專題04五類概率與統計題型

2025年高考數學大題秒殺技巧及專項練習（解析版）

概率與統計問題一般分為五類：

類型1：獨立性檢驗問題；

類型2：線性回歸及非線性回歸問題；

類型3：超幾何分布問題；

類型4：二項分布問題

類型5：正態分布問題。

下面給大家對每一個類型進行秒殺處理.

類型1：獨立性檢驗問題

1.分層抽樣

一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一

定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣。分層抽

樣適用于已知總體是由差異明顯的幾部分組成的。

注：①求某層應抽個體數量：按該層所占總體的比例計算.

②已知某層個體數量，求總體容量或反之求解：根據分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進

行計算.

樣本容量各層樣本數量

③分層抽樣的計算應根據抽樣比構造方程求解，其中“抽樣比=16涯=薨"屋”

2.頻率分布直方圖

（1）頻率、頻數、樣本容量的計算方法

…頻率

①組距=頻率.

②晨頻黃數量=頻率,頻泰數=樣本容量，樣本容量X頻率=頻數.

③頻率分布直方圖中各個小方形的面積總和等于1.

3.頻率分布直方圖中數字特征的計算

（1）最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數.

（2）中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.設中位數為無，利用x左（右）側

矩形面積之和等于Q5,即可求出x.

（3）平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以

小長方形底邊中點的橫坐標之和，即有X=XP1+玉門+…+x,p"，其中X0為每個小長方形底

邊的中點，P.為每個小長方形的面積.

4.獨立性檢驗

（1）定義：利用獨立性假設、隨機變量片來確定是否有一定把握認為“兩個分類變量有關

系”的方法稱為兩個分類變量的獨立性檢驗.

(2)公式：K2=----------Mad-bcf------,其中〃=.+人+^+4為樣本容量.

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

（3）獨立性檢驗的具體步驟如下:

2

①計算隨機變量K的觀測值k,查下表確定臨界值k0：

P。0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

②如果上2%,就推斷“x與y有關系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過?（片2%）；否則,

就認為在犯錯誤的概率不超過p（K2>%）的前提下不能推斷“x與y有關系”.

獨立性檢驗問題專項訓練

1.為提升學生實踐能力和創新能力，某校在高一，高二年級開設“航空模型制作"選修課程.為

考察課程開設情況，學校從兩個年級選修該課程的學生中各隨機抽取20名同學分別制作一

件航空模型.并根據每位同學作品得分繪制了如圖所示的莖葉圖.若作品得分不低于80,

評定為“優良”，否則評定為“非優良

高一同學作品高二同學作品

8832657

965432210713879

9622182345677899

539078

⑴請完成下面的2x2列聯表;

優良非優良合計

高一

高二

合計

（2）判斷是否有90%的把握認為作品是否“優良”與制作者所處年級有關?

n^ad-bc)~

附:K2=n=a+bJi-c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)0+d)

P(K2>k)0.1500.1000.0100.001

k2.0722.7066.63510.828

【答案】（1）答案見解析；

（2）有90%的把握認為作品是否“優良”與制作者所處年級有關.

【分析】（1）根據莖葉圖完成列聯表即可;

（2）求出K2,再對照臨界值表即可得出結論.

【詳解】（1）由莖葉圖可知高一優良的有7個，非優良的有13個,

高二優良的有13個，非優良的有7個,

完成的2x2列聯表如下:

優良非優良合計

高一71320

高二13720

合計202040

⑵??y_40(7x7-13x13)2

=3.6>2.706

-20x20x20x20

有90%的把握認為作品是否“優良”與制作者所處年級有關.

2.4月15日是全民國家安全教育日.以人民安全為宗旨也是“總體國家安全觀”的核心價值.

只有人人參與，人人負責，國家安全才能真正獲得巨大的人民性基礎，作為知識群體的青年

學生，是強國富民的中堅力量，他們的國家安全意識取向對國家安全尤為重要.某校社團隨

機抽取了600名學生，發放調查問卷600份（答卷卷面滿分100分）.回收有效答卷560份，

其中男生答卷240份，女生答卷320份.有效答卷中75分及以上的男生答卷80份，女生答

卷80份，其余答卷得分都在10分至74分之間.同時根據560份有效答卷的分數，繪制了

如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求頻率分布直方圖中機的值，并求出這560份有效答卷得分的中位數和平均數〃（同一

組數據用該組中點值代替）.

（2）如果把75分及以上稱為對國家安全知識高敏感人群，74分及以下稱為低敏感人群，請根

據上述數據，完成下面2x2列聯表，并判斷能否有95%的把握認為學生性別與國家安全知

識敏感度有關.

八頻率/組距

高敏感低敏感總計

男生80

女生80

總計560

附：獨立性檢驗臨界值表

2

p(K>k0)0.10.050.010.0050.001

K22.7063.8416.6357.87910.828

n(ad-be?

公式：K~=其中n=a+b+c+d.

(a+Z?)(c+d)(a+c)(6+d)

【答案】(l)s=0.02,中位數62,平均數60.2

⑵列聯表見解析，有

【詳解】(1)因為10^=1—10*(0.003+2x0.006+0.009+2x0.012+2x0.016),

所以機=0.02.

又10(0.003+0.006+0.009+0.012+0.016)=0.46<0.5,

故設中位數為x,貝l](x-60)x0.02=0.5-0.46=0.04,所以x=62.

平均數"=0.03x15+0.06x25+0.09x35+0.12x45+0.16x55+0.20x65

+0.16x75+0.12x85+0.06x95=60.2.

(2)由題意可得列聯表如下:

高敏感低敏感總計

男生80160240

女生80240320

總計160400560

,560(80x240—80x160)214

K-=—----------匚=—?4.667>3,841,

160x400x240x3203

故有95%的把握認為學生性別與國家安全知識敏感度有關.

3.某學生興趣小組隨機調查了某市200天中每天的空氣質量等級和當天到江濱公園鍛煉的

人次，整理數據得到下表（單位：天）：

鍛煉人次空氣質量等級[0,200](200,400](400,600]

1（優）122044

2（良）151930

3（輕度污染）161614

4（中度污染）752

（1）分別估計該市一天的空氣質量等級為1,2,3,4的概率；并求一天中到該公園鍛煉的平

均人次的估計值（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；

（2）若某天的空氣質量等級為1或2,則稱這天“空氣質量好”；若某天的空氣質量等級為3或

4,則稱這天“空氣質量不好”.根據所給數據，完成下面的2x2列聯表，并根據列聯表，判

斷是否有99.9%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關？

人次V400人次＞4。0

空氣質量好

空氣質量不好

附：K=_______"(C)2_______.

(〃+Z?)(c+d)(Q+c)(b+d)

【答案】(1)0.38,0.32,0.23,0.07,340

(2)列聯表見解析，有

【詳解】（1）由頻數分布表可知，該市一天的空氣質量等級為1的概率為12匕+20需+^44=0.38,

等級為2的概率為"+靠30=。32,等級為3的概率為應］『=0.23,

等級為4的概率為=0.07,

由頻數分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數為

100x50+300x60+500x900八

------------------------------------=340.

200

（2）2x2列聯表如下:

人次V400人次＞400

空氣質量好6674

空氣質量不好4416

/_200x(66x16-74x44y

,110x90x140x60?11.640>10.828,

因此，有99.9%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關.

4.某市閱讀研究小組為了解該城市中學生閱讀與語文成績的關系，在參加市中學生語文綜

合能力競賽的各校學生中隨機抽取了500人進行調查，并按學生成績是否高于75分(滿分

100分)及周平均閱讀時間是否少于10小時，將調查結果整理成列聯表.現統計出成績不低

于75分的樣本占樣本總數的30%,周平均閱讀時間少于10小時的人數占樣本總數的一半，

而不低于75分且周平均閱讀時間不少于10小時的樣本有100人.

周平均閱讀時間少于10小時周平均閱讀時間不少于10小時合計

75分以下S

不低于75分t100

合計500

(1)根據所給數據，求出表格中s和f的值，并分析能否有99.9%以上的把握認為語文成績與

閱讀時間是否有關；

(2)先從成績不低于75分的樣本中按周平均閱讀時間是否少于10小時分層抽樣抽取9人進

一步做問卷調查，然后從這9人中再隨機抽取3人進行訪談，記抽取3人中周平均閱讀時間

不少于10小時的人數為X,求X的分布列與均值.

2

,2_n(ad-bc),,

“石公八”"如：A-g+6)(c+d)(a+c)修+/),'.

a0.010.0050.001

%6.6357.87910.828

【答案】(l)s=150j=50,有99.9%的把握認為語文成績與閱讀時間有關

(2)分布列見解析，數學期望為2

【詳解】(1)根據已知條件，列聯表如下：

周平均閱讀時間少于10小時周平均閱讀時間不少于10小時合計

75分以下200150350

不低于75分50100150

合計250250500

500x(200x100-150x50)2

所以s=150j=50,由表知力2=?23.8>10,828,

-350x150x250x250-

所以有99.9%的把握認為語文成績與閱讀時間有關.

（2）依題意，成績不低于75分的學生中周平均閱讀時間少于10小時和不少于10小時的人

數比是1:2,

按分層抽樣抽取9人，則周平均閱讀時間少于10小時有3人，不少于10小時的有6人，

從這9人中再隨機抽取3人進行訪談，則X可能的取值為0」,2,3,

尸（X=。嚏懸尸（XT=害小尸（X=2）=警度,尸（X=3吟4

分布列如下:

X0123

13155

P

84142821

315S

.?.石(X)=lx—+2x——+3x——=2.

v7142821

5.一個航空航天的興趣小組，對500名男生和500名女生關于航空航天是否感興趣的話題

進行統計，情況如下表所示.

男生女生

感興趣380220

不感興趣120280

P(.K2>k^0.0500.0250.0100.0050.001

k3.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-bc)~

附：K2=n=a+b+c+d.

(a+Z?)(c+d)(Q+c)(b+d)

⑴是否有99.9%的把握認為對航空航天感興趣的情況與性別相關聯?

⑵一名興趣小組成員在試驗桌上進行兩艘飛行器模型間的“交會對接”游戲，左邊有2艘“Q2

運輸船”和1艘“Ml轉移塔”，右邊有3艘“Ml轉移塔”.假設兩艘飛行器模型間的“交會對接'

重復了n次，記左邊剩余2艘“Q2運輸船”的概率為匕，剩余1艘“Q2運輸船”的概率為為，

求2P“+縱與2pi+q,?的遞推關系式;

⑶在（2）情況下，求X”的分布列與數學期望E（X“）.

【答案】（1）有99.9%的把握認為對航空航天感興趣的情況與性別相關聯

(2)2pn+qn-l=；(2Pi+%_i-1)

（3）分布列見解析,E（Xj=l+I，nGN*

[詳解](1)解：K?；1000X(380X280-120x220)。

?106.67>10.828

500x500x600x400

...有99.9%的把握認為對航空航天感興趣的情況與性別相關聯.

「、C；C；1C；C；2

⑵月=/［曰=3，%=/「內"=3'

C：C；C；C；“、127

P2=C,弓.”+4.3,名+?（1一口一名）=1口+§/=萬，

11

_c；c；c一；c；c；7c1^；1]4+旨C.C才(1一口_5)=_§11216

%=k?曰/+k+H—=---

c[-c[c['c[327

C：1C；1C1C112

當〃22時"〃二才，^，〃〃_1+才，4，/_1+。，(1一〃〃_1一%—1)=3，〃_1+§/_1，①

C；C\(C；C；C；Cr；C；C；1+|,②

T(

%=kkPi+l7.刀+為方K'Qn-l+厘,式'(1一2T~Q?-l)=~gln-l

’3C’3K-xnV-xn7

24121/c、2

2x①+②，得2P〃+%==§(2P〃T+/T)+§.

從而2Pn+%-1=g(2p〃-i+91-1).

(3)由(2)得2四+%-1=；,2P“+%-l=g(2pi+q,T_l),。數列｛24+%-1｝是首項

n-l

為g,公比為;的等比數列，.?.2p〃+/-l=gxII，即2p〃+/=l+g,〃$N*③,

3133、1則數列卜-胃3是首項為9公比為4

聯立②③得為-M，--

5155

的等比數列,

H—1

13111

由③得〃

:q=-X+-,neN,pn=2X+y~qn+—x+—,￡N*

n15yI235

,31,

/]-%一%=_x1x+—,nGN

II5

X”的概率分布列為:

X”012

PQnPn

貝陽X“)=0x(l-p“—q“)+lxq“+2xp“=l+(j，n&N*.

類型2：線性回歸及非線性回歸問題

①線性回歸

線性回歸是研究不具備確定的函數關系的兩個變量之間的關系（相關關系）的方法.

對于一組具有線性相關關系的數據（XI，9）,（孫y2），…，（x〃，%），其回歸方程>=加+。

的求法為

n__n__

￡（%一^）（y,-y）￡-nxy

b=-^—^----------二弓---------

￡（%「X）2Nx；_nx2

i=li=l

a=y-bx

其中，x=-tXi,y=-tyi,（x,y）稱為樣本點的中心.

n,=in,=1

②非線性回歸

建立非線性回歸模型的基本步驟

（1）確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是預報變量；

（2）畫出確定好的解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系（是否存在非線性

關系）；

（3）由經驗確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數據呈非線性關系，一般選用反比

例函數、二次函數、指數函數、對數函數、幕函數模型等）；

（4）通過換元，將非線性回歸方程模型轉化為線性回歸方程模型；

（5）按照公式計算線性回歸方程中的參數（如最小二乘法），得到線性回歸方程；

（6）消去新元，得到非線性回歸方程；

（7）得出結果后分析殘差圖是否有異常.若存在異常，則檢查數據是否有誤，或模型是否

合適等.

線性回歸及非線性回歸問題專項訓練

6.某旅游公司針對旅游復蘇設計了一款文創產品來提高收益.該公司統計了今年以來這款

文創產品定價x（單位：元）與銷量y（單位：萬件）的數據如下表所示：

產品定價X（單位：元）99.51010.511

銷量y（單位：萬件）1110865

(1)依據表中給出的數據，判斷是否可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請計算相關系數并

加以說明(計算結果精確到o.oi)；

(2)建立y關于X的回歸方程，預測當產品定價為8.5元時，銷量可達到多少萬件.

￡(%-元)(%-了)-.

參考公式：r=IJ.、=J-----------,a=y-bx,

\歸a-可2(％-寸Z(—y

V/=1i=iZ=1

參考數據：765?8.06.

【答案】(l)r。-0.99,說明》與x的線性相關性很強，可以用線性回歸模型擬合y與尤的關

系

(2)12.8萬件

【詳解】(1)由題條件得了=((9+9.5+10+10.5+11)=10,

y=1(ll+10+8+6+5)=8.

5

Z(%-元)(%-刃=(9-10)(11-8)+(9.5-10)(10-8)+(10-10)(8-8)

i=l

+(10.5-10)(6-8)+(11-10)(5-8)=-8,

5

Z(%—元)2=(9—10)2+(9.5—10)2+(10—10)2+(10.5—10)2+(11—10)2=2.5,

i=l

5

2(%—9)2=(11—8)2+(10—8)2+(8—8)2+(6-8)2+(5—8)2=26

i=l

￡(乙-丁)(》-田_8

:.r=?t=-=?-0.99

Vi=l4=1

???y與X的相關系數近似為-0.99,說明y與X的線性相關性很強，從而可以用線性回歸模型

擬合y與尤的關系.

?—(%-歹)_8

(2)'：b=~―----------=——=-3.2,6=9+3.2元=40,

Z(%F25

Z=1

???y關于無的線性回歸方程為y=-3.2x+40.

當x=8.5時，9=12.8.

當產品定價為8.5元時，預測銷量可達到12.8萬件.

7.2023年，國家不斷加大對科技創新的支持力度，極大鼓舞了企業投入研發的信心，增強

了企業的創新動能.某企業在國家一系列優惠政策的大力扶持下，通過技術革新和能力提升,

極大提升了企業的影響力和市場知名度，訂單數量節節攀升，右表為該企業今年1?4月份接

到的訂單數量.

月份r1234

訂單數量y(萬件)5.25.35.75.8

附：相關系數，「1”

2z

E(x;-x)E(y..-y)

Vi=lVz=l

回歸方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為

.1(%-5)(％-了)八

b=-----------，a=y-bx,A/L3?1.14.

之(否-月2

;=1

⑴試根據樣本相關系數廠的值判斷訂單數量y與月份，的線性相關性強弱(0.75V|r|Wl,則

認為〉與/的線性相關性較強，"K0.75,則認為y與f的線性相關性較弱).(結果保留兩位

小數)

(2)建立y關于/的線性回歸方程，并預測該企業5月份接到的訂單數量.

【答案】(1)0.96,訂單數量y與月份f的線性相關性較強

⑵y=0.22/+4.95,6.05萬件

_12+3+41

【詳解】(1)T=--+---------=2.5,y=—(5.2+5.3+5.7+5.8)=5.5,

44

4

Z4—fXx—歹)=(-1.5)X(-0.3)+(-0.5)X(—0.2)+0.5X0.2+1.5X0.3=1.1,

i=l

4

Eg-T)2=(-1.5)2+(-0.5)2+0.52+1.52=5,

Z=1

4

2

Z(y,-y)=(-0.3)2+(-0.2)2+0.2?+0.3?=026,

1=1

-『）（％-9）

1.11.1

i=l=—；---x----X0.96>0.75

l-44#31.14

JE（^-O2E（x-y）2

Vi=li=l

訂單數量y與月份/的線性相關性較強;

4

26-亍)(%-9)11

(2)"=J------------=—=0.22,

￡(4-TP

4=1

4=7-行=5.5-0.22x2.5=4.95,

，線性回歸方程為y=0.22?+4.95,

令f=5,y=0.22x5+4.95=6.05（萬件），

即該企業5月份接到的訂單數量預計為6.05萬件.

8.據統計，某城市居民年收入（所有居民在一年內收入的總和，單位：億元）與某類商品

銷售額（單位：億元）的10年數據如下表所示：

第〃年12345678910

居民年收入X32.231.132.935.737.138.039.043.044.646.0

商品銷售額y25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0

依據表格數據,得到一F面一些統計:量的值.

1010

i=l2Z=1

（茗一元）0

10v1）

i=\Z=1

379.6391247.624568.9m

（1）根據表中數據，得到樣本相關系數3095.以此推斷，y與x的線性相關程度是否很強？

（2）根據統計量的值與樣本相關系數”0.95,建立y關于龍的經驗回歸方程（系數精確到0.01）；

⑶根據（2）的經驗回歸方程，計算第1個樣本點（32225.0）對應的殘差（精確到0.01）；

并判斷若剔除這個樣本點再進行回歸分析，另的值將變大還是變小？（不必說明理由，直接

判斷即可）.

附:樣本（%,y）G=1,2,…㈤的相關系數

V2.297?1.516,b--l“,d=y-bx.

￡（x廠可2

i=l

【答案】（1）線性相關程度很強

（2）y=1.44^-15.56

（3）-5.81,變小

【詳解】⑴根據樣本相關系數“0.95,可以推斷線性相關程度很強.

￡（乙-丁）（》-9）

⑵由r,p------------血95及g-----------------,

丁）2

1=1

r少H行彳

所以2="2.297a0.95x1.516"440,

又因為元=37.96,歹=39.1,

所以&=7一57。一15.56,

所以>與無的線性回歸方程9=L44xT5.56.

(3)第一個樣本點(32.2,25.0)的殘差為：25.0-(1.44x32.2-15.56)=-5.808。-5.81,

由于該點在回歸直線的左下方，故將其剔除后，方的值將變小.

9.數據顯示中國車載音樂已步入快速發展期，隨著車載音樂的商業化模式進一步完善，市

場將持續擴大，下表為2018—2022年中國車載音樂市場規模(單位：十億元)，其中年份

2018—2022對應的代碼分別為1—5.

年份代碼X12345

車載音樂市場規模y2.83.97.312.017.0

(1)由上表數據知，可用指數函數模型y=a?"擬合y與X的關系，請建立y關于X的回歸方

程(a,b的值精確到0.1)；

(2)綜合考慮2023年及2024年的經濟環境及疫情等因素，某預測公司根據上述數據求得y

關于x的回歸方程后，通過修正，把尻1.3作為2023年與2024年這兩年的年平均增長率，

請根據2022年中國車載音樂市場規模及修正后的年平均增長率預測2024年的中國車載音樂

市場規模.

參考數據:

5

60.52460.472

V

i=l

1.9433.821.71.6

[5

其中匕=Iny,v=-^v;.

3i=l

參考公式：對于一組數據(%,匕),(“2#2卜-，(4，匕)，其回歸直線￡=&+/"的斜率和截距的

Zuivi-nU'V

最小二乘法估計公式分別為B=............-a=v-.

2-2

/a；-nu

Z=1

【答案】(1)9=1.7x16

(2)28.73十億元

【詳解】⑴解：因為

所以兩邊同時取常用對數，得lny=lna+xln6,

設v=Iny,

所以v=lna+xlnb,設cr=lna,￡=ln6,

因為元=3了=1.94,

E^-5J-F

33.82—5x3x1.94

所以￡二上S--------------=0.472,

~55-5>3?

—5元2

z=l

(z=V-冰=1.94-0.472*3=0.524,

所以In&=0.524,InB=0.472

所以&=e24=i.7,g=e0472=1.6

所以5=1.7x16

(2)由(1)知2023年與2024年這兩年的年平均增長率1.6-1.3=0.3,

2022年中國車載音樂市場規模為17,

故預測2024年的中國車載音樂市場規模17(1+0.3)2=28.73(十億元).

10.某新能源汽車公司對其產品研發投資額無(單位：百萬元)與其月銷售量y(單位：千

輛)的數據進行統計，得到如下統計表和散點圖.

X12345

y0.691.611.792.082.20

月銷售量外

2.50-

2.00-.

1.50-,

1.00-

0.50-?

O1234S產品研發投資額士

(1)通過分析散點圖的特征后，計劃用y=In(云+。)作為月銷售量>關于產品研發投資額x

的回歸分析模型，根據統計表和參考數據，求出了關于x的回歸方程；

(2)公司決策層預測當投資額為11百萬元時，決定停止產品研發，轉為投資產品促銷.根據以

往的經驗，當投資11百萬元進行產品促銷后，月銷售量4的分布列為：

己345

1

PP

2p+7

結合回歸方程和&的分布列，試問公司的決策是否合理.

劉尤^x^t-nx-y_

參考公式及參考數據：務=J————=%------,令=7-版，批7。1.95.

刃尤廠尤）-心；一版

i=li=l

y0.691.611.792.082.20

e）.（保留整數）25689

【答案】（l）S=ln（L7x+0.9）；

（2）公司的決策合理.

【詳解】（1）因為y=ln0x+。），令z=bx+a,所以z=eL

由題可得元=g(l+2+3+4+5)=3,z=|(2+5+6+8+9)=6,

5

-5x-z

107-5x3x617

貝力二口---------17a=z-%x=6-1.7x3=0.9,

--，

￡片一5元255-5x910.

;=1

所以2=1.7%+0.9,所以回歸方程為y=ln(1.7x+0.9).

2x49

(2)當％=11時,y=ln(1.7xll+0.9)=lnl9.6=ln—=ln2+21n7-ln5=2.98.

311

因為7P2+P+P+：=l且0v〃vl,所以P=z，

2o3

所以E(X)=3x：+4x；+5xg號>2.98,

所以公司的決策合理.

類型3：超幾何分布問題

超幾何分布

（1）在含有〃件次品的N件產品中，任取"件，其中恰有X件次品，則事件{X=以發生

的概率為P（x=k）=M,左=0,1,2,…，機，其中m=min{M,〃},且〃4N,A/4N,

CN

n,M,NeN*,稱分布列為超幾何分布列.如果隨機變量X的分布列為超幾何分布列,

則稱隨機變量X服從超幾何分布.

X01m

「0「〃一0「〃一1

P

11

超幾何分布和二項分布的區別

(1)超幾何分布需要知道總體的容量，而二項分布不需要；

(2)超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗中某一事件發生的概率是不相同的；

而二項分布是“有放回”抽取(獨立重復)，在每次試驗中某一事件發生的概率是相同的.

超幾何分布專項訓練

11.某校舉行“強基計劃”數學核心素養測評競賽，競賽以抽盲盒答題的形式進行，現有甲、

乙兩個盲盒箱，甲中有4個選擇題和2個填空題，乙中有3個選擇題和3個填空題，競賽可

以以不同的方式進行.

(1)若已知A班選擇了甲箱，且派出5人參賽，每個人盲抽一個題作答，答完后仍放回甲箱.

每個人答對選擇題的概率為=,答對得3分，答錯得0分，每個人答對填空題的概率為：，

答對得5分，答錯得0分，求A班總得分X的數學期望.

(2)若已知A班班長先從甲箱中依次抽取了兩道題目，答題結束后將題目一起放入乙箱中，

然后2班班長再從乙箱中抽取一道題目，已知3班班長從乙箱中抽取的是選擇題，求A班

班長從甲箱中取出的是兩道選擇題的概率.

【答案】⑴2爺35

lo

⑵9

13

42

【詳解】(1)A班在甲箱抽取時，每個人抽到選擇題的概率為》=彳，抽到填空題的概率為

o3

泊21，.二每個人得分的平均值=2qx3Jx3+1：x2[x5=4S7,

63343318

A班得分的數學期望=4白7'5=2335；

lolo

(2)設A班班長抽取0道、1道、2道選擇題的事件為4,4,4,B班班長抽到的是選擇題

的事件為用，

則尸(4)=尸(44)+尸(4旦)+尸(&耳六事+普1+言]4,

則可鐘尸*1號*.

12.鄉村民宿立足農村，契合了現代人遠離喧囂、親近自然、尋味鄉愁的美好追求.某鎮在旅

游旺季前夕，為了解各鄉村的普通型民宿和品質型民宿的品質，隨機抽取了8家規模較大的

鄉村民宿，統計得到各家的房間數如下表:

民宿點甲乙丙T戊己庚辛

普通型民宿16812141318920

品質型民宿6164101110912

⑴從這8家中隨機抽取3家，在抽取的這3家的普通型民宿的房間均不低于10間的條件下,

求這3家的品質型民宿的房間均不低于10間的概率；

⑵從這8家中隨機抽取4家，記X為抽取的這4家中普通型民宿的房間不低于15間的家數,

求X的分布列和數學期望.

【答案】⑴g

【詳解】(1)由題可知這8家鄉村民宿中普通型民宿的房間不低于10間的有6家，品質型

民宿和普通型民宿的房間均不低于10間的有4家.

記“這3家的普通型民宿的房間均不低于10間”為事件A,“這3家的品質型民宿的房間均不

低于10間”為事件B,貝U尸(A)=||=：,p(AB)=標=：,

所以。(而入)=錯M.

(2)這8家鄉村民宿中普通型民宿的房間不低于15間的有3家，故X的所有可能取值為

0,123.

P(x=o)=等30_3

而一7

尸”=2)=萼=卷=，尸陋=3)=等1

7014

所以X的分布列如下表:

13.已知某排球特色學校的校排球隊來自高一、高二、高三三個年級的學生人數分別為7

人、6人、2人.

(1)若從該校隊隨機抽取3人拍宣傳海報，求抽取的3人中恰有1人來自高三年級的概率.

（2）現該校的排球教練對“發球、墊球、扣球”這3個動作技術進行訓練，且在訓練階段進行了

多輪測試，規定：在一輪測試中，這3個動作至少有2個動作達到“優秀”，則該輪測試記為

“優秀”.已知在某一輪測試的3個動作中，甲同學每個動作達到“優秀”的概率均為乙同

學每個動作達到“優秀”的概率均為。，且每位同學的每個動作互不影響，甲、乙兩人的測試

結果互不影響.記X為甲、乙二人在該輪測試結果為“優秀”的人數，求X的分布列和數學期

望.

【答案】（1）苗

（2）分布列見解析；期望為￡

54

C2C11?

【詳解】（1）設事件A為“抽取的3人中恰有1人來自高三年級”，則有尸（A）=簧工=百

C]533

（2）設甲同學在一輪測試中3個動作“優秀”的個數為匕則有丫?

設乙同學在一輪測試中3個動作“優秀”的個數為Z,則有Z~；

所以甲同學在一輪測試結果為優秀的概率

P(Y>2)=p(y=2)+尸(y=3)=c；

乙同學在一輪測試結果為優秀的概率

P(Z2"(Z=2)+P(Z=3)=唬1]

由題意，得X可取0,1,2；

7寸412010

P(X=2)=—x——=—

'722727

所以X的分布列為:

X012

710

P

54227

因此X的數學期望E（X）=0x：+lxg+2x*\.

14.為了豐富農村兒童的課余文化生活，某基金會在農村兒童聚居地區捐建“悅讀小屋”.自

2018年以來，某村一直在組織開展“悅讀小屋讀書活動”.下表是對2018年以來近5年該村少

年兒童的年借閱量的數據統計:

年份20182019202020212022

年份代碼X12345

年借閱量y（冊）%%3692142

（參考數據：EX=290）

Z=1

⑴在所統計的5個年借閱量中任選2個，記其中低于平均值的個數為X,求X的分布列和

數學期望E（X）；

⑵通過分析散點圖的特征后，計劃分別用①y=35x-47和②+加兩種模型作為年借

閱量》關于年份代碼x的回歸分析模型，請根據統計表的數據，求出模型②的經驗回歸方程,

并用殘差平方和比較哪個模型擬合效果更好.

【答案】⑴分布列見解析，￡（X）=|

（2）y=5x2+3；模型②的擬合效果更好

【詳解】（1）由題知,5年的借閱量的平均數為：甘=58,又%+%=290-36-92-142=20,

則%，%<58

*乂=左）=隼二優=0』，2）,

所以低于平均值的有3個，所以X服從超幾何分布,

「2

6I3，P(X=2)=罟c2C°3

所以P(x=o)=,p(x=l)==

10I'cf1010'

所以X的分布列為:

X012

133

10510

所以E(X)=0xLlx』+2xa=g

v'105105

1=1

⑵因為a+2〉+3)+42+52*290

--------------------=11,-----=----=Do

555

所以58=5x11+〃?，即m=3.

所以模型②的經驗回歸方程為：5=5f+3

根據模型①的經驗回歸方程可得：戈=T2,%=23,%=58,%=93,%=128

根據模型②的經驗回歸方程可得：%=8,%=23,%=48,%=83,%=128

因為

22222

［（%+12『+（y2-23）+（36-58）2+^92_93）+（142-128）］一［（%-8『+（%-23）+（36-48）+（92-83）+（142-

=（%+12）2-（%_8）2+22?_122+12―=40%+340,且