專題18數列（解答題壓軸題）

目錄

①數列求通項，求和.................................................1

②數列中的恒成立（能成立）問題......................................5

③數列與函數.......................................................8

④數列與概率......................................................11

①數列求通項，求和

1.（2023?江蘇徐州?校考模擬預測）已知數列｛%｝的前，項和為S“，且—=4+1,%=2.

n

⑴求數列｛風｝的通項公式；

（2）集合A=｛q,g,…將集合A的所有非空子集中最小的元素相加，其和記為T,，求方.

2.（2023?云南昭通?校聯考模擬預測）已知各項均為正數的數列｛4｝的首項4=1,其前〃項和為"，從①

%=2厄-1；②$2=4耳，5?+1+S?_,=2（S?+l）（?>2）;③。“=向+宿（〃22）中任選一個條件作為已

知，并解答下列問題.

⑴求數列｛4｝的通項公式；

⑵設2=不丁，設數列｛〃｝的前“項和，，求證：4<7；<1,

（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）.

3.(2023?海南海口?海南華僑中學校考一模)已知各項均為正數的數列｛%｝滿足2其=%+1,其中S“是數

列｛。“｝的前〃項和.

⑴求數列｛%｝的通項公式；

(2)若對任意“eN+，且當“22時，總有士+不\+J+…+不」＜2恒成立，求實數幾的取值范圍.

4.(2023?湖南郴州?安仁縣第一中學校聯考模擬預測)已知數列｛%｝的前〃項和為

S“,9=1,a2=2,(2n+3)S?+1=(/i+2)S?+(?+l)Sn+2(〃eN*).

⑴求數列｛%｝的通項公式；

⑵已知數列卜g2T卜勺前〃項和為0g=闌(取整函數國表示不超過x的整數，如［2』=2),求數列

｛%｝的前100項的和Moo.

5.(2023?湖南郴州?統考模擬預測)已知正項等比數列｛凡｝的前〃項和為S,，且滿足卬=1,%%%=64,數

列｛〃,｝滿足乙=1，4+1％+；63+…+工2=2+1-l(〃eN*).

⑴求數列｛4｝,也｝的通項公式；

(2)設1=a”+(7)"(2"+1),求數列｛5｝的前2”項和心.

是偶數，

6.（2023?湖南長沙?長郡中學校聯考模擬預測）已知數列｛4｝滿足q=3,且“用

-L"是奇數.

⑴設4=%“+%,「求數列也｝的通項公式;

⑵設數列｛。“｝的前n項和為S“，求使得不等式S“>2023成立的n的最小值.

7.（2023?山西運城?山西省運城中學校校考二模）已知數列｛%｝滿足3+彳+*+*+…+黑=罕.

（1）求數列｛。“｝的通項公式；

⑵記數列一^的前“項和為s“，證明：5?<i

IJ2

8.（2023?福建三明?統考三模）已知數列｛。“｝滿足4=2,2a?+1+aA+1-2a?=0（neN*）.

⑴求數列｛%｝的通項公式；

⑵設2=（-0,（4〃2：I）J,帆｝的前〃項和為S“，證明：-1<S2?<-1.

9.（2023?湖北武漢?統考模擬預測）已知S,是數列｛”“｝的前〃項和，2Sn=nan,?2=3,

⑴求數列｛〃“｝的通項公式；

⑵若。=|16-??|,求數例J也｝的前〃項和發.

,、44g

10.（2023?福建福州?福建省福州第一中學校考模擬預測）已知數列｛%｝的首項4=三，〃eN*.

⑴設4=善J,求數列｛2｝的通項公式；

[~an

（2）在外與4+1（其中左WN*）之間插入2/個3,使它們和原數列的項構成一個新的數列｛g｝.記s“為數列｛%｝

的前〃項和，求$36.

11.（2023?山東泰安?統考模擬預測）已知數列｛%｝是遞增的等差數列，圾｝是公比為2的等比數列，也｝的

前〃項和為S“，且。2，。6嗎4成等比數列，邑="-1,4也，生成等差數列.

⑴求｛%｝,｛〃｝的通項公式;

（2）若%=%也，4=（-1＞（3〃+8）的前〃項和J證明：一萼"一梟

2460

an-c,l+l

xa+12

12.（2023?河北?統考模擬預測）已知數列｛（%｝的前幾項和為S“，且」］=一.

3〃n

（1）證明：數列｛%｝是等差數列；

⑵若為+1,%+1，。5成等比數列.從下面三個條件中選擇一個，求數列也,｝的前〃項和7“.（注：如果選擇

多個條件分別解答，按第一個解答計分）

①二二;③3晨.

②數列中的恒成立（能成立）問題

1.（2023?吉林,長春吉大附中實驗學校校考模擬預測）圖中的數陣滿足：每一行從左到右成等差數列，每

一列從上到下成等比數列，且公比均為實數49,1>0,%3=5,%2=-6，。：2=%,5.

（1）設勿=冊”，求數列也｝的通項公式;

⑵設S“=.+%+…是否存在實數X,使。如”恒成立，若存在，求出力的所有值，若不存在,

請說明理由.

2.（2023?河北?統考模擬預測）已知數列｛%｝的前〃項和為S“，點（",S“）在曲線無2-2無+y=0上.

（1）證明：數列｛%｝為等差數列；

⑵若6〃，數列｛2｝的前〃項和T,滿足加（-2V7；對一切正整數〃恒成立，求實數機的值.

+,

3.（2023?云南?校聯考模擬預測）已知數列｛4｝的前“項和為S",4=1,S?+1=25?+2",?fN*.

⑴求數列｛《,｝的通項公式;

⑵設2=*,｛〃｝的前〃項和為4,若對任意的正整數不等式7“>七"恒成立,求實數"的取值

范圍.

4.（2023?浙江?二模）記管為正數列｛%｝的前〃項和，已知｛、-4｝是等差數列.

a.

⑴求六

。100

⑵求最小的正整數機，使得存在數列｛%｝,與-%>2.

5.（2023?上海徐匯?統考一模）對于數列｛尤“｝,｛%｝,其中%eZ,對任意正整數〃都有氏,則

稱數列｛%｝為數列代｝的"接近數列".已知也｝為數列｛叫的“接近數列"，且,B'=》.

1=1Z=1

⑴若%=〃+；（〃是正整數），求仇，b2,b3,“的值；

（2）若4=3+［-2］向（〃是正整數），是否存在左（左是正整數），使得為＜瓦，如果存在，請求出上的

2I10）

最小值，如果不存在，請說明理由；

⑶若｛%｝為無窮等差數列，公差為d,求證：數列也｝為等差數列的充要條件是deZ.

6.（2023?四川雅安?統考模擬預測）給出以下條件：①出，/+2,q+4成等比數列；@S2,《，邑+4

成等比數列；③,是［與5的等差中項.從中任選一個，補充在下面的橫線上，再解答.

〃5

已知單調遞增的等差數列｛%｝的前〃項和為S”，且q=2,.

⑴求｛%｝的通項公式；

⑵令是以2為首項，2為公比的等比數列，數列抄“｝的前”項和為若〃eN*,

2（＜+2"+2-4）＞85“-26%,求實數X的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

③數列與函數

1.(2023?上海楊浦?復旦附中校考模擬預測)設y=/(尤)是定義域為R的函數，如果對任意的4、

尤2W尤2),b(%)—f(無2)|<|占一馬|均成立，則稱>=/(x)是“平緩函數

⑴若工(無)=上,力(無)=sin.r,試判斷y=/(x)和y=力⑴是否為“平緩函數”?并說明理由;(參考公式：

X+1

%>0時，sinxvx恒成立)

⑵若函數y=/(x)是“平緩函數〃，且y=/(x)是以1為周期的周期函數，證明:對任意的毛、9￡R，均

有/㈤-

⑶設y=g(x)為定義在R上函數，且存在正常數A>1使得函數y=Ag(x)為“平緩函數現定義數列

｛招｝滿足:菁=。,％=g(九)("=2,3,4,...),試證明:對任意的正整數n,g(xn)<坐等.

2.(2023春?上海黃浦?高三上海市大同中學校考階段練習)設函數〃x)=ln(x+l),g(x)=-^-.

①記X]=g⑴，xn+l=g(xn),neN,n>l.證明：數列為等差數列；

(2)設〃zeZ.若對任意尤>0均有/(%)>7咫(彳)-1成立，求機的最大值；

⑶是否存在正整數I使得對任意〃eN,n>t,都有(左)成立?若存在，求/的最小可能值;

k=\

若不存在，說明理由.

3.(2023春?上海閔行,高二上海市七寶中學校考期中)已知/(x)=lnx+』，g(x)=/(x)-x.

X

⑴求函數y=/(x)的單調區間；

(2)容易證明/。)>1對任意的彳〉1都成立，若點〃的坐標為(Li),p、Q為函數y=〃x)圖像上橫坐標均大

于1的不同兩點，試證明：ZPMQ<30°；

/、

⑶數列｛%｝滿足4e(0,l),an+1=f(an),證明：g4呼旦<0.

\an+2~an+37

4.(2023春?吉林通化?高二梅河口市第五中學校考階段練習)已知函數/(x)=emMwR.

⑴令g(x)=誓,討論g(x)的單調性；

2

￡(+...+

(2)證明:I1I<-f=^——,MeN*.

4+I2nA^(e-l)

⑶若。=1,對于任意的機,“eR,不等式干工+”(In")"(m)+220恒成立，求實數6的取值范圍.

5.(2023?全國?高三專題練習)若函數y=/(x)是其定義域內的區間/上的嚴格增函數，而y=的是/上

X

的嚴格減函數，則稱y=/(x)是/上的"弱增函數".若數列｛?｝是嚴格增數列，而，?;是嚴格減數列，則稱

｛q｝是"弱增數列

⑴判斷函數y=lnx是否為(e,+8)上的"弱增函數"，并說明理由(其中e是自然對數的底數)；

⑵已知函數y=/(x)與函數〉=-2/一八-8的圖像關于坐標原點對稱，若y=/(x)是在〃，句上的"弱增函數",

求”-加的最大值；

⑶已知等差數列｛““｝是首項為4的“弱增數列"，且公差d是偶數.記｛4“｝的前〃項和為s“，設，=號薩(〃

是正整數，常數22-2),若存在正整數％和機，使得4且￡=圖，求2所有可能的值.

6.(2023?上海楊浦?統考一模)已知函數力(x)=x"+x+a,其中“為正整數，且為常數.

(1)求函數y=%(x)的單調增區間；

⑵若對于任意〃，函數＞=力(耳，在GJ內均存在唯一零點，求。的取值范圍；

⑶設X,是函數y=A(x)大于0的零點，其構成數列代｝.問：是否存在實數a使得｛%｝中的部分項：%,

%，%(其中，＜/時，％?＜%)構成一個無窮等比數列｛。"｝若存在；求出。；若不存在請說明

理由.

7.(2023?全國?高三專題練習)已知等差數列｛。,｝公差為d(dH。)，前〃項和為力.

⑴若。=7,$3=12,求｛%｝的通項公式；

(2)若4=1,%、%、%成等比數列，且存在正整數p、qgq),使得"與％均為整數，求的值;

QP

QX_1(2022、(2022、

⑶若〃X)=:，證明對任意的等差數列｛%｝,不等式￡>?￡y(q)20恒成立.

2+1\Z=1)Vi=lJ

④數列與概率

1.(2023?湖南?校聯考模擬預測)一部電視連續劇共有“+15210)集，某同學看了第一集后，被該電視劇

的劇情所吸引，制定了如下的觀看計劃：從看完第一集后的第一天算起，把余下的“集電視劇隨機分配在2-

天內；每天要么不看，要么看完完整的一集；每天至多看一集.已知這部電視劇最精彩的部分在第〃集，設

該同學觀看第一集后的第X天觀看該集.

(1)求X的分布列；

(2)證明：最有可能在第(2〃-2)天觀看最精彩的第〃集.

2.（2023春?河北唐山?高二校考期末）第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦.在

決賽中，阿根廷隊通過點球戰勝法國隊獲得冠軍.

GFIFWAWORLDRCUP

（i）撲點球的難度一般比較大，假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將

也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球,而且門將即使方向判斷正確也有;的可能性撲不

到球.不考慮其它因素，在一次點球大戰中，求門將在前三次撲到點球的個數X的分布列和期望；

⑵好成績的取得離不開平時的努力訓練，甲、乙、丙三名前鋒隊員在某次傳接球的訓練中，球從甲腳下開始，

等可能地隨機傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外2人中的1人，如此不停

地傳下去，假設傳出的球都能接住.記第w次傳球之前球在甲腳下的概率為P",易知"=1，幺=。.

①試證明：，必一:，為等比數歹U;

②設第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn,比較0。與qio的大小.

3.（2023?全國?高三專題練習）小明進行射擊練習，他第一次射擊中靶的概率為0.7,從第二次射擊開始,

若前一次中靶，則該次射擊中靶的概率為09否則中靶概率為0.7.

⑴求小明射擊3次恰有2次中靶的概率；

⑵①分別求小明第2次，第3次中靶的概率.

②求小明第〃次中靶的概率.

4.（2023?全國?高三專題練習）學校籃球隊30名同學按照1,2,30號站成一列做傳球投籃練習，籃球

7

首先由1號傳出，訓練規則要求：第機（1（〃江28,機eN）號同學得到球后傳給m+1號同學的概率為。，傳

給加+2號同學的概率為:，直到傳到第29號（投籃練習）或第30號（投籃練習）時，認定一輪訓練結束，

已知29號同學投籃命中的概率為:，30號同學投籃命中的概率為?，設傳球傳到第〃（2W〃<30,"cN）號

的概率為尸

⑴求巴的值；

（2）證明:｛之「￡｝（2<〃W28）是等比數列；

⑶比較29號和30號投籃命中的概率大小.

5.（2023?全國?高三專題練習）某校為了解該校學生"停課不停學”的網絡學習效率，隨機抽查了高一年級

100位學生的某次數學成績（單位：分），得到如下所示的頻率分布直方圖：

⑵根據整個年級的數學成績可以認為學生的數學成績X近似地服從正態分布N（〃，4）,經計算，（1）中

樣本的標準差s的近似值為10,用樣本平均數最作為〃的近似值，用樣本標準差s作為。的估計值，現任抽

取一位學生，求他的數學成績恰在64分到94分之間的概率；（若隨機變量X~N（〃，4）,則

P（"-+0.6827,P（/z—2b<X<JLL+2b）?0.9545,P（/z—3cr<X<//+3b）?0.9973）

⑶該年級1班的數學老師為了能每天督促學生的網絡學習，提高學生每天的作業質量及學習數學的積極性，

特意在微信上設計了一個每日作業小程序，每當學生提交的作業獲得優秀時，就有機會參與一次小程序中"

玩游戲，得獎勵積分”的活動，開學后可根據獲得積分的多少向老師領取相應的小獎品.小程序頁面上有一列

方格，共15格，剛開始有只小兔子在第1格，每點一下游戲的開始按鈕，小兔子就沿著方格跳一下，每次

跳1格或跳2格，概率均為依次點擊游戲的開始按鈕，直到小兔子跳到第14格（獎勵0分）或第15

格（獎勵5分）時，游戲結束，每天的積分自動累加，設小兔子跳到第”（IV"W14）格的概率為匕，試證明

｛5+1-2｝是等比數列，并求4（獲勝的概率）的值.

6.(2023?全國?高三專題練習)2022年4月23日是第27個“世界讀書日”，某校組織“讀書使青春展翅，知

識讓生命飛翔”主題知識競賽，規定參賽同學每答對一題得2分，答錯得1分，不限制答題次數.已知小明能

正確回答每題的概率都為且每次回答問題是相互獨立的，記小明得〃分的概率為P(〃)，〃eN*.

⑴求p(2),p⑶的值;

(2)求p(〃).

7.(2023春?浙江寧波,高二校聯考期末)某商場擬在周年店慶進行促銷活動，對一次性消費超過200元的

顧客，特別推出"玩游戲，送禮券”的活動，游戲規則如下：每輪游戲都拋擲一枚質地均勻的骰子，若向上點

數不超過4點，獲得1分，否則獲得2分，進行若干輪游戲，若累計得分為9分，則游戲結束，可得到200

元禮券，若累計得分為10分，則游戲結束，可得到紀念品一份，最多進行9輪游戲.

(1)當進行完3輪游戲時，總分為X,求X的分布列和數學期望；

(2)若累計得分為i的概率為口?=1,2,…,9),初始分數為0分，記為=1

(i)證明：數列｛口-加｝?=1,2,…,9)是等比數列;

(ii)求活動參與者得到紀念品的概率.

8.（2023?全國?高三專題練習）某學校組織數學，物理學科答題競賽活動，該學校準備了100個相同的箱子，

其中第=2,…,100）個箱子中有左個數學題，100-左個物理題.每一輪競賽活動規則如下：任選一個箱

子，依次抽取三個題目（每次取出不放回），并全部作答完畢，則該輪活動結束；若此輪活動中，三個題

目全部答對獲得一個獎品.

⑴已知學生甲在每一輪活動中，都抽中了2個數學題，1個物理題，且甲答對每一個數學題的概率為"，答

對每一個物理題的概率為q.

①求學生甲第一輪活動獲得一個獎品的概率；

②已知。+4=1,學生甲理論上至少要進行多少輪活動才能獲得四個獎品？并求此時。、q的值.

⑵若學生乙只參加一輪活動，求乙第三次抽到物理題的概率.

專題18數列(解答題壓軸題)

目錄

①數列求通項，求和.................................................1

②數列中的恒成立(能成立)問題......................................5

③數列與函數.......................................................8

④數列與概率......................................................11

①數列求通項，求和

1.(2023?江蘇徐州?校考模擬預測)已知數列｛%｝的前幾項和為且一=a“+l,?=2.

n2

⑴求數列｛%｝的通項公式；

(2)集合4=｛%的，…，％｝，將集合A的所有非空子集中最小的元素相加，其和記為7,,求

【答案】⑴4="

n+l

(2)Tn=2-n-2

【詳解】(1)當”=1時，24=4+1,則4=1,且％=2；

當時，“一〃兩式相減得〃

"222Sn=nan+n,2s=(“-1)%+-1,2a“=—(—+1,

.(n-2)an—(n-l)an_1=-l(?>2),

,當時，-^5--^=--—^=-7即一^~7=~^

幾一1九一2(n—l)(n—2)n—1n—2n—1n—1n—2n—2

則上———=^-1=1,/.a=n.

n-1n-\3-2〃n

綜上，a”="對任意〃eN*都成立.

(2)A=｛q,%…,％｝=｛1,2,3,…㈤,集合A的非空子集有2"-1個,

其中最小元素為1的集合中，含1個元素的集合有1個，含2個元素的集合有CL個，

含3個元素的集合有C3個，......,含〃個元素的集合有個，

所以最小元素為1的子集個數為C"+CT+C"+…+C,；=2"T個，

同理，最小元素為2的子集個數為C二+CL+C工+■?■+=2"-2個，

……，最小元素為〃的子集個數為1個，

1

Tn=lx2^+2x2"^+---+(n-l)x2+nxl,

1,1

2

-Tn=lx2"-+---+(n-2)x2+(w-l)xl+?ix-,

J-T=2--1+r-2+---+2+l--=i^--=2n-l--,則7；=2"i-〃一2.

221-222

2.(2023,云南昭通?校聯考模擬預測)已知各項均為正數的數列｛4｝的首項4=1,其前〃項和為S“，從①

%=2四-1；②S?=4E，Sn+1+S?_1=2(S?+l)(?>2);③a,=￡+￡7(〃22)中任選一個條件作為已

知，并解答下列問題.

⑴求數列｛%｝的通項公式；

(JQ

⑵設么=三個，設數列也｝的前〃項和4,求證：白雪<1.

(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分).

【答案】⑴條件選擇見解析，??=2?-1

(2)證明見解析.

【詳解】(1)選擇①：因為。“=2后-1,則4s,=a；+2a.+l,4S,T=a3+2ai+l(〃22),

兩式相減得4a“=a；+2(a“-。修)(〃22),即(aa-a,——2)=。(〃32),

而V〃eN*,??>0,則％-a,_i=2(〃22),因此數列｛%｝是以q=1為首項，2為公差的等差數列，

所以。“=1+2(〃-1)=2〃-1.

選擇②：因為S向+5一=20+1)(〃22),則S“「S”=S,「Si+25"),

于是當"22時，an+l=an+2,即=2,由$2=45],得的+^^甸，

即有4-q=2q=2,因此V〃eN*,"“+「4=2,即數列｛4｝是以q=1為首項，2為公差的等差數列，

所以%=1+2(〃-1)=2〃-1.

選擇③：因為a“=S“-S,T(〃N2),又見=后+卮(”22),

則s,_Sj=S+卮，即(崗+用)(向—歷)=瘋+用，

顯然后+匹=%>。(心2)，于是后-后=1,即｛#；｝是以1為首項，1為公差的等差數列，

從而6'="，即S"=>2,因此a”=S“—S._]=2"—1("22)，而4=1滿足上式,

所以g=2"-1.

(2)由(1)知，an=2n-l,S"="('+"")=",

2

2

因此"Sn-S?+lSn-Sn+1SnSn+ln("+1)2'

IT7777I11111.1

則7；=4+d+&+-+2=1-域+級方+-一+/-即產=1-西泮

顯然數列%%）單調遞減，于是。＜—貝亭1-合-

3

所以H47；＜L

3.（2023?海南海口?海南華僑中學校考一模）已知各項均為正數的數列｛%｝滿足2#；=4+1,其中S“是數

列｛%｝的前w項和.

⑴求數列｛%｝的通項公式；

1111

（2）若對任意〃eN+，且當w22時，總有工+丁匚+丁7+…+不;＜2恒成立，求實數2的取值范圍.

43］?—1?3—13“—1

【答案】（1）。“=2〃-1

（2）［1,+8）.

【詳解】（1）2s=%+1,二S"［平）

當〃=1時，解得％=L

當“22時，％=5“一5“_=（鋁：一|^^］,

即（%十%一1）（%-1-2）=。,

???4―。〃-1.2=0,

」?數列｛?｝是以1為首項，2為公差的等差數列，

/.an=2n-l.

（2）因為4=2〃-1,所以+所

,1111If11｝

二當“22時，而=門=5f（〃+1）=5［二一；^,

A>I,

實數4的取值范圍為[1,內).

4.(2023?湖南郴州?安仁縣第一中學校聯考模擬預測)已知數列｛4｝的前〃項和為

=1,02=2,(2/i.+3)S?+1=(7i+2)S?+(;z+l)S?+2(;zeN*).

⑴求數列｛《｝的通項公式；

⑵已知數列卜gZ子^的前〃項和為&%=y](取整函數國表示不超過x的整數，如[2』=2),求數列

｛c“｝的前100項的和陷狽.

【答案】⑴4="

(2)486

【詳解】⑴?.?(2〃+3)鼠=(〃+2電+(〃+1)“，

???5+1)(“-s.)=(〃+2g+T),

即(〃+1)%+2=5+2).吐=竺|,

%〃+1

aH&Aa”n

「?當"23時，1=1r,又一二2適合上式，所以當〃>2時，=7,

an_xn-1axan_xn-1

aa.a_a,nn—\n-23,

所以當2時，—?—?—0??…—=-r?―-?--??…不x2xl二〃，

an_xan_2an_3qn-1n-2n—32

當〃=1時，q=l,符合上式，

(2)=n,log=log(?+1)-log?,

2。〃2一2一

Tn=(log22-log2l)+(log23—log22)+.?,+(log2(n+l)-log2n)=log2(n+l),

c

則n=[Z,]=[log2(n+l)],.-.必oo=[log22]+[log23]+---+[logzlOl],

???[log22]=[log23]=l,[log24]=[log25]=

[log26]=[log27]=2,...,[log264]=…=[log2101]=6,

25

/.M100=2X1+2X2H----I-2X5+38X6=486.

5.(2023?湖南郴州?統考模擬預測)已知正項等比數列｛%｝的前w項和為S“，且滿足4=1,%%%=64,數

列｛〃｝滿足仿=1,4+92+,3+…=2+iT(〃eN*).

⑴求數列｛4｝,｛或｝的通項公式；

(2)設g=an+(T)"(22+1),求數列｛%｝的前2〃項和T2rl.

【答案】(1以=2"\bn=n.

⑵&=22"+2”-1.

【詳解】（1）設數列｛q｝的公比為4，由已知得4>0,

因為％。3a4=64,所以靖=64,得生=4,

又q=1.所以4=2,

所以a“=%q"T=2"T,

對于數列也｝,因為4+"+"+…+%,=%T①

23n

當〃=1時，bx=b2-l,則d=2,

當〃>2時，1②，

23n—1

1〃+1

由①一②得一勿=么+i-2，即工—=下，

又%=2,也適合上式，故T=S（〃eN*）

v7

abnn

2

--1=n,又瓦=1,

所以2=”;

(2)由(1)可得：an=T-\bn=n,

則cn=an+(-1)"(2,+1)=2i+(-1)"(2〃+1),

則數列｛%｝的前2〃項和為：

22n-1

T2n=2°+(-1)-(2+1)+21+(-1)-(2x2+1)+…+2+(-1產?(2?2〃+1),

所以：

=(20+21+22+---+22,,~1)+[(-l)-(2+l)+(-l)2-(2x2+l)+---+(-l)2,,-(2-2n+l)]

+[-(2+l)+(2x2+l)]+---+[-(2-(2ra-l)+l)+(2-2?+l)]

=22n-l+2n=22n+2.n-l.

2a”,"是偶數，

6.（2023?湖南長沙?長郡中學校聯考模擬預測）已知數列｛a,,｝滿足4=3,且aM

an-1,〃是奇數

⑴設我=%+*，求數列｛2｝的通項公式；

（2）設數列｛4｝的前n項和為S”,求使得不等式篦>2023成立的?的最小值.

【答案】（1）2=2"+3

(2)20

2a”,及為偶數,

【詳解】（1）因為q+1

a“T,”是奇數,

aaa+

所以2n=。2”-1—1，2n+l~2a,<22n+2="2"+1一1，所以2n-l=1.

b-1

又因為%=%”+。2”-1，所以6"=%+4"+1=2%+1，所以出"=」^—?

1

因為bn+i=%.+2+?2?+1，所以2+1=?2?+1-+%.+1=2%,+1一1，

又因為%+1=2%,所以年包=4%“-1,所以。”,='一，所以制—=因_,

即%=26,-3,

所以%-3=2伍,一3）,

b-3

又因為偽一3=勾+%-3=%=。［一1=2#0,所以與一3W。，所以:.=2,

b?-3

所以數列也-3｝是以2為首項，2為公比的等比數列，

所以2一3=2X2"T=2",即"=2"+3.

（2）由（1）可知。2"-1+的“=2"+3，所以邑，=2（；―；）+3“=2向+3“_2,

所以邑"+2=2"+2+3〃+1,

又因為a2n=T，所以為“-1+4"=22,1-1=2"+3,

即的M=2"T+2,所以%向=2"+2,

所以邑用=邑，+a2n+1=2向+3〃-2+2"+2=3?2"+3〃,

因為星"+1—邑"=a2n+l=2H+2>0,

S2n+2-S2n+1=2"+2+3"+1-（3.2"+3"）=2"+1>°，

所以｛S"｝（"eN*）是一個增數列，

11

因為S19=3x29+3x9=1563,520=2+3x10-2=2076>2023,

所以滿足題意的n的最小值是20.

7.（2023?山西運城?山西省運城中學校校考二模）已知數列｛%｝滿足3+/+墨+*+…+黑=字.

⑴求數列｛4｝的通項公式；

⑵記數列」一|的前，項和為S",證明：s“<3.

【答案】⑴氏=-2"+1

（2）證明見解析

【詳解】⑴解：由題意，數列｛%｝滿足3+2+墨+*+…+*=節2，

當月=1時，可得3+?=尊二=|,解得4=-1；

當〃22時,可得3+>號+要+.?.+『=符,

兩式相減得會"-等=2〃+3］〃一2二等,所以％―,

當〃=1時，適合上式，

所以數列｛g｝的通項公式為4=-2幾+1.

71

(2)解：令2=------,由〃〃=—2〃+1,

一?%

71111/11、

■qT彳舁b=------=----------------=-------------=-(-------------)

〃an-an+i(一2〃+1)(-2〃-1)(2n-l)(2n+l)22n-l2n+l

所以S.」(i-!+1」+l」+...+」.....—)=-(i-——)=--——,

2335572n-l2n+l22〃+124〃+2

因為〃eN*,可得~->0,所以S“<：.

4〃+22

8.(2023?福建三明?統考三模)已知數列｛〃〃｝滿足q=2,2tzn+1+anan+i-2an=O(HeN).

⑴求數列｛g｝的通項公式；

(2)設2=(T)"(4〃2：］)a,｛々｝的前幾項和為S“，證明：一上'?"二*

2

【答案】⑴4=一

n

⑵證明見解析

【詳解】(1)因為q=2,2%+a“q,+i-2q,=0僅€1\*),所以0尸0,

22

所以一+1-----=°.

an%+1

111

所以-------=彳,

aa

n+ln2

所以［上］為等差數列，首項為'=；,公差

422

11/1/n1H

所以一=—+(?T)d=5+(wT"=J，

ana\乙乙乙

2

所以

n

b=(-i￥'____§____=(_1Y'____§____=(_1V______—_____

(2)證明:因為“<-(4"T%I'(4R_I)2I)(2n-l)(2n+l),

所以或=（-i）U+1

\2n—l2n+l

1_111

所以，S2〃=++…+-----1-----=-1+-----neN*

1314574〃-14〃+14n+lv

因為。----—(nGN*j,所以+----<,

4附+15''4/7+15

4

即-上邑--手

9.(2023?湖北武漢?統考模擬預測)已知S"是數列｛4｝的前幾項和，2S?=nan,的=3.

(1)求數列｛4｝的通項公式;

(2)若年=|16-??|,求數列低｝的前力項和￡.

【答案】⑴4=35-1)

—3〃2+35〃,

---------,n<6

2

⑵北=

3/-35”+204

,n>6

2

【詳解】(1)由2S〃=%,貝IJ2S,討=(〃+1)%,

兩式相減得：2〃〃+i=("+-y，

整理得：(n-l>n+1=nan,

n

即“22時，—

n-1

n-1n-2

所以“22時，%=3"-冬"?????—??2

an-\an-2n-2n-3

又〃=1時，2%=q,得〃i=0,也滿足上式.

故4=3(〃一1).

(2)由(1)可知:々=|16-%|=|19-3川.

記Q=19-3九，設數列｛。｝的前〃項和T；.

〃(16+19-3n)-3n2+35n

當〃<6時，T=

n22

當〃>6時，Tn=Cl+Ci+....+。6-GC,

'-北)=2"'-窘=102-—3幾2+35〃3〃2—35〃+204

22

—3/+35〃

,n<6

2

綜上：Tn=\

3n2-35^+204

,n>6

2

10.(2023?福建福州?福建省福州第一中學校考模擬預測)已知數列｛%｝的首項4=|,a?也

+1,〃wN*.

3。“+1

⑴設a='，求數列｛2｝的通項公式；

(2)在瓦與仄+1(其中左eN*)之間插入2k個3,使它們和原數列的項構成一個新的數列｛5｝.記S”為數列｛1｝

的前”項和，求S36.

【答案】(1也=4"(〃eN*)

(2電6=1457

4a4

【詳解】(1)因為4+1=^—77>4=￡*0，

3a+15

131

所以“。，取倒得二二卡福,

所以二一4,+i

即即%=物,

4+1也41-。向

因為仇=4*0,所以也｝是仇=4,4=4的等比數歹人

所以d=4"(〃eN*).

(2)在々也之間有2個3,久也之間有2。個3,仇也之間有23個3,“，&之間有24個3,

合計2+2z+23+2,=30個3,

5

54xfl-4')

所以$36=24+31x3=—----^+93=1364+93=1457.

；=11-4

11.(2023?山東泰安?統考模擬預測)已知數列｛%｝是遞增的等差數列，也｝是公比為2的等比數列，也｝的

前”項和為s“，且出，a6M14成等比數列，S3=^4-1