專題17道路通行問題

例1.某人某天的工作是，駕車從A地出發，到3,C兩地辦事，最后返回A地A,B,C三地之間各

路段的行駛時間及當天降水概率如表:

路段正常行駛所需時間（小上午降水概率下午降水概率

時）

AB20.30.6

BC20.20.7

CA30.30.9

若在某路段遇到降水，則在該路段行駛的時間需延長1小時.

現有如下兩個方案：

方案甲：上午從A地出發到5地辦事然后到達C地，下午在C地辦事后返回A地；

方案乙：上午從A地出發到C地辦事，下午從C地出發到達8地，辦事后返回A地

（1）若此人8點從A地出發，在各地辦事及午餐的累積時間為2小時，且采用方案甲，求他當日18點或

18點之前能返回A地的概率；

（2）甲、乙兩個方案中，哪個方案有利于辦完事后能更早返回A地？

【解析】解：（1）由題意可知，若各路段均不會遇到降水，則返回A地的時間為17點,

因此若18點之前能返回A地的充要條件是降水的路段數不超過1,

知

記事件M2,3分別表示在上午AB路段降水、上午3c路段降水、下午C4路段降水,

則所求概率:

P=尸（叫監監）+「幽％%）+尸"陷恪）+「幽％加3）

=0.7x0.8x0.1+0.3x0.8x0.1+0.7x0.2x0.1+0.7x0.8x0.9=0.598.

（2）設基本路段正常行駛時間為X,降水概率為p,

則該路段行駛時間X的分布列為：

行駛時間XXX+1

概率P1-PP

E(X)=x(l-p)+(x+Y)p=x+p,

路段正常行駛所需上午上午下午下午

時間（小時）降水概率行駛時間期望降水概率行駛時間期望

值值

AB20.32.30.62.6

BC20.22.20.72.7

CA30.33.30.93.9

設采用甲、乙兩種方案所花費的總行駛時間分別為y,z,

則”=2.3+2.2+3.9=84,

EZ=2.6+2.7+3.3=8.6.

，采用甲方案更有利于辦事之后能更早返回A地.

例2.市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就讀的小學在丙地，三地之間的道路情況如圖所示.假

設工作日不走其它道路，只在圖示的道路中往返，每次在路口選擇道路是隨機的.同一條道路去程與回程

是否堵車相互獨立.假設李先生早上需要先開車送小孩去丙地小學，再返回經甲地趕去乙地上班.假設道

路,4,8,D上下班時間往返出現擁堵的概率都是,,道路C,E上下班時間往返出現擁堵的概率都是工,

105

只要遇到擁堵上學和上班的都會遲到.

⑴求李先生的小孩按時到校的概率；

⑶李先生是否有七成把握能夠按時上班？

⑶設X表示李先生下班時從單位乙到達小學丙遇到擁堵的次數，求X的均值.

【解析】⑴因為道路D、E上班時間往返出現擁堵的概率分別是，和g，因此從甲到丙遇到擁堵的概率是：

11113317

-X—+=—,故李先生的小孩能夠按時到校的概率是1--.

21025202020

17171

⑶甲到丙沒有遇到擁堵的概率是三，丙到甲沒有遇到擁堵的概率也是三，甲到乙遇到擁堵的概率是

IiI112213

—+-x—+-x-=—,甲到乙沒有遇到擁堵的概率是1--,

1031035151515

,李先生上班途中均沒有遇到擁堵的概率是117X：17義1上3=3衛75衛7＜。.7,所以李先生沒有七成把握能夠按

2020156000

時上班.

⑼依題意X可以取0,1,2.

131722121713373236

P(X=0)=—X——=----,P(X=1)=—x—+——x-=----；RX=2)=—x—=----.

1520300152015203001520300

分布列是：

X012

221736

P

300300300

22173617

E(X)=Ox--+---IX--------+2X--------=

30030030060

例3.2018年11月6日-11日，第十二屆中國國際航空航天博覽會在珠海舉行。在航展期間，從珠海市區

開車前往航展地有甲、乙兩條路線可走，已知每輛車走路線甲堵車的概率為:,走路線乙堵車的概率為P，

若現在有月，B兩輛汽車走路線甲，有一輛汽車C走路線乙，且這三輛車是否堵車相互之間沒有影響。

(1)若這三輛汽車中恰有一輛汽車被堵的概率為套，求力的值。

(2)在(1)的條件下，求這三輛汽車中被堵車輛的輛數X的分布列和數學期望。

【解析】(1)由已知得戲w(i_p)1

(2)由題意得X的所有可能取值為0,1,2,3

R22a7ill1

P(X=0)=="P(x=1)=4,P(X=3)==-

'’4438’'J16k744348

所以P(X=2)=1_P(X=O)_P(X=1)_P(X=3)=1—|_5_^=：

所以隨機變量X的分布列為

X0123

3711

P

816648

故E(X)=0x-+lx—+2X-+3X—=-.

k78166486

例4.某校要用三輛汽車從新校區把教職工接到老校區，已知從新校區到老校區有兩條公路，汽車走公路

13

①堵車的概率為了，不堵車的概率為了；汽車走公路②堵車的概率為0,不堵車的概率為1-p.若甲、乙

44

兩輛汽車走公路①，丙汽車由于其他原因走公路②，且三輛車是否堵車相互之間沒有影響.

7

(1)若三輛汽車中恰有一輛汽車被堵的概率為7,求走公路②堵車的概率；

(2)在(1)的條件下，求三輛汽車中被堵車輛的個數J的分布列和數學期望.

【解析】解：(1)三輛車是否堵車相互之間沒有影響

三輛汽車中恰有一輛汽車被堵，是一個獨立重復試驗，

走公路②堵車的概率為P,不堵車的概率為1-/>,

得p)+(3)2.p=2_

244V7416

即印=1,貝=；

即夕的值為g.

(2)由題意知彳可能的取值為0,1,2,3

'74438v'16

代)44324436/44348

的分布列為：

40123

371

P

816648

八3,7c1c15

.—0'—1--F2—1-3,———

8166486

例5.某果園要用三輛汽車將一批水果從所在城市E運至銷售城市F，已知從城市E到城市尸有兩條公路.

統計表明：汽車走公路I堵車的概率為5,走公路II堵車的概率為g,若甲、乙兩輛汽車走公路I,第三

輛汽車丙由于其他原因走公路II運送水果，且三輛汽車是否堵車相互之間沒有影響.

(I)求甲、乙兩輛汽車中恰有一輛堵車的概率；

(II)求三輛汽車中至少有兩輛堵車的概率.

【解析】設“汽車甲走公路I堵車”為事件，4,“汽車乙走公路I堵車”為事件5“汽車丙走公路II堵車”為事件C.

(I)甲、乙兩輛汽車中恰有一輛堵車，有2種情況，

即甲堵車而乙不堵車和甲不堵車而乙堵車，

則其概率為…(")+”巧木除

9

故甲、乙兩輛汽車中恰有一輛堵車的概率為歷；

(II)甲、乙、丙三輛汽車中至少有兩輛堵車即三輛車全部堵車或恰有兩輛汽車堵車，則其概率

P1=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(,ABC)

112(.n121(.1A121r1\211J2、41

10105I10J1051010；1051010J510105)500'

41

故三輛汽車中至少有兩輛堵車的概率為—.

例6.張老師居住在某城鎮的A處，準備開車到學校B處上班。若該地各路段發生堵車事件都是獨立的,

且在同一路段發生堵車事件最多只有一次，發生堵車事件的概率如圖。(例如：/-C-D算作兩個路段：路

段AC發生堵車事件的概率為5,路段CD發生堵車事件的概率為f)。(1)請你為其選擇一條由A到B

的路線，使得途中發生堵車事件的概率最小；(2)若記路線N-C-F-B中遇到堵車次數為隨機變量J,

求占的數學期望后占。

￡*t占盧

擊*

ITTCT5-

【解析】(1)記路段/C發生堵車事件為AC,其余同此表示法。因為各路段發生堵車事件是獨立的，且在

同一路段發生堵車事件最多只有一次，所以路線AH中遇到堵車的概率B為

1-P(AC-CD-DB)=1-P(AC)-P(CD)-P(DB)

=1-P(AC)-P(CD)-P(DB)

=1-[1-P(AQ][1-P(CD)][1-P(DB)J

,91453

1015610

---------------239

同理：路線力一C-d月中遇到堵車的概率2為1-P(ACC尸訴

O(J(J

———91

路線dfEfFfB中遇到堵車的概率R為1-P(AE-EF-FB)=—

300

顯然要使得A到B的路線途中發生堵車事件的概率最小，只可能在以上三條路線中選擇。又

913239

---->---->------

30010800

因此選擇路線，4--B,可使得途中發生堵車事件的概率最小

(2)路線/-CfB中遇到堵車次數占可取值為0,1,2,3

P0=O)=P(ACCFFB)=—

P心=1)=P(ACCF-FB)+P(ACCFFB)+P(ACCF-FB)

1171193119171637

=——X——X1X——X1X——X——=-----------

1020121020121020122400

PC=2)=P(AC?CF?FB)+P(ACCF-FB)+P(ACCF-FB)

1311117193177

=——X——X-------1-------X——X---------1--------X——X——=------------

1020121020121020122400

1313

P(J=3)=P(AC-CF?FB)=——x——x——二-----

1020122400

-I廠廠65611637_77_31

LX—Ox------F1x-------1-2x--------1-3x-------

8002400240024003

故路線AJF-B中遇到堵車次數的數學期望為g

例7.自駕游從A地到3地有甲乙兩條線路，甲線路是A—C—。―5,乙線是A—E—尸―G—,

其中CO段、所段、GH段都是易堵車路段.假設這三條路段堵車與否相互獨立.這三條路段的堵車概率及

平均堵車時間如表I所示.經調查發現，堵車概率X在［上變化，丁在上變化.在不堵車的情況下.

走線路甲需汽油費50。元，走線路乙需汽油費545元.而每堵車1小時，需多花汽油費20元.路政局為了估計

CZ）段平均堵車時間，調查了10。名走甲線路的司機，得到表2數據.

CD段EF段GH段

堵車概率Xy

4

平均堵車時間

a21

（單位：小時）

(表1)

堵車時間（單位：小時）頻數

[0,1]8

(1,2]6

(2,3]38

(3,4]24

(4,5]24

（表2）

（1）求CD段平均堵車時間。的值.

（2）若只考慮所花汽油費期望值的大小，為了節約，求選擇走甲線路的概率.

（3）在（2）的條件下，某4名司機中走甲線路的人數記為X,求X的數學期望。

【解析】

cu8-6「38124「245

(1)a—0.5x------F1.5x------2.5x-------1-3.5x-----\-4.5x-----3

100100100100100

(2)設走線路甲所花汽油費為J元，貝!]￡4=500(1—x)+(500+60)x=500+60x

設走乙線路多花的汽油費為〃元，

VEF段、G”段堵車與否相互獨立，

p(77=O)=(l-y)H-^-j,P(f7=2O)=(l-y)j,

產=40)=—j,「位=60)=；1丫

4

/.Eri=40y+5

???走乙線路所花汽油費的數學期望為￡(545+77)=545+助=550+40y

依題意選擇走甲線路應滿足(550+40y)-(500+60x)>0,

「21

6x-4y-5<0,3^.—<x<l,0<_y<—,

7

；.P(走路甲)="

(3)二項分布￡X=3.5

例8.如圖，某工人的住所在A處，上班的企業在。處，開車上下班的路線有三條路程幾乎相等的線路供

選擇:環城南路經過醫院的路口C，環城北路經過學校的路口廠，中間路線經過商場的路口G。如果開車到

五個路口以C、E、F、G因遇到紅燈而堵車的概率分別為，再無別的路口紅燈.

⑴為了減少開車在路口因遇到紅燈而堵車的次數，這位工人應該選擇哪條行駛路線?

⑶對于⑴所選擇的路線，求其堵車次數的方差.

點睛：本題主要考查了隨機變量的分布列、數學期望和方程的求解以及應用，著重考查了考生的推理與運

算能力，以及函數與方程思想，試題能很好的考查考生數學應用意識，屬于中檔試題.

【解析】（1）設這位工人選擇行駛路線ABC。、AFED、ABGED的分別堵車X、X2sX3次,

則乂,2=0,1,2；X3=0,1,2,3

由于p(X]=o)=---=-,p(xx=i)=A,l+^,l=l,P(*=2)=-J

)525v1752522

117

則期望值E(xJ=o+>5+2?伍=正

由于尸區=0)=11=1，?匹=1)=：|+|?卜1

,P(X2=2)=---=—

、273412

517

則期望值石(X2)=0+l?歷+2?方=正

345147

由于P（X3=0）=

-

5642—)564564564120

1111

p(X=2)=-----,p(X=2)=

[33>56456456410V33)564-120’

471174

則期望值石(X3)=0+1——+2?一+3——=—.

V3712010120120

比較知E（X?）最小，所以這位工人應該選擇行駛路線AFED

7151

（2）已求七匹）=不最小，且尸匹=0）=-,P（X2=1）=-,P（x2=2）=-

A.乙乙X.乙A.乙

22222

則0"2)=0—:」1+1-2二5+2一工；17-6+5-5+1770859

212121212123一談一不'

59

所以符合題意的方差為市

例9.為響應綠色出行，某市在：推出“共亨單車”后，又推出“新能源分時租賃汽車”，其中一款新能源分口寸

租賃汽車具體收費標準為日間0.5元/分鐘，晚間（18時30分至次日上午7時30分）收費35元/小時，已知孫

先生家離上班地點2。公里，每天日間租用該款汽車上、下班各一次.由于堵車、紅綠燈等因素，每次路上開

車花費的時間t(分鐘)是一個隨機變量.現統計了50次路上開車花費時間，在各時間段內的頻數分布情況如

表所示：

時間t(分鐘)(20,30](30,40](40,50](50,60](60,70]

頻數41618102

將各時間段發生的頻率視為概率，每次路上開車花費的時間視為用車時間，范圍為(20,70］分鐘.

(1)若孫先生一次開車時間不超過40分鐘為“路段暢通”，設X表示4次租用新能源分時租賃汽車中“路段暢

通”的次數，求X的分布列和期望；

(2)若公司每月給1000元的車補，請估計孫先生每月(按22天計算)的車補是否足夠上、下班租用新能源分

時租賃汽車？并說明理由.(同一時段，用該區間的中點值作代表).

【解析】(1)孫先生租用一次新能源汽車，為“路段暢通”的頻率為鬻=|,

視頻率為概率，孫先生租用一次新能源汽車，為“路段暢通”的概率為1,

則X的可能取值為0,1,2,3,4；且X服從二項分布B(4,|),

所以P(X=0)=以.《)4=短;

P(X=1)=盤?|.(|)3=魯；

P(X=2)=隨(|)2.(|)2=|||；

P(X=3)=盤.(|)3.|=裝；

P(X=4)=酸.(|)4=建；

X的分布列為：

X01234

812162169616

P

625625625625625

數學期望為E（X）=np=4x|=|；

（2）孫先生租用一次新能源汽車上下班，平均用車時間為t,

則”25X小35x小45x小55x9+65x>43（分鐘）,

每次上下班租車的費用約為43x0.5=21.5（元），

一個月上下班租車的總費用約為21.5x2X22=946（元），

因為946<1000,估計孫先生每月的車補足夠上、下班租用新能源分時租賃汽車.

例10.為響應低碳綠色出行，某市推出“新能源分時租賃汽車”，其中一款新能源分時租賃汽車，每次租車

收費的標準由以下兩部分組成：①根據行駛里數