甘肅省酒泉市普通高中2023-2024學年高一上學期期末考試數學試題

姓名：班級：考號：

題號——四總分

評分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符

合題目要求的.

1.下列各角中，與760。角終邊相同的角是()

A.60°B.360°C.-320°D.-440°

2.已知集合4={久|久<1},B={x\x2—2%—8<0},貝ijAClB=()

A.[1,4]B.[-2,1)C.(2,4]D.(—oo,4]

3.函數y=7711+111(4—x)的定義域為()

A.[2,4)B.(2,4)C.[2,4]D.[2,+oo)

4.函數f(>)=必+%—20的零點所在的區間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

0,1

5.已知a=2°*i,b=log20.1,c=3,則a,b,c的大小關系是()

A.c>a>bB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

6.將函數/(%)=sin(2x+9)(0<<p<兀)的圖象向右平移,個單位長度后得到函數g(%)=sin(2》一金)的圖象，

則3的值為()

A.IB.JC.|D.等

7.由于我國與以美國為首的西方國家在科技領域內的競爭日益激烈，美國加大了對我國一些高科技公司的打壓,

為突破西方的技術封鎖和打壓，我國的一些科技企業積極實施了獨立自主、自力更生的策略，在一些領域取得

了驕人的成績.我國某科技公司為突破“芯片卡脖子”問題，實現芯片制造的國產化，加大了對相關產業的研發投

入.若該公司2020年全年投入芯片制造方面的研發資金為120億元，在此基礎上，計劃以后每年投入的研發資

金比上一年增長9%,則該公司全年投入芯片制造方面的研發資金開始超過200億元的年份是()參考數

據：/gl.09々0.0374,匈2m0.3010,匈3々0.4771.

A.2024年B.2025年C.2026年D.2027年

2欠一1,1<x<3,

‘一一’對VJQE[—3,3],BX2E[-3,3],使得/(%i)=

{—%z+l,-3<x<l,

g(%2)成立，則實數a的取值范圍是()

A.[—1,1]B.[0,4]C.[1,3]D.[—2,2]

1

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.

9.若sina?cosa〉0,則a終邊可能在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

10.設函數/（久）=—2久，則/（久）（）

A.是奇函數B.是偶函數

C.在（一1,1）上單調遞減D.在（一8,—1）上單調遞減

11.已知函數/(%)=Zsin3%+0)(4>0,3>0,|勿<*）的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）

B.函數y=/（久一卷）為偶函數

C.函數y=f（￡）的圖象關于直線久=-1對稱

D.函數y=/?（%）在［一號，勻上的最小值為一8

12.若2。+log2a=仙+210g",則下列結論錯誤的是（）

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

三'填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知角a的終邊經過點P（—5,12）,則sina=.

14.如果函數f（X）對任意的正實數a,b,都有/（ab）=f（a）+/（b）,則/（%）的解析式可以是

/（%）=.（寫出一個即可）

15.建于明朝的杜氏雕花樓被譽為“松江最美的一座樓”，該建筑內有很多精美的磚雕，磚雕是我國古建筑雕刻

中很重要的一種藝術形式，傳統磚墻精致細膩、氣韻生動、極富書卷氣.如圖是一扇環形磚雕，可視為扇形。CD

截去同心扇形。2B所得部分，已知4。=1m,弧屈=等血，弧式）=至小，則此扇環形磚雕的面積為

2

7nz.

2

c

A\、??/B

0

16.已知函數/(K)=|lg久I，f(d)=f(b),a<b,則a+2023b的取值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知命題p：3%eR,x2-6x+a2=0,當命題p為真命題時，實數a的取值集合為4

(1)求集合4

(2)設非空集合B=(a|3m-2<a<m-1},若久C4是久CB的必要不充分條件，求實數m的取值范

18.已知幕函數/(%)=(m2+6m+9)鏟心在(0,+8)上單調遞減.

(1)求實數血的值；

(2)若(3a—2)fT<9+勾―1-1,求實數a的取值范圍.

19.(1)已知cosa=-[,且a為第二象限角，求sina的值;

、+笛4sina-2cosa

(2)已知tana=3,K*5cosa+3sina的值.

3

20.已知函數fO)=五1%9,beR),且/⑴=1點/(-1)=-1.

(1)求a,6的值；

(2)試判斷函數f(x)在(2,+8)上的單調性，并證明；

(3)求函數/(%)在％C［2,6］上的最大值和最小值.

21.已知函數/■(>)=/+b(.a>0,且aAl)的部分圖象如圖所示.

(1)求/(久)的解析式;

(2)若關于％的不等式弓尸+(-26尸—小〈。在［1,+8)上有解，求實數m的取值范圍.

22.已知點4(%1，/(xD),B(%2,f(%2))是函數/(%)=魚sin(3%+0)(3>O,0<0<今)圖象上的任意兩點,

/(0)=1,且當|f(%i)-/(X2)|=2四時，|打一外1的最小值為今

(1)求/(X)的解析式；

(2)當％與］時，［/(x)］2一句?(%)一mW0恒成立，求實數m的取值范圍.

5

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：設與760。角終邊相同的角為a,則5={困戊=760。+上360。，keZ],當k=—3時，

a=-320°.

故答案為：C.

【分析】根據終邊相同的角構成的集合即可判斷.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：由/一2%-840,解得一2W久W4,則8={%]—2Wx<4},

又因為A={x|x<1},所以，4nB=[—2,1).

故答案為：B.

【分析】先解一元二次不等式求得集合3,再根據集合的交集運算求解即可.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：要使函數丫=7^—+111(4—久)有意義，則[二解得2Wx<4,所以函數丫=

V^=I+ln(4-％)的定義域為[2,4).

故答案為：A.

【分析】根據給定條件，列出不等式組求解即可得函數的定義域.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：函數/(%)=久3+久—20是定義域在R上的連續曲線，且單調遞增，因為f(0)=—20,61)=

-18,f(2)=—10,f(3)=10,f(4)=48,可得f(2)?f(3)<0,由零點存在性定理，可得

函數/(%)零點所在的區間是(2,3).

故答案為：C.

【分析】求定義域判斷函數的單調性，結合特殊點的函數值符號，由零點存在性定理即可得函數零點所在區間.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：b=log20.1<log2l=0,而函數y=x0,i在(0,+8)上單調遞增，則0<2a1<3°、即

a<c,

所以c>a>b.

故答案為：A.

【分析】由對數函數性質可知c<0,再利用幕函數丫=%°二的單調性可比較a,c,從而可得a,b,c的大小

關系.

6.【答案】B

6

【解析】【解答】解:將函數f(x)=sin(2x+8)(0<(P<兀)的圖象向右平移專個單位長度后可得y=sin(2x-^+

,JTTT__JT,77"IT

(P),由sin(2x—可+R)=sin(2%—,可得(/)一可=—2/CTT,kEZ,即9=4+2k71,kE.Z,又

因為。<3<兀，所以9=祟

故答案為：B.

【分析】先根據平移求出平移后的函數解析式，利用函數解析式相等即可求⑴的值.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：設2020年后第n年該公司全年投入芯片制造方面的研發資金開始超過200億元，

則120x(1+9%)n>200即(1.09)n>|^=|,

兩邊同取常用對數，得門>噴=1一32一33=1一0.30110.4771-5.93,又neN+，

-lgl.09—lgl.09—0.037

所以n>6,所以從2026年開始，該公司全年投入芯片制造方面的研發資金開始超過200億元.

故答案為：C.

【分析】根據題意列出不等關系，然后利用對數運算法則化簡，解不等式，即可求出年份.

8.【答案】D

2f1<%<3,

【解析】【解答】解:因為。(久)=所以當％2W[—3,1)時,g(%2)=—%|+1￡]—8,1]，

—/+1,-

%2w[1，3]時，g(%2)=2*21￡[1,4]9綜上g(%2)e[—8,4]；

當a>0時，￡[—3,3]9f(%i)G[—3Q—2,3d—2],由題后，[—3a—2,3a—2]G[—8,4],即

廠”一三3解得。<。<2；

I3a—2<4

當a=0時，/(%i)=-2,符合題意；

當a<0時，G[—3,3]9f(%i)￡[3d—2,—3a—2],

由題意，[3a—2,-3a—2]U[—8,4],即其彳，解得一2<a<0；

綜上可得：實數a的取值范圍為[-2,2].

故答案為：D.

【分析】先根據函數9(%)的解析式求出值域，再分類討論求出fQ)的值域，最后結合兩函數值域的關系列不等

式求解即可.

9.【答案】A,C

【解析】【解答】解：因為sina?cosa>0,所以sin。>0,cos。>0或sin。<0,cos。<0,貝！Ja的終邊位于第

7

一象限或第三象限.

故答案為：AC.

【分析】根據題意，可知sina,cosa同號，根據各個象限三角函數值的正、負號即可判斷.

10.【答案】A,C

【解析】【解答】解：函數f(x)=x\x\-2x的定義域為R,定義域關于原點對稱，滿足/(-%)=-%|-%|-2(-

%)=-x\x\+2x--(x\x\-2x)--/(%),則函數/(久)是奇函數，不是偶函數，故A正確，B錯誤；

C、當0?%<1時，f(x)=/—2%在[0,1)上單調遞減，因為函數了(久)為奇函數，所以/(久)在(―1,0)單

調遞減，因此外口在(-1,1)上單調遞減，故C正確；

D、當％<—1時，fQ)=—/—2支在(―8,—1)上單調遞增，故D錯誤.

故答案為：AC.

【分析】求出函數定義域，利用奇偶函數的定義判斷函數的奇偶性即可的判斷AB；判斷指定區間上的單調性

即可判斷CD.

11.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：A、易得A=2,由￡=亨則7=冗=會，解得3=2,故A正確；

B、由圖象過點(擊，2),可得2x今+0=5+2/OT,kCZ,因為阿〈去所以8=號，故f(x)=2sin(2x+^),

所以y=/(久一看)=2sin2久，即函數y=/(久一卷)為奇函數，故B錯誤；

C、當久=一"時，2%+4=一3,所以f(—鴻)=一2是函數/(均最值，故C正確；

D、因為久G[一號，金]，所以2x+[W[-],所以/1(%)=2sin(2%+1)e[―V5,2],所以/(K)min=/(—

J)=-V3,故D正確.

故答案為：ACD.

【分析】根據圖象的最值求得A,再由已知點求周期利用周期公式求得3即可判斷A；根據圖象過點(專，2)

即可求得仍進而得出f(x)的解析式，再求出y=/(久-卷)即可判斷B；根據正弦函數的性質即可判斷C；根

據x的范圍[-3，金],求出函數y=f(X)的值域，即可得其最小值，判斷D.

12.【答案】A,C,D

2b

【解析】【解答】解：2。+log2a=4匕+210g4b=2+log2b,

設函數/(%)=2%+k)g2%,則f(x)在(0,+8)上單調遞增，

8

2b2b2h

故/(Q)—/(2b)=2。+log2a—(2+log22&)=2+log2b—(2+log22b)=logz^=-1<0，

所以/(a)</(2b),所以a<2b,故B正確，A錯誤；

222

/(a)—/(b)=2。+log2a—(2"+log2b)=22b+log2b—(2"+log2b)=22b_2b2_jOg2/),

當b=1.時,f(a)-f(b2)=2>0,故/(a)>/(b2),即a>屬；

當b=2時,/(a)-/(b2)=-1<0,故f(a)Vf(b2),即。<屬，故C、D錯誤.

故答案為：ACD.

【分析】原式變形為2。+1082a=22b+k)g2b,設/(%)=2%+log2%,判斷函數/(%)的單調性，再由2。+1082。=

2/j2

2+log2b,計算/(a)—/(2b)、/(a)-/(b),即可判斷.

13.【答案】||

【解析】【解答】解：因為角a的終邊經過點P(-5,12),所以點P到原點的距離為r=J(—5)2+12?=13,

grpi.1212

所以sina=—二

r13

故答案為：II.

【分析】根據任意角三角函數定義直接計算即可.

14.【答案】Igx(答案不唯一)

【解析】【解答】解：函數人支)對任意的正實數a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b),

對數函數/(%)=Igx,滿足f(ab)=lg(ab)=Iga+Igb=f(d)+f(b).

故答案為:f(x)=Igx(答案不唯一).

【分析】由題意，對任意的正實數a,b,滿足/(ab)=/(a)+/(b),考慮對數函數，即可求解.

15.【答案】J

~~2TT兀

【解析】【解答】解：設扇環形磚雕的圓心角為a,則1=空=歿=’=_3_,解得0A=1m,所以。0=2m,

0D~0A~0A+1—OA

所以此扇環形磚雕的面積為機辦0°T肪Q=gx冬x2—g><91=加2.

故答案為：J.

【分析】根據扇形弧長公式和扇形的面積公式求解即可.

16.【答案】(2024,+oo)

【解析】【解答】解：函數/'(%)=|lg%］的定義域為(0,+oo),因為/(a)=/(b),a<b,所以|lga|=|lgb|,即

Iga+Igb=0,解得ab=L即a=},又因為b〉a>0,所以b>1〉a>0,a+2023b=去+2023b,由

對勾函數y=/+2023久在(1,+8)上單調遞增，

所以a+2023b=三+2023b>1+2023=2024,故a+2023b的取值范圍是(2024,+oo).

9

故答案為：（2024,+oo）.

【分析】根據已知條件求出a,b的關系，再利用對勾函數的性質求解即可.

17.【答案】（1）解：因為p為真命題，所以方程/—6%+a2=0有解，

即4=36-4a2>0得一3Wa〈3,所以A={a\-34a43}

（2）解：因為xGA是久CB的必要不充分條件，所以B是4的真子集，且BH0,

3m—2<m—1,

3m.—2>—3,解得一可

{771—1<3,

綜上,實數一的取值范圍[-何|]

【解析】【分析】（1）命題p為真命題，即/-6久+a2=0有解，根據判別式即可求解；

（2）由已知條件可知B是4的真子集，且BH0,根據真子集關系，列不等式組求解即可.

18.【答案】（1）解：由幕函數的定義可得血2+6m+9=1,即Hi?+6m+8=0,

解得m=-2或TH=-4.

因為人工）在（0,+8）上單調遞減,

所以zn+3<0,即3,

則m-4.

(2)解：設。(久)=%3,g(x)是R上的增函數.

由(1)可知(3a—2)fT<(a+4)fT,即(3a-2尸<(a+4尸,

則3a-2<a+4,解得a<3,

即實數a的取值范圍為（—8,3）.

【解析】【分析】（1）根據幕函數的定義和單調性列式求解即可;

（2）構造函數）/=尤3,根據其單調性結合（1）列出關于實數a的不等式求解即可.

19.【答案】（1）解：因為cosa=]且a為第二象限角,

則sina=V1—cos2a=即sina的值為g.

53

則4sina—2cosa_4tcma—2_4x3—2_§

(2)解:因為tana=3,

75cosa+3sina—5+3tana-5+3x3-7

【解析】【分析】（1）根據同角的三角函數基本關系直接計算即可;

（2）將弦化切代值即可求解.

20?【答案】⑴解：為/（%）=焉，且〃1）巖，/（-1）=一1,

10

(1-1

所以中3,解得a=2,

b=1.

(2)解：函數/(%)=Jy在(2,+8)上為減函數，證明如下:

]1_2(%2-勺)

任取心，%2?(2，+8),且％1<%2，則/(久1)一/(久2)=2%1+1

2%2+1(2%]+1)(2%2+1)

因為％1,%2€(2,+8),且%1V%2，所以％2—>0,2%i+1>0,2冷+1>0，

所以/(右)一/@2)>。，即/(打)>/(X2)，

所以函數7?(%)=2%在(2,+8)上為減函數，

(3)解：由(2)可知/(%)=J^［2,6］上為減函數，

所以當％=2時，函數取得最大值，即f(X)max=2x=+1—

當X=6時，函數取得最小值，即f(%)min—"Li=與

【解析】【分析】(1)將久=1，x=—1代入解析式得出關于實數a、b的方程組，求解即可;

(2)由(1)的函數的解析式，根據單調性的定義證明即可;

(3)由(2)得導函數f。)在［2,6］上的單調性，從而可求函數/(%)在久W［2,6］上的最大值和最小值.

21.【答案】(1)解：由圖象可知函數/(久)=必+/)經過點(一1,0)和(0,-1),

1

:D解得CL~9

所以

一，

所以函數/(久)的解析式是/(X)=(1)z-2

(2)解：由⑴知六2,-2』,

根據題意知乃+4，一加40,即2，+4久《血在口，+8)上有解,

設g(x)=2久+43則g(x)mE4m，

因為y=2*