專題四等差數(shù)列、等比數(shù)列

【題型分析】

考情分析：

1.等差、等比數(shù)列的基本運算和性質(zhì)的考查是高考熱點，經(jīng)常以小題的形式出現(xiàn).

2.數(shù)列的通項也是高考熱點，難度中檔及以下.

題型1等差數(shù)列、等比數(shù)列的計算

典例精析

例1(1)(2023年全國甲卷)設(shè)等比數(shù)列｛劣｝的各項均為正數(shù)，前〃項和為“若

?1=1,S5=553-4,則&=().

A.—B.—C.15D.40

88

(2)(2024年新高考全國〃卷)記8為等差數(shù)列岳用的前n項和，若的+以=7,

3a2+。5=5,貝USio=.

方法總結(jié)：

1.等差數(shù)列、等比數(shù)列中的基本量計算問題

通項與求和性質(zhì)應(yīng)用

I常見題型)一與函數(shù)、方程、

不等式相結(jié)合_____

等比數(shù)列求和要分公

比是不是1

等差數(shù)列、,、

等比數(shù)列7注意點］-等比數(shù)列中注意首項

與公比均不為零

的計算

準確求解基本量

注意分類討論一

失誤與防

注意結(jié)論的整合

2.解決等差、等比數(shù)列基本量運算問題的思想方法

通常利用已知條件及通項公式或前"項和

方程

公式列方程(組)求解，五個量可“知

思想

三求二”

當所給條件只有一個時，可將已知和所

整體i?

T求都用生，of(anq)表示，尋求兩者間的?

思想

I聯(lián)系，整體代換即可求解

1_______________________________J

分類［至題目中公比g未知，則運用等比數(shù)列前］

討

論

-*?"項和公式時要分和兩種情況進|

思

想g=lg#l

：行討論

跟蹤訓(xùn)練

1.已知等差數(shù)列｛aQ的前〃項和為S”若S7=70,<72(6+。5)=80,則公差d=().

A.12B.2C.3D.4

2.(改編)已知｛a〃｝為等比數(shù)列，a2a4a5=a3a6,。沏0=-8,則an=.

題型2等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)

典例精析

例2(1)記數(shù)列｛麗｝的前〃項和為的,若悔｝是等差數(shù)列，S6=6,則俏+的=().

11

A.-BiC.lD.2

62

(2)(改編)已知｛a〃｝為等比數(shù)列，若炮。3,炮。2023是函數(shù)1/(%)=3/-12》+9的兩個不

同的零點，則。1。2025=().

A.10B.104C.108D.1012

方法總結(jié)：

1.等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)

若nt+n=*+q(7n,n,p,gCN"),則

對于等萋數(shù)列，有0+&=a?+%;

通項ra

性質(zhì)

對于等比數(shù)列，有01A

等

差

1比\

7

列

數(shù)

的

對于等差數(shù)列，有S?,S2m-S”,

質(zhì)

性s3-S2，…成等差數(shù)列

前%1n1n

項

和對于等比數(shù)列，有S“，S.-Se

性

質(zhì)

…成等比數(shù)列(g=-i

且加為偶數(shù)的情況除外)

2.等差、等比數(shù)列性質(zhì)問題的求解策略

(1)抓住項與項之間的關(guān)系及項與序號之間的關(guān)系，從這些特點入手，選擇恰當?shù)?/p>

性質(zhì)進行求解.

(2)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用

函數(shù)的性質(zhì)解題.

E跟蹤訓(xùn)練

1.已知｛麗｝是等比數(shù)列，(71,。5是函數(shù)1Ax)=N-10x+An(3x)的兩個極值點，若

a2a4=2/的-2,則t的值為().

A.-4B.-5C.4D.5

2.(改編)已知數(shù)列｛圓｝是等差數(shù)列,數(shù)列｛為｝是等比數(shù)列，若。2+。4+%=5兀,

+。7

岳帥6=3舊,貝Usin

l-b2b6~-

題型3等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明

典例精析

例3(2021年全國乙卷)記S,為數(shù)列｛a“｝的前n項和，瓦為數(shù)列｛&｝的前n項積，

已知￡+5=2.

(1)證明：數(shù)列｛瓦｝是等差數(shù)列.

思維點撥瓦為數(shù)列｛&｝的前n項積-0"=S〃屏—消去的一瓦-"1§一確定結(jié)論.

(2)求｛m｝的通項公式.

思維點撥求ai—由⑴求加一求S.—7左2時，求斯一寫出結(jié)論.

跟蹤訓(xùn)練

在平面直角坐標系內(nèi)有線段A1A2,且A1A2與x軸不垂直.已知4是線段A1A2上

靠近A2的三等分點，4是線段AM3上靠近A3的三等分點……4+1是線段4一

14(佗2,〃?N*)上靠近4的三等分點.設(shè)點An的橫坐標為an.

(1)求證:數(shù)列｛。什1-麗｝為等比數(shù)列.

（2）若0=1,（2=5,求｛斯｝的通項公式.

【真題改編】

1.（2024年全國甲卷,理科T4改編）已知等差數(shù)列｛為｝的前n項和為S?,若S5=Si0,

a5=l,則S”的最大值為（）.

A.-B.—C.14D.28

33

2.（2023年新高考全國/卷，T7改編）已知數(shù)列｛或｝的前n項和為Sn,則

2

-Sn=pn+qn（p,q是常數(shù)）”是“｛念｝為等差數(shù)列”的（）.

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

3.（2023年新高考全國〃卷，T8改編）已知等比數(shù)列｛5｝的前n項和為Sn,公比

q>l,若S4=40,56=9152,則使得以<81成立的〃的最大值為（）.

A.2B.4C.6D.8

4.（2023年全國乙卷，理科T10改編）已知等差數(shù)列｛◎｝的首項為號公差為數(shù)

列｛瓦｝滿足0"=cos斯,數(shù)列｛為｝的前幾項和為則52024=（）.

11

A.-1B.--C.0D.-

22

5.（2024年新高考全國〃卷,T12改編）記S”為等差數(shù)列｛服｝的前n項和，若6+。5=-

10,5io=-8O,貝U疑=.

6.（2023年全國乙卷,理科T15改編）已知｛小｝為等比數(shù)列,。2。4。5=。3a6,a9aio=-

8,若Tn=a\a2...an,則Ti3=.

【最新模擬】

（總分：100分單選題每題5分，多選題每題6分，填空題每題5分，共68分;

解答題共32分）

強基訓(xùn)練

1.已知數(shù)列｛a”｝為等比數(shù)列，且。i=l,a2a3a4=64,則log2a5的值為（）.

A.lB.2C.3D.4

2.已知｛a〃｝為等差數(shù)列，<7i=-6,謚=°3。6,數(shù)列｛麗｝的前〃項和為S”，若品=0,

則m等于（）.

A.10B.llC.12D.13

3.（改編）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中說：“九百九十六斤綿，贈分八子做盤

纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言，務(wù)要分明依次第，孝和休惹外人傳."意

思是有996斤綿要贈送給8個子女做旅費，從第1個孩子開始，以后每人依次多

17斤，直到第8個孩子為止.根據(jù)這些信息可知第4個孩子分得的綿的斤數(shù)為

（）.

A.99B.116C.133D.150

4.記等比數(shù)列｛飆｝的前幾項之積為T”，則“a6a7>1”是'712>1”的（）.

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

5.多選題記數(shù)列｛m｝的前幾項和為的，S?=An+B,A,3為常數(shù)，則下列選項正確

的是（）.

A.若A+B=L則ai=l

B.若A=2,則m=2

C.存在常數(shù)A,B,使數(shù)列｛服｝是等比數(shù)列

D.對任意常數(shù)A,B,數(shù)列｛劣｝都是等差數(shù)列

6.多選題在數(shù)列｛或｝中，若對V〃GN*,都有產(chǎn)詈=q（q為常數(shù)），則稱數(shù)列｛?！埃?/p>

un+l-un

為“等差比數(shù)列”，q為“公差比”.設(shè)數(shù)列｛麗｝的前〃項和是則下列說法一定正

確的是（）.

A.若數(shù)列｛m｝是等差數(shù)列，則該數(shù)列也是“等差比數(shù)列”

B.若等比數(shù)列｛服｝是“等差比數(shù)列”，則該數(shù)列的公比與“公差比”相同

C.若數(shù)列｛SQ是“等差比數(shù)列”,則數(shù)列列”+1｝是等比數(shù)列

D.若數(shù)列｛麗｝是等比數(shù)列，則數(shù)列｛S”｝是“等差比數(shù)列”

7.(改編)已知數(shù)列｛而為正項等比數(shù)列，且a3s=3,則改的最小值為.

能力提升

8.多選題漢諾塔(TowerofHanoi),是一種源于印度古老傳說的益智玩具.如圖所

示，有三根相鄰的標號分別為4B,C的柱子，A柱子從下到上按金字塔狀疊放

著〃個不同大小的圓環(huán)，要把所有圓環(huán)一個一個移動到3柱子上，并且每次移動

時，同一根柱子上都不能出現(xiàn)大圓環(huán)在小圓環(huán)上方的情況.記至少移動的次數(shù)為

H(n),例如：=H(2)=3,則下列說法正確的是().

A.H(3)=5

B.｛"(〃)｝為等差數(shù)列

C.｛"(〃)+1｝為等比數(shù)列

D.H(7)>100

9.已知等差數(shù)列｛麗｝的公差不為0,42024=0,給定正整數(shù)m,使得對任意的

(機且m>2),都有ai+s+…+念=<21+。2+…成立，則m的值為().

A.4047B.4046C.2024D.4048

10.(15分)已知數(shù)列｛劣｝中，<7i=1,a〃+i=/：(〃dN*).

(1)證明:居1)是等比數(shù)列.

(2)求數(shù)列*)的前n項和.

-1

11.(17分)設(shè)數(shù)列｛z｝的前幾項和為若的-%“=〃2+1,“GN*.

(1)求。2,并證明：數(shù)列｛念+如+1｝是等差數(shù)列.

(2)求S20.

創(chuàng)新思維

12.（原創(chuàng)）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛a”｝滿足麗=3a〃+i,且ai+9a3=：,則log3ali的

值為（）.

A.-llB.-10C.10D.11

13.（原倉U）已知等差數(shù)列｛所｝的前九項和為的，"7,則2=（）.

?6-33

A.-B.—

46

C.3D.6

14.（原創(chuàng)）設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和為斗，寫出一個滿足下列條件的｛詼｝的公比:

q=?

①。2023>0;（2）｛｝是遞增數(shù)列；@S1025<S1022+7。2023.

15.（人教A版選擇性必修第二冊P23例9改編）已知數(shù)列｛外｝滿足2加尸詼+加2,

且02=8,恁+。6=2,若4是｛z｝的前〃項和，則4的最大值為.

參考答案

專題四等差數(shù)列、等比數(shù)列

分類突破題型分析

題型1等差數(shù)列、等比數(shù)列的計算

例1(1)C(2)95

【解析】(1)(法一)設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q,由已知得

1+<7+^2+<73+^4=5(1+q+q2)-4,整理得(l+q)(q3-4q)=0,因為此數(shù)列的各項均為正

數(shù)，所以q=2,所以S4=l+q+q2+q3=l+2+4+8=15.

(法二)設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,因為ai=l,即Si=l,所以S5=5S3-4=5S3-4SI,

所以S5-S3=4(S3-SI).

又S5-S3=q2(S3-Si),所以q2=4,又q>0,所以q=2,因此，$4=久尚二=與多=15.

故選C.

⑵設(shè)等差數(shù)列｛詞的公差為d,則，篝;7，解得仔=一4,所以

Sio=10m+當線/=10x(-4)+45x3=95.

跟蹤訓(xùn)練

l.C

【解析】因為S7=7a4=70,所以(74=10,

又。2伍3+。5)=2。2。4=80,所以6=4,所以d=^Y1=3.

故選C.

2.4

【解析】?。悾秊榈缺葦?shù)列,?：。2。4。5=。2。3。6=。3。6，解得。2=1，

而〃必0=。247a2q8=q初15=8,可得qi5=q5)3=8,

即q5=-2,則。12=。2"=1X(-2)2=4.

題型2等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)

例2(1)D(2)B

【解析】⑴因為用是等差數(shù)列，

所以可設(shè)無=即+。，所以S,=a/+加，所以伍”｝為等差數(shù)列，

n

因為S6=6=("06)x6=3(ai+a6),

所以。1+怒=2,所以的+。4=2,故選D.

(2)因為lg.3,炮。2023是於)=3%2一12%+9的兩個不同的零點，

所以1g。3+lg。2023=4,所以lg(<23tZ2023)=4,

所以a3a2023=103故4142025=103故選B.

跟蹤訓(xùn)練

1.C

【解析】由題意知，八%)=2『10+工=2/-lQx+t,%>0,

xx

所以ai,。5是方程2/-10%+/=0的兩個實數(shù)根，則0>0,as>0,aitZ5=1>0,

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，。2。4=。1。5=送，且a2a4=2/。3-2,

所以$2&x昌2,即介40+4=0,即(任2)2=0,解得7=4.

N72

故選C.

2月

2

【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，。2+。4+。6=3。4=5兀，即。4=苧，而。1+。7=2。4=竽,

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，b2b4b6=臉=3有,貝ljb4=W，b2b6=好=3,

由［、j?01+。7TTn

所以smF；=si.n(/下5\六s.in百=彳

題型3等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明

例3

【解析】⑴當“=1時，bi=Si=ai,

由［+1=2,解得"=目，

當佗2時，代入言+三二2，

消去S”，可得簾+；=2,所以瓦一瓦』4，

bnbn2

所以｛瓦｝是以I為首項，2為公差的等差數(shù)列.

(2)由題意得tzi=51=。1=|，

由(1)可得bn=1+(n-l)x^=n^,

由1+出=2,可得5=唔.

5幾bnn+1

當n>2時，an=Sn-Sn-i顯然不滿足該式,

n+1nn/n+l)

所以吁卜n；l,

(-zi(n+l)/H>2.

跟蹤訓(xùn)練

【解析】⑴由題意常比亡=2,所以3z+2=2研i+如,可得3板+2-3廝+WS+1,

。幾+2-。九+11

又。2-。法0,所以

a九十1.a九

所以數(shù)列｛a〃+i-z｝是首項為02-471,公比為-1的等比數(shù)列.

(2)因為0=1,42=5,所以“2-01=4.

因為數(shù)歹!J｛a〃+is｝是公比為3的等比數(shù)列，所以當稔2時，a”s-i=4x(q)"-2.

I-11-I1—f—1)n-l

由累加法可得，當論2時，^-ai=4x[l+(-1)+...+(Mx----\—=3-3x(

1+3

即當稔2時，的=4+(打”2,

經(jīng)檢驗，ai=l滿足上式，所以數(shù)列｛a〃｝的通項公式為斯=4+(q)"2.

分類突破真題改編

1.B

【解析】由810-35=46+47+48+49+410=548=0,得〃8=0,

則等差數(shù)列｛服｝的公差人罵"=5所以防=g4d=l-4xG)q,

所以Sn的最大值為S7和S8,且S7=S8=8X|+§|ZX(-1)岑故選B.

2.C

【解析】若Sn=pn2+qn（p,q是常數(shù)），貝|當ri>2時，an=Sn-Sn-i=pn2+qn-[p（n-l）2+q（n-

l）]=2pn-p+q.

當n=l時，ai=Si=p+q,對于上式也成立，.'.an=2pn-p+q,.：｛而｝為等差數(shù)列,

反之也成立..:然后2層+物⑦，q是常數(shù)）”是“｛念｝為等差數(shù)列”的充要條件.

3.B

4

【解析】由54=40,56=9152,可得斗紋=40,①

1-Q

皿登）=91x皿蛇，②

1—q1—q

由②得，1+爐+“4=91,解得才=9,即g=3,代入（3M得首項ai=l，

n

所以等比數(shù)列｛麗｝的通項公式為an=3-\

由3"1<34,得所以"5,

又“CN*,所以〃的最大值為4.故選B.

4.B

【解析】依題意,在等差數(shù)列｛圓｝中,詼=1+（〃-1）穹等武

所以Z?a=COS（爭W）.

又瓦+3=COSW（〃+3）T]=COS得〃+2兀一）=COS管槽）=bn,

所以3是｛5｝的周期，又6i=cos管-]）=q,岳=-1,Z?3=|>所以。1+岳+優(yōu)=0,

所以§2024=匕1+岳+…+岳024=匕1+。2=-'.故選B.

5.-9

【解析】因為數(shù)列｛劣｝為等差數(shù)列，

所以設(shè)其公差為d,

??fcig+。5=%+2d+a1+4d=-10,

“[Si。=lOdi+45d=-80,

解得\

Id=-2,

所以。6=。1+5仁-9.

6,-8192

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛為｝的公比為觀川）.

因為。2。4。5=。3。6=。4。5，顯然斯聲）,所以。2=1.

因為。9。10=-8,所以a2d,€12不=-8,

所以小5=q5)3=8=(-2)3,所以q5=_2,所以07=02/=。=-2,

則叫3=。1。2.??〃13=帚3=(-2)13=-8192.

分類突破最新模擬

訓(xùn)練

1.D

【解析】由等比中項的性質(zhì)可知a2a3。4=64=弱，

??。3=4,

又堵二。1。5=16,?：〃5=16,?：log2〃5=log216=4,故選D.

2.D

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛外｝的公差為力因為ai=-6,謁=。3怒，

所以(-6+8⑨2=(一6+2憤(-6+5增，解得d=l或d=0.

若d=0,則｛或｝為常數(shù)列，則&=-6/0,不符合題意，舍去，

所以d=l,由等差數(shù)列前〃項和公式得蘸=-6冽+嗎Dxl=0,解得機=13.

故選D.

3.B

【解析】依題意得，8個子女所得的綿的斤數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列，

設(shè)該等差數(shù)列為｛?｝,公差為d,前〃項和為S,第1個孩子所得的綿的斤數(shù)為

(21,

則由題意得d=17,S8=8ai+與x17=996,解得幻=65,

所以tZ4=ai+(4-1)4=65+3x17=116.故選B.

4.A

【解析】若a6a7>1,則Ti2=aia2...ai2=(a6a7)6>1,故充分性成立；

若T12>L即…。12=(a6a7)6>1,則a6a7>1或故必要性不成立.

綜上，“a6a7>1”是“r2>1”的充分不必要條件.故選A.

5.ABC

【解析】對于A,若A+3=l,則ai=Si=A+3=l,A正確；

對于B,若A=2,則a2=S2-Si=(2A+B)-(A+B)=A=2,B正確;

對于C,由Sn=An+B得ai=Si=A+B,

當H>2時，an=Sn-Sn-1=(An+B)-[A(n-l)+B]=A,

所以當3=0,A加時，數(shù)列｛斯｝是公比為1的等比數(shù)列，C正確；

對于D,由上述知，當〃N2時，an=A,若3于0,則。2-。1=4-(4+5)=-57%3-。2=0,

此時，數(shù)列｛服｝不是等差數(shù)列，D錯誤.

故選ABC.

6.BCD

【解析】若等差數(shù)列｛。,｝為常數(shù)列，則m+1-?！?0,等怨臚無意義，

un+l-un

所以等差數(shù)列｛斯｝不一定是“等差比數(shù)列”，故A選項錯誤；

若公比為q的等比數(shù)列｛為｝是“等差比數(shù)列"，則｛麗｝不是常數(shù)列，則以

并1，

由自+2個+-叫+"*：得該數(shù)列的公比與“公差比”相同，故B選項正確；

an+i-anaiqn_aiqn-i

若數(shù)列｛SQ是“等差比數(shù)列"，則S臚-2=產(chǎn)=/所以數(shù)列｛或+1｝是等比數(shù)列，

dn+l-dnun+l

故C選項正確；

若數(shù)列｛麗｝是等比數(shù)列，公比為q,則郎

所以數(shù)列｛S〃｝是“等差比數(shù)列”，故D選項正確.

故選BCD.

7.12

【解析】因為數(shù)列｛Z｝為正項等比數(shù)列，所以境=。2。4,且。4>0，

fl4+3

貝!Jai=—=()=a^+—+6>2la4x—+6=12,

a

a4a44\@4

Q

當且僅當。產(chǎn)/,即。4=3時，等號成立，故。2的最小值為12.

能力提升

8.CD

【解析】由題意知，若要移動1個圓環(huán)到5柱子上，則需移動1次；

若要移動2個圓環(huán)到B柱子上，則移動情況為A—C,A-3,C—B,需移動3

次；

若要移動3個圓環(huán)到B柱子上，則移動情況為A—3,A-C,B-C,A->B,C-A,

CTB,AfB,共7次，故H(3)=7,A錯誤；

由此類推，先將A柱子上的〃個圓環(huán)中上面的(附-1)個圓環(huán)移動到C柱子上，然

后將n個圓環(huán)中最大的圓環(huán)移動到B柱子上，再將C柱子上的(〃-1)個圓環(huán)移動

到3柱子上.設(shè)若有〃個圓環(huán)，至少移動a”次，則以=2。"-1+1(〃之2),

所以如+1=2(。加1+1),而0+1=1+1=2邦，故｛斯+1｝為等比數(shù)列,即｛”(九)+1｝為

等比數(shù)列，C正確；

由上述分析知，H(n)=2n-1,則H(九)不是”的一次函數(shù)，

貝不為等差數(shù)列，B錯誤；

H(7)=27-l=127>100,D正確.

故選CD.

9.A

【解析】若〃>加-〃，由題意知。小+1+?！?+2+...+。"=0,

由等差數(shù)列的性質(zhì)知,若p+q=s+/(p,q,s,f@N*),則有即+為=匿+的，所以a”

〃+i+a〃=0,

因為公差分0,且〃2024=0,所以。1+。4047=0，所以用-〃+1+〃=4048,所以機工4

047.

若n<m-n,貝!Jan+i+^+2+...+^m-?=0,

由等差數(shù)列的性質(zhì)知，若夕+4=5+%。05"￡2),則有Op+O產(chǎn)Qs+即所以an+i+am-

〃二0,

因為公差分0,且〃2024=0,所以Q1+Q4047=0，所以〃+1+帆-〃=4048,所以機工4

047.

綜上所述，加二4047.故選A.

10.解析(1)因為數(shù)列｛成｝中，<71=|,an+i=(neN*),所以

122

『

1一

a筌

"-2分

一24

n+l=-=1=

而

1-1所

an-1

且彳1尸3-1=2,

所以｛;」｝是首項和公比均為2的等比數(shù)列...........................7分

11

(2)由(1)可得--1=22小1=2",即一=2"+1,...............................11分

anan

所以數(shù)列｛出｝的前n項和8=(2+22+23+…+2")+”=2(；手+〃=2?1一2+〃.……15分

11.解析(1)當”=1時，由條件得所以0=4..................1分

當〃=2時，由條件得(。1+。2)-12=5,所以改=2...........................2分

因為Sn-^an=n2+l,所以Sn-\~an-]