)展，網絡已成為人們日常學習、工作和生活不可或缺的部分，互聯(lián)網在帶給人們生活便

捷與高效工作的同時，網絡犯罪也日益增多，為了防范網絡犯罪與網絡詐騙，學校舉辦“網絡安全宣傳倡

議”活動.某學校從全體學生中隨機抽取了400人對“網絡安全宣傳倡議”的了解情況進行問卷調查，統(tǒng)計

結果如下表所示：

男女合計

了解150240

不了解90

合計

⑴根據所提供的數據，完成2x2列聯(lián)表，并依據小概率值a=0.005的獨立性檢驗，能否認為對“網

絡安全宣傳倡議”的了解情況與性別有關？

(2)對了解“網絡安全宣傳倡議”的人按性別用比例分配的分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨

機抽取3人，記X為抽取的3人中女生的人數，求X的分布列和數學期望.

n(ad-be)2

參考公式：/=其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數據:

a0.100.050.0100.005

2.7063.8416.6357.879

【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有關

9

（2）分布列見解析，一

8

【解析】

【分析】（1）完成列聯(lián)表，利用公式求解力？，即可得出結論.

（2）利用超幾何分布求解對應概率，得出分布列，即可得出結果.

【小問1詳解】

根據題意，得到2x2列聯(lián)表為：

男女合計

了解15090240

不了解7090160

合計220180400

零假設為Ho：對“網絡安全宣傳倡議”的了解情況與性別無關聯(lián).

根據列聯(lián)表中數據，可以求得：

2_400x(150x90-90x70)2150

?13,636>7.879=x0005,

220x180x160x24011

根據小概率值a=0.005的獨立性檢驗，我們推斷“。不成立,

即認為對“網絡安全宣傳倡議”的了解情況與性別有關.

【小問2詳解】

從男生中抽取：8x150=5（人），

150+90

從女生中抽取：8x-9y0u=3（人）.

150+90

X的所有可能取值為0,1,2,3,

r35c泣一15

叁,

P(x=o)=m=P(x=i)Cl28

8O

P（X=2）=魯=1|,尸"3）爺J

X的分布列為:

X0123

515151

P

28285656

9

所以E（X）=OxA+lx15+2xi5+3x±8-

28285656

17.如圖，在直三棱柱4BC—481cl中，ZC=3,Z4=4,8C=5,M,N分別是棱的中點，且

AM1A、N.

（1）求證：AC±AM；

（2）若點尸滿足存=2卮，求平面尸/M與平面氏4〃的夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵粵

【解析】

【分析】（1）根據向量的線性運算，結合數量積的運算律，根據向量垂直可得口可=|函|=4,即可根據

線線垂直證明線面垂直，進而可得線線垂直，

（2）建立空間直角坐標系，利用法向量的夾角即可求解.

【小問1詳解】

由于WW_L4N,故

翔=0=＞［方+；函］］有+；百二詬不+；商2+；函不+：函,在=0,

由于三棱柱ABC-481G為直三棱柱，故布_L4,函，布，

因此ZMWN.ZB~2BB［=0=43=BB、制叫二任用=4,

又AC=3,BC=5,故ZC2+ZB2=8。2,.NCLZB,

又AAX1AC,AA}r＞AB=A,AAX,ABu平面ABB4,

故ZC,平面45g4，ZMu平面48月4，故

【小問2詳解】

由于44ZC,4S兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標系,

4(0,0,0),3(4,0,0),。(0,3,0),4(0,0,4).(4,0,2),

4P=2PC^1^=jl^=|(O,3,-4),.-.P(O,2,1

則衣=[0,2,31而=(4,0,2),

AM?應=4x+2z=0

設平面的法向量為比=(xj,z),則＜—k_4,

AP'm=2y+—z=0

令x=3,則應=(3,4,—6),

平面A4W的一個法向量為"=(0,3,0),

設平面尸與平面的夾角為巴

-F應124761

則cos0-1cosm.AC\1=-|-^|(K=|4=-3-乂-1心+42+(—6)2=--6--1，

18.己知數列｛%｝的前力項和S〃=；(l—若2+或=31ogr"，且數列｛c“｝滿足

c”=%也.

⑴求證：數列｛a｝是等差數列；

(2)求證：數列｛g｝的前〃項和〈＜]；

(3)若與—1)對一切“eN*恒成立，求實數/的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析⑶(-co,-2]U[l,+co)

【解析】

【分析】(1)由S“與a”的關系，仿寫作差后求出數列｛%｝的通項，再代入所給方程求出數列抄“｝的通項

即可；

(2)等差與等比數列相乘求和，采用錯位相減法，乘以等比數列的公比，再求和即可；

(3)先證明數列g為遞減數列，求出最大值，再解一元二次不等式求解即可；

【小問1詳解】

由題意知S=----a,

"33

當〃22時，an^Sn-Sn_｛=^an_l-^an,所以

當〃=1時，S]=；-；〃]=〃],所以

所以數列｛%｝是以;為首項，0為公比的等比數列，所以%=[；]

因為2+a=3108盧，所以a=31og"-2=31ogJ-2=3n-2,

所以4=1,令=4+(〃—l)d,可得d=3,

所以數列抄）是以1為首項，3為公差的等差數列.

【小問2詳解】

n

\x（3〃-2）,

由（1）知g=%也=7

所以（=。］+。2~1---HC=；xl+

nx（3〃-2）,

所以=x（3〃-2）,

4"

可得2%+9

兩式相減,

I3和匯旺……『

=—+3x------——-------—x（3〃-2）=------------「，

424"4向

~4

所以＜=2—所以

"33⑷3

【小問3詳解】

若c“W；"2+7—1）對一切〃eN*恒成立，只需要喝的最大值小于或等于；（『+7—1）.

因為％+i—C"=（3"+l）x］；J—（3“+2）x［；J=2_21<Q,

所以q=。2〉。3〉。4〉…，所以數列｛g｝的最大項為C1和。2，且

所以7W+?-1），即/+/-220，

解得/21或f4-2,即實數/的取值范圍是（T?,-2］U［1,+S）.

19.一般地，設函數/（x）在區(qū)間可上連續(xù)，用分點。=玉）<西<…<x"i<%<…〈天=6將區(qū)間

［a,b］分成"個小區(qū)間，每個小區(qū)間的長度為Ax（Ax=苦-X,T）,在每個小區(qū)間［x”i,X』上任取一點

nn

=1,2,…,〃），作和式S,=2/?）Ax=Z/侑）（X,-X-）.如果當Ax無限接近于0（亦即〃—+動

Z=11=1

時，上述和式S"無限趨近于常數S,那么稱該常數S為函數/(x)在區(qū)間［凡句上的定積分，記為

S=f/(x)dx.當/(x)20時，定積分f/(x)ck的幾何意義表示由曲線y=f(x),兩直線x=a,x=6

與x軸所圍成的曲邊梯形的面積(如下圖).

如果/(x)是區(qū)間可上的連續(xù)函數，并且E'(x)=/(x),那么〕：/(同改=/(班=F(b)-F(a)

“xJ

(2)設函數/(x)=ln(x+l),g(x)=M'(x)(x20).

(1)若加g(x)恒成立，求實數加的取值范圍；