第06講估算和用計(jì)算器開方（3種題型）

坐【知識梳理】

一.實(shí)數(shù)大小比較

實(shí)數(shù)大小比較

（1）任意兩個實(shí)數(shù)都可以比較大小.正實(shí)數(shù)都大于0,負(fù)實(shí)數(shù)都小于0,正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個負(fù)實(shí)

數(shù)比大小，絕對值大的反而小.

（2）利用數(shù)軸也可以比較任意兩個實(shí)數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實(shí)數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原

點(diǎn)左側(cè)，絕對值大的反而小.

二.估算無理數(shù)的大小

估算無理數(shù)大小要用逼近法.

思維方法：用有理數(shù)逼近無理數(shù)，求無理數(shù)的近似值.

三.計(jì)算器一數(shù)的開方

正數(shù)a的算術(shù)平方根a與被開方數(shù)a的變化規(guī)律是：

當(dāng)被開方數(shù)a的小數(shù)點(diǎn)每向左或向右平移2位時(shí)，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)也相應(yīng)向左或向右平移1位，

即a每擴(kuò)大（或縮小）100倍，。相應(yīng)擴(kuò)大（或縮?。?0倍.

W【考點(diǎn)剖析】

一.實(shí)數(shù)大小比較（共16小題）

1.（2023?福鼎市模擬）在實(shí)數(shù)TT,0,-1中，最小的數(shù)是（）

A.-1B.0C.A/3D.TT

【分析】正數(shù)>0>負(fù)數(shù)，據(jù)此進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：由題意可得-1,

則最小的數(shù)是-1,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)的大小比較，此為基礎(chǔ)且重要知識點(diǎn)，必須熟練掌握.

2.（2023春?梁山縣期中）比較下列各組數(shù)中兩個數(shù)的大小，正確的是（）

A.-3>-V3B.C.D.V8>2V2

234

【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)比較大小的方法，平方法，負(fù)數(shù)的絕對值大的反而小，逐一進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：432=9,（V3）2=3--,-3>V3,A-3<-V3,選項(xiàng)錯誤，不符合題意；

B、|-=1+1>1,選項(xiàng)錯誤，不符合題意；

a1>1,_A<-1,選項(xiàng)正確，符合題意；

3434

D、V8=2A/2.選項(xiàng)錯誤，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)比較大小.熟練掌握比較實(shí)數(shù)大小的方法是解題的關(guān)鍵.

3.（2023嘟州區(qū)校級模擬）同表示不超過。的最大整數(shù).若實(shí)數(shù)a滿足方程@出2+^口，則同=

（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】根據(jù)二次根式的非負(fù)性解決此題.

【解答】解：由題意得，1-a-—^0,a20.

aa

[a]=l.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查二次根式的非負(fù)性，熟練掌握二次根式的非負(fù)性是解決本題的關(guān)鍵.

4.（2022秋?海口期末）比較26，3,夜的大小，正確的是（）

A.V7<3<2A/2B.2-72<V7<3C.W<2&<3D.2讓<3<夜

【分析】分別算出2加，曲，3的平方，即可比較大小.

【解答】解：（W5）2=8,32=9,（77）2=7,

V7<8<9,

:而<啦<3,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)大小比較，解決本題的關(guān)鍵是先算出3個數(shù)的平方，即可比較大小.

5.（2022秋?和平區(qū)校級期末）已知a=-5&,b=-2遙，則a與b的大小關(guān)系是（）

A.a<bB.a>bC.a=bD.無法確定

【分析】把根號外面的數(shù)移到里面，再根據(jù)負(fù)數(shù)比較大小的法則進(jìn)行比較即可.

【解答】解：a=-572=一'嵌，b=-2炳=-歷,

V50>20,

.,?屈>倔，

???-屈<-V20）

；?-5V^<-

：.a〈b.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)的大小比較，掌握正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)是關(guān)鍵.

6.（2023?光山縣三模）寫出一個大于5小于6的無理數(shù)：—缶

【分析】根據(jù)5=>/云，6=^36）寫出一個大于5小于6的無理數(shù)可以是岳，注意答案不唯一.

【解答】解：寫出一個大于5小于6的無理數(shù)：V26.

故答案為：V26.

【點(diǎn)評】此題主要考查了無理數(shù)的特征和應(yīng)用，以及實(shí)數(shù)大小比較的方法，注意答案不唯一.

7.（2023春?富川縣期中）比較大?。?灰+1<-Y3（填“>”、“<”或“=”）

2

【分析】應(yīng)用放縮法，判斷出-V5+1與-返■的大小關(guān)系即可.

2

【解答】解：：-，兀+1<-2+1=-1,-叵>-1,

2

-75+1<-匹.

2

故答案為：<.

【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，注意放縮法的應(yīng)用.

8.（2023春?龍子湖區(qū)期中）比較大?。罕?1>?!（填

33

【分析】首先確定通-1與1的大小，進(jìn)行比較即可求解.

【解答】解：：4<5<9,

.-.2<V5<3,

?,.1<V5-1<2,

?V5-l^1

.,一―3"

故答案是：>.

【點(diǎn)評】此題主要考查了無理數(shù)的估算能力，此題把它們的減數(shù)變成和被減數(shù)相同的形式，然后只需比

較被減數(shù)的大小.分母相同時(shí)，分子大的大.

9.（2023?雁塔區(qū)校級模擬）比較大小：2^<4（填或"=

【分析】先估算2近的值，然后判斷即可.

【解答】解：〈百〈2,

?,.2<2A/3<4,

；.2近<4.

故答案為：V.

【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，算術(shù)平方根，熟練準(zhǔn)確估算無理數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵.

10.（2023?臨沐縣一模）比較大小3-疾<上.

22

【分析】先估算出我的范圍，再求出生近的范圍，再得出答案即可.

2

【解答】解：〈遙〈3,

-2>--3,

/.1>3-遍>0,

3-遙>0,

22

即3一遍

22

故答案為：<.

【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小和實(shí)數(shù)的大小比較，能估算出泥的大小是解此題的關(guān)鍵.

11.（2022秋?宜陽縣期末）將下列各數(shù)按從小到大的順序排列，并用號連接起來：

2&,返，,0,-1.7.

2

【分析】利用1T的近似值可比較上和-1.7,再根據(jù)無理數(shù)的估算方法可得出粕<2>巧，進(jìn)而得出

2

-1.7<今<0<V5<2^2-

【解答】解：???旦生<工，

22

—.1.7/<―n―'

又,：灰）2=5<（2&）2=小

:正<啦,

-1.7<<2/2-

【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)的大小比較.將無理數(shù)的大小比較轉(zhuǎn)化為整數(shù)大小的比較是解題關(guān)鍵.

12.（2022秋?晉州市期中）已知如下信息：

①實(shí)數(shù)。有兩個不同的平方根，分別是x-1和7-3尤；

②a+b的立方根是3；

③c的相反數(shù)是-5.

請解決以下問題：

（1）求出a,b,c的值；

（2）比較后I與c的大小，直接寫出結(jié)果.

【分析】（1）根據(jù)平方根、立方根和相反數(shù)的定義即可得到a,b,c的值；

（2）先求出后L再與c比較大小即可求解.

【解答】解：（1）:實(shí)數(shù)。有兩個不同的平方根，分別是龍7和7-3x,

Ax-1+7-3x=0,

解得了=3,

則a=（3-1）2=4；

'：a+b的立方根是3,

???4+6=27,

解得6=23；

??7的相反數(shù)是-5,

??c==5；

（2）V7^1^^23-4=719.c=5,V19<5,

?*-Vb-a<c-

【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)大小比較，平方根、算術(shù)平方根、立方根和相反數(shù)，關(guān)鍵是求出a,b,c的值.

13.（2021秋?山亭區(qū)期末）數(shù)學(xué)課上，老師出了一道題：比較運(yùn)二2與2的大小.

33

小華的方法是：

因?yàn)槎v>4,所以>2,所以內(nèi)一2>2（填“>，，或“<，，）；

33

小英的方法是：

運(yùn)二2-2=垣二2，因?yàn)?9>42=16,所以W5-4>0,所以>0,所以丁歷-2

33333

>2（填“〉”或

一3

（1）根據(jù)上述材料填空；

（2）請從小華和小英的方法中選擇一種比較返二1與工的大小.

42

【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)即可解答；

（2）仿照例題的方法進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：（1）小華的方法是：

因?yàn)榉?gt;4,所以，歷-2>2,所以運(yùn)二2>2,

33

小英的方法是：

叵二2一2=叵二上,因?yàn)?9>4?=16,叵二2-2=叵二±,因?yàn)?9>4?=16,所以任-4>

333333

0,所以逐二1>0,所以'五一2〉2,

333

故答案為：>,>,>,>,>；

（2）如果選擇小華的方法，

?:娓<3,

.-1<2,

如果選擇小英的方法，

巫-1_1=付1-2=巫-3

424~4

V6<9,

:.娓<3,

:.娓-3<0,

AV6-3<0)

4

【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)大小比較，熟練掌握作差法比較大小的方法是解題的關(guān)鍵.

14.（2022春?沸北區(qū)期末）觀察表格,回答問題：

a???0.00010.01110010000???

4???0.01X1y100???

（1）表格中x=0.1,y=10；

（2）從表格中探究。與心數(shù)位的規(guī)律，并利用這個規(guī)律解決下面兩個問題：

①已知則6000。31.6；

②已知在=8.973,若企=897.3,用含式的代數(shù)式表示b,則b=10000〃？；

（3）試比較與。的大小.

當(dāng)0<。<1時(shí),當(dāng)。=1或0時(shí),\/~a—a；當(dāng)時(shí),-\/-3.<a.

【分析】（1）由表格得出規(guī)律，求出x與y的值即可；

（2）根據(jù)得出的規(guī)律確定出所求即可；

（3）分類討論。的范圍，比較大小即可.

【解答】解：（1）x=V0.01=0.1，y=V100=10.

故答案為：0」；10；

（2）①根據(jù)題意得：71000-^31.6.

②結(jié)果擴(kuò)大100倍，則被開方數(shù)擴(kuò)大10000倍，

.*./?=10000m.

故答案為：31.6；10000m；

（3）當(dāng)4=0或1時(shí)，

當(dāng)OVQVI時(shí)，

當(dāng)〃=1或0時(shí)，Va—

當(dāng)a>l時(shí)，

故答案為：OVaVl,。=1或0,a>\.

【點(diǎn)評】此題考查了實(shí)數(shù)的比較，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵.

15.（2022秋?方城縣月考）（1）用或“="填空：如《6,匹〈娓;

（2）由以上可知：①|(zhì)J"訪f/TF1=—V17^V16—，②IVn-l-Vii1=_Vn^Vn-1.

（3）計(jì)算：|1-V2I+IV2-V3I+IV3-V41+……（結(jié)果保留根號）

【分析】（1）根據(jù)被開方數(shù)越大，它的算術(shù)平方根就越大比較即可；

（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉絕對值符號即可；

（3）先去掉絕對值符號，再算加減即可.

【解答】解：（1）V3<4,5<6,

:.如<其,近<娓；

故答案為：v,V;

（2）V16-V170,Vn-1

①I?-717I=717-V16；

I②IVn-1-Vnl=Vn-Vn-1；

故答案為：A/17-V16-Vn-Vn-1；

（3）-1+V3-V2+V4-V3+"-+Vn+l-Vn

=Vn+l-1-

【點(diǎn)評】本題考查了算術(shù)平方根，絕對值和二次根式的加減，能正確去掉絕對值符號是解（2）（3）的關(guān)

鍵.

16.（2021秋?正定縣期中）已知我+1在兩個連續(xù)的自然數(shù)。和。+1之間，1是方的一個平方根.

（1）求a,b的值；

（2）比較a+b的算術(shù)平方根與泥的大小.

【分析】（1）利用“夾逼法”求得。的值，由平方根的定義求得b的值，代入計(jì)算即可；

（2）利用（1）的結(jié)果進(jìn)行比較即可.

【解答】解：（1）V4<8<9,

?*.2<V8<3.

又我+1在兩個連續(xù)的自然數(shù)a和a+l之間，1是b的一個平方根，

.*.a=3,b=l；

（2）由（1）知，〃=3,b=l

q+/?=3+l=4,

a+b的算術(shù)平方根是：2.

V4<5,

.,.2<V5.

【點(diǎn)評】本題主要考查的是估算無理數(shù)的大小，掌握估算無理數(shù)大小的方法是解題的關(guān)鍵.

二.估算無理數(shù)的大?。ü?9小題）

17.（2023春?鼓樓區(qū)校級期末）比,花大且比JT1小的整數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】分別判斷通和小五在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間，繼而得出答案.

【解答】解：；4<5<9<11<16

.\2<V5<3<V11<4.

???比旗大且比丁五小的整數(shù)是3,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查無理數(shù)的估算，此為基礎(chǔ)且重要知識點(diǎn)，必須熟練掌握.

18.（2023春?梁子湖區(qū)期末）一個正方形的面積是60,那么它的邊長在哪兩個相鄰的整數(shù)之間（）

A.5和6之間B.6和7之間C.7和8之間D.8和9之間

【分析】先求出正方形的邊長，再估算出倔的范圍，即可得出選項(xiàng).

【解答】解：正方形的邊長為洞，

""'7<V60<8,

.?.正方形的邊長在7和8之間，

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小和算術(shù)平方根，能估算出倔的范圍是解此題的關(guān)鍵.

19.（2023?臺兒莊區(qū)模擬）正整數(shù)人6分別滿足殯強(qiáng)，V2<b<V7,則〃=（）

A.16B.9C.8D.4

【分析】結(jié)合已知條件，利用無理數(shù)的估算分別求得6的值，然后代入〃中計(jì)算即可.

【解答】解：：53<64<98,2<4<7,

,病<4<憫，&<2<懺

.??〃=4,b—2,

.*.^=24=16,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查無理數(shù)的估算，結(jié)合已知條件求得a,6的值是解題的關(guān)鍵.

20.（2023春?合江縣期中）絕對值小于揚(yáng)'的所有正整數(shù)的和是10.

【分析】根據(jù)無理數(shù)的估算方法得到4<亞<5,即亞的整數(shù)部分是4,由此得到正整數(shù)值，得到

答案.

【解答】解：：16<21<25,

4<V21<5,

，絕對值小于J五的所有正整數(shù)有1,2,3,4,

...和為10,

故答案為：10.

【點(diǎn)評】此題考查了無理數(shù)的估算，正確掌握無理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵.

21.（2023春?浦東新區(qū)校級期末）返在兩個連續(xù)的整數(shù)。和。之間（a<6）,則/=9.

【分析】先估算出泥的值的范圍，從而求出a,b的值，然后把a(bǔ),6的值代入式子中，進(jìn)行計(jì)算即可解

答.

【解答】解：V4<5<9,

.*.2<V5<3,

在兩個連續(xù)的整數(shù)。和b之間

??。=2,b=3,

.,.ba=32=9,

故答案為：9.

【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握完全平方數(shù)是解題的關(guān)鍵.

22.（2022秋?長安區(qū)校級期末）的小數(shù)部分為。，則。（a+4）=3.

【分析】先根據(jù)的范圍求出。的值，代入后進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解；：2<夜<3,

；.a=S-2,

..a（。+4）

=（V7-2）（V7-2+2）

=（V7-2）（J7+2）

=7-4

=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，二次根式的混合運(yùn)算，平方差公式的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求

出a的值.

23.（2022秋?永興縣期末）定義［劉為不大于尤的最大整數(shù)，如⑵=2,［依］=1，［4.1］=4,則滿足［4］=5，

則w的最大整數(shù)為35.

【分析】由題意得：5<J￡W6,然后利用平方運(yùn)算，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：由題意得：

??,5W4<6,

.?.25W〃<36,

：.n的最大整數(shù)為35.

故答案為：35.

【點(diǎn)評】本題考查了無理數(shù)的估算，掌握夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)是關(guān)鍵.

24.（2023?海淀區(qū)校級三模）已知人6為兩個連續(xù)整數(shù)，且小<6,貝Ua+b=5.

【分析】先估算出小的取值范圍，得出。，6的值，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【解答】解：：4<7<9,

/.2<V7<3.

「a、b為兩個連續(xù)整數(shù)，

.??〃=2,b=3,

〃+Z?=2+3=5?

故答案為：5.

【點(diǎn)評】本題考查的是估算無理數(shù)的大小，先根據(jù)題意求出。，》的值是解答此題的關(guān)鍵.

25.（2023春?孝昌縣期中）若小石的整數(shù)部分為m小數(shù)部分為b,求/如7^的值6.

【分析】求出。、b的值，代入計(jì)算即可.

［解答］解：vV9<V13<Vi6>

?,-3<A/I3<4,

又vV13的整數(shù)部分為。，小數(shù)部分為b,

.,.a=3,-3>

/.a2+b-A/13=9+V13-3--/13=6,

故答案為：6.

【點(diǎn)評】本題考查無理數(shù)的估算，表示出，石的整數(shù)部分和小數(shù)部分是正確計(jì)算的前提.

26.（2023春?臨潁縣期中）若6-的整數(shù)部分為了,小數(shù)部分為y,則（2x+、-W）y的值為3

【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)得出x,y的值，進(jìn)而估算后的取值范圍，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：：3<立§<4,

；.2<6-Vl3<3

，6-J石的整數(shù)部分為x為：2,小數(shù)部分為y=6-Jl§-2=4-百5，

故⑵+岳)y

=(4+、壓)X(4-V13

=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評】此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，正確得出S3的取值范圍是解題關(guān)鍵.

27.(2022秋?綏寧縣期末)已知返的整數(shù)部分是0,小數(shù)部分是b,則a-4的值為-聯(lián)

b

【分析】首先根據(jù)通的取值范圍得出。，6的值進(jìn)而求出即可.

【解答】解：???代的整數(shù)部分是a,小數(shù)部分是6,且2〈遙〈3,

??〃=2,b=4^>-2,

：.a-1=2--=1_=2-―遙+2-------=2-遍-2=-遍.

bV5-2(V5-2)(V5+2)

故答案為：-^5?

【點(diǎn)評】此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，得出a,b的值是解題關(guān)鍵.

28.(2023春?忠縣期末)已知實(shí)數(shù)a的平方根為2x+l,1-7x,/萬的整數(shù)部分為從

(1)求a,b的值；

(2)若的小數(shù)部分為c,求25a-(6+c)2的平方根.

【分析】(1)根據(jù)平方根的性質(zhì)列方程求得。的值，利用無理數(shù)的估算求得6的值即可；

(2)結(jié)合(1)中所求可得c的值，然后代入25a-(b+c)2中計(jì)算后求得它的平方根即可.

【解答】解：(1):實(shí)數(shù)。的平方根為2x+l,1-7x,

.*.2x+l+l-7x=0,

解得：x=—,

5

；.2X+1=9,

5

V16<17<25,

.\4<V17<5,

.*.Z?=4；

(2)V4<V17<5,

：.c=yj-17-4,

趾，b=4,

25

：.25a-(6+c)2

=25X生-(4+VI7-4)2

25

=81-17

=64,

???它的平方根為±8.

【點(diǎn)評】本題考查平方根的定義及性質(zhì)，無理數(shù)的估算，結(jié)合已知條件分別求得。，兒。的值是解題的

關(guān)鍵.

29.(2023春?常州期末)如圖1,已知紙片A是邊長為〃根的正方形，紙片8是相鄰兩邊長分別為切:、丁相

的長方形，且紙片A、B的周長相等.

①若x>6,求y的取值范圍；

②如圖2,以紙片B的相鄰兩邊為邊長分別向外作正方形C、D,若紙片B的面積比紙片A的面積小

10cm2,求C、。的面積之和；

(2)如圖3,將紙片4、8疊合在一起，記陰影部分的周長為

①2a+2無(用含尤、a的代數(shù)式表示)；

②若關(guān)于尤的不等式M<U恰有3個正整數(shù)解，則a的取值范圍是24<3.

【分析】(1)①依據(jù)題意，由A、8的周長相等，可得4a=2(x+y)=20,再由尤>6,可求出y的取值

范圍；

②由題意，孫=/-10,再由x+y=20,進(jìn)而可以得解；

(2)①由題意，表示出陰影部分周長即可得解;

②由①得，2x+2a<i2,再結(jié)合不等式12恰有3個正整數(shù)解，可以得解.

【解答】解：(1)①由題意，,「A、5的周長相等，。=5,

.?.4〃=2(x+y)=20.

.*.x=10-y.

又?.?x>6,

：.lQ-y>6.

：.y<4.

又y>0,

A0<y<4.

②由題意，xy=a2-10=25-10=15,

又??”+y=10,

.,./+>2=(x+y)2-2xy=100-30=70.

???C、。的面積之和為70.

(2)①由題意，陰影部分周長M=2〃+2(〃-y)+2y+2(%-〃)=2aUa-2y+2y+2x-2a=2a+2x,

故答案為：2a+2x.

②由①得，2x+2a<n,

.\x+a<6.

.,.x<6-a.

又不等式M<n恰有3個正整數(shù)解，

：.x<6-a恰有3個正整數(shù)解.

/.3<6-aW4.

；.2Wa<3.

故答案為：2Wa<3.

【點(diǎn)評】本題主要考查了整式的加減及一元一次不等式的應(yīng)用，解題時(shí)要能熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)

鍵.

30.(2023春?固始縣期末)下面是小李同學(xué)探索聲方的近似數(shù)的過程：

;面積為107的正方形邊長是而，且10<百而<11,

二設(shè)JI57=10+x,其中畫出如圖示意圖，

:圖中S正方形=102+2X10.X+/,S正方形=107

.?.102+2X10?X+/=107

當(dāng)/較小時(shí)，省略無2,得20x+100-107,得到x-0.35,即日方七10.35.

（1）J元的整數(shù)部分是8；

（2）仿照上述方法，探究J兩的近似值.（畫出示意圖，標(biāo)明數(shù)據(jù)，并寫出求解過程）

10x

10

【分析】（1）估算無理數(shù)J花的大小即可；

（2）根據(jù)題目所提供的解法進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：（1）VV64＜V76＜V81.即8＜伍＜9,

:?標(biāo)的整數(shù)部分為8,

故答案為：8；

（2）:面積為76的正方形邊長是折，且8＜5/花＜9,

.,.設(shè)^^=8+尤，其中0＜尤＜1,如圖所示，

;圖中s正方形—82+2X8,X+X2,S正方形=76,

：.82+2X8-X+X2=76,

當(dāng)了較小時(shí)，省略尤2,得16x+64弋76,得至（Jx-0.75,即8.75.

【點(diǎn)評】本題考查估算無理數(shù)的大小，理解題目所提供的解題方法是正確解答的前提.

31.（2023春?鶴峰縣期中）閱讀下面的文字，解答問題：大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小

數(shù)，因此近的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用血-1來表示近的小數(shù)部分，你同意小

明的表示方法嗎？事實(shí)上，小明的表示方法是有道理的，因?yàn)槲业恼麛?shù)部分是1,將這個數(shù)減去其整數(shù)

部分，差就是小數(shù)部分.又例如：V22<（V7）2<32,即2<丁7<3,我的整數(shù)部分為2,小數(shù)部

分為（曲-2）.

請解答：

（1）標(biāo)的整數(shù)部分是3,小數(shù)部分是J"五-3

⑵如果右的小數(shù)部分為。，/市的整數(shù)部分為b,求a+b-代的值.

【分析】（1）利用已知得出行的取值范圍，進(jìn)而得出答案；

（2）首先得出我，J3的取值范圍，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：（1）vV9<Vio<Vi6.

?，-3<5/l0<4,

???Wi的整數(shù)部分是3,小數(shù)部分是：V10-3；

故答案為：3,V10-3；

（2）VV4<V5<V9>

.,?通的小數(shù)部分為：。=弋后-2,

??,V36<V37<V49.

的整數(shù)部分為b=6,

：.a+b-辰=疾-2+6-遍=4.

【點(diǎn)評】此題主要考查了估計(jì)無理數(shù)，得出無理數(shù)的取值范圍是解題關(guān)鍵.

32.（2023春?前郭縣期中）己知a-4的立方根是1,3。-6-2的算術(shù)平方根是3,J石的整數(shù)部分是c,

求2〃-3/?+c的平方根.

【分析】首先根據(jù)立方根、算術(shù)平方根的概念可得〃-4與3〃-b-2的值，進(jìn)而可得〃、b的值；接著估

計(jì)J女的大小，可得C的值；進(jìn)而可得2a-3b+c,再根據(jù)平方根的求法可得答案.

【解答】解：；a-4的立方根是b3a-b-2的算術(shù)平方根是±4,

',a-4=1,3a-b-2=9,

解得：a=5,b=4；

又：3<W5<4,c是W5的整數(shù)部分，

?*.c=3；

貝I2a-3b+c=l；

故平方根為土L

【點(diǎn)評】此題主要考查了無理數(shù)的估算能力，掌握二次根式的基本運(yùn)算技能，靈活應(yīng)用.“夾逼法”是估

算的一般方法，也是常用方法.

33.(2023春?無為市期中)根據(jù)表格解答下列問題:

X1313.113.213.313.413.513.613.713.813.914

X2169171.61174.24176.89179.56182.25184.96187.69190.44193.21196

(1)190.44的平方根是±13.8

(2)V176.9^13.3,418769=137.

(3)若13.5<4<13.6,求滿足條件的整數(shù)〃的值.

【分析】(1)從表格中的對應(yīng)值，結(jié)合平方根的定義可得答案；

(2)將。18769轉(zhuǎn)化為。187.69義10,再根據(jù)表格中的對應(yīng)值得出4187.69的值即可;

(3)根據(jù)13.5<《<13.6,結(jié)合表格中對應(yīng)值可得”的取值范圍，再確定整數(shù)〃即可.

【解答】解：(1)由表格中的數(shù)據(jù)的對應(yīng)值可知，

(±13.8)2=190.44,

190.44的平方根為±>190.44=±13.8,

故答案為；±13.8；

(2)V13.32=176.89^176.9,

???V176.9^13.3,

V18769=V187.69x10=137,

故答案為：13.3,137；

(3)由表格中的對應(yīng)值可知，

當(dāng)13.5<曰<13.6時(shí)，182.25<〃<184.96,

二整數(shù)〃的值為183,184,

答：滿足條件的整數(shù)n的值為183或184.

【點(diǎn)評】本題考查平方根、估算無理數(shù)的大小，理解平方根的定義是正確解答的關(guān)鍵.

34.(2023?章貢區(qū)校級模擬)已知5a-2的立方根是-3,2a+b-1的算術(shù)平方根是4,c是/百的整數(shù)部

分，求3a+b+c的平方根.

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根，立方根的意義可得5〃-2=-27,2〃+8-1=16,從而求出〃，b的值，再估算

出，F(xiàn)的值，從而求出c的值，然后代入式子中進(jìn)行計(jì)算，求出3a+6+c的值，即可解答.

【解答】解：由題意得：

5a-2=-27,2a+b-1=16,

.?.〃=-5,b=Zl,

V16<17<25,

/.4<V17<5,

???JF的整數(shù)部分是4,

.*.c=4,

???3〃+b+c=3X(-5)+27+4=16,

；.3a+b+c的平方根是±4.

【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，平方根，立方根，熟練掌握平方根，立方根的意義是解題的關(guān)

鍵.

35.(2023春?仙游縣期中)觀察：V>/4<V7<V9,即2<J7<3,...小的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為

V7-2,請你觀察上述式子規(guī)律后解決下面問題.

⑴規(guī)定用符號㈤表示實(shí)數(shù)機(jī)的整數(shù)部分，例如：申=0,[川=3,填空：rV10+21=5；[5-VI3]

=1.

(2)如果5+J石的小數(shù)部分為a,5-的小數(shù)部分為6,求/-序的值.

【分析】(1)根據(jù)題目中所給規(guī)律即可得結(jié)果；

(2)把無理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別表示出來，再代入計(jì)算即可.

【解答】解：⑴[/10+2]=5；[5-713]=1.

故答案為5、1.

(2)根據(jù)題意，得

V3<V13<4,

/.8<5+V13<9,

-8=V13-3.

VI<5-Vl3<2

：.b=5--1=4-

.,.a+b—1,a-b—2.yfl3~7.

.,.a2-tr—(a+Z?)(a-&)

=2713-7.

答：的值為2岳一7.

【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)無理數(shù)的整數(shù)部分確定小數(shù)部分.

三.計(jì)算器一數(shù)的開方（共8小題）

36.（2021秋?鄭縣期中）利用計(jì)算器求40.059的值,正確的按鍵順序?yàn)椋ǎ?/p>

【分析】根據(jù)用計(jì)算器算算術(shù)平方根的方法：先按鍵“再輸入被開方數(shù)，按鍵“=”即可得到結(jié)果.

【解答】解：采用的科學(xué)計(jì)算器計(jì)算而■演，按鍵順序正確的是。選項(xiàng)中的順序.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的是利用計(jì)算器求算術(shù)平方根，正確使用計(jì)算器是解題的關(guān)鍵.

37.（2020?安丘市二模）用計(jì)算器求35值時(shí)，需相繼按“3”，“胃”，“5"，“=”鍵，若小穎相繼按“

“4”，，，"”“3"，“=”鍵，則輸出結(jié)果是（）

A.6B.8C.16D.48

【分析】計(jì)算器按鍵轉(zhuǎn)為算式（y）3,計(jì)算即可.

【解答】解：計(jì)算器按鍵轉(zhuǎn)為算式（?）3=23=8,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了計(jì)算器的使用，熟記計(jì)算器按鍵功能是解題的關(guān)鍵.

38.（2022秋?商水縣月考）甲同學(xué)利用計(jì)算器探索一個數(shù)x的平方，并將數(shù)據(jù)記錄如表:

X16.216.316.416.516.616.716.816.917.0

X2262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289

根據(jù)表求得282.24的平方根是土表.8

【分析】根據(jù)平方根的定義求解即可.

【解答】解:有表格可知，16.82=282.24,

16.8是282.24的算術(shù)平方根，

?*.282.24的平方根是±16.8,

故答案為：±16.8.

【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)的開方，做題的關(guān)鍵是掌握平方根的定義.

39.（2021秋?杏花嶺區(qū)校級期中）求一個正數(shù)的算術(shù)平方根，有些數(shù)可以直接求得，如也，有些數(shù)則不能

直接求得，如泥，但可以通過計(jì)算器求得，還有一種方法可以通過一組數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，運(yùn)用規(guī)律求得,

請同學(xué)們觀察表：

n0.00160.16161600160000

Vn0.040.4440400

（1）表中所給的信息中，能發(fā)現(xiàn)規(guī)律：被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向左或向右移動2位則它的算術(shù)平方根的小

數(shù)點(diǎn)就向向左或向右移動1位;

（2）運(yùn)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，探究下列問題：

①若"3.65F.910,V36.5^6,042,則“265000^604.2；

②已知/心0.000365,貝Ux一±0.0190.

【分析】（1）從被開方數(shù)和算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)的移動位數(shù)考慮解答；

（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律解答即可.

【解答】解：（1）由表格可以看出被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左或向右移動2位，算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就向左

或向右移動1位，

故答案為：向左或向右，1；

（2）①由（1）可知，被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動4位，算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就向右移動2位，

?.”36.5"6.042,

???-365000=604.2；

②由（1）可知，被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左移動4位，算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就向左移動2位，

,?'V3.65?1.910,X220.000365,

又..?一個正數(shù)的平方根有兩個，

二尤=±VO.000365=±0.0190.

故答案為：①604.2；②±0.0190.

【點(diǎn)評】本題考查了算術(shù)平方根，平方根以及規(guī)律型一數(shù)字的變化類，找出被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)的移動規(guī)

律是解題的關(guān)鍵.

40.（2021秋?通川區(qū)校級期中）利用計(jì)算器計(jì)算出的下表中各數(shù)的算術(shù)平方根如下：

…VO.0625VO.625“6.25V62.5V625V6250V62500…

…0.250.79062.57.9062579.06250…

根據(jù)以上規(guī)律，若Y1.69=1.30,716.9=4.11,則3據(jù)0=41.1.

【分析】先根據(jù)表格得到規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律確定結(jié)果.

【解答】解：由表格可以發(fā)現(xiàn)：被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)（向左或者右）每移動兩位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)

相應(yīng)的向相同方向移動一位.

,-,16.9X100=1690,

.,?V1690=V16.9X10=4.11X10=41.1.

故答案為：41.1.

【點(diǎn)評】本題考查了算術(shù)平方根和被開方數(shù)間關(guān)系，根據(jù)表格得到規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵.

41.（2023春?興寧區(qū)校級期末）閱讀下面材料，解答問題：

【問題情境】數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們開展“運(yùn)用規(guī)律求一個正數(shù)的算術(shù)平方根”的實(shí)踐活動.

【實(shí)踐探究】同學(xué)們利用計(jì)算器計(jì)算出下表中的算術(shù)平方根，整理數(shù)據(jù)如下：

…VO.0625VO.625逝.25V62.57625V6250V62500…

…0.250.7912.57.912579.1250???

（1）根據(jù)上述探究，可以得到被開方數(shù)和它的算術(shù)平方根之間小數(shù)點(diǎn)的變化規(guī)律是：若被開方數(shù)的小數(shù)

點(diǎn)向右或向左移動2位,則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或向左移動1位:

（2）已知爪=1.732,請運(yùn)用上述規(guī)律直接寫出各式的值：\/0.0R十0.1732,V300—17.32.

（3）你能根據(jù)正的值說出倔的值是多少嗎？請說明理由.

【分析】（1）由上表可得，可以得到被開方數(shù)和它的算術(shù)平方根之間小數(shù)點(diǎn)的變化規(guī)律；

（2）利用以上所得規(guī)律求解即可；

（3）根據(jù)計(jì)算，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：被開方數(shù)擴(kuò)大100倍，算術(shù)平方根擴(kuò)大10倍，根據(jù)規(guī)律，可得答案.

【解答】解：（1）由上表可得，可以得到被開方數(shù)和它的算術(shù)平方根之間小數(shù)點(diǎn)的變化規(guī)律是：若被開

方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或向左移動2位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或向左移動1位.

故答案為：2；1.

（2）利用以上所得規(guī)律可得：：?p1.732,

-'?VO.03^0.1732,7300^17.32.

故答案為:0.1732；17.32.

（3）:No.0625=0.25；y/o.625=0.791W6.25=2.5；{62.5-7.91；7625=25；V6250^79.057；

462500=25。，

???規(guī)律是：被開方數(shù)擴(kuò)大100倍，算術(shù)平方根擴(kuò)大10倍.

：?心1.732,

?'?VO.03^0.1732,7300^17.32.

根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，不能根據(jù)的值確定倔的值.

【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)的開方，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：被開方數(shù)擴(kuò)大100倍，算術(shù)平方根擴(kuò)大10倍是解題關(guān)鍵.

42.（2022?惠陽區(qū)校級開學(xué)）（1）用計(jì)算器計(jì)算：31-2=3

71111-22=33

7111111-222=333

?11111111-2222=3333

（2）觀察題（1）中各式的計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

（3）試運(yùn)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律猜想：3111111111-22222=33333,并通過計(jì)算器驗(yàn)證你的猜想.

【分析】（1）用計(jì)算器分別計(jì)算出各題的答案；

（2）再根據(jù)得出的答案找出規(guī)律，根號內(nèi)被開方數(shù)是2〃個數(shù)字1和"個數(shù)字2的差，結(jié)果為“個數(shù)字

3；

（3）利用（2）中規(guī)律得出答案，從而用計(jì)算器驗(yàn)證即可.

【解答】解：（1）-11-2=3,

?1111-22=33,

7111111-222=333,

711111111-2222=3333；

故答案為：3,33,333,3333；

（2）根據(jù)以上可以得出：根號內(nèi)被開方數(shù)是2〃個數(shù)字1和〃個數(shù)字2的差，結(jié)果為〃個數(shù)字3；

（3）試運(yùn)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可得：V11111111U-22222=33333.

故答案為：33333.

【點(diǎn)評】此題考查了數(shù)的開方，解題的關(guān)鍵是根據(jù)用計(jì)算器計(jì)算得出規(guī)律即根號內(nèi)被開方數(shù)是2〃個數(shù)字

1和w個數(shù)字2的差，結(jié)果為〃個數(shù)字3.

43.（2022?惠陽區(qū)校級開學(xué)）用計(jì)算器求下列各式的近似值（精確到0.01）：

⑴與+軻E

⑵VTixV2

【分析】利用計(jì)算器計(jì)算后按要求取近似值可得.

【解答】解：(1)原式Q人X2.236+1.260-3.142

2

?-0.76；

(2)原式-3.317X1.414X2.449

^11.49.

【點(diǎn)評】本題主要考查計(jì)算器-數(shù)的開方，解題的關(guān)鍵是掌握計(jì)算器的使用.

【過關(guān)檢測】

一、單選題

1.（2022秋?江蘇?八年級專題練習(xí)）己知。為整數(shù)，且滿足而<。<如，則。等于（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】估算無理數(shù)血和近的大小，進(jìn)而確定。的值即可.

【詳解】解：回2<*<3,3<V12<4,。為整數(shù)，且滿足而

回〃=3.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握估算無理數(shù)大小的方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)

鍵.

2.（2022秋?河南平頂山?八年級統(tǒng)考期中）用計(jì)算器求我的按鍵順序是（）.

A.V08=S0DB.x2870=S0D

C.4rJ^'=SEIDD.870x2=S0D

【答案】A

【分析】根據(jù)計(jì)算器的使用方法解答即可；

【詳解】解：計(jì)算器求退，先按?,再按8,則A選項(xiàng)符合題意.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了計(jì)算器的應(yīng)用，掌握計(jì)算器的基本操作是解答本題的關(guān)鍵.

3.（2023?全國?八年級假期作業(yè)）估計(jì)12的算術(shù)平方根介于（）

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

【答案】C

【分析】首先根據(jù)四<瘡<4語，即可得出12的算術(shù)平方根介于3和4之間.

【詳解】EA/9<V12<V16,

03<A/12<4.

團(tuán)估計(jì)12的算術(shù)平方根介于3和4之間.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了無理數(shù)大小的估算，得出g接近的有理數(shù)是解題的關(guān)鍵.

4.（2022秋?全國?八年級階段練習(xí)）如果整數(shù)。滿足近<°<而，則。的值是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】先計(jì)算（S）2=7,（而）2=n,然后看哪個平方數(shù)在7和11之間即可.

【詳解】解：07<9<11,

0A/7<3<而，

團(tuán)如果整數(shù)。滿足則。的值是：3,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握平方數(shù)是解題的關(guān)鍵.

5.（2023春?廣東韶關(guān)?八年級統(tǒng)考期中）張華是初三的一名男生，今年三月，他參加了招飛體檢測評，他

的身高、體重和視力等各項(xiàng)指標(biāo)均達(dá)到了合格標(biāo)準(zhǔn)，你認(rèn)為他的身高和下面哪一個數(shù)值最接近？（）

A.&米B.百米C,石米D.（若-1）米

【答案】B

【分析】估算各無理數(shù)，然后根據(jù)題意分析判斷即可.

【詳解】解：回0=1.41,73?1.73,V5~2.24,君-1。1.23,

團(tuán)若張華的身高指標(biāo)均達(dá)到了合格標(biāo)準(zhǔn)，則他的身高與G米最接近.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了無理數(shù)的估算，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

6.（2023春?河南安陽?八年級統(tǒng)考期中）一個正方形的面積是21,把此正方形的邊長增加1