專題24概率初步

概率知識板塊則應(yīng)扎實(shí)掌握概率與幾何、頻率估計(jì)概率、用樹狀圖或列表法求概率、游戲的公平性

問題等內(nèi)容。在廣東省的中考中甚至是全國的中考里面，概率都是必考點(diǎn)，一般會(huì)有一道選擇題或者填空

題，考查比較簡單的知識。同時(shí)會(huì)有一道解答題考查列表法和列樹狀圖法來求概率，總體難度不大，屬于

易得分題，一輪復(fù)習(xí)多加訓(xùn)練，加強(qiáng)圖文解讀，輕松獲得此部分分?jǐn)?shù)。

如鶴導(dǎo)廚

確定事件

事件的種類

隨機(jī)事件

隨機(jī)事件概率計(jì)算公式：事件發(fā)生的個(gè)數(shù)+總數(shù)

可以通過大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)，用一個(gè)事件發(fā)生的頻率來估計(jì)這一事件發(fā)生的概率

列表法

畫樹狀圖

考向一：隨機(jī)事件的概率

相關(guān)概念的定義與意義

確定事件一定發(fā)生的事件是必然事件，概率為1.一定不會(huì)發(fā)生的事件是不可能事件，概率為0.

隨機(jī)事件在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件是隨機(jī)事件，它發(fā)生的概率介于。與1之間.

概率的定義一個(gè)事件發(fā)生的可能性叫做該事件發(fā)生的概率，事件A發(fā)生的概率一般記為P(A).

概率的意義一個(gè)事件發(fā)生的概率是一個(gè)確定的數(shù)，它從數(shù)值上刻畫了一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小

概率的如果事件發(fā)生的各種結(jié)果的可能性相等且互相排斥，結(jié)果總數(shù)為n,事件A包含其中的結(jié)果數(shù)

計(jì)算公式為m(mSn),那么事件A發(fā)生的概率P(A尸m+n

1.下列事件中，是必然事件的是()

A.疫情期間，對從疫情高風(fēng)險(xiǎn)區(qū)歸來的人員進(jìn)行核酸檢測，檢測結(jié)果為陽性

B.任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和為180。

C.某校開展“喜迎二十大，筑夢向未來”主題學(xué)習(xí)活動(dòng)中，抽到/同學(xué)分享發(fā)言

D.打開電視機(jī)，正在播放“天宮課堂”

【答案】B

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.疫情期間，對從疫情高風(fēng)險(xiǎn)區(qū)歸來的人員進(jìn)行核酸檢測，檢測結(jié)果為陽性是隨機(jī)事件，故

選項(xiàng)不符合題意；

B.任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和為180。是必然事件，故選項(xiàng)符合題意；

C.某校開展“喜迎二十大，筑夢向未來”主題學(xué)習(xí)活動(dòng)中，抽到N同學(xué)分享發(fā)言是隨機(jī)事件，故選項(xiàng)不符合

題意；

D.打開電視機(jī)，正在播放“天宮課堂”是隨機(jī)事件，故選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了事件的分類，熟練掌握事件的分類是解題的關(guān)鍵.

2.如圖為三階魔方，將六個(gè)面分別涂有不同顏色的魔方平均分割成27個(gè)大小相同的小立方塊，從中任取

一個(gè)小立方塊，恰好有三面涂色的概率為（）

【答案】A

【分析】先找出恰有三面涂色的小立方塊的個(gè)數(shù)，再利用概率公式求出答案.

【詳解】解：由圖可知，三階魔方的小立方體共有27個(gè)，恰有三個(gè)面都涂色的小立方體正是處于三階魔方

的每個(gè)面的交點(diǎn)處的小立方體，也就是上面4個(gè)，下面4個(gè)，共8個(gè).

O

故隨機(jī)取出一個(gè)小正方體的概率為8+27=藥.

故答案選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式的運(yùn)用，正確得出三個(gè)面都涂有顏色的小立方體是解題的關(guān)鍵.

3.如果把一枚質(zhì)地均勻的骰子拋到桌面上，那么正面朝上的數(shù)字是偶數(shù)的概率是

【答案】I

【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案.

【詳解】???骰子有六個(gè)面分別寫上數(shù)字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，正面朝上的數(shù)字是偶數(shù)的有2,4,

6,

31

??.正面朝上的數(shù)字是偶數(shù)的概率

62

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式的運(yùn)用，概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

t

0跟蹤訓(xùn)翥

4.下列事件是必然事件的是（）

A.內(nèi)錯(cuò)角相等B.從一副撲克中任意抽出一張是方塊

C.在一個(gè)三角形中，任意兩邊之和大于第三邊D.明天一定是晴天

【答案】C

【分析】事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件，據(jù)此判斷.

【詳解】解：A、兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，故為隨機(jī)事件，故不符合題意；

B、從一副撲克中任意抽出一張是方塊，故為隨機(jī)事件，故不符合題意；

C、在一個(gè)三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，故為必然事件，故符合題意；

D、明天不一定是晴天，有可能是陰天，故為隨機(jī)事件，故不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了必然事件，熟練掌握隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

5.7張背面相同的卡片，正面分別寫有不同的從1到7的一個(gè)自然數(shù)，現(xiàn)將卡片背面朝上，從中任意抽出

一張，正面的數(shù)是奇數(shù)的概率為（）

2345

A.-B.—C.—D.一

7777

【答案】c

【分析】將卡片背面朝上，從中任意抽出一張共有7種等可能結(jié)果，其中正面的數(shù)是奇數(shù)的有4種結(jié)果，

再根據(jù)概率公式求解即可.

【詳解】解：?.?將卡片背面朝上，從中任意抽出一張共有7種等可能結(jié)果，其中正面的數(shù)是奇數(shù)的有4種結(jié)

果，

4

???正面的數(shù)是奇數(shù)的概率為,,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查概率公式，隨機(jī)事件/的概率R/）=事件/可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)一所有可能出現(xiàn)的結(jié)果

數(shù).

6.在一個(gè)不透明的袋子里，裝有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，這些球除顏色外沒有任何區(qū)別，現(xiàn)從這個(gè)袋子中隨

機(jī)摸出一個(gè)球，摸到紅球的概率是.

【答案】|

【分析】根據(jù)題意，確定出符合條件的可能數(shù)，和出現(xiàn)的總可能數(shù)，利用概率定義求解即可.

【詳解】根據(jù)題意可得：一個(gè)不透明的盒子中裝有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，共5個(gè),

2

摸到紅球的概率為：

2

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查簡單的概率計(jì)算，熟練掌握概率公式是解題關(guān)鍵.

畫重點(diǎn)彎向

考向二：用頻數(shù)估計(jì)概率

用頻數(shù)估計(jì)頻率：可以通過大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)，用一個(gè)事件發(fā)生的頻率來估計(jì)這一事件發(fā)生的概率

I.木箱里裝有僅顏色不同的8張紅色和若干張藍(lán)色卡片，隨機(jī)從木箱里摸出1張卡片記下顏色后再放回,

經(jīng)過多次的重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到藍(lán)色卡片的頻率穩(wěn)定在0.6附近，則估計(jì)木箱中藍(lán)色卡片有（）

A.18張B.12張C.6張D.10張

【答案】B

【分析】先由頻率估計(jì)出概率，然后設(shè)木箱中藍(lán)色卡片x張，根據(jù)概率公式列出方程，再進(jìn)行計(jì)算即可得

出答案.

【詳解】解：設(shè)木箱中藍(lán)色卡片有x張，

???經(jīng)過多次的重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到藍(lán)色卡片的頻率穩(wěn)定在0.6附近，

:摸到藍(lán)色卡片的概率為0.6,

X

=0.6,

x+8

解得x=12,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=12是原方程的解，

.?.估計(jì)木箱中藍(lán)色卡片有12張，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了用頻率估計(jì)概率，已知概率求數(shù)量，熟知大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率的穩(wěn)定值即為概率

值是解題的關(guān)鍵.

2.某小組做“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)時(shí)，統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖的折線統(tǒng)計(jì)圖，則符合

這一結(jié)果的試驗(yàn)最有可能的是（）

,頻率

0.25--------------------------------

0.10--------------------------------

0.05--------------------------------

_?——?——?——?——?-----?

100200300400500次數(shù)

A.在“石頭、剪刀、布''的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀”的概率；

B.任意寫一個(gè)整數(shù)，它能被2整除的概率；

C.擲一枚質(zhì)地均勻正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是2的概率

D.暗箱中有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是白球的概率

【答案】C

【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知，試驗(yàn)結(jié)果在0.17附近波動(dòng)，即其概率尸=0.17,計(jì)算四個(gè)選項(xiàng)的概率，約為0.17

者即為正確答案.

【詳解】解：A、在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀”的概率為;，不符合題意；

B、任意寫一個(gè)整數(shù)，它能被2整除的概率的概率為。，不符合題意；

C、擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)是2的概率是:土0.17,符合題意；

6

D、暗箱中有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一個(gè)球是白球的概率（，不符合題意

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率.用到的知識點(diǎn)為：頻率=所求

情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

3.2023年3月12日是我國第45個(gè)植樹節(jié)，某林業(yè)部門為了考察某種幼樹在一定條件下的移植成活率，在

同等條件下，對這種幼樹進(jìn)行大量移植，并統(tǒng)計(jì)成活情況，下表是這種幼樹移植過程中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

幼樹移植數(shù)（棵）100100050008000100001500020000

幼樹移植成活數(shù)（棵）878834455720989831351918044

幼樹移植成活的頻率0.87000.88200.89100.90110.89830.90130.9022

估計(jì)該種幼樹在此條件下移植成活率是.（結(jié)果精確到1%）

【答案】0.90##90%

【分析】大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這

個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率.

【詳解】解：?.?幼樹移植數(shù)20000棵時(shí)，幼樹移植成活的頻率為0.902,

，估計(jì)幼樹移植成活的概率為0.902,精確到1%,即為0.90.

故答案為：0.90.

【點(diǎn)睛】本題考查了用大量試驗(yàn)得到的頻率可以估計(jì)事件的概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率.

點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練

4.一個(gè)盒子里裝有僅顏色不同的10張紅色和若干張藍(lán)色卡片，隨機(jī)從盒子里摸出1張卡片記下顏色后再

放回，經(jīng)過多次的重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到藍(lán)色卡片的頻率穩(wěn)定在0.8附近，則估計(jì)盒子中藍(lán)色卡片有（）

A.50張B.40張C.36張D.30張

【答案】B

【分析】根據(jù)頻率估計(jì)概率，然后根據(jù)概率公式列出方程，解方程即可求解.

【詳解】解：設(shè)盒子中藍(lán)色卡片x張，根據(jù)題意可得，

解得：x=40,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=40時(shí)原方程的解，

則估計(jì)盒子中藍(lán)色卡片有40張；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了用頻率估計(jì)概率，掌握概率公式是解題的關(guān)鍵.

5.某小組做“用頻率估計(jì)概率”的實(shí)驗(yàn)時(shí)，繪出的某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率分布折線圖，則符合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)

可能是（）

[頻率

0.5[---------------------------------

04卜…

0.3[---------------------------------

0.2[---------------------------------

0.1[---------------------------------

------1-------1-------1-----1——?

200400600800次數(shù)

A.拋一枚均勻硬幣，出現(xiàn)正面朝上

B.擲一個(gè)正六面體的骰子，出現(xiàn)2點(diǎn)朝上

C.從一個(gè)裝有3個(gè)紅球2個(gè)黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球

D.一副去掉大小王的撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃

【答案】C

【分析】根據(jù)折線圖，得到概率為0.4,逐一求出概率，進(jìn)行比較判斷即可.

【詳解】解：由折線圖可知：該事件的概率為：0.4；

A、拋一枚均勻硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為：1^0.4,不符合題意；

B、擲一個(gè)正六面體的骰子，出現(xiàn)2點(diǎn)朝上的概率為：1*0.4,不符合題意；

0

2

C、從一個(gè)裝有3個(gè)紅球2個(gè)黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率為：y=o.4,符合題意；

13

D、一副去掉大小王的撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率為：—*0.4,不符合題意；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查用頻率估計(jì)概率，以及利用概率公式求概率.熟練掌握概率是頻率的穩(wěn)定值，是解題的

關(guān)鍵.

6.十八世紀(jì)法國的博物學(xué)家C.布豐做過一個(gè)有趣的投針試驗(yàn)，可以通過這一試驗(yàn)來估計(jì)萬的近似值，某

數(shù)學(xué)興趣小組利用計(jì)算機(jī)模擬布豐投針試驗(yàn)，得到試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：

試驗(yàn)次數(shù)15002000250030003500400045005000

相交頻數(shù)4956237999541123126914341590.

相交頻率0.33000.31150.31960.31800.32090.31730.31870.3180

可以估計(jì)出針與直線相交的概率為（精確到0.001）.

【答案】0.318

【分析】利用頻率估計(jì)概率即可.

【詳解】解：由表格可知：針與直線相交的概率為0.318；

故答案為：0.318.

【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率估計(jì)概率.熟練掌握在同樣條件下，大量的重復(fù)試驗(yàn)，利用一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生

的頻率逐漸穩(wěn)定到某個(gè)常數(shù)，可以估計(jì)這個(gè)事件發(fā)生的概率，是解題得關(guān)鍵.

典值點(diǎn)春向

考向三：用列舉法求概率

用列舉法求概率：

在等可能的情況下，求隨機(jī)事件發(fā)生的概率通常利用列表或畫樹狀圖列出所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果，在計(jì)算事

件發(fā)生的概率。

1.某班級計(jì)劃舉辦手抄報(bào)展覽，確定了“5G時(shí)代”、“北斗衛(wèi)星”、“高鐵速度”三個(gè)主題，若小明和小亮每人

隨機(jī)選擇其中一個(gè)主題，則他們的選擇恰好不是同一個(gè)主題的概率是（）

11c12

A.—B.—C.-D.—

9633

【答案】D

【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小亮選擇恰好不是同一個(gè)主題的結(jié)果有6種，再

由概率公式求解即可.

【詳解】解：把“5G時(shí)代”、“北斗衛(wèi)星”、“高鐵速度”三個(gè)主題分別記為B.C,

畫樹狀圖如下：

開始

ABC

ABCABCABC

共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小亮選擇恰好不是同一個(gè)主題的結(jié)果有6種,

???小明和小亮選擇恰好不是同一個(gè)主題的概率為1=1.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了用樹狀圖法求概率.樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或

兩步以上完成的事件.用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

2.2023年3月5日是第60個(gè)學(xué)雷鋒紀(jì)念日，零陵區(qū)某校九年級社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組于當(dāng)天分別到“敬老院、

零陵古城、烈士陵園、麻元社區(qū)”中的兩個(gè)地點(diǎn)開展志愿者服務(wù)，則該社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組恰好選擇去'敬老院、

烈士陵園”兩地開展志愿者服務(wù)的概率為

【答案】|

O

【分析】畫樹狀圖，根據(jù)概率的計(jì)算公式解答即可.

【詳解】解：將敬老院、零陵古城、烈士陵園、麻元社區(qū)分別用B.C,。表示,

畫樹狀圖如下:

共有12種等可能的結(jié)果，其中該社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組恰好選擇去“敬老院、烈士陵園”兩地開展志愿者服務(wù)的

有2種，

21

???該社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組恰好選擇去“敬老院、烈士陵園”兩地開展志愿者服務(wù)的概率為77=1

126

故答案為：—.

0

【點(diǎn)睛】此題考查了用樹狀圖法求事件的概率，正確畫出樹狀圖，熟記概率的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

3.中國古代在數(shù)學(xué)方面的成就輝煌，《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》等都是我國古代數(shù)

學(xué)的重要文獻(xiàn).某數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備采用抽簽的方式確定學(xué)習(xí)內(nèi)容，將書目制成編號為A,B,C,D的4

張卡片(如圖所示，卡片除編號和書目外，其余完全相同)，現(xiàn)將這4張卡片背面朝上，洗勻放好:

ABCD

《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》

(1)若從4張卡片中隨機(jī)抽取一張，抽到《九章算術(shù)》的概率為

(2)若從4張卡片中隨機(jī)抽取兩張，請用列表法或畫樹狀圖法求抽到《周髀算經(jīng)》和《孫子算經(jīng)》的概率.

【答案】⑴；

(2)圖見解析；—

O

【分析】（1）直接利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，抽到《周髀算經(jīng)》和《孫子算經(jīng)》的結(jié)果有2種，再利用概率

公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】（1）解：從4張卡片中隨機(jī)抽取一張，抽到《九章算術(shù)》的概率為

4

故答案為：

4

（2）解：畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果，抽到《周髀算經(jīng)》和《孫子算經(jīng)》的結(jié)果有2種，

21

二抽到《周髀算經(jīng)》和《孫子算經(jīng)》的概率為：—

1ZO

【點(diǎn)睛】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率和概率公式，熟練掌握列表法或樹狀圖法求概率的方法是解

題的關(guān)鍵.

t

0跟蹤訓(xùn)翥

4.將分別標(biāo)有“最”、“美”、“濟(jì)”、“南”四個(gè)漢字的小球裝在一個(gè)不透明的口袋中，這些球除漢字不同外其

他完全相同，每次摸球前先攪勻，隨機(jī)摸出一球，放回摸出的球后再隨機(jī)摸出一球，兩次摸出的球上的漢

字可以組成“濟(jì)南''的概率是（）

5111

A.——B.-C.一D.-

16684

【答案】C

【分析】畫出樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果,其中兩次摸出的球可以組成“濟(jì)南”的結(jié)果有2種，再由概

率公式求解即可.

【詳解】解：畫樹狀圖如下:

開始

最美濟(jì)南

最美濟(jì)南最美濟(jì)南最美濟(jì)南最美濟(jì)南

共有16種等可能的結(jié)果，其中兩次摸出的球可以組成“濟(jì)南”的結(jié)果有2種,

21

??.兩次摸出的球上的漢字可以組成'濟(jì)南”的概率是7=二

168

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了用畫樹狀圖法或列表法求概率，根據(jù)不放回的方法正確畫出樹狀圖是解答本題的關(guān)

鍵.

5.學(xué)習(xí)電學(xué)知識后，小婷同學(xué)用四個(gè)開關(guān)4B、C、D,一個(gè)電源和一個(gè)燈泡設(shè)計(jì)了一個(gè)電路圖，現(xiàn)任意

閉合其中兩個(gè)開關(guān)，則小燈泡發(fā)光的概率等于.

【分析】畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果，再找出小燈泡發(fā)光的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.

【詳解】解：畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果，其中小燈泡發(fā)光的結(jié)果有6種，

???小燈泡發(fā)光的概率=n

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果，再從中選出符合事

件A或B的結(jié)果數(shù)目，然后利用概率公式求事件/或B的概率.

6.在5張相同的小紙條上，分別寫有語句：①函數(shù)表達(dá)式為y=f；②函數(shù)表達(dá)式為》=-L：③函數(shù)的

圖像經(jīng)過點(diǎn)(1,-1);④函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)到X軸、)，軸的距離相等；⑤函數(shù)值V隨X的增大而減小.將

這5張小紙條做成5支簽，①、②放在不透明的盒子/中攪勻，③、④、⑤放在不透明的盒子2中攪

勻.

(1)從盒子/中任意抽出1支簽，抽到②的概率是;

(2)先從盒子/中任意抽出1支簽，再從盒子B中任意抽出1支簽.求抽到的2張小紙條上的語句對函數(shù)的

描述相符合的概率.

【答案】(1*

(2)抽到的2張小紙條上的語句對函數(shù)的描述相符合的概率是:

【分析】(1)利用概率公式求解即可；

(2)列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可.

【詳解】(1)解：從盒子/中任意抽出1支簽，抽到②的概率是3

(2)解：列表如下:

①②

③①③②③

④①④②④

⑤①⑤②⑤

所有等可能結(jié)果共有6種，

其中抽到的2張小紙條上的語句對函數(shù)的描述相符合的有：①③；①④；①⑤；②③，共4種，

■■.P(抽到的2張小紙條上的語句對函數(shù)的描述相符合)=?=：.

63

答：抽到的2張小紙條上的語句對函數(shù)的描述相符合的概率是：.

【點(diǎn)睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適

合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放

回試驗(yàn).用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

在真題過關(guān)

1.(2022?廣東廣州?統(tǒng)考中考真題)為了疫情防控，某小區(qū)需要從甲、乙、丙、丁4名志愿者中隨機(jī)抽取2

名負(fù)責(zé)該小區(qū)入口處的測溫工作，則甲被抽中的概率是()

【答案】A

【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后求得全部情況的總數(shù)與符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生

的概率.

【詳解】解：畫樹狀圖得：

甲7丙丁

第一個(gè)人/l\Zl\zi\z/\

第二個(gè)人乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

二一共有12種情況，抽取到甲的有6種，

■■■p（抽到甲）=

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有

可能的結(jié)果，用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

2.（2022?廣東?統(tǒng)考中考真題）書架上有2本數(shù)學(xué)書、1本物理書.從中任取1本書是物理書的概率為

（）

,11

A.-B.—C—D.|

43

【答案】B

【分析】根據(jù)概率公式直接求概率即可；

【詳解】解：一共有3本書，從中任取1本書共有3種結(jié)果，

選中的書是物理書的結(jié)果有1種，

從中任取1本書是物理書的概率=：.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，掌握概率=所求事件的結(jié)果數(shù)一總的結(jié)果數(shù)是解題關(guān)鍵.

3.（2021?廣東廣州統(tǒng)考中考真題）為了慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校舉辦了黨史知識競賽活動(dòng)，在

獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生中，有3名女學(xué)生，1名男學(xué)生，則從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，恰好抽到2名女

學(xué)生的概率為（）

A-1B.：

【答案】B

【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與選出的2名學(xué)生中恰好有2名

女生的情況，再利用概率公式即可求得答案.

【詳解】解：畫樹狀圖得：

開始

女女女男

/N/K/K/N

女女男女女男女女男女女女

?.?共有12種等可能的結(jié)果，選出的2名學(xué)生中恰好有2名女生的有6種情況；

_6_1

?■DP。女主廠記■一］■

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有

可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識點(diǎn)為:

概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

4.(2021?廣東?統(tǒng)考中考真題)同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是

()

11八11

A.—12B.6-C.-3D.2-

【答案】B

【分析】利用列表法，可求得兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和所有可能的結(jié)果數(shù)及兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為7

的結(jié)果數(shù)，根據(jù)概率計(jì)算公式即可求得所求的概率.

【詳解】列表如下：

123456

1234567

2345678

3456789

45678910

567891011

6789101112

由表知，兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和所有可能的結(jié)果數(shù)為36種，兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為7的結(jié)果數(shù)為6,

故兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是：

36o

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了用列表法或樹狀圖求等可能事件的概率，用列表法或樹狀圖可以不重不漏地把事件所

有可能的結(jié)果數(shù)及某一事件的結(jié)果數(shù)表示出來，具有直觀的特點(diǎn).

5.（2020?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）口袋內(nèi)裝有編號分別為1,2,3,4,5,6,7的七個(gè)球（除編號外都相

同），從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，則摸出編號為偶數(shù)的球的概率是—.

【答案】|

【分析】用袋子中編號為偶數(shù)的小球的數(shù)量除以球的總個(gè)數(shù)即可得.

【詳解】解：???從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球共有7種等可能結(jié)果，其中摸出編號為偶數(shù)的球的結(jié)果數(shù)為3,

???摸出編號為偶數(shù)的球的概率為:，

3

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題主要考查概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握隨機(jī)事件A的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)

一所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).

6.（2019?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）現(xiàn)有8張同樣的卡片，分別標(biāo)有數(shù)字：1,1,2,2,2,3,4,5,將這

些卡片放在一個(gè)不透明的盒子里，攪勻后從中隨機(jī)地抽取一張，抽到標(biāo)有數(shù)字2的卡片的概率是.

【答案】I

【分析】直接利用概率公式計(jì)算進(jìn)而得出答案.

【詳解】???現(xiàn)有8張同樣的卡片,分別標(biāo)有數(shù)字：1,1,2,2,2,3,4,5,

二將這些卡片放在一個(gè)不透明的盒子里，攪勻后從中隨機(jī)地抽出一張，抽到標(biāo)有數(shù)字2的卡片的概率是：

3

8,

故答案為1

【點(diǎn)睛】此題主要考查了概率公式，正確掌握計(jì)算公式是解題關(guān)鍵.

7.（2020?廣東廣州?統(tǒng)考中考真題）為了更好地解決養(yǎng)老問題，某服務(wù)中心引入優(yōu)質(zhì)社會(huì)資源為甲，乙兩個(gè)

社區(qū)共30名老人提供居家養(yǎng)老服務(wù)，收集得到這30名老人的年齡（單位：歲）如下：

甲社區(qū)676873757678808283848585909295

乙社區(qū)666972747578808185858889919698

根據(jù)以上信息解答下列問題：

(1)求甲社區(qū)老人年齡的中位數(shù)和眾數(shù)；

(2)現(xiàn)從兩個(gè)社區(qū)年齡在70歲以下的4名老人中隨機(jī)抽取2名了解居家養(yǎng)老服務(wù)情況，求這2名老人恰

好來自同一個(gè)社區(qū)的概率.

【答案】(1)中位數(shù)是82,眾數(shù)是85；(2)

【分析】(1)根據(jù)中位數(shù)及眾數(shù)的定義解答；

(2)列樹狀圖解答即可.

【詳解】(1)甲社區(qū)老人的15個(gè)年齡居中的數(shù)為：82,故中位數(shù)為82,

出現(xiàn)次數(shù)最多的年齡是85,故眾數(shù)是85；

(2)這4名老人的年齡分別為67,68,66,69歲，分別表示為A、B、C、D,

列樹狀圖如下：

ABCD

/Z/N小

BCDACDABDABC

共有12種等可能的情況，其中2名老人恰好來自同一個(gè)社區(qū)的有4種，分別為AB,BA,CD,DC,

41

.-■P(這2名老人恰好來自同一個(gè)社區(qū))

【點(diǎn)睛】此題考查統(tǒng)計(jì)知識，會(huì)求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)，能列樹狀圖求事件的概率，熟練掌握解題的

方法是解題的關(guān)鍵.

8.(2019?廣東?統(tǒng)考中考真題)為了解某校九年級全體男生1000米跑步的成績，隨機(jī)抽取了部分男生進(jìn)行

測試，并將測試成績分為A、8、C、。四個(gè)等級，繪制如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表，如題圖表所示，根據(jù)圖

表信息解答下列問題：

成績等級頻數(shù)分布表

成績等級頻數(shù)

A24

B10

CX

D2

合計(jì)y

成績等級扇形統(tǒng)計(jì)圖

(1)x=,y=,扇形圖中表示C的圓心角的度數(shù)為度；

(2)甲、乙、丙是A等級中的三名學(xué)生，學(xué)校決定從這三名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名介紹體育鍛煉經(jīng)驗(yàn)，用列

表法或畫樹狀圖法，求同時(shí)抽到甲、乙兩名學(xué)生的概率.

【答案】(1)4,40,36；(2)—.

【分析】(1)根據(jù)B等級的人數(shù)以及所占的比例可求得y,用y減去其余3組的人數(shù)可求得x,用360乘以C

等級所占的比例即可求得相應(yīng)圓心角的度數(shù)；

(2)畫出樹狀圖得到所有等可能的情況數(shù)，再找出符合條件的情況數(shù)，利用概率公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】(l)y=10+25%=40,

x=40-24-10-2=4,

360X汽=36度，

40

故答案為4,40,36

(2)畫樹狀圖如圖：

共有6種等可能的情況，其中同時(shí)抽到甲、乙的有兩種情況，

21

??.P(同時(shí)抽到甲、乙尸2=刀.

63

【點(diǎn)睛】本題考查了頻數(shù)分布表，扇形統(tǒng)計(jì)圖，列表法或樹狀圖法求概率，弄懂圖表，從中得到有用的信

息是解題的關(guān)鍵.本題還用到了知識點(diǎn)：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

*模巧檢測

1.將一質(zhì)地均勻的正方體骰子擲一次，觀察向上一面的點(diǎn)數(shù)，與點(diǎn)數(shù)3相差2的概率是1.

1111

A.-B.—C.-D.—

2356

【答案】B

【詳解】依題意，與點(diǎn)數(shù)3相差2的數(shù)字是1和5,進(jìn)而根據(jù)概率公式即可求解.

【分析】解：與點(diǎn)數(shù)3相差2的數(shù)字是1和5,

21

則向上一面的點(diǎn)數(shù)為1和5的概率是二=:，

63

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)概率公式求概率，掌握概率公式是解題的關(guān)鍵.

2.下列事件為確定事件的有（）

（1）打開電視正在播動(dòng)畫片

（2）長、寬為加，”的矩形面積是〃。

（3）擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上

（4）萬是無理數(shù)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】直接利用隨機(jī)事件以及確定事件的定義分析得出答案.

【詳解】（1）打開電視正在播動(dòng)畫片，是隨機(jī)事件，不合題意；

（2）長、寬為加，〃的矩形面積是機(jī)〃，是確定事件，符合題意；

（3）擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上，是隨機(jī)事件，不合題意；

⑷萬是無理數(shù)，是確定事件，符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了隨機(jī)事件以及確定事件，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

3.如圖所示，隨機(jī)閉合開關(guān)K2,（中的兩個(gè)，則能讓兩盞燈泡同時(shí)發(fā)光的概率為（）

【答案】C

【分析】畫樹狀圖找出隨機(jī)閉合開關(guān)&,K2,4中的兩個(gè)的情況數(shù)以及能讓兩盞燈泡心、與同時(shí)發(fā)光的情

況數(shù)，即可求出所求概率.

【詳解】解：畫樹狀圖，如圖所示：

開始

K\&K3

z\/\/\

KaKiK3KIK2

一共有6種等可能的情況，其中能讓兩盞燈泡同時(shí)發(fā)光的情況有2種，

21

則P（能讓兩盞燈泡"與同時(shí)發(fā)光）=<=7.

63

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了列表法與樹狀圖法，弄清題中的電路圖是解本題的關(guān)鍵.

4.為了解某地區(qū)九年級男生的身高情況，隨機(jī)抽取了該地區(qū)1000名九年級男生的身高數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如

下.

身高尤/cmx<160160Kx<170170Kx<180x>180

人數(shù)60260550130

根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)結(jié)果，隨機(jī)抽取該地區(qū)一名九年級男生，估計(jì)他的身高不低于170cm的概率是（）

A.0.32B.0.55C.0.68D.0.87

【答案】C

【分析】先計(jì)算出樣本中身高不低于170cm的頻率，然后根據(jù)利用頻率估計(jì)概率求解.

【詳解】解：樣本中身高不低于170cm的頻率=胃株型=0.68,

所以估計(jì)抽查該地區(qū)一名九年級男生的身高不低于170cm的概率是0.68.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并

且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似

值就是這個(gè)事件的概率.用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來越精確.

5.如圖，任意將圖中的某一白色方塊涂黑后，能使所有黑色方塊構(gòu)成的圖形是軸對稱圖形的概率是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義，結(jié)合概率計(jì)算公式求解即可.

【詳解】解：如圖所示，由軸對稱圖形的定義可知當(dāng)選取編號為1,3,5,6其中一個(gè)白色區(qū)域涂黑后，能

使黑色方塊構(gòu)成的圖形是軸對稱圖形，

,任意將圖中的某一白色方塊涂黑后，能使所有黑色方塊構(gòu)成的圖形是軸對稱圖形的概率是2=：,

63

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱圖形的定義，簡單的概率計(jì)算，熟知軸對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵.

6.從2021、2022、2023、2024、2025這五個(gè)數(shù)中任意抽取3個(gè)數(shù).抽到中位數(shù)是2022的3個(gè)數(shù)的概率等

于.

3

【答案】歷

【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖，結(jié)合概率公式即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意，畫樹狀圖如圖，

2021

202320242025202220242025202220232025202220242023

2022為中位數(shù)的情形有6種,

2022

202520232024202120232024202120252024202120232025

2022為中位數(shù)的情形有6種,

2023

2021202220242025

202220242025202120242025202120222025202120242022

2022為中位數(shù)的情形有2種,

2024

2021202220232025

202220232025202120232025202120222025202120232022

2022為中位數(shù)的情形有2種,

2025

2021202220232024

202220232024202120232024202120222024202120232022

2022為中位數(shù)的情形有2種，

共有60種情況，其中抽到中位數(shù)是2022的3個(gè)數(shù)的情況有18種，

則抽到中位數(shù)是2022的3個(gè)數(shù)的概率等于多=2，

6010

故答案為:三3

【點(diǎn)睛】本題考查了中位數(shù)的定義，列表法求概率，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

7.一個(gè)不透明的箱子里裝有紅球、藍(lán)球、黃球共20個(gè)，除顏色外，形狀、大小、質(zhì)地等完全相同.通過

大量摸球試驗(yàn)，小明發(fā)現(xiàn)摸到紅球、黃球的頻率分別穩(wěn)定在10%、15%,則估計(jì)箱子里藍(lán)球有一個(gè).

【答案】15

【分析】利用頻率估計(jì)概率，可得到摸到紅色、黃色球的概率為10%和15%,則摸到藍(lán)球的概率為75%,

然后根據(jù)概率公式可計(jì)算出口袋中藍(lán)色球的個(gè)數(shù).

【詳解】解：估計(jì)箱子里藍(lán)球有20x（1-10%-15%）=15（個(gè)）,

故答案為：15.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并

且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似

值就是這個(gè)事件的概率.用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來越精確.

8.在創(chuàng)建“文明校園”的活動(dòng)中，班級決定從四名同學(xué)（兩名男生，兩名女生）中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)擔(dān)任本

周的值周長，那么抽取