拔高點突破01函數的綜合應用

目錄

01方法技巧與總結...............................................................2

02題型歸納總結.................................................................3

題型一：函數與數列的綜合......................................................................3

題型二：函數與不等式的綜合....................................................................3

題型三：函數中的創新題........................................................................4

題型四：最大值的最小值問題（平口單峰函數、鉛錘距離）.........................................5

題型五：倍值函數...............................................................................6

題型六：函數不動點問題........................................................................7

題型七：函數的旋轉問題........................................................................7

題型八：函數的伸縮變換問題....................................................................8

題型九：V型函數和平底函數.....................................................................9

03過關測試....................................................................10

亡法牯自與.柒年

//\\

1、高考中考查函數的內容主要是以綜合題的形式出現，通常是函數與數列的綜合、函數與不等式的

綜合、函數與導數的綜合及函數的開放性試題和信息題，求解這些問題時，著重掌握函數的性質，把函數

的性質與數列、不等式、導數等知識點融會貫通，從而找到解題的突破口，要求掌握二次函數圖像、最值

和根的分布等基本解法；掌握函數圖像的各種變換形式(如對稱變換、平移變換、伸縮變換和翻折變換

等)；了解反函數的概念與性質；掌握指數、對數式大小比較的常見方法；掌握指數、對數方程和不等式

的解法；掌握導數的定義、求導公式與求導法則、復合函數求導法則及導數的定義、求導公式與求導法則、

復合函數求導法則及導數的幾何意義，特別是應用導數研究函數的單調性、最值等.

2、函數的圖象與性質

Z=1

分奇、偶兩種情況考慮：

比如圖(1)函數/(尤)=國+卜-1|+,-3|,圖(2)函數g(x)=|x|+|尤-1|+|元一2|+|尤+1]

(1)當"為奇數時，函數=的圖象是一個“v”型，且在“最中間的點”取最小值；

1=1

(2)當〃為偶數時，函數=的圖象是一個平底型，且在“最中間水平線段”取最小值；

1=1

若qpeN*)為等差數列的項時，奇數的圖象關于直線x=a中對稱，偶數的圖象關于直線

彳=%左中+%中對稱.

2

3、若為[〃],〃]上的連續單峰函數，且/(租)=/(〃),與為極值點，則當左力變化時，

g(x)=-依-目的最大值的最小值為匹三小江，當且僅當I=0,6="")；"不)時取得?

題型歸贏總結

題型一：函數與數列的綜合

【典例1-1]（2024?四川資陽?模擬預測）將函數〃x）=cosx-在（0,+“）上的所有極值點按照由小到

大的順序排列，得到數列｛%｝（其中weN*）,貝I（）

A.卜+兀B,x+1-x<JI

C.xn+xn+l>（2W-1）7TD.低-（〃-1）無|｝為遞減數列

【典例1-2】（2024?新疆?三模）已知數列｛%｝中，％=1,若（〃eN*）,則下列結論中錯誤

的是（）

21—

A.《=_B.-----------<1

5an+lan

,1.111

C.lnw<——1（〃22,〃eN*）D.--------------<-

aa

n的“+l?+l2

【變式1-1]（2024?高三?海南省直轄縣級單位?開學考試）已知數列｛%｝中，4=1,若

5+D（%-4+1則下列結論中正確的是（）

111112

.〃〃+142.an+2an+2）5+1）

111?

C.----------D.%]n（〃+l）<l

a2n冊2

【變式1-2]（2024?四川資陽?模擬預測）將函數〃x）=cosx-裳在（0,+功上的所有極值點按照由小

到大的順序排列，得到數列卜“｝（其中〃eN*）,貝。（）

A.<%?<（?+|）7tB.xn+1-xn<

C.xn+xn+x>（2M-1）TID.｛|怎一（〃-1）兀|｝為遞減數列

題型二：函數與不等式的綜合

【典例2-1】（2024?全國?模擬預測）已知函數/（x）是定義域為R的函數，/（2+x）+/（-x）=0,對任

意（X,＜X2）,均有/（々）-〃為）＞0,已知a,6）為關于尤的方程f一2彳+1.3=o的

兩個解，則關于，的不等式/（4）+/。）+/（。＞0的解集為（）

A.（-2,2）B.（-2,0）C.（0,1）D.（1,2）

e'Fsin二，尤20

2

【典例2-2】（2024?全國?模擬預測）已知函數/（x）=＜，則不等式〃3x-2)>e4"的解

eT2x-3sin—,x<0

2

集為_.

【變式2-1]關于X的不等式（X-1）皿3一22023.必必4X+1的解集為—.

【變式2-2]（2024?高三?黑龍江齊齊哈爾?期末）意大利數學家斐波那契（“75年~1250年）以兔子繁殖

數量為例，引人數列：1,1,2,3,5,8,該數列從第三項起，每一項都等于前兩項之和，即

%+2=%+i+%（〃eN*）,故此數列稱為斐波那契數列，又稱“兔子數列”，其通項公式為

1(1+5/5、1一出、

設"是不等式+回"-（1-向"]＞〃+5的正整數解，則"的最小值

22

飛77

為.

題型三：函數中的創新題

【典例3-1】（2024?江蘇無錫?模擬預測）從古至今，中國人一直追求著對稱美學.世界上現存規模最大、

保存最為完整的木質結構——故宮：金黃的宮殿，朱紅的城墻，漢白玉的階，琉璃瓦的頂……沿著一條子

午線對稱分布，壯美有序，和諧莊嚴，映襯著藍天白云，宛如東方仙境.再往遠眺，一線貫穿的對稱風格,

撐起了整座北京城.某建筑物的外形輪廓部分可用函數/（尤）=后司+桐的圖像來刻畫，滿足關于了的

方程/'（x）=b恰有三個不同的實數根占,馬，無3，且占＜々＜￡=6（其中a,6e（0,+8））,則b的值為（）

【典例3-2】（2024?山東?一模）高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的美

譽.函數〃力=國稱為高斯函數，其中xeR,[可表示不超過龍的最大整數，例如：[-1.1]=-2,

[2.5]=2,則方程[2尤+l]+[x]=4x的所有解之和為（）

A.1B.1C.3D,1

2424

【變式3-1]（2024?全國?模擬預測）“角股猜想”是“四大數論世界難題”之一，至今無人給出嚴謹證

明.“角股運算”指的是任取一個自然數，如果它是偶數，我們就把它除以2,如果它是奇數，我們就把它

乘3再加上1.在這樣一個變換下，我們就得到了一個新的自然數.如果反復使用這個變換，我們就會得

到一串自然數，該猜想就是：反復進行角股運算后，最后結果為L我們記一個正整數經過J（"）

次角股運算后首次得到1（若〃經過有限次角股運算均無法得到1,則記〃"）=+8）,以下說法有誤的是

（）

A.可看作一個定義域和值域均為N*的函數

B.J（九）在其定義域上不單調，有最小值，無最大值

C.對任意正整數都有J（〃”（2）=J（2〃）—1

D.J（2"）=〃是真命題，J（2"-1）4J（2"+1）是假命題

【變式3-2】19世紀美國天文學家西蒙?紐康在翻閱對數表時，偶然發現表中以1開頭的數出現的頻率更

高.約半個世紀后，物理學家本?福特又重新發現這個現象，從實際生活得出的大量數據中，以1開頭的數

出現的頻數約為總數的三成，并提出本?福特定律，即在大量b進制隨機數據中，以“開頭的數出現的概率

為々（〃）=logb如斐波那契數、階乘數、素數等都比較符合該定律.后來常有數學愛好者用此定律來

n

檢驗某些經濟數據、選舉數據等大數據的真實性.若16。伽）=嚕9一嚕3（左?N*,^<20）,貝味的

念l+log25

值為（）

A.3B.5C.7D.9

題型四：最大值的最小值問題（平口單峰函數、鉛錘距離）

4

【典例4-1】設函數〃尤）=尤+嚏-若對任意的實數a,b,總存在1目1,3]使得機成立，則

實數加的最大值為（）

A.-1B.0C."4后D.1

3

Y—2

【典例4-2]已知函數/⑶=六-6-。，若對任意的實數a,b,總存在毛印-1,2],使得八%）..利成

立，則實數機的取值范圍是（）

A.B.C.ID.(-co,l]

【變式4-1](2024?江西宜春?模擬預測)已知函數〃x)=lnx+：-ax-6(a,6wR),且/右口/],滿

足lnxo+」=e-l,當xe-,x0時，設函數/(x)的最大值為M(a,6),則M(a,6)的最小值為()

xoLe

“3—e—1-c—\—e—2

A.----B.-C.-----D.------

2222

【變式4-2】設函數/(x)=|尤3-6尤2+6+同，若對任意的實數。和分,總存在％e［0,3］,使得

則實數加的最大值為.

【變式4-3］設函數〃X)=|6-G-0,a,beR,若對任意的實數。，6,總存在實數修式0,4］,使得不

等式/(%)2根成立，則加的最大值是—.

題型五：倍值函數

【典例5-1】(2024?遼寧沈陽?三模)函數〃x)的定義域為O,若存在閉區間可使得函數/⑺

滿足：①“X)在可內是單調函數；②/(X)在可上的值域為3,2可,則稱區間［a,0為y=/(x)的

“倍值區間下列函數中存在“倍值區間''的有.

①“x)=x2(xZ0)；②〃x)=3"(xeR)；

③/(”=/1(箕°)；@/(x)=|x|(xeR).

【典例5-2】函數〃尤)的定義域為￡>,若存在閉區間［。㈤使得函數〃x)同時滿足：(1)〃x)在

司內是單調函數；《2)/⑴在［a,句上的值域為［如物化>0),則稱區間目為“村的“倍值區間”.

1V*

下列函數：①/(x)=lnx；②“尤)=—(尤>0)；③“x)=/(x20)；④/(無)=「^(04x41)淇中存在“3

XI+X

倍值區間''的序號為.

Z7h

【變式5-1】函數AM的定義域為。，滿足：①小)在。內是單調函數；②存在耳，5仁，使得Ax)在

Z7h

［亍寸上的值域為［。，句，那么就稱函數>=/(x)為“優美函數”，若函數/(無)=log*。*-f)(c>0,cw1)是“優

美函數”，貝〃的取值范圍是.

【變式5-2］(2024?山東濟寧?三模)函數/(x)的定義域為。，若滿足：①/(x)在。內是單調函數；②存

在使得廣⑺在［a向上的值域為［2a,26］,則稱函數/⑺為“成功函數”，若函數

/(x)=log0(c4，+3f)(c>0,"l)是“成功函數”，則？的取值范圍為.

題型六：函數不動點問題

【典例6-1】(2024?高三?上海?開學考試)設函數/(x)=Jlnx+x-a(aeR,e為自然對數的底數)，

若曲線y=cosx上存在點(%,%)使/(/(%))=%成立，則a的取值范圍是

【典例6-2】設函數/("=2°3/+尤2。22一。(aeR,e為自然對數的底數).若曲線、=51!?上存在(七,%)

使得了(/(%))=%，則”的取值范圍是

【變式6-1】設函數/(x)=Jglnx+'|x+|'a若曲線＞=;一一$缶尤+虧上存在點(%,%),使得

/(,/■(%))=%成立，則實數0的取值范圍是.

【變式6-2]設函數/(x)=Jlnx+x+a,若曲線y=卷4山彳+干■上存在點(%,%)使得/'(/(%))=%成立,

求實數。的取值范圍為.

【變式6-3]已知a＞0,將函數＞=5由.》目0,句的圖像繞坐標原點逆時針方向旋轉角凡得到曲線C.若

對于每一個夕e[0,a].曲線C都是一個函數的圖像，則。的最大值為.

題型七：函數的旋轉問題

【典例7-1】設a是正實數，將函數＞=岡的圖像繞坐標原點逆時針方向旋轉角0(0＜9＜a),得到曲線

C.若對于每一個旋轉角0,曲線C都可以看成是某一個函數的圖像，則a的最大值為一.

【典例7-2](2024?高三?山東青島?開學考試)將函數》=而2(xe[-3,3])的圖象繞點(-3,0)逆時

針旋轉a(04a＜。)，得到曲線C,對于每一個旋轉角a,曲線C都是一個函數的圖象，則。最大時的正切

值為()

32「

A.—B.—C.1D.6

【變式7-1]設。是含數3的有限實數集，/(x)是定義在。上的函數，若/(x)的圖象繞原點逆時針旋轉

45。后與原圖象重合，則在以下各項中，/(3)的可能取值只能是()

A.73B.3C.-3D.0

【變式7-2](2024?浙江紹興?三模)將函數y=2sin][xe的圖像繞著原點逆時針旋轉角。得到

曲線T,當口?0,到時都能使T成為某個函數的圖像，則。的最大值是()

題型八：函數的伸縮變換問題

x2-x,xe[0,1)

【典例8-1]定義域為R的函數/(尤)滿足/(x+2)=2〃x),當xe[0,2)時,/(x)=-1UI「、，若

-G)12Ue[l,2)

t2i

當xe[-4,-2)時，函數+恒成立，則實數I的取值范圍為

A.[2,3]B.[1,4]C.D.[1,3]

X2-X,XG(O,1)

【典例8-2]定義域為R的函數/(x)滿足〃x+2)=2/(x)-2,當x?0,2]時,“A⑵

1%

7/

若xe(O,4]時，恒成立，則實數/的取值范圍是()

A.[1,2]B.[2,|]C.[2,+s)

D.

【變式8-1】高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，用其名字命名的

“高斯函數”為：設xeR,用國表示不超過x的最大整數，則丁=?國稱為高斯函數，例如：卜2』=-3,

[3.1]=3,定義域為R的函數“X)滿足/(x+2)=2〃x),當xe[0,2)時，〃力=二；'']：?若

xe[4,6)時，+l恒成立，則實數f的取值范圍是()

A.[-l,0)u[4,+oo)B.(-l,0)u(4,+oo)

C.(-co,-1](。，4]D.(-oo,-l)u(0,4]

【變式8-2](2024?山西?二模)定義域為R的函數滿足/(x+2)=2/(x),當xe[0,2)時，

2

/\X-2x+13,XG[0,11「\C

〃X)=.「"\，若當-2)時，函數2r+〃恒成立，則實數I的取值范圍為

xinx,x￡11,11

A.-3<r<0B.-3<r<lC.-2<t<0D.0<r<l

【變式8?3】(2024?江西?一模)設函數的定義域為R,滿足/(%+2)=2/(%),且當無￡(0,2]時,

40

/(x)=-%(x-2).若對任意%￡(-00,汨，都有則加的取值范圍是().

-

(91(191/》(23

A.-oo,-B.-co,—C.(-oo,7]D.-00,—

題型九：V型函數和平底函數

【典例9?1】(2024?上海青浦?二模)等差數列4，%，4(〃￡N*),滿足

同+|%|++同=|%+[+|4+1|+…+|%+[=k+2]+|%+2|+?+|^n+2|

=|6+3]+|%+3〔++何+3]=2010,則()

A.〃的最大值是50B.〃的最小值是50

C.〃的最大值是51D.〃的最小值是51

【典例9?2】已知等差數列｛4｝滿足：同+|%|+，+|〃〃|=-^+〃2++an~~

333

=4+5+%+]++。〃+]=72,則〃的最大值為()

A.18B.16C.12D.8

【變式9?1】等差數列%,4,…(〃>3,〃￡N*),滿足I41+1%1++I=16+1|+|%+1|+…+&+1I

二|%—21+1%—21d--\-\an-2\=2019,貝lj()

A.〃的最大值為50B.〃的最小值為50

C.〃的最大值為51D.〃的最小值為51

【變式9-21已知等差數列｛。八｝滿足，同+同+…+同=|q+[+]%+1]+…+|q+1|=|q—1|+同一1|+…

十|為一1|=98,貝IJ〃的最大值為()

A.14B.13C.12D.11

【變式9-3】設等差數列,〃2，…，an(H>3,〃￡N*)的公差為d，滿足同+|。21H---

+|%-1卜--卜|。〃T=1%+2|+|%+ZT---1■何+2]=加，則下列說法正確的是

A.|rf|>3B.〃的值可能為奇數

C.存在於N*,滿足D.用的可能取值為11

1a

1.已知數列｛4｝滿足%+i=a(%-6>+6(〃=1,2,3,),則()

A.當q=3時，｛4｝為遞減數列，且存在常數MWO,使得4>M恒成立

B.當4=5時，｛%｝為遞增數列，且存在常數M<6,使得見<M恒成立

C.當q=7時，｛%｝為遞減數列，且存在常數/>6,使得%>河恒成立

D.當％=9時，｛%｝為遞增數列，且存在常數M>0,使得%恒成立

2.已知函數/(x)=e，-了-1,數列｛凡｝的前〃項和為工，且滿足色=攝。川=/(。,)，則下列有關數列僅“｝的

敘述正確的是()

A.。5<14。2—34IB.。7W。8

C.110>1D.$00>26

3.已知數列｛%｝,滿足％=1,2%=/〃(l+%)(〃eN*),設數列｛%｝的前"項和為S“，則以下結論正確的是

()

A.xn+i>xnB.當一2x“+i<x“x,+i

+1

c.^4^2>X"+1D.5?+s>2

4.(2024?全國?模擬預測)德國數學家狄利克雷(Dirichlet)是解析數論的創始人之一，下列關于狄利

fl%為有理數

克雷函數。(》)=；%工鈿冊的結論正確的是()

|0,尤為無理數

A.。⑷(x))有零點B.D(x)是單調函數

C.D(x)是奇函數D.D(x)是周期函數

5.(2024?安徽?三模)丹麥數學家琴生是19世紀對數學分析做出卓越貢獻的巨人，特別在函數的凹凸

性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.若，%為(。力)上任意〃個實數，滿足

f+尤［<"網)+〃％)++〃%),貝u稱函數/⑴在SM上為“凹函數，，,也可設可導函數

/(X)在(a/)上的導函數為了'(x)"'(x)在(。1)上的導函數為4(X),當/(x)>0時,函數/(X)在(a,0

X,X、x?

上為“凹函數已知玉,％2,>0,n>2,且芯+々++Z=1,令WTT7=^------+-------++-------的最小值為

a

n，則“2024為()

A2023「2024—2024-2025

A.------B.------C.------D.------

2024202320252024

6.（2024?江蘇?模擬預測）貝塞爾曲線（Beziercurve）是應用于二維圖形應用程序的數學曲線，一般的

矢量圖形軟件通過它來精確畫出曲線.三次函數的圖象是可由A,B,C,。四點確定的貝塞爾曲線,

其中A,。在“X）的圖象上，“X）在點A,。處的切線分別過點B,C.若A（0,0）,B（-l-l）,C（2,2）,

0（1,0）,則〃x）=（）

A.5x3-4%2-xB.3尤3-3X

C.3%3-4%2+xD.3%3-2x2-x

7.（2024?黑龍江齊齊哈爾?二模）早在西元前6世紀，畢達哥拉斯學派已經知道算術中項，幾何中項以

及調和中項，畢達哥拉斯學派哲學家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，其中算術中項，幾何中

項的定義與今天大致相同.若2。+2〃=1，貝1」（4"+1）（型+1）的最小值為（）

25-9-9-25

A.—B.—C.-D.—

416416

8.函數/（X）的定義域為。，若滿足：①/⑺在。內是單調函數；②存在U力仁力團“工使得了⑴在

年,可上的值域也是［。,以，則稱y=/（x）為高斯函數.若〃力=左+?^是高斯函數，則實數上的取值范圍

是（）

A.匕臼JB.匕<11aJC.fuAD.（匕\，力in

9.設函數的定義域為O,若存在閉區間L可1。，使得函數“X）滿足：①“X）在目上是單調函

數；②“X）在目上的值域是［2“,2可，則稱區間［a,6］是函數/⑴的“和諧區間”.下列結論銷集的是

()

A.函數/（0=必@20）存在“和諧區間”

B.函數〃x）=x+3（xeR）不存在“和諧區間”

C.函數〃力=含（☆0）存在“和諧區間”

函數/(x)=log0[c*_g

D.（c>0且CK1）不存在“和諧區間

10.（2024?云南昆明?模擬預測）對于定義域為。的函數y=/（x）,若存在區間［a,同u。，使得〃x）同

時滿足：

①/（X）在區間,,國上是單調函數；

②當“X）的定義域為［a,0時，的值域也為目，則稱區間可為該函數的一個“和諧區間”

已知定義在（1,%）上的函數/（x）=T-彳有“和諧區間”，則正整數左取最小值時，實數機的取值范圍是（）

A.(4,4A/2)B.(40,6)C.(4,6)D.(6,8)

11.(2024?廣西柳州?模擬預測)設函數“尤)=(aeR,e為自然對數的底數)，若曲線

y=sinx上存在點(5,%)使/(%)=%成立，則。的取值范圍是()

A.[1,2e—2]B.[『-e,l]C.[l,e]D.口-1—e,2e—2]

"InY0夕x+i

12.(2024?安徽阜陽?二模)設函數/(%)=——+%-〃(〃￡R),若曲線y=是自然對數的底數)

Xe+1

上存在點(%,為)使得/(/(%))=%,則a的取值范圍是

A.(-<?,0]B.(0,e]C.00,—JD.[0,-Ko)

13.(2024?河南鄭州?一模)設函數/(x)=e*+2x-a(aeT?),e為自然對數的底數，若曲線y=sinx上

存在點(%,%),使得/(/(%))=%,則。的取值范圍是()

A.[-1+e+[1,1+e]C.[e,e+l]D.[1,e]

14.設函數/(x)=Je*+x-a(“?R，e為自然對數的底數)，若曲線y=\^sinx+嚕cosx上存在點

(%，%)使得了(%)=%,貝M的取值范圍是

A.[匕々,1]B.[―,e+1]C.[Le+1]D.[l,e]

ee

15.(2024?黑龍江哈爾濱?三模)設函數〃x)=Jlnx+x+m,若曲線y=g^cos無+與^上存在(x。,%),

使得/(/(%))=%成立，則實數機的取值范圍為()

A.[o.e?-e+1]B.[o,e~+e-1]C.[o,e~+e+l]D.[0,e~-e-1]

16.設/是函數兀的有限實數集，/(x)是定義在/上的函數，若/(x)的圖象繞坐標原點逆時針旋轉會后與

原圖象重合，則在以下各項中，/(兀)的取值不可能是()

x2-x,xe[0,1)

17.定義域為R的函數滿足〃x+2)=4/(x),當xe[0,2)時，〃?)=:若

log也(x+l),xe[L2)'

9-2,。)時，對任意的日,2)都有〃尤)十*成立，則實數。的取值范圍是

A.(-co,2]B.[2,+Q0)C.(-oo,6]D.[6,+oo)

18.(多選題)將函數Mx)=e'(xN0)的圖像繞坐標原點逆時針方向旋轉角。(。＜0,句)，得到曲線C,若

曲線C仍然是一個函數的圖像，則。的可能取值為()

19.（多選題）（2024?山東日照?三模）設函數的定義域為R,滿足/（x+2）=2/（x）,且當

xe（0,2]時,/（x）=x（2-x）,則（）

A./（9）=2/（7）

B.若對任意問，都有〃x）V6,則優的取值范圍是，若

C.若方程=-5）恰有三個實數根，則加的取值范圍是

D.函數在區間（2〃-2,2〃）（〃eN+）上的最大值為％,若存在“eN*,使得而“<2w-7成立，則

2。.已知函數“M*+x+2,若不等式“2+5所22對任意的x>。恒成立，則實數加的

最小值為.

21.已知函數/（幻=尸+6+,在區間[0,4]上的最大值為當實數a,b變化時，M最小值為.

22.（2024?全國?模擬預測）已知函數〃x）=|2V+依+目的定義域為12,1],記的最大值為則

當加取得最小值時，a+5的值為—.

23.函數〃了卜產+ax+/?|（a,bwR）在區間[0,c]（c>0）上的最大值為則當M取最小值2時，

a+b+c=.

24.（2024?全國?模擬預測）定義域為R的函數"X）滿足/（x+2）=2/（x）,當尤e[0,2）時，

X2-X.XE[0,1）t1

fM=\,151,若無g-4,-2）時，“幻之：—：恒成立，則實數/的取值范圍是

I-0.5H-5|,XG[1,2）42t

25.（2024?上海長寧?一模）已知見，〃2,〃3與歷，bi,九是6個不同的實數，若關于x的方程僅-

-?2|+|x-as\=\x-bi\+\x->2田x-解集A是有限集，則集合A中，最多有_個元素.

26.｛%｝為等差數列,則使等式同+同++|4|+1|+|。2+1|++|%+1]=|“]+3]+|%+3]++

\an+3|=k+5|+同+5|++|%+5|=2019能成立的數列｛見｝的項數n的最大值是.

27.等差數列｛4｝（HN3,九￡N）滿足同+同+同H-卜同=|烏+[+包+l[+k+1卜---卜

寓+1|=|%—2|+?—2|+|生一2|+…2|=2024,則〃的最大值為______.

28.若等差數列%嗎，?（〃之3,〃EN*）滿足同+聞+?+|。/=|4+1|+|%+1|

++1|=|〃i一2|+|生一2|+—2|=2023,則幾的最大值為一.

拔高點突破01函數的綜合應用

目錄

01方法技巧與總結...............................................................2

02題型歸納總結.................................................................3

題型一：函數與數列的綜合......................................................................3

題型二：函數與不等式的綜合....................................................................3

題型三：函數中的創新題........................................................................4

題型四：最大值的最小值問題（平口單峰函數、鉛錘距離）.........................................5

題型五：倍值函數...............................................................................6

題型六：函數不動點問題........................................................................7

題型七：函數的旋轉問題........................................................................7

題型八：函數的伸縮變換問題....................................................................8

題型九：V型函數和平底函數.....................................................................9

03過關測試....................................................................10

亡法牯自與.柒年

//\\

1、高考中考查函數的內容主要是以綜合題的形式出現，通常是函數與數列的綜合、函數與不等式的

綜合、函數與導數的綜合及函數的開放性試題和信息題，求解這些問題時，著重掌握函數的性質，把函數

的性質與數列、不等式、導數等知識點融會貫通，從而找到解題的突破口，要求掌握二次函數圖像、最值

和根的分布等基本解法；掌握函數圖像的各種變換形式(如對稱變換、平移變換、伸縮變換和翻折變換

等)；了解反函數的概念與性質；掌握指數、對數式大小比較的常見方法；掌握指數、對數方程和不等式

的解法；掌握導數的定義、求導公式與求導法則、復合函數求導法則及導數的定義、求導公式與求導法則、

復合函數求導法則及導數的幾何意義，特別是應用導數研究函數的單調性、最值等.

2、函數的圖象與性質

Z=1

分奇、偶兩種情況考慮：

比如圖(1)函數/(尤)=國+卜-1|+,-3|,圖(2)函數g(x)=|x|+|尤-1|+|元一2|+|尤+1]

(1)當"為奇數時，函數=的圖象是一個“v”型，且在“最中間的點”取最小值；

1=1

(2)當〃為偶數時，函數=的圖象是一個平底型，且在“最中間水平線段”取最小值；

1=1

若qpeN*)為等差數列的項時，奇數的圖象關于直線x=a中對稱，偶數的圖象關于直線

彳=%左中+%中對稱.

2

3、若為[〃],〃]上的連續單峰函數，且/(租)=/(〃),與為極值點，則當左力變化時，

g(x)=-依-目的最大值的最小值為匹三小江，當且僅當I=0,6="")；"不)時取得?

顆理歸納與.柒緇

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題型一：函數與數列的綜合

【典例1-1］（2024?四川資陽?模擬預測）將函數/（x）=cosx-4在（0,+s）上的所有極值點按照由小到

大的順序排列，得到數列｛斗｝（其中〃eN*）,貝。（）

A.兀+兀B.x+1-x＜JI

C.xn+xn+i＞（2/?-l）7tD.低-（九-1）兀|｝為遞減數列

【答案】D

【解析】因為/（元）=cosx］（x＞0）所以尸（x）=-sin尤+4,

令g（元）=/'（無）=_sinx+，，

故函數”X）在（0,+8）上的所有極值點為函數g（x）在（0,+。）上的零點，

即方程-sinx+J=0的正根，也即函數/z（x）=sinx與函數m（x）==圖象交點的橫坐標，

作出函數6（x）=sinx和函數相⑴二二圖象如下

對于A,當”=1時，由圖可知0＜占＜］,不滿足［九一!］兀＜%＜［九+9］兀，故A錯誤；

對于B,由圖可知，當"為奇數時，%+1~xn＜n,當“為偶數時，xn+l-xn＞n,故B錯誤;

對于C,由圖可知，結合％（x）=sinx的對稱性知，xA+x2＞n,3+三＜3兀，

不滿足x〃+X"+i＞（2〃一1）兀，故C錯誤；

對于D,|尤“-（〃-1）兀|在x軸上表示乙與（〃-1）兀的距離，

由于函數機（x）=：在（0,+8）上單調遞減，函數Mk=sinx是以2兀為周期的函數，

結合圖象可知k"-("T)H越來越小，即數列｛氏-(〃-1)無|｝為遞減數列，故D正確.

故選：D

【典例1?2】(2024?新疆?三模)已知數列｛4｝中，若氏+1=；^力(〃eN*),則下列結論中錯誤

的是()

2I'

A.%=_B.-----------41

5%冊

?1?111

C.lnw<-----1(?>2,?GN*)D.--------------<-

a

na2n+ian+x2

【答案】D

na111

【解析】對于A項，由為+1=1—(neN*)得-------二一，

幾+。〃4+1%〃

I1I,II、/II、II-5

又因為一二1,所以一=(