指數函數與對數函數

目錄

明晰學考要求...................................................................................1

基礎知識梳理...................................................................................1

考點精講講練...................................................................................5

考點一：指數...................................................................................5

考點二：指數函數的概念........................................................................7

考點三：指數函數的圖象和性質.................................................................11

考點四：對數..................................................................................17

考點五：對數函數的概念.......................................................................19

考點六：對數函數的圖象和性質.................................................................21

考點七：不同函數增長差異.....................................................................27

考點八：函數的零點與方程的解.................................................................30

考點九：函數模型的應用.......................................................................34

實戰能力訓練..................................................................................38

明晰學考要求

1、了解指數塞的拓展過程，掌握指數塞的運算性質；

2、了解指數函數的實際意義，理解指數函數的概念；

3、能用描點法畫出具體指數函數的圖象，探索并理解指數函數的單調性與特殊點；

4、理解對數的概念和運算性質，能用換底公式將一般對數轉化為自然對數或常用對數;

5、了解對數函數的概念；

6、能用描點法畫出具體對數函數的圖象，探索并理解對數函數的單調性與特殊點；；

7、指導對數函數y=log：與指數函數＞互為反函數(。＞0且awl)

基礎知識梳理

1、根式的概念及性質

(1)概念：式子而叫做根式，其中〃叫做根指數，。叫做被開方數.

(2)性質:

①(而丫=a(He7V*Mzz＞l)；

②當九為奇數時，當”為偶數時，必7=|。|=

、[-a,a<0

2、分數指數塞

①正數的正分數指數塞的意義是^^二行工〉。，皿〃^^^,且〃>1)；

②正數的負分數指數塞的意義是a==〒=(a>O,根,〃eN*,且〃>1)；

N0m

③0的正分數指數事等于0；0的負分數指數塞沒有意義.

3、指數募的運算性質

①aras=ar+s(a>0,r,seR)；

②(")'=ar\a>0,r,5eR)；

③(ab)，=a'br{a>0,b>0,reR).

4、指數函數及其性質

(1)指數函數的概念

函數/(x)=a、(a>0,且awl)叫做指數函數，其中指數》是自變量，函數的定義域是R.

(2)指數函數/(%)=優的圖象和性質

底數a>l0<tz<l

圖象

定義域為R,值域為(0,+s)

圖象過定點(。,1)

當x>0時，恒有

性質當%>0時,恒有/(無)>1；

0</(x)<l；

當了<0時，恒有。</(x)<l

當x<0時，恒有/(X)>1

在定義域R上為增函數在定義域R上為減函數

指數函數/(x)=屐(a>0,且aw1)的圖象和性質與a的取值有關,應分a>1

注意

與0<。<1來研究

5、對數的概念

(1)對數：一般地，如果優=N(a>。,且awl)，那么數》叫做以。為底N的對數，記作x=log〃N,

其中。叫做對數的底數，N叫做真數.

(2)牢記兩個重要對數：常用對數，以10為底的對數IgN；自然對數，以無理數e=2.71828…為底數的

對數InN.

(3)對數式與指數式的互化：a，=Nox=10gtzN.

6、對數的性質、運算性質與換底公式

(1)對數的性質

根據對數的概念，知對數log。N(a〉0,且aw1)具有以下性質：

①負數和零沒有對數，即N>0；

②1的對數等于0,即log"=0；

③底數的對數等于1,即log〃a=1；

④對數恒等式a.'=N(N>0).

(2)對數的運算性質

如果。>0,且awl,〃>0,N>0,那么：

①log.(M?N)=log也+log*■

M

②10go—=log/Tog〃N；

③log“M"=nlogaM(neR).

(3)對數的換底公式

對數的換底公式：log。b=°(口>0,且。w1；c>0,且cw1;6>0).

logca

換底公式將底數不同的對數轉化為底數相同的對數，進而進行化簡、計算或證明.換底公式應用時究竟換成

什么為底，由已知條件來確定，一般換成以10為底的常用對數或以e為底的自然對數.

換底公式的變形及推廣：

①logbn=—logab(a>。且aR>0)；

am

②log/=--—(a>0且awl,b>0且6豐1).

一

7、對數函數及其性質

(1)對數函數的定義

形如y=log；(a>0,且awl)的函數叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是(0,+g).

(2)對數函數的圖象與性質

a>l0<a<l

對于一般函數y=/(x),xe￡>,我們把使/(x)=0成立的實數x叫做函數y=/(尤),xe。的零點.注

意函數的零點不是點，是一個數.

9、函數的零點與方程的根之間的聯系

函數V=的零點就是方程/(%)=0的實數根，也就是函數y=/(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標

即方程/(%)=0有實數根o函數y=f(x)的圖象與x軸有交點。函數y=f(x)有零點.

10、零點存在性定理

如果函數y=/(x)在區間團,句上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有那么，函數

y=/(x)在區間(。,刀內有零點，即存在ce(a,6),使得/(c)=O,這個c也就是方程/(x)=0的根.

注：上述定理只能判斷出零點存在，不能確定零點個數.

11、常見函數模型

(1)指數函數模型/(x)=3'+6(。>0且awl,左W0)

(2)對數函數模型/(x)=-og：+8(a>0且awl,k/0)

12、指數、對數、塞函數模型性質比較

函數

y=優(〃>1)y=logax(a>l)y=x〃(〃>0)

性質

在(0,+8)上的

單調遞增單調遞增單調遞增

增減性

介于指數函數與

增長速度先慢后快，指數爆炸先快后慢，增長平緩對數函數之間，相

對平穩

隨X的增大，圖象與y軸接近隨X的增大，圖象與X軸接近隨〃值變化而各有

圖象的變化

平行平行不同

值的比較存在一個毛,當X〉/時，有log"x<x"（優

考點精講講練考點精講精練03

考點一：指數

【典型例題】

例題1.（2022天津）已知2m=3,2"=5,則2"""的值為（）

5

A.-B.2C.8D.15

3

【答案】D

【知識點】指數塞的運算

【分析】根據指數的運算求解即可.

【詳解】2"+"=2"x2"=3x5=15.

故選：D

例題2.（多選）（2024浙江）下列各式一定成立的是（）

A.而少=次B.2-1=1

C.（a2j=\a\D.仃=M〃eN*）

【答案】ABC

【知識點】根式的化簡求值、指數塞的運算、分數指數塞與根式的互化

【分析】利用根式運算法則及根式與分數指數騫互化，選出正確答案.

_______41_

【詳解】對于A,0（_2）4=2五=2號=次，故A正確；

對于B,2T=；,故B正確；

對于C,（6）；=同，故C正確；

對于D,當〃=2,“=-1時，Qf=l,故D錯誤.

故選：ABC.

1z-x04

例題3.(2023山西)(0.064戶一一(+[(-2)7一⑹6=.

【答案】三23

16

【知識點】指數暴的化簡、求值

【分析】根據指數幕的性質進行計算.

【詳解】JM^=(0.43p-l+(-2)-4-(24p5=0.4-1-l+-

v7v716821616

故答案為：三23

16

【即時演練】

73

1.已知(7>0,b>0,化簡：選=

【答案】a3b

【知識點】分數指數幕與根式的互化、指數塞的化簡、求值

【分析】把根式化成分數指數式，再利用指數式的運算法則進行化簡.

7373

【詳解】因為喏=喏="3爪

“ba2b2

故答案為：a3b

2.若代數式衣方+萬工有意義，則五-2工+1+弧-2)4=.

【答案】1

【知識點】根式的化簡求值

【分析】由二次根式有意義得到x的取值范圍，化簡所求代數值，由x的取值范圍去掉絕對值符號即可得到

解.

【詳解】由題意可知：]：1<%<2

[2-x>0

*e?Jx2-2冗+1+#(%-2)4=J"-1。+.(尤-2)4=|x-l|+|x-2|=x-l+2-x=l

故答案為：1

3.計算：

_i______________

⑴;*83+(號)+(-6)°+J(2一如)；

⑵點力行?行?海（。＞0，＞＞0）.

【答案】⑴2+君

6

⑵加

【知識點】指數幕的化簡、求值

【分析】（1）根據指數運算的知識求得正確答案.

（2）根據根式、指數運算的知識求得正確答案.

1

【詳解】⑴人+層［"6）。+#_灼2

="2+曰+1+e-2

=-+-+1+75-2=2+75.

33

(8_6\2I—7—

(2)拒為行.迎.亞

”.6xf.C43

5

=aI2).b5I2人〃5，b5

_43436

=a.?脛?點?后=*?

考點二：指數函數的概念

【典型例題】

例題1.（2024安徽）若函數y=（〃-5°+7）優+4-2。是指數函數，則有（）

A.。=2B.a=3

C.〃=2或a=3D.a＞2,且aw3

【答案】A

【知識點】根據函數是指數函數求參數

【分析】根據指數函數定義求參.

【詳解】因為＞=（。2-5。+7",+4-24是指數函數，

所以a?—5a+7=La?-5a+6=0,（a-2）（。—3）=0,且4-2Q=0

所以a=2.

故選：A.

例題2.(2023新疆)設函數/("=優—(左—1)廣(a>0且awl),滿足"0)=0.

⑴求女的值；

⑵若/(1)<0,求使不等式/(/+fx)+/(4—x)<0對任意實數x恒成立的f的取值范圍.

【答案】⑴左=2

(2)—3</<5

【知識點】已知函數值求自變量或參數、根據函數的單調性解不等式、由函數奇偶性解不等式

【分析】(1)根據"0)=0求得a.

(2)根據函數的奇偶性、單調性、一元二次不等式恒成立等知識求得f的取值范圍.

【詳解】(1)；〃0)=0,...1—(左一1)=0,...k=2.

(2)由(1)得：f(x)=ax—a(〃>0且awl),

xx

F(x)的定義域為R,f[-x)=a-a=-f(x)9

???〃力是奇函數.

???/(1)<0,,J=￡izJ.=(a+l)("l)<0,...0<a<l

aaa

“X)在R上是減函數.

不等式/(/+rx)+/(4—x)<0等價于/(f+目<〃x-4).

.x2+tx>x-4,即.一+?一1■+4>0恒成立.

A=(/-l)2-16=？-2r-15<0,解得-3<r<5.

,X1

例題3.(2022江蘇)已知定義在R上的奇函數/(x)滿足：xNO時，/(x)=-^.

⑴求的表達式；

⑵若關于x的不等式，(26+3)+/。-依2)>0恒成立，求〃的取值范圍.

【答案】⑴/'5)=叁

2+1

(2)(<0]

【知識點】定義法判斷或證明函數的單調性、由奇偶性求函數解析式、指數函數的判定與求值、由函數奇

偶性解不等式

【分析】(1)根據函數的奇偶性求得當x<0時的解析式，即可得到結果；

(2)根據定義證明函數/(X)在R上單調遞增，然后再結合f(x)是定義在R上的奇函數，化簡不等式，求

解即可得到結果.

1

【詳解】（1）設x<0,貝！J—%>0,因為l之0時，f（x）=-------，

2"+1

2T-11-2X

所以

1+2X

又因為〃%）是定義在R上的奇函數,

I2%-1

即/")=_/(T=

2X+1

-1

所以當x<0時，/（?=『

2+1

綜上，“X）的表達式為

2+1

2X-1?

（2）由（1）可知，/（冗）=^^=1———,

2、+12X+1

設在R上任取兩個自變量七,無2,令占<尤2

則〃網）-"％）=[1-亮]-[「告）

222（2--2^）

一2也+12&+1一（2*+1）（2為+1）

因為石<%，則2』-2如<0,所以/（%）-/（々）<0=/（再）</仁）

所以函數/'（元）在R上單調遞增.

即f（2ax+3'）+f（l-ax2^>0^>/（2ar+3）>-/（l-ar2^,

由是定義在R上的奇函數，可得-/（1-加）=/（加-1）

即/?（2依+3）>/（改2—1）,由函數y（x）在R上單調遞增，

可得2依+3>G？_]=以2-2辦-4<0恒成立，

當〃=0時，即TvO,滿足；

?,[a<0乙，

當awO時，即LA2nf解得-4vav。

[A=4a+16tz<0

綜上，，的取值范圍為（T,0]

【即時演練】

[X4尤

1.已知函數〃x）=彳*（a>0且"1）是奇函數，貝!）。=（)

B.3C.2A/3D.4

【答案】C

【知識點】指數幕的運算、由奇偶性求參數

【分析】利用奇函數定義，可得，(-1)=-/(I),進而利用奇函數定義驗證求解即可.

【詳解】因為函數/(X)是奇函數，定義域為(-.0)d(0,+力)，

所以〃-1)=一八1)，

4T3+477l

BP----—二------，即有〃二——，解得a=26，

-aa12a

此時〃x)=

x-l2v3I

3,+4*―

則〃-)=k+4一,="MW)=_3+4..

')T.(2⑹FF(2可x.(2可

滿足/(-X)=-f(x),

所以a=2\/3.

故選：C.

2.已知指數函數〃"=(/-2°-2)優，則/(3)的值為.

【答案】27

【知識點】求函數值、根據函數是指數函數求參數

【分析】根據指數函數定義求得。=3,進而代入求解即可.

【詳解】因為“對=(/一2。一2"，為指數式，貝!|6一2“一2=1,解得a=3或a=-l,

又因為a>0且awl,可得a=3,即/(x)=3",

所以"3)=33=27.

故答案為：27.

3.已知函數/(尤)=匿^為奇函數.

⑴求。的值；

(2)判斷并證明/(%)=春的單調性；

⑶若存在實數f,使得/。2-2。+/(2/2一發)>0成立，求上的取值范圍.

【答案】⑴1

(2)函數/(x)在R上單調遞減，證明見解析

⑶￡，+-

【知識點】定義法判斷或證明函數的單調性、根據函數的單調性解不等式、根據函數是指數函數求參數、

由奇偶性求參數

【分析】（1）根據“X）定義域為R且為奇函數，所以"0）=0,即可求解.

（2）利用函數單調性的定義法即可證明求解.

（3）由⑵中結果及奇函數性質可得7?。2-2。＞/卜-2產），從而可得3『-2…左＜0,結合二次函數性

質即可求解.

【詳解】（1）由函數/（x）=t"為奇函數，其定義域為R,所以/（。）=0,

即〃0）=m=0,解得。=1，此時〃x）=E",

滿足”—）=￡?=*=-〃x）,即〃x）為奇函數，

故”的值為1.

（2）在R上單調遞減，證明如下：

1_x7

由（1）知=e

/1+e1+e

_222（e巧一e為）

V//eR，且玉則/（占）一“無2）=用『用豆=（］+eq）（］+e,，

因為王〈尤2，所以e'R-e』〉。，l+e%,＞0,l+e*＞0,

所以即函數〃元）在R上單調遞減.

（3）由/（產一2（+/（2尸一左）＞0,則/（產-2f）＞V（2/Y）,

又因為“X）為奇函數，所以/（r_2。＞_/（2』_左）",_2尸），

又由（2）知函數/（X）在R上單調遞減，

所以r-2/＜"2產，因為存在實數/,使得3m＜0成立,

所以△=4+12左＞0,解得人＞—Q.

所以人的取值范圍為

考點三：指數函數的圖象和性質

【典型例題】

例題1.（2024北京）在區間［a,5］上，〃x）=2'的最大值是其最小值的4倍，則實數。=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【知識點】利用函數單調性求最值或值域

【分析】根據條件，利用/（x）=2，的單調性，得到32=4x2",即可求解.

【詳解】/（x）=2,區間,,5］上單調遞增,又“a）=2。,*5）=25=32,

所以32=4x2",即2"=8=23,解得。=3,

故選：C.

例題2.（2024云南）函數、=州的最小值為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【知識點】求已知指數型函數的最值

【分析】根據題意結合指數函數單調性分析求解.

【詳解】因為國20,當且僅當x=0時，等號成立，

且y=2*在R上單調遞增,可得y=/22°=l,

所以函數y=2兇的最小值為1.

故選：B.

例題3.（2024浙江）已知定義域為R的函數〃尤）=0若對任意玉<0,%>。，均有〃%）>/伍）

恒成立，則下列情形可能成立的是（）

A.n>m>0B.n>0>mC.0<n<mD.m<n<0

【答案】A

【知識點】判斷指數函數的單調性、比較指數塞的大小

【分析】對ACD,根據函數的單調性判斷，對B舉例說明不正確.

【詳解】對A：若心〃>0,所以0<?<1,所以=為單調遞減的指數函數，因此對任意辦<0,

爸>0，均有/&）>〃％）恒成立，故A正確；

對B：若〃>0>機，-<0,函數“X）無意義，故B錯誤;

n

對C：若0<”加，所以?>1，所以為單調遞增的指數函數，所以對任意不<。，3>0,均

有/（芯）<〃*2）恒成立，故C錯誤;

對D：若祖<"0,所以?>1，所以=為單調遞增的指數函數，所以對任意冊<0,%>0,均

有恒成立，故D錯誤;

故選:A

例題4.(2023海南)已知函數/(同=啜『是奇函數.

⑴求實數。的值；

(2)判斷函數/(彳)的單調性，并用函數單調性的定義證明；

⑶若對于任意x>0都有/'優+4)+〃如"。恒成立，求實數用的取值范圍

【答案】(1)1;

(2)/(x)在R上單調遞增，證明見解析；

(3)H，+CO).

【知識點】定義法判斷或證明函數的單調性、函數不等式恒成立問題、判斷指數函數的單調性、由奇偶性

求參數

【分析】(1)求出函數〃x)的定義域，由，(。)=。求出a,再驗證作答.

(2)函數/(》)單調遞增，再利用單調增函數的定義推理論證作答.

(3)利用(2)的結論，結合已知脫去法則7一轉化為恒成立的不等式作答.

【詳解】(1)〃司=喂『的定義域為R,又〃彳)是奇函數，則/(0)=*=0,解得。=1,

此時〃尤)=汜，顯然〃一x)=二二=上2=-〃耳，因此“X)為奇函數，符合題意，

2+12~+11+2

所以a=l.

(2)/(%)在R上單調遞增,

2X-1?—

/(%)=-------=1----------，任取%￡R且再<%2，

2X+12X+1

y(x1)-/(x2)=fi―——vfi――2(2

I"I，l2'+Ul2^+1J(2%'+1)(2^+1)

因為玉<3，則2為<2*,有2f一2四<0,2'，+1>0,29+1>0,于是“動一外三卜。，即"不)</(%),

所以/(X)在R上單調遞增.

(3)依題意，/(%2+4)+f(77U)>0<=>/(x2+4)>-f(mx)=f(-mx),

因為/(X)在R上單調遞增，因此f+q-mx,而X>0,有fiVx+工，

當x>0時，x+->2.lx--=4,當且僅當x=2時取等號，

X\X

因為任意x>0,/任+4)+/(%”。恒成立，即任意x>0,-W+：恒成立，則一屋4,解得根2-4,

所以加的取值范圍是［Y,+4).

例題5.(2020貴州)已知定義在R上的函數/(元)=2'+2.

(1)寫出的單調區間；

(2)已知/(x)>〃2產-2儂+1,對所有xeR,feR恒成立，求，的取值范圍.

【答案】(1)函數〃尤)在[。,+◎上單調遞增，在(-亂。)上單調遞減.(2)[-1,0)

【知識點】一元二次不等式在實數集上恒成立問題、判斷指數函數的單調性

【分析】(1)利用函數的單調性的定義，即可證得函數的單調性，得出單調區間；

(2)由(1)知，函數/(x)的最小值為2,把不等式轉化為機產一2,加-1<0恒成立，結合二次函數的圖象

與性質，即可求解.

【詳解】(1)函數/(》)在0+8)上單調遞增，在(-叫。)上單調遞減.

①當OVXi時，

112巧—9X1+巧—1

則/(^)-f(x2)=2為+2苞+=⑵-2*)+---=⑵-2*)?——，

因為。<玉<%,可得2為-2*<0,2'E>2°=1,所以/(%)-

即/(占)</(%),即函數/(X)在[。,+◎上單調遞增；

②當X]<%<0時，

112巧_?尤1+%2_1

貝!I/(^)-/(x2)=2^'+—-2^+—=(2$-2*)+——=(2為-2*)?一,

因為0V玉<%，可得2%一2巧<0,2甬+巧<2°=1,所以/(%)-/(尤2)>。，

即/(再)>/(%)，即函數/(%)在(f，。)上單調遞減.

綜上可得，函數/(%)在。+8)上單調遞增，在(-*0)上單調遞減.

(2)由(1)知，當％=0,函數取得最小值，最小值為八外.二？，

因為不等式/(%)>皿2-2加+1,對所有％￡氏，/eH恒成立，

即2>加/一2根1+1怛成立，即加/一2皿一1<0恒成立，

當根=0時，-1<0恒成立，符合題意；

“fm<0

當加。0時，則滿足12,解得-LvmvO,

[A=4m+4m<0

綜上可得，實數加取值范圍是(-1,。].

【即時演練】

1.已知。=2°/力=2°5,。=0.52,則見瓦。的大小關系為()

A.a<b<cB.b<c<a

C.a<c<bD.c<a<b

【答案】D

【知識點】比較指數嘉的大小

【分析】根據指數函數性質以及中間量“1”即可比較大小.

【詳解】根據指數函數性質知即1<。<匕，

又因為0.5?=0.25,貝!|c<a<6.

故選：D.

2.函數〃x）=&的大致圖象是（）

【答案】D

【知識點】函數奇偶性的應用、函數圖像的識別、具體函數的定義域

【分析】由奇偶性及函數值即可判斷.

【詳解】由八尤）=/^知：中土1,

=-^="6,偶函數，AC錯，

\73-3T3-3國'）

4

/（2）=--<0,B錯，

故選：D

3.函數/'（x）=aA2+i（0<a<l）的圖象恒過定點尸，則點尸坐標為.

【答案】（2,2）

【知識點】指數型函數圖象過定點問題

【分析】根據X-2=0,即可求解x=2,代入即可得縱坐標.

【詳解】令x—2=0,則尤=2,故/（2）=。°+1=2,因此P（2,2）,

故答案為：（2,2）

4.已知定義域為R的函數/（》）=上一-1是奇函數.

2+a2

⑴求實數。的值；

（2）判斷函數/（x）的單調性，并用定義加以證明；

⑶若對任意的xe[L2],不等式一如）+/（尤2+4）＞。成立，求實數的取值范圍.

【答案】⑴。=1;

⑵在定義域內單調遞增，證明見解析；

（3）m＜4＞/2■

【知識點】定義法判斷或證明函數的單調性、根據函數的單調性解不等式、判斷指數函數的單調性、由奇

偶性求參數

【分析】（1）利用奇函數性質求出。，再利用定義驗證即得.

（2）利用函數單調性定義，結合指數函數單調性判斷推理即得.

（3）利用奇函數性質及單調性質脫去法則。分離參數，借助基本不等式求解即得.

【詳解】（1）定義在R上的函數/（尤）為奇函數，得外））=」匚-!=0,解得。=1,

a+12

此時k)=5T則A-MU—=------1-\—=-------1—=—f(X)

122X+122^+12

即函數/（X）是奇函數，所以。=1.

2'+1-11^_1_1

(2)由(1)知f(x)=

2'+1--2~-2*+1—5一一-2*+1

函數在定義域內單調遞增，證明如下:

設玉＞々，則“百）一/（%）=亍匕一2國一2熱

（2巧+]）（2須+1），

由項〉馬，得2均＞2為＞0,貝！I/&）＞/（/），所以函數在R上單調遞增.

（3）依題意，對任意的％目1,2],/（x2-mx）＞-/（x2+4）＜^＞/（x2-mx）＞f（-x2-4）

4「r.4I4r-

貝!1%2一痛＞一九2一4,即用＜2x+1在％目1,2]上恒成立，而2%+—22,2]一二4女，

當且僅當％=0時取等號，因此根＜4后，

所以實數機的取值范圍是加＜40.

zv_3*+i

5.已知函數f（x）=3—是定義在R上的奇函數（。＞0）＞0）.

⑴求了（九）的解析式；

（2）求當工￡[0』時，函數g。）=/（%）?（3、+1）+9"-1的值域.

3(1-3X)

【答案】⑴/（%）=

1+3”

【知識點】求指數型復合函數的值域、由奇偶性求參數

【分析】（1）利用奇函數定義及性質，列式計算求出。，分作答.

（2）由（1）的結論，求出函數g（x）的解析式，結合二次函數求出值域..

【詳解】（1）由函數:是R上的奇函數，則有/（0）=二=。，解得。=3,即/（無）=?!,

y+bb+iy+b

3—3213X+1-33-3x+1

VXGR,/(r)=

yx+bb-3x+ly+b

即DXER,Z?.3"+l=3"+6,解得）=1,經驗證得a=3,Z?=l時，/（九）是奇函數,

所以

1+3

(2)由(1)知,^(%)=/(%)?(3X+1)+9X-1=3-3X+1+9X-1=(3X)2-3x3"+2=(3X-

3i

當x?O,l］時，k3*43,因此當歹=5時，g(x)^n=--,當x=l時，g(x)max=2,

所以所求值域為［-。2］.

4

考點四：對數

【典型例題】

例題1.（2024云南）已知。>0,6>0.若。6=1,貝!Jlga+lg6=（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【知識點】對數的運算

【分析】利用對數運算法則進行計算.

【詳解】lga+lg6=lg"6=lgl=。.

故選：A

例題2.（2024福建）若ln%=6,lny=3,則一等于（）

y

11a

A.-rB.—rC.e72D.e3

ee

【答案】D

【知識點】指數式與對數式的互化、指數幕的運算

【分析】將對數式化為指數式，再根據指數基的運算法則計算可得.

【詳解】因為lnx=6,lny=3,

6

所以x=e6,y=e3,所以二r=,e=e3.

ye-

故選：D

例題3.(2024湖北)已知log32'=l,則2*+4'=.

【答案】12

【知識點】指數幕的運算、指數式與對數式的互化

【分析】根據指數與對數的運算法則計算.

【詳解】由1%2*=1得2工=3,則4、=(2)=9,

所以2*+4工=3+9=12,

故答案為：12.

例題4.(2021江蘇)計算log264+lg0+lgV^=

13

【答案】y

【知識點】對數的運算

【分析】借助對數運算法則計算即可得.

6

【詳解】log264+lgy/2+lgy/5=log22+1(lg2+lg5)

「「

=6+—lgl0=6+—113.

13

故答案為：y.

【即時演練】

_______3

1.計算：logs125+W(-5?2=()

A.8B.3+A/5C.-2D.3-A/5

【答案】A

【知識點】根式的化簡求值、指數塞的運算、對數的運算

【分析】將根式化為分數指數募，結合對數運算法則進行計算

32

32

【詳解】logs125+口(一5)2；=log55+^=3+5=8.

故選：A

2

21g2183

2.計算：273+log85.logl2+10-=.

5

【答案】10

【知識點】指數塞的運算、對數的運算

【分析】根據對數、指數運算求得正確答案.

2

21g2lg3

【詳解】27§+log85.logl2+10-

5

2

=03）3+bg85.bg5T2+10妒23

2lg3-

=3-log85-log52+10

4

=9-log232+-

14

=9——+-=10.

33

故答案為：10

3.計算：31og28+21og3l=.

【答案】9

【知識點】對數的運算

【分析】利用對數的運算性質計算即可.

3

【詳解】由題意可得：31og28+21og3l=31og22+2x0=3x3+2x0=9.

故答案為：9.

4.計算：l°+eln2-0.5-2+lg25+21g2=.

【答案】1

【知識點】對數的運算性質的應用、對數的運算、指數塞的運算

【分析】結合指數、對數運算求得正確答案.

ln22

【詳解】l°+e-0.5-+lg25+21g2=l+2-Q^+Ig25+lg4

=3-4+lg（25x4）=-l+lgl02=l.

故答案為：1

考點五：對數函數的概念

【典型例題】

例題1.（2024北京）函數/（x）=ln（x+6）的定義域為（）

A.(-6,+co)B.(6,+oo)C.(-00,-6)D.(-00,6)

【答案】A

【知識點】求對數型復合函數的定義域

【分析】由x+6>。即可求解.

【詳解】由解析式可知，x+6>0,

及x>-6,

所以定義域為（-6,田），

故選：A

例題2.（多選）（2024浙江）若函數〃x）=log.（x—l）+b（a>0,"l）,則下列選項正確的是（）

A.定義域為（L”）B.值域為R

C.圖象過定點（2力）D.在定義域上單調遞增

【答案】ABC

【知識點】求對數型復合函數的定義域、求對數型復合函數的值域、對數型函數圖象過定點問題、對數型

復合函數的單調性

【分析】根據對數函數的性質逐一判斷即可.

【詳解】由題意，x-l>0,貝

所以函數的定義域為（1,+8）,故A正確；

根據對數函數的值域可得函數/（x）的值域為R,故B正確；

令x-l=l,貝！］x=2,f（x）=b,

所以函數的圖象過定點（2,6）,故C正確；

當0<。<1時，函數/（尤）在定義域上單調遞減，故D錯誤.

故選:ABC.

例題3.（2023云南）函數/'（幻=產亞石石的定義域是（用區間表示）

【答案】

【知識點】具體函數的定義域、求對數型復合函數的定義域

【分析】結合塞函數與對數函數性質計算即可得.

【詳解】由題意得2—log3（2x+l）Z0,即0<2尤+"9,解得-;<x44,

即定義域為：［-p4.

故答案為」-別

【即時演練】

1.若函數〃句=坨(后-陽+2)的定義域為R,則實數7"取值范圍是()

A.[0,8)B.(8,+oo)C.(0,8)D.(-co,0)u(8,+co)

【答案】A

【知識點】求對數型復合函數的定義域、一元二次不等式在實數集上恒成立問題

【分析】分析可知，nix?-nzx+2>0在R上恒成立，分根=。、機兩種情況討論，在根=0時，直接驗證

fm>0

即可；在mwo時，可得出A八，綜合可解得實數機的取值范圍.

[A<0

【詳解】由題意，函數〃X)=lg(如2T"+2)的定義域為R,

等價于mx2—mx+2>0在R上恒成立，

若根=。，貝!|如2一7nx+2=2>0在R上恒成立，滿足條件；

,fm>0

若加H0,貝叫A2oc，解得0<m<8.

[A=nr-8"2co

綜上，實數加的取值范圍是[0,8),

故選：A.

2.若>=/(x)(無?R)是奇函數，當x>。時，/(x)=x2-liu+l,/(0)+/(-l)=.

【答案】-2

【知識點】求函數值、函數奇偶性的應用

【分析】根據給定條件，結合奇函數求出函數值即可.

2

【詳解】由y=/(x)(xeR)是奇函數，得/(0)=0,當x>0時，/(x)=x-lttT+l,則/(1)=2,

所以/(0)+/(-1)=0-/(1)=-2.

故答案為：-2

3.函數/(x)=ln(2+x-/)的定義域為.

【答案】(一1,2)

【知識點】求對數型復合函數的定義域、解不含參數的一元二次不等式

【分析】利用對數函數的真數大于0,解不等式可得結果.

【詳解】易知真數2+x-尤2>0,即/_彳一2<0,解得一1<》<2.

即函數〃x)=ln(2+x-巧的定義域為

故答案為：(-1,2)

考點六：對數函數的圖象和性質

【典型例題】

例題1.（2024北京）在下列函數中，在區間（0,+8）上單調遞減的是（）

A."x）=3"B.〃x）=log2尤C./（%）=x2D./（*）=1。8產

【答案】D

【知識點】根據解析式直接判斷函數的單調性

【分析】由指數函數、對數函數以及幕函數的單調性逐項判斷即可得.

【詳解】對A：/（x）=3'在R上單調遞增，故A錯誤；

對B：/（x）=log2&在（0,+e）上單調遞增，故B錯誤；

對C：〃力=尤2在（3,。）上單調遞減，在（0,+司上單調遞增，故C錯誤；

對D：〃尤）T