…………○…………內…………○…○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年北師大新版高一數學上冊月考試卷含答案考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共8題，共16分)1、若向量對任意的成立，則（）A.B.C.D.2、半徑為5cm，面積為25cm2的扇形中；弧所對的圓心角為（）

A.2°

B.2π弧度。

C.2弧度。

D.4弧度。

3、設全集U是實數集R；M={x|x＞2}，N={x|1＜x＜3}，則圖中陰影部分所表示的集合是（）

A.{x|2＜x＜3}

B.{x|x＜3}

C.{x|1＜x≤2}

D.{x|x≤2}

4、設是等差數列的前項和，已知則等于（）A．13B．35C．49D．635、【題文】在同一坐標系中畫出函數y＝logax，y＝ax；y＝x＋a的圖象，可能正確的是()．

6、若函數是冪函數，則的值為（）A.B.C.D.7、已知遞增等比數列{an}的第3項，第5項，第7項的積為512，且這三項分別減去1，3，9后構成一個等差數列，則數列an的公比為（）A.B.C.D.8、下列計算正確的是(

)

A.(m鈭?n)2=m鈭?n

B.log23隆脕log25=log215

C.210鈭?29=29

D.(鈭?12527)23=鈭?259

評卷人得分二、填空題(共9題，共18分)9、直三棱柱ABC-A1B1C1的每一個頂點都在同一球面上，若AC=BC=C1C=1，∠ACB=90°，則A、C兩點間的球面距離為____．10、則_________.11、【題文】關于函數給出下列四個命題：

①時，只有一個實數根；

②時，是奇函數；

③的圖象關于點對稱；

④函數至多有兩個零點.

其中正確的命題序號為______________.12、【題文】E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點，則AC與平面EFGH的位置關系是____13、【題文】如圖，一個空間幾何體的主視圖、側視圖是周長為4一個內角為60°的菱形，俯視圖是圓及其圓心，那么這個幾何體的表面積為____

14、【題文】一個組合體的三視圖如圖；則其體積為________________．

15、已知函數f（x）=x|x2﹣3|，x∈[0，m]，其中m∈R，當函數f（x）的值域為[0，2]時，則實數m的取值范圍____．16、在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A、B、C三點滿足=+則=______．17、若tan婁脕=2

則2sin2婁脕鈭?sin婁脕cos婁脕+cos2婁脕=

______．評卷人得分三、解答題(共6題，共12分)18、如圖；在△ABC中，AB=10，BC=14，AC=16；

（1）求三角形的外接圓的半徑R；

（2）若AD為∠BAC的內角平分線；求AD的長．

19、20、【題文】（本題滿分12分）

已知定義域為的函數是奇函數。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）解不等式21、求lg﹣lg25+ln+21+log23的值．22、在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中：（Ⅰ）求證：AC∥平面A1BC1；

（Ⅱ）求證：平面A1BC1⊥平面BB1D1D．

23、已知sin（+）=-cos（+）=--5π＜α＜-2π，-＜β＜求sin（+）的值．評卷人得分四、作圖題(共2題，共18分)24、如圖A、B兩個村子在河CD的同側，A、B兩村到河的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，現在要在河邊CD上建一水廠，向A、B兩村送自來水，鋪設管道費用為每千米2000元，請你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設管道的費用最省，并求出其費用．25、如圖A、B兩個村子在河CD的同側，A、B兩村到河的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，現在要在河邊CD上建一水廠，向A、B兩村送自來水，鋪設管道費用為每千米2000元，請你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設管道的費用最省，并求出其費用．評卷人得分五、證明題(共2題，共8分)26、初中我們學過了正弦余弦的定義，例如sin30°=，同時也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根據如圖，設計一種方案，解決問題：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，設AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面積S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．27、求證：（1）周長為21的平行四邊形能夠被半徑為的圓面所覆蓋．

（2）桌面上放有一絲線做成的線圈，它的周長是2l，不管線圈形狀如何，都可以被個半徑為的圓紙片所覆蓋．評卷人得分六、計算題(共3題，共24分)28、如果，已知：D為△ABC邊AB上一點，且AC=，AD=2，DB=1，∠ADC=60°，求∠BCD的度數．29、計算：+sin30°．30、設cos（α﹣）=﹣sin（﹣β）=且＜α＜π，0＜β＜求cos（）的值．參考答案一、選擇題(共8題，共16分)1、B【分析】【解析】試題分析：兩邊平方得整理得恒成立，考點：向量運算及不等式恒成立問題【解析】【答案】B2、C【分析】

因為半徑為5cm，面積為25cm2的扇形；

所以扇形的弧長：l，25=所以l=10；

所以扇形的圓心角為：=2．

故選C．

【解析】【答案】求出扇形的弧長；然后求解扇形的圓心角．

3、C【分析】

圖中陰影部分表示的集合中的元素是在集合N中；但不在集合M中．

又M={x|x＞2}；N={x|1＜x＜3}；

∴圖中陰影部分表示的集合是：

（M）∩N={x|x≤2}∩{x|1＜x＜3}={x|1＜x≤2}；

故選：C．

【解析】【答案】先觀察Venn圖；得出圖中陰影部分表示的集合，再結合已知條件即可求解．

4、C【分析】【解析】

因為選C【解析】【答案】C5、D【分析】【解析】

試題分析：圖A中，由直線方程得則為減函數；排除A；

圖B中，由直線方程得則為增函數；排除B；

圖C中，由直線方程得則為增函數；排除C；

圖D中，由直線方程得則為增函數；故選D；.

考點：函數的圖像.【解析】【答案】D6、A【分析】【解答】由題意，得解得．故選A.7、D【分析】【解答】解：設遞增等比數列{an}的公比為q；∵第3項，第5項，第7項的積為512，且這三項分別減去1，3，9后構成一個等差數列；

∴a3a5a7==512，2（a5﹣3）=a3﹣1+a7﹣9，即2（a5﹣3）=+﹣10；

解得a5=8，2q4﹣5q2+2=0；

q2=或2．

q=

∵數列{an}為遞增的等比數列，∴q=．

故選：D．

【分析】利用等差數列與等比數列的通項公式、單調性即可得出．8、C【分析】解：A.m<n

時不成立；不正確；

B.log23隆脕log25=lg3lg2鈰?lg5lg2鈮?log215

不正確．

C.210鈭?29=2?29鈭?29=29

D.(鈭?12527)23=(53)3隆脕23=259

因此不正確．

故選：C

．

利用指數冪與對數的運算性質即可判斷出正誤．

本題考查了指數冪與對數的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．【解析】C

二、填空題(共9題，共18分)9、略

【分析】

因為直三棱柱的頂點在球面上；將直三棱柱補成一個四棱柱；

則正四棱柱的對角線為球的直徑；

由4R2=1+1+2=4得R=1；

∴AC=

所以∠AOC=（其中O為球心）

A、C兩點間的球面距離為

故答案為：．

【解析】【答案】因為直三棱柱的頂點在球面上；將直三棱柱補成一個四棱柱，四棱柱的對角線為球的直徑，又因為角AOC為90度，就可以求出A，C兩點間的球面距離．

10、略

【分析】【解析】試題分析：考點：兩角和的正切公式【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】

試題分析：①時，顯然只有一個實數根；

②時，顯然所以是奇函數；

③設是函數的圖象上的一點，點關于點對稱點因為所以點也在函數的圖象上，故的圖象關于點對稱；

④取可得有三個零點.

考點：函數的基本性質.【解析】【答案】①②③12、略

【分析】【解析】解：利用三角形的中位線平行于底邊，我們可以得到線線平行，再利用線面平行的判定定理得到結論。【解析】【答案】平行13、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】

試題分析：由已知組合體的視圖可知，該組合體是由下邊為一個底面直徑為4，高為4的圓柱，上邊為一個底面直徑為4，高為3的圓錐組成，如圖，所以其體積為：故答案為：．

考點：1.三視圖;2.圓柱和圓錐的體積公式.【解析】【答案】．15、[1，2]【分析】【解答】解：f（x）=x|x2﹣3|=

（1）（x3﹣3x）′=3x2﹣3，∴x3﹣3x在上單調遞增，令x3﹣3x=2得，x=2，∴x

（2）（3x﹣x3）′=3﹣3x2，∴3x﹣x3在[0，1）單調遞增，在[1，）上單調遞減，∴x=1時3x﹣x3取最大值2，x=0時，取最小值0，即此時f（x）∈[0，2]，∴x且x∈[0，1]時f（x）的值域為[0，2]；

∴x∈[0；1]f（x）值域是[0，2]，x∈[0，2]時f（x）的值域也是[0，2]；

∴m∈[1；2]；

即實數m的取值范圍為[1；2]．

故答案為：[1；2]．

【分析】先去絕對值將函數f（x）變成：f（x）=通過求導判斷函數x3﹣3x在單調遞增，并且令x3﹣3x=2得，x=2，因為f（x）的值域是[0，2]，所以x≤2；同樣的辦法可判斷函數3x﹣x3在[0，1]單調遞增，在（1，）單調遞減，所以x=1時該函數取最大值2，x=0時取最小值0，所以函數f（x）在[0，1]上的值域是[0，2]，并且x∈[0，2]時f（x）的值域也是[0，2]，所以m∈[1，2]．16、略

【分析】解：∵=+

∴=-

=（+）-

=（-）

=

∴==．

故答案為：．

由平面向量的加減運算求出即可求出的值．

本題考查了平面向量的應用問題，解題的關鍵是表示出向量是基礎題．【解析】17、略

【分析】解：根據題意，原式=2sin2婁脕鈭?sin婁脕cos婁脕+cos2婁脕=2sin2婁脕鈭?sin婁脕cos婁脕+cos2婁脕sin2偽+cos2偽=2tan2婁脕鈭?tan婁脕+1tan2偽+1

而tan婁脕=2

則原式=2隆脕2鈭?2+12+1=5鈭?23

故答案為：5鈭?23

．

根據題意，將2sin2婁脕鈭?sin婁脕cos婁脕+cos2婁脕

變形可得2tan2婁脕鈭?tan婁脕+1tan2偽+1

將tan婁脕=2

代入其中即可得答案．

本題考查同角三角函數基本關系式的運用，解題的關鍵是正確化簡2sin2婁脕鈭?sin婁脕cos婁脕+cos2婁脕.

【解析】5鈭?23

三、解答題(共6題，共12分)18、略

【分析】

（1）在△ABC中，AB=c=10，BC=a=14，AC=b=16；

∴由余弦定理得：cos∠BAC==

∴∠BAC=60°；

設△ABC的外接圓半徑為R，由正弦定理得：2R===

∴R=

（2）由S△ABD+S△ADC=S△ABC，得×10×AD×sin30°+×16×AD×sin30°=×10×16×sin60°；

解得：AD=．

【解析】【答案】（1）利用余弦定理表示出cos∠BAC；將三邊長代入求出cos∠BAC的值，利用特殊角的三角函數值求出∠BAC的度數，再利用正弦定理即可求出外接圓半徑R；

（2）根據S△ABD+S△ADC=S△ABC；利用三角形面積公式列出關系式，即可求出AD的長．

19、略

【分析】根據同角的基本關系式，在根據兩角和的余弦公式，求出【解析】【答案】20、略

【分析】【解析】

試題分析：利用函數奇偶性；函數單調性求解。

（Ⅰ）因為是奇函數，所以=0，即

又由f（1）=-f（-1）知6分。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知易知在上。

為減函數。又因是奇函數，從而不等式：轉化為：

所以原不等式的解集為12分。

考點：本題主要考查了函數奇偶性；函數單調性，考查了分析問題；解決問題的能力，考查了運算求解能力，轉化能力。

點評：解決此類問題的關鍵是理解函數奇偶性，掌握函數單調性，要有較好的運算求解能力，難度中等。【解析】【答案】（1）（2）21、解：原式=﹣2lg2﹣2lg5++=﹣2（lg2+lg5）++2×3

=﹣2++6

=【分析】【分析】利用對數的運算法則、對數恒等式即可得出．22、證明：（Ⅰ）因為AA1∥CC1，所以四邊形ACC1A1為平行四邊形，所以AC∥A1C1，又A1C1?平面A1BC1，AC?平面A1BC1，AC∥平面A1BC1；

（Ⅱ）易知A1C1⊥B1D1，因為BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1

因為BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面BB1D1D；

因為A1C1?平面A1BC1，所以平面A1BC1⊥平面BB1D1D【分析】【分析】（Ⅰ）證明四邊形ACC1A1為平行四邊形，可得AC∥A1C1，即可證明AC∥平面A1BC1；（Ⅱ）證明A1C1⊥平面BB1D1D，即可證明平面A1BC1⊥平面BB1D1D．23、略

【分析】

根據同角的三角函數的關系和誘導公式以及兩角和的余弦公式計算即可。

本題考查了同角的三角函數的關系和誘導公式以及兩角和的余弦公式，考查了學生的運算能力，屬于中檔題【解析】解：∵-5π＜α＜-2π；

∴-＜＜-

∴-＜+＜0

∴cos（+）＞0；

∴cos（+）=

∵-＜β＜-＜＜

∴0＜+＜π；

∴sin（+）＞0

∴sin（+）=

∵+=（+）+（+）-

∴sin（+）=sin[（+）+（+）-]=-cos[（+）+（+）]；

=-cos（+）cos（+）+sin（+）sin（+）=-×（-）-×=

即sin（+）=．四、作圖題(共2題，共18分)24、略

【分析】【分析】作點A關于河CD的對稱點A′，當水廠位置O在線段AA′上時，鋪設管道的費用最省．【解析】【解答】解：作點A關于河CD的對稱點A′；連接A′B，交CD與點O，則點O即為水廠位置，此時鋪設的管道長度為OA+OB．

∵點A與點A′關于CD對稱；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

過點A′作A′E⊥BE于E；則∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：鋪設管道的最省費用為10000元．25、略

【分析】【分析】作點A關于河CD的對稱點A′，當水廠位置O在線段AA′上時，鋪設管道的費用最省．【解析】【解答】解：作點A關于河CD的對稱點A′；連接A′B，交CD與點O，則點O即為水廠位置，此時鋪設的管道長度為OA+OB．

∵點A與點A′關于CD對稱；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

過點A′作A′E⊥BE于E；則∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：鋪設管道的最省費用為10000元．五、證明題(共2題，共8分)26、略

【分析】【分析】（1）過點C作CE⊥AB于點E；根據正弦的定義可以表示出CE的長度，然后利用三角形的面積公式列式即可得解；

（2）根據S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根據正弦與余弦的定義分別把BD、AD、CD，AB，AC轉化為三角形函數，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）過點C作CE⊥AB于點E；

則CE=AC?sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB?CE=c?bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根據題意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB?ACsin（α+β）=BD?AD+CD?AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．27、略

【分析】【分析】（1）關鍵在于圓心位置；考慮到平行四邊形是中心對稱圖形，可讓覆蓋圓圓心與平行四邊形對角線交點疊合．

（2）“曲“化“直“．對比（1），應取均分線圈的二點連線段中點作為覆蓋圓圓心．【解析】【解答】

證明：（1）如圖1；設ABCD的周長為2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P為周界上任意一點，不妨設在AB上；

則∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周長為2l的平行四邊形ABCD可被以O為圓心；半徑為的圓所覆蓋；命題得證．

（2）如圖2，在線圈上分別取點R，Q，使R、Q將線圈分成等長兩段，每段各長l．又設RQ中點為G，M為線圈上任意一點，連MR、MQ，則GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G為圓心，長為半徑的圓紙片可以覆蓋住整個線圈．六、計算題(共3題，共24分)28、略

【分析】【分析】過C作CE⊥AB于E，要想求∠BCD的度數，只需求出∠BCE的度數即可．設DE=x，在Rt△DCE中，∠ADC=60°，可求出CE的長；在Rt△AEC中，可根據勾股定理列出等式，從而求出x的值，繼而得出BE=CE，求出∠BCE的值．【解析】【解答】解：過C作CE⊥AB于E；

設DE=x；則AE=2-x；

在Rt△DCE中；∠ADC=60°；

∴CE=x；

在Rt△AEC中；

根據勾股定理得：AE2+CE2=AC2；

∴（2-x）2+（x）2=（）2；

解得：；

∴BE=CE=；

又∠BEC=9