第80講阿基米德三角形

知識梳理

如圖所示，鉆為拋物線f=2py(p>0)的弦，A(x“x),3(%,%)，分別過A3作的拋

物線的切線交于點P,稱△RLB為阿基米德三角形，弦至為阿基米德三角形的底邊.

1、阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸.

2、若阿基米德三角形的底邊即弦過拋物線內定點C(x0,%),則另一頂點P的軌跡

為一條直線.

3、若直線/與拋物線沒有公共點，以/上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點.

4、底邊長為a的阿基米德三角形的面積的最大值為

8。

5、若阿基米德三角形的底邊過焦點，則頂點。的軌跡為準線，且阿基米德三角形的面

積的最小值為爐.

6、點尸的坐標為［土產，笠J；

7、底邊A3所在的直線方程為(％+x2)x-2py-x{x2=0;

8、的面積為5叩」為一口.

PAB8P

9、若點尸的坐標為(尤0,%),則底邊鉆的直線方程為與龍-p(y+%)=0.

10、如圖1,若E為拋物線弧AB上的動點，點E處的切線與E4,PB分別交于點C,

D,貝凹烏=也

\CP\\ED\\DB\

11、若E為拋物線弧Afi上的動點，拋物線在點E處的切線與阿基米德三角形的

q

邊A4,尸5分別交于點C,D,貝IJ—^=2.

uPCD

2

12、拋物線和它的一條弦所圍成的面積，等于以此弦為底邊的阿基米德三角形面積的會.

3

必考題型全歸納

題型一：定點問題

例L(2024.山西太原.高二山西大附中校考期末)已知點A(0,-l),8(0,1),動點戶滿足

,胤=.記點尸的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程；

(2)設。為直線產-2上的動點，過。作C的兩條切線，切點分別是E,F.證明：直

線跖過定點.

【解析】⑴設P(x,y),則PA=(-x,-l-y),PB=(-x,l-j),

AB=(0,2),BA=(0,-2),

所以，網網=可以化為J(T)2+(]_y『=]+y,

化簡得V=4y.

所以，C的方程為V=4y.

(2)由題設可設。&-2),E(X],yJ,*%,%)，

由題意知切線DE,￡＞歹的斜率都存在，

由V=4y,得y=亍，則了=:，

所以嚷竹，

直線OE的方程為了一%后(x-xj,即y-x/X-1,①

2

因為磯占,另）在爐=4y上，所以年=4乂，即=②

將②代入①得西龍一2%—2丫=。，

所以直線DE的方程為占x-2%-2y=0

同理可得直線DF的方程為-2%-2y=0.

因為。（7,一2）在直線OE上，所以比「2%+4=0,

又0（/,-2）在直線上，所以%-2%+4=0,

所以直線所的方程為比-2y+4=0,

故直線EF過定點（0,2）.

例2.（2024?陜西西安.西安市大明宮中學校考模擬預測）已知動圓M恒過定點產

圓心M到直線，=1的距離為“=幽+。

⑴求”點的軌跡C的方程;

（2）過直線y=x-i上的動點。作C的兩條切線乙4,切點分別為A,8,證明：直線A3恒過

定點.

【解析】⑴設”（x,y）,則|MF|=1

因為1=即

8

當y+^NO,gpy>-

4

當yd—<0,即,<_

4

整理得/=>+：<0,不成立；

8

綜上所述：〃點的軌跡。的方程

（2）由（1）可知：曲線C：x2=；y，即丁=2工2,則y'=4x,

設人（%,2%；）,5（%2芯）,Q?/T），

可知切線QA的斜率為4芯，所以切線QA：y-2^=4xl(x-x1),

則t—1—24=4%[{t一&),整理彳導2x；—4fx]+(—]=0,

同理由切線QB可得：2考-43+”1=0,

t-i

可知：外,三為方程2必-4優+,-1=0的兩根，則玉+%=2/,%々=；-,

可得直線AB的斜率=或盤.=2(再+%)=〃，

%-x2

設A3的中點為N(x°,%),則％=七三=t,y0=2片產=(石+馬y-2占％=4/T+1,

即N僅,4/-1+1),

所以直線A3：y-(4t2-t+l)=4t(x-t),整理得y-1=4,

所以直線A3恒過定點

例3.(2024?全國?高二專題練習)已知平面曲線C滿足：它上面任意一定到的距離比

3―

到直線>的距離小1.

⑴求曲線C的方程；

(2)。為直線丁=-3上的動點，過點。作曲線C的兩條切線，切點分別為48,證明：直

線A3過定點；

⑶在(2)的條件下，以為圓心的圓與直線A3相切，且切點為線段A3的中點，

求四邊形AD3E的面積.

【解析】(1)思路一：由題意知，曲線C是一個以，為焦點，以y=-g的拋物線,

故。的方程為：V=2y

思路二：設曲線。上的點為（%,y）,則3

y一-1,

由題意易知，y>0,整理得，V=2y.

⑵設￡）”,一：）,，則y=1.

又因為y=所以y=x.則切線ZM的斜率為七,

故%+；=再（百一"，整理得2處-2%+1=0.

設3（尤2,%）,同理得2%-2y2+1=°.

A&,%）,以耳%）都滿足直線方程2比-2y+1=0.

于是直線2田-2丫+1=0過點4,8,而兩個不同的點確定一條直線,

所以直線AB方程為2a-2y+l=0,即2tx+(-2y+1)=0,

當2x=0,-2y+1=0時等式恒成立.

所以直線A3恒過定點（0,；］

（3）思路一：利用公共邊結合韋達定理求面積

設筋的中點為G,網程%），則=［^

BA={xl-x2,yl-y2）.

由EG-8A=0，得［七日（&一尤2）+，+"5］（》一%）-0，

將y=1代入上式并整理得（%）（%+9乂k+君一6）=0,

因為占-尤2w。，所以占+為2=。或才+君=6.

由（1）知O1七三所以DGLx軸，

則

_%

S四邊形的跖=SABE+S=-|EF|-(X-X)+-|GD|*(X-^1)=(^21)(*2-藥)

2128

（設工2>玉）.

當%+%=。時，（尤2一%了=（玉+%2丫一4為々=4,即%一七二2,S四邊形人.七二3；

當％：+4=6時，（再+/）2=4,（%2_石）2=（玉+/）2—4%1%2=8,

即%2一%=2立,S四邊形4）3石=40.

綜上，四邊形AT出區的面積為3或4TL

思路二：利用弦長公式結合面積公式求面積

設。,，-；［，由（I）知拋物線的焦點廠的坐標為（o,g；準線方程為y=-；.

由拋物線的定義，得|AB|=￡J■+或+▲=&+%）-2%尤?+1=貯生+1=2>+2.

11222222

線段A3的中點為G）/+￡|.

當尤［+%=0時，f=0,A8_Lj^［^,|AB|=2,

Sp］邊形AWE=gx2x1|?+；］=3;；

人…

當王+馬彳。時，t^o,由EGJ_AB,得22,1，即，=±L

t-0

所以=4,G、1,3,直線AB的方程為尸±x+g.

根據對稱性考慮點G,鼻,和直線AB的方程y=x+；即可.

E到直線A3的距離為|EG|=J（0-1）?+g-）=0,

1H----1—

D到直線AB的距離為22_④.

#+（-?

所以Syw=gx4x（0+⑹=4次.

綜上，四邊形ADBE的面積為3或4A份.

思路三：結合拋物線的光學性質求面積

圖5中，由拋物線的光學性質易得N1=N2,又4=N3,所以/2=/3.

因為AP=A41,AO=AD,所以，

所以24/,DF±AB,DAl=DF.

同理VBDFgaBO4=。旦=。/，所以。4=。用，即點。為4月中點.

圖6中已去掉坐標系和拋物線，并延長R4,與A于點H.

因為GEJ_A8,OP，A8,所以GE〃DF.

又因為G,。分別為AB,A片的中點，所以G。〃的〃,

故EFDG為平行四邊形，從而GO=斯=2,A3=A4,+BB,=2GD=4.

因為且尸/=1GD,所以/為HD的中點，

2

仄而DF=GE=?

S四邊m>BE=Sg+SME=5A3,DF+—AB-GE-4-72.

當直線AB平行于準線時，易得SmADBE=3.

綜上，四邊形的＞3E的面積為3或4vL

思路四：結合弦長公式和向量的運算求面積

由（1）得直線AB的方程為y=fx+g.

1

y=tx+—

2

由，，可得12一2比一1二0,

X2

"=T

于是％+々=2t,\x2=-l,y；+_y2=?（%,+A：2）+l=2r+1

|AB\=y/l+t21%-々|=V1+?2J（X]+x?）~-4年々=2（產+1）

,------2

設4&分別為點D,E到直線AB的距離，則4=6+1,4=-^==.

因此，四邊形AD3E的面積S=；|A磯4+4）=卜?+3）歷L

設M為線段的中點，則加,產+",

由于EWAB,而-2）,4?與向量（1,。平行，所以r+?2-2卜=0,解得f=o或

t=±l.

當/=0時，5=3；當/=±1時S=4a

因此，四邊形AD3E的面積為3或4vL

變式1.（2024?陜西?校聯考三模）已知直線/與拋物線C:x2=2分（p>0）交于A,2兩點，

且Q4JLO3,OD±AB,。為垂足，點。的坐標為（LD.

⑴求C的方程；

⑵若點E是直線y=x-4上的動點，過點￡作拋物線C的兩條切線EQ,其中P,Q

為切點，試證明直線尸。恒過一定點，并求出該定點的坐標.

【解析】（1）設點A的坐標為（4,無），點8的坐標為（蒞，/），

因為％8=1,所以上AB=T，則直線AB的方程為y=T+2,

fy=_x+2

聯立方程組。c,消去》整理得V+2px-4P=0,

[x=2py

所以有再+毛=-2。，=-4p,

5iOA±OB,得+（2_玉）（2_%2）=0,

整理得不/一（西+W）+2=Tp+2p+2=0,解得P=1.

所以C的方程為-=2y.

（2）由爐=2、，得y=所以y'=x,

設過點E作拋物線C的切線的切點為

貝IJ相應的切線方程為y—J=%（x—%,即y=x°x—,

設點EQJ-4),由切線經過點E,得-4=引-［,即x；-2比o+2/-8=O,

設P，3，DQ［Z，］)，則W，%是/一2a+2-8=0的兩實數根，

可得%3+%=21,x3x4=21-8.

設M是尸。的中點，則相應勺=三產=心

則yM=%；"=1［募+?］=；［(無3+-2無3匕］，即=/一/+4,

乙乙\乙乙jI

直線PQ的方程為y_(/_/+4)=?x_/),即y=(x_l)+4,

所以直線PQ恒過定點(1,4).

變式2.(2024.安徽.高二合肥市第八中學校聯考開學考試)拋物線的弦與在弦兩端點處的

切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德三角形”.對于拋物線C：丁="2給出如下三個條

件：①焦點為《。，￡|;②準線為了=-)；③與直線力-1=0相交所得弦長為2.

(1)從以上三個條件中選擇一個，求拋物線C的方程；

(2)已知，ASQ是(1)中拋物線的“阿基米德三角形”，點。是拋物線C在弦A2兩端點處的

兩條切線的交點，若點。恰在此拋物線的準線上，試判斷直線A8是否過定點？如果是，

求出定點坐標；如果不是，請說明理由.

【解析】(1)C：y=ox2gpC：x2=—y,

a

其焦點坐標為(0，；］,準線方程為y=-；,

I4〃J4〃

若選①，焦點為廠(0,3,則;=:，得

24〃22

所以拋物線的方程為f=2y；

1111

若選②，準線為丁=-彳，貝=)，得。=彳，

24a22

所以拋物線的方程為V=2y；

若選③，與直線2、-1=。相交所得的弦為2,

將y=:代入方程中，得x=±叵,

2a2a

即拋物線與直線2y-1=0相交所得的弦長為2乂叵=叵=2,

2aa

解得。=；，所以拋物線的方程為V=2y；

（2）設3（工2，%），切線/a。：y-x=Mx-xJ,

將其與C：x2=2y聯立得/一2日-x；+2g=。，

由A=（-2左J-4x（一片+2依）=0得左=外,

故切線乙0：y-y1=k（x-x1）f即y+%=x?%;

同理/碩:「+%=龍.尤2

又點-:滿足切線&?,/肥的方程,

1

一,+%=%0

即有

1

~2+y2=X°

故弦AB所在直線方程為y=x0-x+^,其過定點尸［o,g

變式3.（2024.湖北武漢.高二武漢市第四十九中學校考階段練習）已知拋物線C:y=flx2

（。是常數）過點尸（-2,2）,動點。過。作C的兩條切線，切點分別為A,B.

（1）求拋物線C的焦點坐標和準線方程;

⑵當1=1時，求直線AB的方程;

（3）證明：直線AB過定點.

【解析】（1）由點P代入得a=g,所以C的焦點為卜,；1,準線方程為y=-g；

（2）設4（%,X）,3（%2，%），此時貝!!x；=2%,x；=2為，

因為y=x,所以切線ZM的斜率的4=不，即“+2一丫-1,

玉一12

所以2%一2%+1=。(1)

同理可得2%-2%+1=0(2)

所以由（1）、（2）可得直線AB的方程為2x-2y+l=。；

法二：設其中一條切線的斜率為左（顯然存在），則切線方程為y+；=?x-l）,

,y+—=—1）z

由；2''得尤2—2區+2%+1=0,

、x2=2y

所以由A=0得左2—2左—1=0,女=1±,

不妨設ZM:y+g=Q_0）（無一1）,。3:,+；=（1+點）（尤_1）,

可解得A1一++應）

所以4B的斜率心=1,

得直線AB的方程為,=x-（1-y/2）l[]2x—2^+1=0

yi+

（3）由（2）知：2_r,所以2%-2%+1=0,

r-Ai

Xx-t

同理可得2/X2—2y2+1=0,

顯然直線AB經過定點（o，￡|.

變式4.（2024?全國?高三專題練習）已知動點尸在x軸及其上方，且點P到點尸（0,1）的距

離比到x軸的距離大1.

（1）求點P的軌跡C的方程；

（2）若點0是直線y=x-4上任意一點，過點。作點尸的軌跡C的兩切線QA、QB,其中

為切點，試證明直線AB恒過一定點，并求出該點的坐標.

【解析】（1）設點尸則歸耳=田+1,即jY+（y-l）2=3+1

化簡得r=2可+2y

'：y>Q：.x2=4y.

點尸的軌跡方程為V=4y.

（2）對函數y=4/求導數/=」院

42

設切點（%，%）,則過該切點的切線的斜率為;七,

；?切線方程為y_%=3%0(彳_%0)=5%0尤-J%；=5"。彳_2yo-

即x0x-2y-2y0=0,

設點。“J-4),由于切線經過點。,

txQ—2y0—2(?-4)=0

設4(士,%),以%,%)，則兩切線方程是/-2%-2Q—4)=0,tx2—2y2—2(/-4)=0,

所以過A,2兩點的直線方程是江-2y-2(-4)=0,

即r(x_2)+8_2y=0(*)

.?.當x=2,y=4時,方程(*)恒成立.

對任意實數t,直線AB恒過定點(2,4).

題型二：交點的軌跡問題

例4.(2024?全國?高三專題練習)已知拋物線C的頂點為原點，其焦點/(0,c)(c>0)到直

線/:x-y-2=0的距離為逑.

2

(1)求拋物線C的方程；

⑵設點尸(不，為)為直線/上一動點，過點尸作拋物線C的兩條切線a,PB,其中A,B

為切點，求直線的方程，并證明直線A3過定點Q；

(3)過(2)中的點。的直線〃，交拋物線C于A,8兩點，過點A,3分別作拋物線C的切

線4，L求4，4交點M滿足的軌跡方程.

【解析】(1)設拋物線的方程為Y=2py,

V拋物線C的焦點b(0?(c>0)到直線/：ay-2=0的距離為呼,

號二1=述，解得。=1或c=_5(舍去)，

V22

；?4=1,P=2,

2

???拋物線C的方程為％2=4〉.

丫2丫2Y

(2)設戶(%,%-2),設切點為(羽5)，曲線c：y=q,y'=~,

則切線的斜率為Z'。'=y=二，化簡得%2-2x0x+4%-8=0,

x-x02

設A(±,予,8(%予，則X],巧是以上方程的兩根，

貝U石+%=2%o,xxx2=4x0-8,

_44_%+丁2_員，

二一芭_二-4一萬

直線的方程為：y-j吟(X—),整理得y=￡X-寫+J,

22

???切線B4的方程為丫-二=五。-%)，整理得y=±x-工，且點P(%,%)在切線B4

4224

上，

：.y0=^x0-^-,即直線4?的方程為：y='x-%,化簡得x°x-2y-2%=0,

又,.?%=%0_2,x0(x—2)—2y+4=0,

故直線A3過定點。Q,2).

(3)設A(芭，[),B(%,亨)，

過A的切線過B的切線y=/(xf)+與，

則交點”(中，號)

24

設過。點的直線為y=-x-2)+2,

聯立[，2一夕―2)+2,得出+8左—8=0,

[x2=4y

xx+x2=4k,x^x2=8k—2,

.?.M(2k,2k-2),

??.y=x-2.

???點/滿足的軌跡方程為x-y-2=o.

例5.(2024?全國?高三專題練習)已知拋物線C:/=4y的焦點為尸，過點尸作直線/交拋

物線C于A、B兩點；橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，點尸是它的一個頂點，且其

離心率e=-

2

⑴求橢圓E的方程;

⑵經過A、B兩點分別作拋物線C的切線乙、3切線4與4相交于點證明：點“定

在直線y=T上；

⑶橢圓E上是否存在一點AT,經過點必作拋物線C的兩條切線MTV、M'B'（A,/為切

點），使得直線A笈過點/？若存在，求出切線ATA、MB的方程；若不存在，試說明理

由.

22

【解析】（1）設橢圓E的方程為，+2=1,半焦距為c.由己知有尸（。,1）,

ab

.".b—l,e=3=$~,a1=b2+c2>解得a=2,b—1.

a2

橢圓E的方程為《+丁=1.

4

（2）顯然直線/的斜率存在，否則直線/與拋物線C只有一個交點，不合題意，

故可設直線I的方程為y=kx+1,A（占，%）,8（%,%）（占豐X2）,

與拋物線方程聯立，消去丁，并整理得，x2-4kx-4=0,則占％=-4.

拋物線的方程為y=求導得V

，過拋物線上A,8兩點的切線方程分別是y-y=3（x-&），y-y2=^-x2（x-x2）,即

112112

y=-xIx--x[,y=-x2x--X2

解得兩條切線的交點〃的坐標為（七三，T）,

二點M在直線y=-i上.

（3）假設存在點“滿足題意，

由（2）知：AT必在直線y=-l上，又直線y=-l與橢圓有唯一交點，故M的坐標為（0,

-1）,

設過M'且與拋物線C相切的切線方程為y-%=-尤。），其中（%,%）為切點.

令x=0,y=-l得，-1-；*=；%（0-%）,解得X。=2或為=-2,

故不妨取A'（-2,1）.B<2,1）,即直線A笈過產.

綜上，橢圓E上存在經過“作拋物線C的兩條切線MA、為切

點），能使直線A笈過

此時，兩切線的方程分別為y=-x-1和y=x-l.

例6.(2024?全國?高三專題練習)已知動點。在x軸上方，且到定點/(0,1)距離比到x軸

的距離大1.

(1)求動點。的軌跡C的方程；

(2)過點尸(1,1)的直線/與曲線C交于A,3兩點，點A,3分別異于原點。，在曲線C

的A,B兩點處的切線分別為4，4,且4與4交于點用，求證：/在定直線上.

【解析】(1)設Q(x,y)(y>0),

則有—。=1,化簡得/=分(k0),

故軌跡C的方程為/=4y("0).

(2)由題意可知，直線/的斜率存在且不為1,

設直線/的方程為V=左。-1)+1(b1)與f=4y

聯立得X2—4kx+4左-4=0,

則%+%=4左，%々二4左一4,

又y=所以y=：,

42

所以切線4的方程為y=5(尤-%)+%,

即片受了一片，

24

同理切線k的方程為y=三工-反

24

聯立得X=^^=2左，y=^=k-l.

兩式消去％得x-2y-2=0,

當k=1時，x=2,y=。，

所以交點M的軌跡為直線尤-2了-2=0,去掉(2,0)點.

因而交點”在定直線上.

變式5.(2024?全國?高三專題練習)已知動點尸與定點廠(1,0)的距離和它到定直線/:x=4

的距離之比為記尸的軌跡為曲線C

⑴求曲線C的方程；

⑵過點M（4,0）的直線與曲線C交于AI兩點，氏。分別為曲線C與x軸的兩個交點，直

線AR,BQ交于點N,求證:點N在定直線上.

【解析】⑴設動點尸（x,v）,

:動點尸與定點尸（1,0）的距離和它到定直線/：X=4的距離之比為

...J（xT）2+J]_,整理得3必+4丫2=12,

|x-4|2

???曲線C的方程為片+￡=1；

43

（2）設B（x2,y2）,及（時,〃），直線方程"=〃9+4,

x=my+4

與橢圓方程聯立*,整理得：（3病+4）/+24切+36=0,

----1----=1

[43

A=24"-4x36（3m2+4）=144（m2-4）>0,

由韋達定理得：yy=--,y,+y=-—,化簡得：加y%=-彳（％+%），

t23m+423m+42

由已知得R（—2,0）,。（2,0）,

則直線L的方程為y=dy（x+2）,直線1BQ的方程為y=三（尤-2）,

x+2)

3

聯立直線1AR和1BQ：代入相乂必=-]（%+%）,玉=myx+4、

>=已卜-2）

X[一乙

/+2""y?+6%

々=加%+4可得:=一3,化簡可得：4=1,

X'N-2，孫女+2%

所以N點在一條定直線上.

變式6.（2024.全國?高三專題練習）已知點尸為拋物線C:/=2處（°>0）的焦點，點M、

N在拋物線上，且M、N、尸三點共線.若圓尸：。-2）2+。-3>=16的直徑為MM

U）求拋物線C的標準方程；

（2）過點/的直線/與拋物線交于點A,B,分別過A、B兩點作拋物線C的切線工

k，證明直線4，4的交點在定直線上，并求出該直線.

【解析】（1）由題可知MN中點為尸（23）,設M、N到準線的距離分別為4，力.尸到準

線的距離為d,

則4二為+^=^^，由拋物線定義得d2=\NF\,所以4+4=|腦V|=8,

所以“+~|=4,即O=2x（4-%）=2.

所以拋物線C的標準方程為x2=4y.

、、y2,y

（2）設AQ,yJ,3（%,%），由Y=4y,得了=彳，則成=萬，

所以直線4的方程為y-無=之（了-七），直線人的方程為尸治=/（＞%）,

..一+尤2,

聯立4，4方程得＜X；，即4，4的點坐標為（七連，竽］

因為/過焦點尸（。，1）,

由題可知直線/的斜率存在，所以設直線/方程為，=丘+1,

與拋物線d=4y聯立得Y-4版-4=0,

所以西無2=-4,＞=竽=_1,

所以直線4，4的交點在定直線y=T上.

變式7.（2024.全國?高三專題練習）下面是某同學在學段總結中對圓錐曲線切線問題的總

結和探索，現邀請你一起合作學習，請你思考后，將答案補充完整.

⑴圓0:/+產=/上點膨（4,幾）處的切線方程為.理由如下：.

22

⑵橢圓二+七=1（。＞6＞0）上一點（%,%）處的切線方程為二

ab

⑶尸（加,〃）是橢圓Z：?+y2=l外一點，過點尸作橢圓的兩條切線，切點分別為A,B,如

圖，則直線A3的方程是—.這是因為在人（%,%）,8（%,%）兩點處，橢圓L的切線方

程為誓+%丁=1和等+%y=l.兩切線都過尸點，所以得至IJ了歿+乂〃=1和罟+%〃=1，

由這兩個“同構方程”得到了直線AB的方程;

y—n=k（^x—ni）,由〈？i，（1+3k2）x2+6k{n—hn）x+3（n—kni）~—3=0,化簡得

［『+3y=3

△=0,得（3-療）/+2〃"加+1-1=0.若則由這個方程可知尸點一定在一個圓

上，這個圓的方程為—.

（5）拋物線/=2px{p>0）上一點（%,為）處的切線方程為yoy=P（.X0+x）.

（6）拋物線C:/=4y,過焦點尸的直線/與拋物線相交于A,8兩點，分別過點A,8作

拋物線的兩條切線4和4,設鞏%,%）,則直線《的方程為中=2（乂+"直線

6的方程為三工=2（%+丫），設4和6相交于點則①點”在以線段A3為直徑的圓上；②

點M在拋物線C的準線上.

【解析】（1）圓。工+必=產上點〃&,九）處的切線方程為皿+/產匕

理由如下：

k-G=T

①若切線的斜率存在，設切線的斜率為％,則%_>，

KOM—一

L/

所以左=-血，

%

又過點〃（々,幾），

由點斜式可得，九。），

%

22

化簡可得，%y+xox=x0+y0,

又無。2+%2=產，

所以切線的方程為為y+x0x=/；

②若切線的斜率不存在，則”（土r,0）,

此時切線方程為x=±r.

綜上所述，圓O：-+>2=/上點〃（知九）處的切線方程為%/+5.

（2）①當切線斜率存在時，設過點（5,%）的切線方程為》=后+機,

y=kx+m

聯立方程/2得(〃+a2/)/+2kma2x+crtn2-a2b2=0,

[a2b1

A=0,即(2kma?)?-4(b2+a2k2)(aW-a2b2)=0,

a2k2-m2+b2=0,

-2kma2-2ka2

又玉+%-2%=

b2+a2k2m

b2

把飛="代入丁=丘+加中，得加二—

m%

._,_?/()b2

..y=kxYYI——------1-----,

〃為為

化簡得岑+萼=1.

ab

②當切線斜率不存在時，過（七,%）的切線方程為X=±Q,滿足上式.

綜上，橢圓上一點a。,為）的切線方程為：號+^=L

（3）在A&,yJ,3（%,%）兩點處，橢圓L的切線方程為W+%y=l和等+%y=l,

因為兩切線都過尸點（%,〃），

所以得到了苦+邛=1和皆+%〃=1,

由這兩個“同構方程”得到了直線的方程為與+利=1；

（4）問題（3）中兩切線B4,PB斜率都存在時，設它們方程的統一表達式為

y—n=k（x—ni）,

[y-n=k(x-m)

由。+39=3可得(1+3k2)x2+6k(n-km)x+3(〃-km)2-3=0,

由A=0,可得（3—根2）/+2加成+1—/=（）（*）,

因為PA±PB,

則kpA，kpB=-1,

所以(*)式中關于左的二次方程有兩個解，且其乘積為-1,

1_?2

則勺,左2=^---T=-l，

3-m

可得加2+“2=4,

所以圓的半徑為2,且過原點，其方程為/+丁=4.

題型三：切線垂直問題

例7.(2024?全國?高三專題練習)已知拋物線C的方程為V=4y,過點尸作拋物線C的兩

條切線，切點分別為A,B.

(1)若點P坐標為求切線尸AM的方程；

(2)若點尸是拋物線C的準線上的任意一點，求證：切線和網互相垂直.

【解析】(1)由題意，開口向上的拋物線的切線斜率存在，設切線斜率為3

點尸坐標為(O,T),過點尸的切線方程為

聯立方程,：，消去y,得——4履+4=0,

(y-kx-Y

由A=16左2一16=0,解得左=±1,

所以切線PA,PB的方程分別為廣無-1和產-x-l,

即切線方程分別為x-yT=。和x+y+l=。；

(2)設點尸坐標為a-1),切線斜率為左,過點尸的切線方程為y=%(xT)T,

聯立方程]，，消去兀得——4區+4仲+1)=0,

3=左(尤一)-1

由A=16F—16(6+1)=0,得左2一次一1=0,記關于左的一元二次方程獷一改一1=0的兩根

為k\,k],

則。右分別為切線PAM的斜率，由根與系數的關系知匕向=-1,

所以切線R4和PB互相垂直.

例8.(2024.全國?高三專題練習)已知拋物線C的方程為爐=4>,點尸是拋物線C的準線

上的任意一點，過點尸作拋物線C的兩條切線，切點分別為A8,點”是A5的中點.

(1)求證：切線以和PB互相垂直；

(2)求證：直線尸田與y軸平行；

(3)求一一面積的最小值.

【解析】(1)由題意，開口向上的拋物線的切線斜率存在.

設點尸坐標為億-1),切線斜率為左，過點尸的切線方程為y=Mx-r)-1,

x2=4y

聯立方程，\「

y=k[x-t)-l

消去得f-4履+4gl)=0,

由A=16產—16他+1)=0,得-1=0,

記關于左的一元二次方程左2-伏_1=0的兩根為人段,

則。區分別為切線PA,PB的斜率，由根與系數的關系知左/2=T，

所以切線和PB互相垂直.

⑵設點A不:]]卜號；由1=4y,知y=:/,則/=

所以過點A的切線方程為丫=3-占)=手，

將點?,T)代入，化簡得#-2%-4=0,

同理可得x；-2tx2—4=0,

所以X，三是關于x的方程/-2比-4=0的兩個根，

由根與系數的關系知占+尤2=2乙

所以弋強=/,即A3中點M的橫坐標為乙

而點p的橫坐標也為/,所以直線PM與y軸平行.

(3)點則|尸叫=日產+1,

則SAPAB=占一元21=；X(,+1]X上一龍21，

ZZ^o]

由（2）矢口，x,+%2=2t,xtx2=-4,

2

則+x；=4/2+8,jjq—x2|=y/4t+16,

x523

^APAS=|fv^+lV|^-^|=1(^+4)#+4=1^+4),

當f=0時，—RIB面積的最小值為4.

例9.(2024?全國?高三專題練習)已知中心在原點的橢圓一和拋物線匕有相同的焦點

(1,0),橢圓口的離心率為拋物線L的頂點為原點.

⑴求橢圓一和拋物線r2的方程;

⑵設點P為拋物線L準線上的任意一點，過點P作拋物線L的兩條切線B4,PB,其中

為切點.設直線24,P3的斜率分別為K，k2,求證：左他為定值.

22

r2

【解析】(1)設橢圓和和拋物線「2的方程分另U為0+與=1(。＞6＞0)，y=2Px,

ab

(P＞0),

橢圓口和拋物線72有相同的焦點(1，。)，橢圓口的離心率為

C_1

a~2a=2

，＜c=l,解得＜c=l,:.b/a2-c?=阻==6

￡=1|p=2

2

橢圓r.的方程為［+；=1，拋物線匕的方程為y2=4x.

(2)由題意知過點P與拋物線＞2=4無相切的直線斜率存在且不為0,設P(-U),則切線

方程為yT=Z(x+l)(?。)，

[y-t=k(x+l)44t

聯立2,，消去q得y0—尸+一+4=0,

[y=4xkk

由△=_4（/+4）=0,得上2+伏_]=0,

直線以1,PB的斜率分別為尤，k2,:.^2=-1,

左/2為定值.

變式8.(2024?全國?高三專題練習)已知中心在原點的橢圓CI和拋物線C?有相同的焦點

(1,0),橢圓G過點G1,￡|,拋物線c?的頂點為原點.

(1)求橢圓G和拋物線C的方程;

(2)設點尸為拋物線準線上的任意一點，過點P作拋物線G的兩條切線出，PB,其中

A,8為切點.

①設直線B4,PB的斜率分別為尤，k2,求證：尤自為定值;

②若直線A8交橢圓C1于C,。兩點，SPAB,Spco分別是..RW,PCD的面積，試問:

s

一是否有最小值？若有，求出最小值；若沒有，請說明理由.

、PCD

22

【解析MD設橢圓G和拋物線Q的方程分別為3+4=1(。>6>0)和丁=2px,

ab

（P>0）,

中心在原點的橢圓G和拋物線c?有相同的焦點(1,0),橢圓G過點G]I.

拋物線C?的頂點為原點.

c-\

9

J-+A=i

a2b2,解得a=2,b=百，P=2,

a2=b2+1

R=i

I2

2

橢圓C1的方程為:+；=1,拋物線C2的方程為y=4x.

證明：⑵①設P(-M),過點尸與拋物線y?=4x相切的直線方程為yT=Z(x+l),

1=巾+1)4At

由1,2=4無，消去尤得y2__y+—+4=0,

yK

BPk2+tk-l=0,

..~—1.

②設，

2211

由①得%=7，%=y,則占=7_T，%=7_T，

?V|/\,2?Vj/\,2

2

直線54的方程為y-x="^紅-&)，gpy=---/(x-1),

直線A2過定點(1,0).

2

以A為切點的切線方程為y-X=—(x-Xj),即y1j=2(x+x1),

同理以B為切點的切線方程為％y=2(x+電)，

兩條切線均過點尸(-M),

(Pi-2(—1+玉)

<

ty2=2(-[+