第3講等式與不等式的性質(zhì)

知識梳理

1、比較大小基本方法

方法

關(guān)系做差法做商法

與。比較與1比較

a>ba-b>0@〉1(〃,Z?>0)或刊<l(a,b<0)

bb

a=ba—b-Gg=叱0)

b

a<ba—b-G@<1(〃,b>0)或刊>l(a,b<0)

bb

2、不等式的性質(zhì)

（1）基本性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容

對稱性a>b<=>b<a^a<b<=>b>a

傳遞性a>b,b>c^a>c；a<b,b<c=>a<c

可加性a>b<^>a+c>b>c

可乘性a>b,c>0^ac>bc；a>b,c<0^>ac<bc

同向a>c,c>d^>a+c>b+d

可加性

同向同正a>b>Q,c>d>0^>ac>bd

可乘性

可乘方性a>b>U,neN*na">b"

【解題方法總結(jié)】

1、應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)，不能忽視其性質(zhì)成立的條件，解題時要做到言必有據(jù)，特

別提醒的是在解決有關(guān)不等式的判斷題時，有時可用特殊值驗證法，以提高解題的效率.

2、比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、

利用函數(shù)的單調(diào)性.

比較法又分為作差比較法和作商比較法.

作差法比較大小的步驟是：

（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大小；（4）下結(jié)論.

作商比較大小（一般用來比較兩個正數(shù)的大小）的步驟是：

（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大小；（4）下結(jié)論.

其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利

于0或1比較大小.

作差法是比較兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù)，

且是塞或者因式乘積的形式，也可考慮使用作商法.

必考題型全歸納

題型一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用

【解題方法總結(jié)】

1、判斷不等式是否恒成立，需要給出推理或者反例說明.

2、充分利用基本初等函數(shù)性質(zhì)進行判斷.

3、小題可以用特殊值法做快速判斷.

例1.（多選題）（2024?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知a>b>c,ac>0,則下列關(guān)系式一定

成立的是（）

A.c2>bcB./?c（<7-c）>0

cb一

C.ct+b>cD.-H—>2

bc

例2.（多選題）（2024?山東?校聯(lián)考二模）已知實數(shù)。涉,c滿足a>b>c,且

a+b+c^Q,則下列說法正確的是（）

A.------>-------B.a—c>2bC.a2>b1D.ab+bc>0

a-cb-c

例3.（多選題）（2024?全國?校聯(lián)考模擬預(yù)測）若a>O>b>c,則下列結(jié)論正確的是

（）

A.->-B.b2a>c2a

cb

C.———>—D.a-cN2d（ac）

題型二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式

【解題方法總結(jié)】

比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利

用函數(shù)的單調(diào)性.

比較法又分為作差比較法和作商比較法.

作差法比較大小的步驟是：

（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大小；（4）下結(jié)論.

作商比較大小（一般用來比較兩個正數(shù)的大小）的步驟是：

（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大小；（4）下結(jié)論.

其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利

于0或1比較大小.

作差法是比較兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù)，

且是幕或者因式乘積的形式，也可考慮使用作商法，作商法比較大小的原理是：

hbb

若a>0,b>0,則一>10b>〃；一=；———a

aaa

bb7b

若av0,/?<0,則一>10b<〃；—<11b>a；—=1\<=>b7—a

aaa

例4.（2024?全國?高三專題練習(xí)）若0<a<6,a+b=l,則將4,6,工,2必/+/?2從小到大

2

排列為.

例5.（2024?全國?高三專題練習(xí)）如果a>6,給出下列不等式：

<4-；@a3>b3-,;@2ac2>2bc2^⑤￡>1;⑥/+62+1>°6+。+匕.

ClDI）

其中一定成立的不等式的序號是.

ha

例6.（2024?高三課時練習(xí)）（1）已知。>辦>0,c<d<0,求證：——<——；

a-cb-d

（2）設(shè)尤，yeR,比較卜之-丁丫與砂（尤-yf的大小.

例7.（2024?全國?高三專題練習(xí)）（1）試比較（x+l）（x+5）與（x+3）2的大小；

（2）已知—<7-,求證：ab>0.

ab

題型三：已知不等式的關(guān)系，求目標式的取值范圍

【解題方法總結(jié)】

在約束條件下求多變量函數(shù)式的范圍時，不能脫離變量之間的約束關(guān)系而獨立分析每

個變量的范圍，否則會導(dǎo)致范圍擴大，而只能建立已知與未知的直接關(guān)系.

例8.（多選題）（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知實數(shù)x,y滿足

_3<x+2y<2,_]<2x_y<4,貝|（）

A.x的取值范圍為（-1,2）B.丁的取值范圍為（-2,1）

c.x+y的取值范圍為（-3,3）D.X—V的取值范圍為（-1,3）

例9.（2024?廣東?高三校聯(lián)考期末）已知14。一643,3<。+647,則5°+6的取值范

圍為（）

A.[15,31]B.[14,35]C.[12,30]D.[11,27]

例10.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知-l</?<4,則的取值范圍是

()

A.—7<a—2b<4B.—6<a—2b<9

C.6<a—2b<9D.—2<?—2Z?<8

例IL（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知三個實數(shù)服b、c,當c>0時，〃<2々+3。且

bc=a2,則巴3的取值范圍是.

b

題型四：不等式的綜合問題

【解題方法總結(jié)】

綜合利用等式與不等式的性質(zhì)

例12.（多選題）（2024?河北衡水?高三河北衡水中學(xué)校考階段練習(xí)）己知。>0,

4151

b>0,且滿足aN—+7，b>^-+-.則的取值可以為（）

abba

A.10B.11C.12D.20

例13.（多選題）（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知/（丁+1）=1,貝IJ（）

1

A.xy<lB.x9y>~-

C.x+xy<lD.x2+xy<-1

例14.（多選題）（2024?全國?模擬預(yù)測）已知實數(shù)〃，/?滿足4>3，則（）

A.log0.2023a<log0.2023"B./<尸

C.—D.ab-\■—的最小值為1

aa+lab+1

222

例15,（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知實數(shù)〃，b,c滿足〃+/?+c=0,a+b-^-c=lf則

。的最大值是一.

題型五：糖水不等式

【解題方法總結(jié)】

糖水不等式：若。>〃>o,m>0,則一定有小竺>2,或者”'<3.

a+mab+mb

例16.（多選題）（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知6g糖水中含有"g糖若

再添加〃2g糖完全溶解在其中，則糖水變得更甜了（即糖水中含糖濃度變大），根據(jù)這個事

實,下列不等式中一定成立的有（）

aa+m「a+m〃+2"

A.—<------B.-------<---------

bb+mb+mb+2m

21

C.(a+2m)(Z?+m)<++D.―：---<----r

3i-l3°T

例17.（2024?