極化恒等式與等和（高）線定理重難點【四大題型】

?題型歸納

【題型1利用極化恒等式求值】.................................................................3

【題型2利用極化恒等式求最值（范圍）】......................................................4

【題型3利用等和線求基底系數和的值】........................................................4

【題型4利用等和線求基底系數和的最值（范圍）】..............................................5

?命題規律

1、極化恒等式與等和（高）線定理

極化恒等式是平面向量中的重要等式，是解決平面向量的數量積問題的重要工具，有平行四邊形模型

和三角形模型兩大重要模型，可以建立起向量與幾何長度之間的等量關系；等和（高）線定理是平面向量

中的重要定理，由三點共線結論推導得出，在求基底系數和的值、最值（范圍）中有著重要作用.

?方法技巧總結

【知識點1極化恒等式】

1.極化恒等式的證明過程與幾何意義

（1）平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：

|a+&|2+|a-S|2=2(|a|2+|S|2).

證明：不妨設4B=a,4D=否,則/C=a+B,DB=a-b,

|明2=AC=(a+b^=@+2a-b+件①，

|國2=麗JR-可叩卜2鼠否+.②,

①②兩式相加得:

國2+|國2=2（同②+用）=2（網2+國2）.

（2）極化恒等式：

上面兩式相減，得：a-b=l[p+q2-（a-S）2]-------極化恒等式

平行四邊形模式：a-/J=|[|^C|2-|￡>5|2].

2.幾何解釋：向量的數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平

方差的

4

（1）平行四邊形模型：向量的數量積等于以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線長”與“差對角

線長”平方差的;，即>]=,-R-B）2]（如圖）.

（2）三角形模型：向量的數量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差，即瓦?就=

---2---?

AM-MB一（M為2c的中點）（如圖）.

極化恒等式表明，向量的數量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長度之間的等量關系.

【知識點2等和（高）線定理】

1.等和（高）線定理

（1）由三點共線結論推導等和（高）線定理：如圖，由三點共線結論可知，若赤=23+"無區〃CR）,

則%+〃=1,由△0/2與△0/3'相似，必存在一個常數左，在R,使得蘇=左蘇，則加=左5?=奴53+knOB,

又OP=xO/+（x”eR）,.,?田^=以+切=左；反之也成立.

⑵平面內一個基底｛況,無｝及任一向量加，OP'^AOA+//5s（/,/zeR）,若點尸在直線N8上或在平

行于的直線上，則%+“=-定值）；反之也成立，我們把直線N8以及與直線N8平行的直線稱為等和（高）

線.

①當等和線恰為直線N2時，k=l；

②當等和線在。點和直線之間時，住（0,1）；

③當直線48在。點和等和線之間時，住（1,+8）；

④當等和線過O點時，*=0；

⑤若兩等和線關于。點對稱，則定值肩，心互為相反數；

⑥定值k的變化與等和線到。點的距離成正比.

?舉一反三

【題型1利用極化恒等式求值】

【例1】（2024?貴州畢節?三模）如圖，在△4BC中，。是BC邊的中點，E,尸是線段4D的兩個三等分點,

若瓦？?g5=7,BE-CE^2,則麗?次=（）

【變式1-11（23-24高三上?福建廈門?期末）如圖，BC、是半徑為1的圓O的兩條直徑，~BF=2FO,

則麗-~FE=（）

【變式1-2］（2024高三?江蘇?專題練習）如圖，在平面四邊形/BCD中，。為8。的中點，且。4=3,OC

=5.若荏?而=—7,則品?反的值是

A

D

【變式1-3]（23-24高二下?湖南長沙?開學考試）如圖，在平行四邊形48。中，4B=1,AD=2,點、E,

F,G,4分別是48,BC,CD,ND邊上的中點，則而?麗+而?砒等于

【題型2利用極化恒等式求最值（范圍）】

【例2】（2024高三?全國?專題練習）半徑為2的圓。上有三點4、B、C滿足M+南+羽=0,點P是圓內

一點，則西?麗+麗?玩的取值范圍為（）

A.[-4,14）B.[0,4）C.[4,14]D.[4,16]

【變式2-1]（23-24高一下?江蘇南通?期中）正三角形4BC的邊長為3,點。在邊48上，且麗=2瓦?，三

角形力BC的外接圓的一條弦MN過點D,點P為邊BC上的動點，當弦MN的長度最短時，麗?麗的取值范圍

是（）

A.[—1,5]B.[—1,7]

C.[0,2]D.[1,5]

【變式2-2]（2024?重慶?模擬預測）已知△04B的面積為1/B=2,動點RQ在線段4B上滑動，且|PQ|

=1,則聲?麗的最小值為.

【變式2-3]（23-24高三上?上海浦東新?階段練習）在面積為2的平行四邊形中4BCD中，AD4B=也點尸

——>2—>2——>——>

是4D所在直線上的一個動點，貝UPB+PC-PB7C的最小值為.

【題型3利用等和線求基底系數和的值】

【例3】（2024?四川成都?模擬預測）如圖，在平行四邊形4BCD中,BE=|fiC,DF=|DE,若而=XAB+〃

AD,則4+〃=（）

AB

F/

L--------------c

311

A.-B.--C.—D.0

【變式3?1】（2023?河北滄州?模擬預測）在△ABC中族=界，而=*瓦？+說），點P為/E與8尸的交點,

AP=XAB+/MC,貝狀+〃=（）

113

A.0B.—C.-D.-

4Z4

【變式3-2］（23-24高一上?江蘇常州?期末）在平行四邊形4BCD中，E為BC的中點，F在線段DC上，且

CF=2DF.若尼=4屈+〃而，4,“均為實數，貝壯+〃的值為.

【變式3-3］（23-24高一上?江蘇蘇州?期末）如圖，在矩形力BCD中，M,N分別為線段BC,CD的中點，若

麗=%病+弱麗，^1,22GR,則;k+弱的值為.

【題型4利用等和線求基底系數和的最值（范圍）】

［例4］（2024?山東煙臺?三模）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓0,P為圓。上任一點，若麗=%

AB+yAC,貝取久+2y的最大值為（）

4

C3D.1

【變式4-1］（23-24高三上?河北滄州?期中）如圖，與△ABC的面積之比為2,點尸是區域內

任意一點（含邊界），且而=入荏+〃標（4〃ER）,貝!M+〃的取值范圍是（）

D

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,3]D.[0,4]

【變式4-2]（23-24高一下?福建泉州?階段練習）在△ABC中，M為3c邊上任意一點，N為線段上任

意一點，若麗=4四+〃而（九46R）,則4+〃的取值范圍是.

【變式4-3]⑵-24高一下?廣西桂林?期末）已知。為△A8C內一點，且4瓦？+8OB+5OC=0,點M在△OBC

內（不含邊界），若詢=4而+〃而，則2+〃的取值范圍是.

?過關測試

一、單選題

1.（2024?四川綿陽?三模）如圖，在△&BC中，AF=BF=6,EF=5,則瓦？?麗=（）

2.（2024?陜西西安?一模）在△4BC中，點。是線段AC上一點，點P是線段BD上一點，且而=市，而=

+AAC,貝吃=（）

A.B.弓C.fD.f

6336

3.（2024高三?全國?專題練習）在△2BC中，。是BC邊上的中點，且族=加，AF=2AE,AB-AC=6,

~FB-FC=-2,則麗?詼=（）

1

A.-1B.2C.--D.1

4.（2024?陜西榆林?三模）在△A8C中，E在邊8c上，且EC=38E,。是邊4B上任意一點，4E與CD交于點

P,若麗=久誦+y而，則3x+4y=（）

33

A.T4B.-47C.3D.-3

5.（23-24高三下?湖南長沙?階段練習）向量的數量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和

對角線”與“差對角線”平方差的四分之一，即如圖所示，。?=前而『—國|2）,我們稱為極化恒等式.已

知在△ABC中，M是中點，AM=3,BC=10,則萬?標=（）

C_￡>

A.-16B.16C.-8D.8

6.（2024?全國?模擬預測）如圖，在△ABC中，AN-tNCQt>0）,麗=2麗（2>0）,若行=萍一）

BC,則2+t的值為（）

7.（23-24高三上?山東濰坊?期末）已知正方形48co的邊長為2,是它的內切圓的一條弦，點尸為正

方形四條邊上的動點，當弦兒W的長度最大時，兩?西的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,V2]

C.[1,2]D.[-1,1]

8.（2024?河北滄州?三模）對稱美是數學美的重要組成部分，他普遍存在于初等數學和高等數學的各個分

支中，在數學史上，數學美是數學發展的動力.如圖，在等邊△4BC中，AB=2,以二條邊為直徑向外作三

個半圓，M是三個半圓弧上的一動點，若麗=2萬+〃就，貝!M+〃的最大值為（）

二、多選題

9.（23-24高一下?江蘇南京?期中）在△力BC中，點D是線段BC上任意一點，點M是線段4D的中點，若存

在兒〃eR使前=2萬+%土，則無〃的取值可能是（）

3

AA.A1=--3//z=-1B.A=1,/z=--

-Q92—°73

c-4=一而〃=^D-2=一而，〃=g

10.（23-24高一下?四川成都?階段練習）如圖,正方形2BCD中，E為4B中點，M為線段4D上的動點，若

前=4萬E+〃麗，貝|]4+〃的值可以是（）

31

A.-B.-C.1D.2

11.（23-24高一下?陜西西安?階段練習）（多選）如圖，在四邊形中，ZB=60°,AB=3,BC=6,

____>--->---?---?R

且力。=ZBC(4eR),AD■AB=-1，貝|(

B.實數4的值為:

6

C.四邊形4BCD是梯形D.若M,N是線段BC上的動點，且|而|=1,則前?麗的

最小值為差

三、填空題

12.（2024?新疆?二模）在等腰梯形2BCD中，AB=2DC,點E是線段BC的中點，若荏=4萬+〃前，則

4+〃=

13.（23-24高一下?黑龍江大慶?期末）如圖，在△4BC中，。是的中點，E,F是/D上的兩個三等分點

瓦？?8?=5,~BF-~CF=-2,則戰?無的值是

A

14.（23-24高三?廣東陽江?階段練習）在面積為2的平行四邊形ZBCD中，點P為直線2D上的動點，則麗?無

+品2的最小值是.

四、解答題

15.（23-24高一下?甘肅白銀?階段練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點0.E是線段。。

的中點，4E的延長線與CD交于點F.

（1）用荏，而方表示荏；

⑵若萬=2荏+〃詬，求；1+〃的值.

16.(23-24高一下,江蘇蘇州?期中)閱讀一下一段文字：(a+b)2=a2+2a-b+b2,(a—bf=a2—2a-b

222

+b,兩式相減得①+B)2-(a-])2=4a-b^a-b=^[(a+b)-(a-fa)]我們把這個等式稱作“極化恒等

式”，它實現了在沒有夾角的參與下將兩個向量