知識必備04概率與統(tǒng)計（公式、定理、結論圖表）

I、思維導圖

借助統(tǒng)計研究概率

概率=)統(tǒng)計

從概率角度分析統(tǒng)計數(shù)據(jù)特征

1:知識梳理

考點一、數(shù)據(jù)的收集與處理

1.一般步驟：調查收集數(shù)據(jù)的過程一般有下列六步：明確調查問題、確定調查對象、選擇調查方法、展開調

查、記錄結果、得出結論.

2.調查收集數(shù)據(jù)的方法:普查與抽樣調查.

要點詮釋：

(1)通過調查總體的方式來收集數(shù)據(jù)的，抽樣調查是通過調查樣本方式來收集數(shù)據(jù)的.

(2)一般地，當總體中個體數(shù)目較多，普查的工作量較大；受客觀條件的限制，無法對所有個體進行普查；

或調查具有破壞性時，不允許普查,這時我們往往會用抽樣調查來體現(xiàn)估計總體的思想.

(3)用抽簽的辦法決定哪些個體進入樣本.統(tǒng)計學家們稱這種理想的抽樣方法為簡單的隨機抽樣.

典例1：(2022?柳州)以下調查中，最適合采用抽樣調查的是()

A.了解全國中學生的視力和用眼衛(wèi)生情況

B.了解全班50名同學每天體育鍛煉的時間

C.學校招聘教師，對應聘人員進行面試

D.為保證神舟十四號載人飛船成功發(fā)射，對其零部件進行檢查

【分析】根據(jù)全面調查與抽樣調查的特點，逐一判斷即可解答.

【解答】解：4了解全國中學生的視力和用眼衛(wèi)生情況，最適合采用抽樣調查，故A符合題意；

8、了解全班50名同學每天體育鍛煉的時間，最適合采用全面調查，故8不符合題意；

C、學校招聘教師，對應聘人員進行面試，最適合采用全面調查，故C不符合題意；

D,為保證神舟十四號載人飛船成功發(fā)射，對其零部件進行檢查，最適合采用全面調查，故。不符合題

思；

故選：A.

【點評】本題考查了全面調查與抽樣調查，熟練掌握全面調查與抽樣調查的特點是解題的關鍵.

3.數(shù)據(jù)的統(tǒng)計:條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖是三種最常用的統(tǒng)計圖.

要點詮釋：

這三種統(tǒng)計圖各具特點:

條形統(tǒng)計圖可以直觀地反映出數(shù)據(jù)的數(shù)量特征；

折線統(tǒng)計圖可以直觀地反映出數(shù)據(jù)的數(shù)量變化規(guī)律；

扇形統(tǒng)計圖可以直觀地反映出各部分數(shù)量在總量中所占的份額.

典例2：連云港市實行中考改革，需要根據(jù)該市中學生體能的實際情況重新制定中考體育標準.為此，抽

取了50名初中畢業(yè)的女學生進行“一分鐘仰臥起坐”次數(shù)測試.測試的情況繪制成表格如下：

次數(shù)612151820252730323536

人數(shù)1171810522112

⑴求這次抽樣測試數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)；

⑵根據(jù)這一樣本數(shù)據(jù)的特點，你認為該市中考女生“一分鐘仰臥起坐”項目測試的合格標準應定為多

少次較為合適？請簡要說明理由；

⑶根據(jù)⑵中你認為合格的標準，試估計該市中考女生“一分鐘仰臥起坐”項目測試的合格率是多少？

【思路點撥】

本題是以統(tǒng)計初步知識在該市怎樣定中考女生“一分鐘仰臥起坐”項目測試的合格標

準的應用為背景，把制定體育成績的某項合格指標轉化為統(tǒng)計問題，求出了統(tǒng)計中的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù).

【答案與解析】

⑴該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)——X(6x1+12x1+15x7+18x18+20x10+25x5

50

+27x2+30x2+32x1+35x1+36x2)

=20.5,

眾數(shù)為18,中位數(shù)為18；

⑵該市中考女生一分鐘仰臥起坐項目測試的合格標準應定為18次較為合適，因為眾數(shù)及中位數(shù)均為18,

且50人中達到18次的人數(shù)有41人，確定18次能保證大多數(shù)人達標；

⑶根據(jù)⑵的標準，估計該市中考女生一分鐘仰臥起坐項目測試的合格率為82%.

【總結升華】

確定眾數(shù)的方法是找該組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，如果有多個數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)相同,那這些出現(xiàn)次數(shù)相

同的數(shù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)及其應用，在中考試卷中它們有機地交匯于實際情境中，

考查應用意識.

考點二.數(shù)據(jù)分析

1.基本概念：

總體：把所要考查的對象的全體叫做總體；

個體：把組成總體的每一個考查對象叫做個體；

樣本：從總體中取出的一部分個體叫做總體的一個樣本；

樣本容量：樣本中包含的個體的個數(shù)叫做樣本容量；

頻數(shù)：在記錄實驗數(shù)據(jù)時，每個對象出現(xiàn)的次數(shù)稱為頻數(shù)；

頻率：每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值（或者百分比）稱為頻率；

平均數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，用數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)的總個數(shù)就得到這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；

中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列，位于正中間位置的數(shù)（或正中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)

的中位數(shù)；

眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)頻數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；

極差：一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差稱為極差；

方差：我們可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的結果表示一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況，

這個結果通常稱為方差.

計算方差的公式：設一組數(shù)據(jù)是X］、4、X*,于是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。則這組數(shù)據(jù)的方差是：

.△h一.+區(qū)一郎+…+上一州

n

標準差：一組數(shù)據(jù)的方差的算術平方根，叫做這組數(shù)據(jù)的標準差.

用公式可表示為：S=-彳/+（馬一+…+（'-彳）2

要點詮釋：

1.平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)可以用來概括一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.

平均數(shù)的優(yōu)點：平均數(shù)的計算過程中用到了一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)，因此比中位數(shù)和眾數(shù)更靈敏，反映了更

多數(shù)據(jù)的信息.

平均數(shù)的缺點：計算較麻煩，而且容易受到極端值的影響.

中位數(shù)的優(yōu)點：計算簡單，不容易受到極端值的影響，確定了中位數(shù)之后，可以知道小于中位數(shù)的數(shù)值和大

于中位數(shù)的數(shù)值在這組數(shù)據(jù)中各占一半.

中位數(shù)的缺點：除了中間的值以外，不能反映其他數(shù)據(jù)的信息.

眾數(shù)的優(yōu)點：眾數(shù)很容易從直方圖中獲得，它可以清楚地告訴我們：在一組數(shù)據(jù)中哪個或哪些數(shù)值出現(xiàn)的次

數(shù)最多.

眾數(shù)的缺點：不能反映眾數(shù)比其他數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)多多少，而且也丟失了很多其他數(shù)據(jù)的信息.

2.極差、方差是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的指標.極差就是一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差.它

可以反映一組數(shù)據(jù)的變化范圍.極差的不足之處在于只和極端值相關，而方差則彌補了這一不足.方差可以

比較全面地反映一組數(shù)據(jù)相對于平均值的波動情況，只是計算比較復雜.

2.繪制頻數(shù)分布直方圖的步驟

①計算最大值與最小值的差；

②決定組距和組數(shù)；

③決定分點；

④畫頻數(shù)分布表；

⑤畫出頻數(shù)分布直方圖.

3.加權平均數(shù)

在一組數(shù)據(jù)中，各個數(shù)在總結果中所占的百分比稱為這個數(shù)的權重，每個數(shù)乘以它相應的權重后所

得的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的加權平均數(shù).

要點詮釋：

在通常計算平均數(shù)的過程中，各個數(shù)據(jù)在結果中所占的份量是相等的。而實際情況有時并非如此，

如果要區(qū)分不同的數(shù)據(jù)的不同權重，就需要使用加權平均數(shù).當我們改變一組數(shù)據(jù)中各個數(shù)值所占的權重

時，這組數(shù)據(jù)的加權平均數(shù)就有可能隨之改變.

典例3：(2022?德州)某射擊愛好者的10次射擊成績(單位：環(huán))依次為：7,9,10,8,9,8,10,10,

9,10,則下列結論正確的是()

A.眾數(shù)是9B.中位數(shù)是8.5

C.平均數(shù)是9D.方差是1.2

【分析】根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和方差的意義分別對每一項進行分析，即可得出答案.

【解答】解：A、：10出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，...該組成績的眾數(shù)是10,故本選項不符合題意；

B、該組成績的中位數(shù)是9坦=9,故本選項不符合題意；

2

C、該組成績^=工(7+9+10+8+9+8+10+10+9+10)=9,故本選項符合題意；

10

。、該組成績數(shù)據(jù)的方差(7-9)2+2X(8-9)2+3X(9-9)2+4X(10-9)2]=1,故本選項

10

不符合題意;

故選：c.

【點評】此題考查了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差的意義，解題的關鍵是正確理解各概念的含義.

考點三、概率

1.概率的定義：一般地，如果在一次實驗中，有n種可能結果，并且它們發(fā)生的可能性相等，事件A包含

其中m種結果，那么事件A發(fā)生的概率P(A)=—.

n

2.概率的求法

(1)用列舉法

(2)用頻率來估計：事件A的概率：一般地，在大量重復進行同一實驗時，事件A發(fā)生的頻率，總是接近

于某個常數(shù)，在它附近擺動.這個常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A).

3.事件

必然事件:那些無需通過實驗就能夠預先確定它們在每一次實驗中都一定會發(fā)生的事件稱為必然事件.

不可能事件：那些在每一次實驗中都一定不會發(fā)生的事件稱為不可能事件.

隨機事件:無法預先確定在一次實驗中會不會發(fā)生的事件稱為不確定事件或隨機事件.

要點詮釋：

①求一個事件概率的基本方法是通過大量的重復實驗；

②當頻率在某個常數(shù)附近擺動時，這個常數(shù)叫做事件A的概率；

③概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值；

④概率反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大??；

⑤必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0,因此OWP(A)W1；

⑥必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為確定事件.

典例4：(2022?朝陽)如圖所示的是由8個全等的小正方形組成的圖案，假設可以隨意在圖中取一點，那么

【分析】根據(jù)陰影部分的面積所占比例得出概率即可.

【解答】解:由圖知，陰影部分的面積占圖案面積的3,

8

即這個點取在陰影部分的概率是3,

8

故選：A.

【點評】本題主要考查幾何概率的知識，熟練根據(jù)幾何圖形的面積得出概率是解題的關鍵.

典例5：（遵義）如圖，4張背面完全相同的紙牌（用①、②、③、④表示），在紙牌的正面分別寫有四個不

同的條件，小明將這4張紙牌背面朝上洗勻后，先隨機摸出一張（不放回），再隨機摸出一張.

（1）用樹狀圖（或列表法）表示兩次摸牌出現(xiàn)的所有可能結果；

（2）以兩次摸出牌上的結果為條件，求能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的概率.

①②③④

AD=BC4B=DC,4D//BCABHDC

【思路點撥】

（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果；

（2）由（1）求得能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的情況，利用概率公式即可求得答案.

【答案與解析