數學試卷（本試卷滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1.答題前，考生務必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的姓名、準考證號分別填寫在試卷和答題卡規定的位置上.2.答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應題目的答案涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再涂其它答案非選擇題的答案必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題卡上相應的區域內，寫在本試卷上無效.一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數在復平面上所對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知隨機變量，則（）A. B. C. D.3.已知，則（）A. B.1 C. D.24.若，且，則（）A. B. C. D.5.圓與的公共弦長為（）A. B. C. D.46.在正四面體ABCD中，M，N分別是棱AB，CD的中點，則直線AN與CM所成角的余弦值為（）A. B. C. D.7.已知直線與曲線交于A，B兩點，若同時經過原點和線段AB中點直線斜率為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.8.為發展貧困地區教育，在全國部分大學培養教育專業公費師范生，畢業后分配到相應的地區任教.現將5名男大學生和4名女大學生平均分配到甲、乙、丙3所學校去任教，則在甲學校沒有女大學生的條件下，每所學校都有男大學生的概率為（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，則（）A.是的一條對稱軸B.與函數相等C.在區間上單調遞減D.在區間上的取值范圍是10.已知函數，若函數存在兩個零點，則的取值可能是（）A B.1 C.2 D.311.由變量和變量組成的10個成對樣本數據得到的經驗回歸方程為，設過點的直線方程為，記，則（）A.變量正相關B.若，則C.經驗回歸直線至少經過中的一個點D三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.12.已知，則________.13.已知是公差不為0的等差數列的前n項和，且，，成等比數列，則________.14.若直線為函數圖象一條切線，則的最小值為__________．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數.（1）當時，求在處的切線方程；（2）當時，恒成立，求a的取值范圍.16.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求角C；（2）若，M為內一動點，且，求的最小值.17.在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：與過點的直線l交于A，B兩點，且.（1）求拋物線C的方程；（2）過點且不過點的直線與拋物線交于C，D兩點，若直線PC，PD的斜率都存在且分別為，，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.18.如圖，兩個底面相同的正四棱錐，頂點M，N位于底面兩側，底面ABCD是邊長為6的正方形.（1）證明：平面平面BMDN；（2）若且，點P滿足，求直線AM與平面BPN所成角的正弦值.19.甲、乙兩位同學做一次游戲，起初兩名同學各有一個盒子，盒內裝有相同數量的糖果，規定每輪游戲由兩名同學各擲一枚骰子，若兩枚骰子的點數之積為奇數，就從乙的盒子中取一顆糖放入甲的盒子中，若點數之積為偶數，就從甲的盒子中取一顆糖放入乙的盒子中，直至一方盒中的糖果被取空后再次需要取出糖果時游戲結束.（1）假設甲、乙兩位同學起初擁有超過三顆糖果，求在三輪游戲后，甲同學盒子中的糖數多于乙同學的概率；（2）若起初甲、乙兩名同學盒子中各有4顆糖果，求游戲結束時，乙同學的盒子中沒有糖果的概率.

數學試卷（本試卷滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1.答題前，考生務必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的姓名、準考證號分別填寫在試卷和答題卡規定的位置上.2.答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應題目的答案涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再涂其它答案非選擇題的答案必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題卡上相應的區域內，寫在本試卷上無效.一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數在復平面上所對應的點在（）A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據復數的除法運算，確定復數，再根據復數的幾何意義進行判斷即可.【詳解】復數.故選：A2.已知隨機變量，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二項分布的概率公式即可.【詳解】故選：D.3.已知，則（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用整體替換取值代入計算即可.【詳解】由可知,取,可得,則.故選：A.4.若，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據條件，結合角的取值范圍，可確定角的值，進而求.詳解】由，則，則，又，所以，所以，.故選：B5.圓與的公共弦長為（）A. B. C. D.4【答案】A【解析】【分析】先求兩圓公共弦所在的直線方程，再用“幾何法”求直線與圓相交所得的弦長.【詳解】圓：①，所以，.圓：②，所以，.因為，所以圓與圓相交.因此公共弦所在直線的方程為①②：，圓的圓心到公共弦的距離為，即公共弦長為.故選：A6.在正四面體ABCD中，M，N分別是棱AB，CD的中點，則直線AN與CM所成角的余弦值為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將正四面體ABCD中置于正方體中，分析易得，可得為直線AN與CM所成角（或補角），進而結合余弦定理求解即可.【詳解】將正四面體ABCD中置于正方體中，如圖，易得，，所以四邊形為平行四邊形，則，則異面直線AN與CM所成角即為直線AN與NE所成角，即為直線AN與CM所成角（或補角），設正方體的棱長為2，則，，在中，由余弦定理可得，，因此直線AN與CM所成角的余弦值為.故選：C.7.已知直線與曲線交于A，B兩點，若同時經過原點和線段AB中點的直線斜率為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用“點差法”探索的關系，再根據雙曲線離心率的概念求雙曲線的離心率.【詳解】設，，則，①，②因為：同時經過原點和線段AB中點的直線斜率為，由得：中點坐標為，所以，且.①②可得，則，故選：D8.為發展貧困地區教育，在全國部分大學培養教育專業公費師范生，畢業后分配到相應的地區任教.現將5名男大學生和4名女大學生平均分配到甲、乙、丙3所學校去任教，則在甲學校沒有女大學生的條件下，每所學校都有男大學生的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設事件“每所學校都有男大學生”，事件“甲學校沒有女大學生”，再求，再利用條件概率的概率公式計算.【詳解】設事件“每所學校都有男大學生”，事件“甲學校沒有女大學生”，則，，則，因此在甲學校沒有女大學生的條件下，每所學校都有男大學生的概率為.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，則（）A.是的一條對稱軸B.與函數相等C.在區間上單調遞減D.在區間上的取值范圍是【答案】AD【解析】【分析】求函數的對稱軸，判斷A的真假；利用誘導公式進行轉化，可判斷B的真假；利用換元思想，結合正弦曲線的性質，可判斷C的真假；結合三角函數在給定區間上值域的求法求函數值域判斷D的真假.【詳解】，令，，，當時，為的一條對稱軸，A正確；，B錯誤；令，當時，，顯然在上不單調，C錯誤；當時，，所以，∴，D正確.故選：AD10.已知函數，若函數存在兩個零點，則的取值可能是（）A. B.1 C.2 D.3【答案】BCD【解析】【分析】化簡，作出圖象，由圖像即可得到的取值范圍，得出答案.【詳解】，圖象如圖則在上共有3個零點，即在上有3個根，，，.又因為函數在上存在兩個零點，故.故選：BCD.11.由變量和變量組成的10個成對樣本數據得到的經驗回歸方程為，設過點的直線方程為，記，則（）A.變量正相關B.若，則C.經驗回歸直線至少經過中的一個點D.【答案】ABD【解析】【分析】根據回歸直線的相關性質分別判斷各個選項即可.【詳解】對于A:回歸方程一次項系數大于零是正相關，A正確；對于B:代入回歸直線可得，B正確；經驗回歸直線可以不經過任意一個點，C錯誤；根據回歸直線的求法最小二乘法值，回歸直線的殘差平方和最小，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.12.已知，則________.【答案】【解析】【分析】先根據條件，結合向量數量積的有關運算，求出，再求向量的模.【詳解】設，則：，則.所以：.故答案為：13.已知是公差不為0的等差數列的前n項和，且，，成等比數列，則________.【答案】4【解析】【分析】根據等差、等比數列的通項公式、求和公式，進行化簡求值即可.【詳解】設等差數列的公差為，由，，成等比數列，則，即，可得，.故答案為：4.14.若直線為函數圖象的一條切線，則的最小值為__________．【答案】0【解析】【分析】設切點，利用導數的幾何意義確定，可得到得表達式，構造函數，利用導數求得其最值，可得答案.【詳解】由題意直線為函數圖象的一條切線，設切點，則，所以切線方程為，即，所以，設，則，當時，，當時，，可得在上單調遞減，在單調遞增，故，所以當時，取得最小值，故答案為：0四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數.（1）當時，求在處的切線方程；（2）當時，恒成立，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據導數的幾何意義，求函數在處的切線方程.（2）先注意到恒成立，可把問題轉化成時，恒成立，分離參數可得：，設函數，利用導數，分析函數的單調性，求函數的最大值即可.【小問1詳解】當時，，又因為，所以，切線方程為，即.【小問2詳解】當時，，①當時，因為恒成立，所以；②當時，由恒成立，得令，.再令，所以在上單調遞增，所以，所以.所以在上單調遞增，所以.所以.即的取值范圍為：16.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求角C；（2）若，M為內一動點，且，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結合正弦定理及兩角和的正弦公式化簡求解即可；（2）由可得，進而結合三角形的面積公式及題設可得，可得，再結合基本不等式求解即可.【小問1詳解】由題意，，由正弦定理得，，則，則，則，因為，所以，則，又，則【小問2詳解】由，可得，可得，即，則，因此，，當且僅當時等號成立，因此的最小值為.，17.在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：與過點的直線l交于A，B兩點，且.（1）求拋物線C的方程；（2）過點且不過點的直線與拋物線交于C，D兩點，若直線PC，PD的斜率都存在且分別為，，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】（1）（2）為定值【解析】【分析】（1）設直線l的方程為，聯立拋物線方程，由向量垂直的坐標表示即可求解；（2）設出直線直線AB方程為，與拋物線聯立，利用韋達定理、斜率公式即可求出定值.【小問1詳解】設過點的直線l的方程為，令，，聯立，得，則，，故，又，，由，則，則，故拋物線C的方程為；【小問2詳解】由，顯然，過點的直線斜率不為0，故設直線AB方程為，，，由，得，，解得或，則，，故，，又，，所以，故為定值.18.如圖，兩個底面相同的正四棱錐，頂點M，N位于底面兩側，底面ABCD是邊長為6的正方形.（1）證明：平面平面BMDN；（2）若且，點P滿足，求直線AM與平面BPN所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據正四棱錐的幾何性質，結合線面垂直的性質與判定，可得答案；（2）由題意建立空間直角坐標系，求出直線的方向向量與平面的法向量，利用向量公式，可得答案.【小問1詳解】由題意，連接AC，BD，MN交于點O，則MN⊥平面ABCD，∵平面ABCD，∴，∵ABCD為正方形，∴，∵平面BMDN，平面BMDN，，∴平面BMDN，∵平面AMCN，∴平面平面BMDN.【小問2詳解】由且，在△AMN中，易得.以O為坐標原點，如圖，建立空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，，求出平面BPN的一個法向量.設直線AM與面BPN所成角，則，所以直線AM與平面BPN所成角的正弦值為.19.甲、乙兩位同學做一次游戲，起初兩名同學各有一個盒子，盒內裝有相同數量的糖果，規定每輪游戲由兩名同學各擲一枚骰子，若兩枚骰子的點數之積為奇數，就從乙的盒子中取一顆糖放入甲的盒子中，若點數之積為偶數，就從甲的盒子中取一顆糖放入乙的盒子中，直至一方盒中的糖果被取空后再次需要取出糖果時游戲結束.（1）假設甲、乙兩位同學起初擁有超過三顆糖果，求在三輪