專(zhuān)題11二次函數(shù)中矩形存在性綜合應(yīng)用(專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練)

1.已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Z(1,4),且與x軸交于點(diǎn)8(-1,0).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點(diǎn)尸(m,0)旋轉(zhuǎn)180°,

此時(shí)點(diǎn)2、8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D.

①連結(jié)48、BC、CD、DA,當(dāng)四邊形4BCQ為矩形時(shí)，求機(jī)的值；

②在①的條件下，若點(diǎn)/是直線x=機(jī)上一點(diǎn)，原二次函數(shù)圖象上是否存在

一點(diǎn)。，使得以點(diǎn)8、C、0為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求

出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.如圖1,拋物線y=ax2+x+c(口老。)與％軸交于幺(-2,0),8(6,0)兩

點(diǎn)，與了軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)尸是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作尸。，

x軸，垂足為。，尸。交直線8c于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為掰.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)設(shè)線段PE的長(zhǎng)度為〃，請(qǐng)用含有機(jī)的代數(shù)式表示加

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)尸作母UCE,垂足為R當(dāng)CF=跖時(shí)，請(qǐng)求出機(jī)的值

(4)如圖3,連接CP,當(dāng)四邊形。CPD是矩形時(shí)，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存

在點(diǎn)。，使原點(diǎn)。關(guān)于直線C0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)O恰好落在該矩形對(duì)角線所在的直

線上，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo).

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)Z(4,0)的直線48與y軸交于點(diǎn)8

(0,4).經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。的拋物線了=-/+樂(lè)+。交直線45于點(diǎn)Z,C,拋物線

的頂點(diǎn)為。.

(1)求拋物線y=-x-+bx+c的表達(dá)式；

(2)M是線段48上一點(diǎn)，N是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)軸且"乂=2時(shí)，

求點(diǎn)〃的坐標(biāo)；

(3)尸是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，0是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn).是否存在以點(diǎn)Z,

C,P,0為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo)若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.【生活情境】

為美化校園環(huán)境，某學(xué)校根據(jù)地形情況，要對(duì)景觀帶中一個(gè)長(zhǎng)2。=4根，寬

48=1機(jī)的長(zhǎng)方形水池48CO進(jìn)行加長(zhǎng)改造（如圖①，改造后的水池48NM

仍為長(zhǎng)方形，以下簡(jiǎn)稱(chēng)水池1）.同時(shí)，再建造一個(gè)周長(zhǎng)為12根的矩形水池

EFGH（如圖②，以下簡(jiǎn)稱(chēng)水池2）.

--------------------\H

A,------------------------------?----------卅水池2

水池1

圖①圖②

【建立模型】

如果設(shè)水池Z5C。的邊幺。加長(zhǎng)長(zhǎng)度。河為x（機(jī)）（x>0）,加長(zhǎng)后水池1

的總面積為為Cm2）,則乃關(guān)于x的函數(shù)解析式為：乃=x+4（x>0）；設(shè)水

池2的邊的長(zhǎng)為x（機(jī)）（0<x<6）,面積為絲（加2）,則卜2關(guān)于x的函

數(shù)解析式為：刃=-/+6x（0<x<6）,上述兩個(gè)函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系

中的圖象如圖③.

【問(wèn)題解決】

（1）若水池2的面積隨E尸長(zhǎng)度的增加而減小，則EE長(zhǎng)度的取值范圍是

（可省略單位），水池2面積的最大值是1疹；

（2）在圖③字母標(biāo)注的點(diǎn)中，表示兩個(gè)水池面積相等的點(diǎn)是,此時(shí)的

x(m)值是；

(3)當(dāng)水池1的面積大于水池2的面積時(shí)，x(機(jī))的取值范圍是；

(4)在lVx<4范圍內(nèi)，求兩個(gè)水池面積差的最大值和此時(shí)x的值；

(5)假設(shè)水池48co的邊的長(zhǎng)度為b(機(jī))，其他條件不變(這個(gè)加長(zhǎng)改

造后的新水池簡(jiǎn)稱(chēng)水池3),則水池3的總面積為(機(jī)2)關(guān)于x(m)(x>0)

的函數(shù)解析式為：y3=x+b(x>0).若水池3與水池2的面積相等時(shí)，x(機(jī))

有唯一值，求b的值.

5.如圖，拋物線y=aN+2x+c的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=l,與x軸交于點(diǎn)Z,B(3,

0),與y軸交于點(diǎn)C,連接NC.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)已知點(diǎn)。是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。軸，垂

足為點(diǎn)〃，。河交直線5c于點(diǎn)N,是否存在這樣的點(diǎn)N,使得以Z,C,N為

頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由；

(3)已知點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)R使以點(diǎn)

B、C、E、尸為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(備用圖)

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系x0v中，已知拋物線y=a/+x+c經(jīng)過(guò)幺(-2,

0),B(0,4)兩點(diǎn)，直線x=3與x軸交于點(diǎn)C.

(1)求a,c的值；

(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)。的直線分別與線段48,直線x=3交于點(diǎn)。，E,且△8。。與

△OCE的面積相等，求直線的解析式；

(3)尸是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在線段OC和直線x=3上是否

分別存在點(diǎn)凡G,使瓦F,G,尸為頂點(diǎn)的四邊形是以AF為一邊的矩形？

若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-■IP+QL.X+W.(機(jī)＞0)與％軸交

"222

于Z(-1,0),8(m,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,連接BC.

(1)若。。=2cM,求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)在(1)的條件下，點(diǎn)尸位于直線8c上方的拋物線上，當(dāng)△P5C面積

最大時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)設(shè)直線與拋物線交于8,G兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn)E(在拋物線

上)，點(diǎn)尸(在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上)，使得以比G,E,尸為頂點(diǎn)的四邊形成

為矩形？若存在，求出點(diǎn)E,尸的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

8.綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2x+c(aWO)與x軸交于點(diǎn)2、

B,與y軸交于點(diǎn)C,連接5C,OA=1,對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2,點(diǎn)。為此拋物

線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線上C、。兩點(diǎn)之間的距離是；

(3)點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接和CE,求△BCE面積的

最大值；

(4)點(diǎn)尸在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上，平面內(nèi)存在點(diǎn)。,使以點(diǎn)8、C、P、0為頂點(diǎn)

的四邊形為矩形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo).

備用圖

10.在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，△048是等腰直角三角形，/OBA=

90°,BO=BA,頂點(diǎn)Z(4,0),點(diǎn)8在第一象限，矩形。CDE的頂點(diǎn)￡(-

0),點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)。在第二象限，射線DC經(jīng)過(guò)點(diǎn)反

(I)如圖①，求點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(II)將矩形。CQE沿x軸向右平移，得到矩形OCD',點(diǎn)。，C,

D,￡的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為。'，C',。.設(shè)。。=t,矩形。,CD'

E'與△048重疊部分的面積為S.

①如圖②，當(dāng)點(diǎn)￡'在x軸正半軸上，且矩形OCD'E'與△048重疊

部分為四邊形時(shí)，D'E'與相交于點(diǎn)后試用含有/的式子表示S,并直

接寫(xiě)出f的取值范圍;

②當(dāng)SW/W旦時(shí)，求S的取值范圍(直接寫(xiě)出結(jié)果即

22

圖①圖②

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+fcc+3(aWO)與x軸交于點(diǎn)幺、

B,與y軸交于點(diǎn)C,連接5C,OA=1,對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2,點(diǎn)。為此拋物

線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線上C、。兩點(diǎn)之間的距離是；

(3)點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接和CE,求△3CE面積的

最大值；

(4)點(diǎn)尸在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上，平面內(nèi)存在點(diǎn)。,使以點(diǎn)5、C、尸、0為頂點(diǎn)

的四邊形為矩形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo).

12.綜合與探究

如圖，拋物線y得x?+bx+c與X軸交于點(diǎn)N(7，0)和點(diǎn)8(4,0),與y

軸交于點(diǎn)C,連接BC.

(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)尸是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，點(diǎn)。為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)8、C、尸、Q

為頂點(diǎn)的四邊形是以8c為邊的矩形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)。是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)N5CD=2N48C時(shí)，求點(diǎn)。的

13.已知拋物線y=-x2+fcc+c與x軸交于點(diǎn)幺(3,0)和點(diǎn)8(-1,0),與y

軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。在拋物線上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)4B,C重合).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在第一象限拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作。軸，垂

足為點(diǎn)尸，直線。尸與直線ZC交于點(diǎn)E,若DE=EA,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)如圖2,直線8。交直線ZC于點(diǎn)〃，點(diǎn)G在坐標(biāo)平面內(nèi)，在拋物線上

是否存在點(diǎn)。，使以點(diǎn)Z,D,H,G為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直

14.拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn).與j軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為拋物

線的頂點(diǎn).

(1)求Z,B,C,D的坐標(biāo);

(2)點(diǎn)尸為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PZC是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)M在y軸上，點(diǎn)0為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，當(dāng)以Z,D,M,0為頂點(diǎn)的

四邊形是矩形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)0的坐標(biāo).

圖1備用圖

15.如圖1,將矩形048。置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)幺的坐標(biāo)為（-4,0）,

點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,m）（機(jī)＞0）,點(diǎn)。（-1,m）在邊5c上，將△28。

沿折疊壓平，使點(diǎn)5落在坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)點(diǎn)5的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E.

（1）如圖2,當(dāng)根=3時(shí)，拋物線過(guò)點(diǎn)幺、E、C,求拋物線解析式；

（2）如圖3,隨著根的變化，點(diǎn)E正好落在y軸上，求NR4。的余切值；

（3）若點(diǎn)￡橫坐標(biāo)坐標(biāo)為1,拋物線y=ax2+2ax+10QWO且。為常數(shù)）的

頂點(diǎn)落在△/￡＞￡的內(nèi)部，求a的取值范圍.

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形48CD是矩形，48在x軸上，點(diǎn)Z位

于點(diǎn)8左側(cè)，點(diǎn)E,尸分別在邊CD,AD±.,BFLEF,EC=EF,AB=9,

OX

備用圖

(1)求證：ABEgABEF；

（2）若點(diǎn)/坐標(biāo)為（1,0）,拋物線〉=。/+區(qū)經(jīng)過(guò)8,。兩點(diǎn)，求拋物線

的解析式;

（3）若點(diǎn)Z坐標(biāo)為（機(jī)，0）（機(jī)＞0）,點(diǎn)G為平面內(nèi)一點(diǎn)，以點(diǎn)。，B,

F,G為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，求點(diǎn)Z的坐標(biāo).

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=Lc2+bx+c與坐標(biāo)軸交于N(0,-

,2

2),B(4,0)兩點(diǎn)，直線8C：y=-2x+8交夕軸于點(diǎn)C.點(diǎn)。為直線48

下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作x軸的垂線，垂足為G,QG分別交直線

BC,4B于點(diǎn)、E,F.

(1)求b和c的值；

(2)當(dāng)GE=工時(shí)，連接AD,求△8。尸的面積；

2

(3)8是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo).

18.閱讀材料：一般地，對(duì)于某個(gè)函數(shù)，如果自變量x在取值范圍內(nèi)任取x=a

與x=-a時(shí)，函數(shù)值相等，那么這個(gè)函數(shù)是“對(duì)稱(chēng)函數(shù)”.例如:了=N,在

實(shí)數(shù)范圍內(nèi)任取x=a時(shí)，y=a2-,當(dāng)》=-a時(shí)，y=(-a)2=a2,所以y=

V是“對(duì)稱(chēng)函數(shù)”.

(1)函數(shù)了=2慟+1對(duì)稱(chēng)函數(shù)(填“是”或“不是").當(dāng)x20時(shí)，j=

2|x|+l的圖象如圖1所示，請(qǐng)?jiān)趫D1