第02講函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性、最值

目錄

01模擬真題練..................................................................2

題型一：?jiǎn)握{(diào)性的定義及判斷....................................................................2

題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷..................................................................2

題型三：分段函數(shù)的單調(diào)性......................................................................3

題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值..............................................................3

題型五：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍............................................................4

題型六：利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小.......................................................4

題型七：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明..............................................................5

題型八：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)................................................................6

題型九：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式'求值.......................................................6

題型十：奇函數(shù)的中值模型......................................................................7

題型十一：利用單調(diào)性與奇偶性求解函數(shù)不等式...................................................7

題型十二：函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用....................................................................8

題型十三：函數(shù)周期性的應(yīng)用....................................................................8

題型十四：對(duì)稱性與周期性的綜合應(yīng)用............................................................9

題型十五：類周期與倍增函數(shù)...................................................................10

題型十六：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性..........................................10

02重難創(chuàng)新練.................................................................11

03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................13

題型一：?jiǎn)握{(diào)性的定義及判斷

1.下列函數(shù)在(-8,0)上單調(diào)遞減的是()

1a

A.y=—B.y=x92C.y=x3D.y=1

x

2.(2024?高三?黑龍江齊齊哈爾?期末)設(shè)函數(shù)〃力=琲v2x,則“X)()

A.是偶函數(shù)，且在。,+力)上單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(-U)上單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減

3.(2024?高三?上海靜安?期中)已知函數(shù)/。)=/知＞0),且"0)=0.

(1)求。的值，并指出函數(shù)/J)的奇偶性；

(2)在(1)的條件下，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)/(X)在(-*+助上是增函數(shù).

題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷

4.函數(shù)/(x)=log2(-Y+4X+5)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(f2)B.(2,+oo)C.(2,5)D.(-1,2)

[-2x-3

5.函數(shù)=[;的單調(diào)增區(qū)間為()

A.(YO,-1]B.(-oo,l]

C.[1,+co)D.[3,+oo)

6.已知函數(shù)〃x)=lg(d--+12)在［-1,3］上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.[6,+oo)B.[6,7)

C.(-oo,-2]D.(-13,-2]

題型三：分段函數(shù)的單調(diào)性

7.（2024?高三?云南大理?期中）已知函數(shù)〃尤）=<11滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)玉都有

——x——,x<2

I82

號(hào)產(chǎn)<。成立，則實(shí)數(shù)0的取值范圍為（）

1313

A.(-<?,2)B.-00,可C.S，2]D.—00,——

8

2c5?

x—2axH—,x<1

2

8.已知函數(shù)=<滿足對(duì)于任意實(shí)數(shù)占W%,都有〃占）—）<。成立,則實(shí)數(shù)。的取

2-a王—x

------,x>12

x

值范圍是（）

A.(1,2)B.[1,2)C.6D.

d—ax2+?,x<0

9.已知函數(shù)f（x）=（21，若函數(shù)/（尤）在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

2'）——，X>0

2

A.B.°4C.D.[0,2]

3a—x,x<2

10.（2024?高三?內(nèi)蒙古赤峰?開(kāi)學(xué)考試）已知a>0,且函數(shù)〃尤）=Iog.(x-1)T*2在R上單調(diào),

則。的取值范圍是（）

12

A.(l,+oo)B.C.D.1

3；3I-

題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值

(a—2)x+4a+1,%V2

11.（2024?上海松江.二模）已知0vdv2,函數(shù)y=:2,若該函數(shù)存在最小值，則實(shí)

2ax-\

數(shù)。的取值范圍是

2"—1,X<Q

12.（2024.高三.北京東城.期末）設(shè)函數(shù)/（x）=

x2+a,x>a

①若。=-2,則〃力的最小值為.

②若/（力有最小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

13.（2024?貴州.模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=2一*+2x+3,則"X）的最大值是.

14-函數(shù)"寫(xiě)的最大值為一.

題型五：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍

15.（2024?廣東揭陽(yáng)?二模）已知函數(shù)〃%）=-爐+改+1在（2,6）上不單調(diào)，貝M的取值范圍為（）

A.（2,6）B.（YO,2]U[6,+CO）

C.（4,12）D.（ro,4][.[12,同

16.（2024.山東.二模）已知函數(shù)/（x）=2/—點(diǎn)+1在區(qū)間[T,w）上單調(diào)遞增，則/⑴的取值范圍是（）.

A.[7,+oo）B.（7,+oo）

C.（-oo,7]D.（。,7）

17.（2024?陜西榆林?一模）已知函數(shù)〃力=產(chǎn)-3在[0,+。）上單調(diào)遞增，貝IJ。的取值范圍是（）

A.[0,+co）B.（1,+co）C.（e,+oo）D.[2e,+oo）

18.設(shè)函數(shù)/（x）=（；）'<-）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.3，-2]B.（-2,0]C.（0,2]D.[2,+切）

題型六：利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小

v

19.已知定義在R上的函數(shù)/a）滿足/（x）=/（2-x）,且當(dāng)xe[l,+s）時(shí)，/（x）=e+e-\^

3

a=f2,&=/（log43）,c=/fsin^\則（）

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

20.(2024?北京西城?一模)設(shè)。=/-，,8=/+：,。=1(2+，)，其中—i<r<o,貝。()

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

21.已知偶函數(shù)函x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增,>?=log52,6=-如3,c=2皿則/⑷，〃力，f(c)的大小

關(guān)系為()

A./(c)>/(?)>/(&)B./(&)>/(€)>/(?)

C./⑷>"3>/(c)D./(c)>/(&)>/(?)

題型七：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明

22.設(shè)函數(shù)〃x),g(x)的定義域?yàn)镽,且/(尤)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A./(x)g(x)是偶函數(shù)B.|〃x)g(x)|是奇函數(shù)

c.|/(x)|g(x)是偶函數(shù)D.是奇函數(shù)

23.(2024.重慶.三模)設(shè)函數(shù)/(力=五|,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A./(x-2)+1B.f(x—2)+2

C./(x+2)+2D./(x+2)+l

24.(2024?高三?江西?期中)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且“力是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù),則

()

A.y=/(x)-g(x)是偶函數(shù)

B.y=|〃x?g(x)是偶函數(shù)

C.y=f(|x]>g(x)是奇函數(shù)

D.y=|/(x).g(x)|是奇函數(shù)

25.(多選題)下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A.f(x)=x3B.f(x)=x5C.〃x)=x+：D.=9

26.判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(D/(x)=lg.

⑵〃x)=lg(j/+l+x).

題型八：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)

---%W—1

27.設(shè)函數(shù)/（無(wú)）=，x+1-，若g（x）=/（%+a）+6為奇函數(shù)，則a+b=

1,x=-l

28.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)g（x）=（3辦2_2一/]為奇函數(shù)，則。=

入2+（TYX>0

72/一八是奇函數(shù)，則。+〃=_____?

）bx-2x,x<Q

cc、門上▼業(yè)乙//\tzcosx-v3sinx+c,x>0皿,,_

30.設(shè)奇函數(shù)〃x）=,.c，則a+c的值為_(kāi)________.

[cosx+bsmx—c,x<t）

題型九：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式、求值

31.(2024?云南昆明?模擬預(yù)測(cè))已知/(x),g(x)分別為定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，

/(%)+g(%)=x3+ar2+a,則/'(3)=.

32.已知偶函數(shù)”X)和奇函數(shù)g(x)均定義在R上，且滿足〃x)+g(x)=3--苴1+5,則

〃T)+g(3)=一?

33.已知/(力，g(x)是分別定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且/⑺―8(尤)=/+>+1,則

〃D+g(2)=.

34.(2024.高三.黑龍江哈爾濱.期末)已知/(力為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，且滿足/(x)+g(x)=e'+x,

則g(x)=()

,ex-e-x-ex+e~x八ex-e-x-2x「e"-e~x+2x

A.-----B.------C.----------D.----------

2222

題型十：奇函數(shù)的中值模型

35.(2024?陜西榆林?三模)已知函數(shù)y=/(尤)為奇函數(shù)，且最大值為1,則函數(shù)>=2/(0+1的最大值和

最小值的和為.

36.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=［^^+61n(x+J?n)+c,其中a>0且awl,fteR,ceZ,

則/(l)和/(T)的值一定不會(huì)是()

A.2+6和一3—8B.-3和4

C.3和-1D.和匕也

44

37.已知函數(shù)f(x)=ln(岸Wr)+1，正實(shí)數(shù)滿足/(2a)+/S-4)=2,則竺+g/不的最小值為.

38.已知函數(shù)〃x)=ln(&7至-x)+l,貝|g(x)=/(x)-l是(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)函數(shù)；若

/(a)=4,則/(-〃)=.

39.(2024?安徽安慶三模)若Vx,yeR,都有〃x+y)+4=〃x)+〃y)成立，貝i］函數(shù)§⑺=4"苧在1

在［-2019,2019］上的最大值與最小值的和為.

題型十一：利用單調(diào)性與奇偶性求解函數(shù)不等式

40.已知函數(shù)/(》)=告-》-2,若/(/儲(chǔ))+/("-2)+2>0恒成立，則實(shí)數(shù)用的取值范圍是()

A.(-2,1)B.(-1,2)C.(0,2)D.(2,4)

41.(2024.遼寧大連.一模)設(shè)函數(shù)/(x)=sin"+e3“3一e33-x+3則滿足/(x)+/(3-2x)<4的x的取值范

圍是()

A.(3,+oo)B.(-oo,3)C.(l,+oo)D.(一①/)

42.(2024.云南貴州.二模)若函數(shù)/(力的定義域?yàn)镽且圖象關(guān)于V軸對(duì)稱，在［。，+?)上是增函數(shù)，且

/(-3)=0,則不等式〃x)<0的解是()

A.(-8,-3)B.(3,+8)

C.(—3,3)D.(—co,—3)。(3,+%)

43.(2024?遼寧?一模)已知函數(shù)〃x)=log2(4'+16)-x-2,若/(a—l)N/(2a+l)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范

圍為()

B.(-oo,-2][0,+oo)

4

C.-2-D.(-GO,-2]—,+co

'33

題型十二：函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用

44.(2024?陜西寶雞?二模)請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱的函數(shù)的解析式.

45.(2024.四川瀘州?一模)函數(shù)〃x)=—三的對(duì)稱中心為.

46.已知函數(shù)函數(shù)=二函數(shù)g(x)滿足g(l-x)+g(l+x)=。，若/(已與g(x)的圖象有6個(gè)交點(diǎn),則所有

x-1

交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和等于.

47.下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y=log?x的圖象關(guān)于直線X=2對(duì)稱的是()

A.y=log2(2+x)B.y=log2(2-x)

C.y=log2(4+x)D.y=log2(4-j;)

48.(2024?高三?陜西漢中?期中)已知函數(shù)/⑺(xeR)滿足〃2x+l)為奇函數(shù)，若函數(shù)丁=5由值與y=/(x)

的圖象的交點(diǎn)為(國(guó),%),(%,%)，…，(%,%)，則2X(%+%)等于()

A.0B.加C.2mD.4m

題型十三：函數(shù)周期性的應(yīng)用

49.已知函數(shù)/(無(wú))的定義域是R,+"=一"，/(x)+/(6—力=0,當(dāng)時(shí)，/(x)=4x-2x2,

則〃2024)=.

50.(2024?寧夏銀川?一模)若定義在R上的函數(shù)/(x)滿足y=/(x+l)是奇函數(shù)，/(4+x)=/(-x),/(2)=2,

則/⑴+/(2)+〃3)+.+/(30)=.

51.(2024?山東棗莊?一模)已知〃x+2)為偶函數(shù)，且/(x+2)+/(x)=-6,貝iJ〃2027)=.

52.(多選題)設(shè)函數(shù)/(力的定義域?yàn)镽,〃x+l)為奇函數(shù)，〃x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)xe[l,2]時(shí)，

〃力=加+江若/(0)+/(3)=6,則下列關(guān)于/(x)的說(shuō)法正確的有()

A./(力的一個(gè)周期為4B.點(diǎn)(6,0)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心

20255

C.xe[l,2]時(shí)，/(x)=2x2-2D./

22

題型十四：對(duì)稱性與周期性的綜合應(yīng)用

53.(2024.四川南充三模)已知函數(shù)〃x)、g(x)的定義域均為R,函數(shù)/(2x-l)+l的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

函數(shù)g(x+l)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，/(x+2)+g(x+l)=-l,/(T)=0,則/(2030)-g(2017)=()

A.-4B.-3C.3D.4

54.(2024.云南昆明?一模)已知函數(shù)〃x),g(x)的定義域均為R,為偶函數(shù)且/(x)+/(x+2)=3,

9

g(x)+g(10-x)=2,貝ijZ["i)+g(i)]=()

Z=1

4547

A.21B.22C.—D.—

22

55.(2024?高三?河南濮陽(yáng)?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,且〃4x+l)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,2)中心

100

對(duì)稱，若/(2+x)—/(2—x)+4x=0,則￡y(i)=.

i=l

56.(2024?江西.二模)已知定義在R上的函數(shù)A*)滿足/(0)=0J(3x)=4/(x)且一x)+/(x)=2,貝i]

57.(2024.山東日照二模)已知是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，〃5.5)=4,g(x)=(x-l)/(x),若g(x+l)

是偶函數(shù)，則g(-0.5)=()

A.—6B.—4C.4D.6

58.已知函數(shù)八工)及其導(dǎo)函數(shù)/'(犬)的定義域均為R,記g(x)=/'(x),若八21-函g(%-2)均為偶函數(shù),且

當(dāng)時(shí)，/(x)=mx3-2x,則g(2024)=.

題型十五：類周期與倍增函數(shù)

I-

+1,丁€［-2,0］,若函數(shù)8(尤)=“的一工一2m+1在區(qū)間［—

59.(2024?江西上饒?一模)已知函數(shù)/(x)=〈x-1

2/(x-2),xe(0,4-oo)

2,4］內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是.

A.B.m\-l<m<^

<g或加=1

C.D.或相=1

22

60.(2024.河北衡水?一模)定義在R上的函數(shù)/(尤)滿足/(x+2)=2/(x),且當(dāng)xe(2,4］時(shí),

-X2+4x,2<x<3

f(x)=\x2+2'g[x)=ax+\,若任給%=［—2。］,存在父目―2』,使得g(%2)=/(X)，則實(shí)數(shù)

-----,3<x<4

x

。的取值范圍為().

11

A.—oo,—D—,+ooB.

884'°

11

C.(0,8]D.—oo,--—,+00

48

題型十六：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性

61.已知定義在R上的函數(shù)/(尤)滿足：/(x+y)=/(x)+/(y)-3孫(x+y).

⑴判斷y=/(x)的奇偶性并證明；

(2)若=求〃一2)；

⑶若Vx>0,/(x)+x3>0,判斷并證明)=/(%)+/的單調(diào)性.

62.已知定義在R上的函數(shù)〃尤)滿足〃孫)=〃x)〃y)—一〃y)+2,/(0)<2,/⑼//⑴，且

/(x)>0.

⑴求/(。)，”1),/(—I)的值;

(2)判斷/(力的奇偶性，并證明.

63.已知函數(shù)/(X)對(duì)任意X,yeR,總有/(x+y)=/(x)+/(y),且當(dāng)x>0時(shí)，/(x)<o,=

⑴求證：/(力是R上的奇函數(shù)；

⑵求證：/(4是R上的減函數(shù)；

⑶若/(，7+1)-〃2-4無(wú))2-2,求實(shí)數(shù)X的取值范圍.

1.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))下列關(guān)于函數(shù)/(x)=tanx+，的四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

tanx

A.A*)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.A*)的圖象關(guān)于點(diǎn)(兀,0)對(duì)稱

C./G)的圖象關(guān)于直線x=￡對(duì)稱D./a)在區(qū)間上單調(diào)遞增

2.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且滿足/(x)+/(y)=于(x+y)-2孫+2,〃1)=2,

則下列結(jié)論正確的是()

A./(4)=12B.方程/(x)=x有解

C./[x+g)是偶函數(shù)D.八天一￡|是偶函數(shù)

3.(2024?河北保定二模)若函數(shù)y=/(x)-l是定義在R上的奇函數(shù)，則/(-1)+〃0)+〃1)=()

A.3B.2C.-2D.-3

4.(2024?山東泰安?三模)已知函數(shù)“X)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)“0時(shí)，〃％)=-丁-3彳+。-1,貝1]/(-。)

的值為（）

A.1B.2C.3D.4

5.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃尤）的定義域?yàn)镽,f^f（y）-f（x）=xy-y,則（）

A."0)=0B.=1

C./（x+1）為偶函數(shù)D./（x+1）為奇函數(shù)

6.（2024?遼寧沈陽(yáng)三模）已知“X）是定義在R上的函數(shù)，且/（2x-l）為偶函數(shù)，2）是奇函數(shù)，當(dāng)

xe[0,l]時(shí)，f(x)=2x-l,則/⑺等于()

A.—1B.——C.-'D.1

22

7.（2024?貴州畢節(jié)三模）已知函數(shù)A*）的圖象在x軸上方，對(duì)Vx/R,都有/原+2＞/（助=2/（1）,若

y=/。一1)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，且/(0)=1,則/(2023)+/(2024)+/(2025)=()

A.3B.4C.5D.6

8.（2024?山東濟(jì)南.三模）已知函數(shù)/（X）的定義域?yàn)镽,且豺■（力-#。）=沖口7）,則下列結(jié)論一定成

立的是（）

A./⑴=1B./（力為偶函數(shù)

C.“X）有最小值D./（可在［。』上單調(diào)遞增

9.（多選題）（2024?湖南常德?一模）若定義在R上的連續(xù)函數(shù)/（力滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有

且/⑴=2,則下列判斷正確的有（）

A.函數(shù)外力的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

B./（力在定義域上單調(diào)遞增

C.當(dāng)xe（0,+co）時(shí)，/（%）＞1

D回+加+川+7（2022）/（2024）

'/（1）"3）"5）…/（2021）/（2023）

10.（多選題）（2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（力的定義域?yàn)镽,且

f（x+y）f（x-y）=/2（x）-/2（＞）,/（I）=1,/（2）=0,則下列說(shuō)法中正確的是（）

2023

A.為偶函數(shù)B./（3）=-1C./（-1）=-/（5）D.￡/W=l

k=\

11.（多選題）（2024?廣東茂名?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（力的定義域?yàn)镽,

小+y)一小一丫)=小+||小+|^,“0)x0,貝I]()

A.=OB.函數(shù)/（x）是奇函數(shù)C./（O）=-2D./（x）的一個(gè)周期為

3

12.（多選題）（2024?廣東茂名?二模）已知函數(shù)/（可為R上的奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增.若

/（2a）+/（a-2）＞0,則實(shí)數(shù)。的取值可以是（）

A.-1B.0C.1D.2

13.（2024?山東濰坊?二模）請(qǐng)寫(xiě)出同時(shí)滿足下面三個(gè)條件的一個(gè)函數(shù)解析式/（%）=.

=②/（x）至少有兩個(gè)零點(diǎn)；③“X）有最小值.

14.（2024?廣西南寧.二模）定義域?yàn)镽的函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,1）對(duì)稱，函數(shù)g（x）=/（x）-2x的圖象

關(guān)于直線x=2對(duì)稱.若/（0）=0,則/⑴+/（2）++/（50）=.

15.（2024?四川雅安三模）已知函數(shù)"無(wú)）=[「/卜os2尤是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)4=.

16.（2024?山西呂梁?二模）已知函數(shù)/（力的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,0）中心對(duì)稱，也關(guān)于點(diǎn)（0,-1）中心對(duì)稱，則

〃1）J（2）J（3）,…,“2024）的中位數(shù)為_(kāi)______.

1.（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）若〃x）=（x-l『+ar+sin[x+mj為偶函數(shù)，則"=.

2.（2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)，（無(wú)）=2小-"）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是（）

A.（TO,—2]B.[―2,0）

C.（0,2]D.[2,網(wǎng)

3.（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）

.ex-x12345°cosx+x2-ex-x-sinx+4x

A.y=B.y=-—c.y=--D.尸一—

x+1xr+1x+1e

4.（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）已知/（同=三+4,xeR,且/（力是奇函數(shù)，則。=.

5.（2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)/（力的定義域?yàn)镽,/（x+2）為偶函數(shù)，〃2x+l）為奇

函數(shù)，則（）

A.=0B./(-1)=0C.*2)=0D."4)=0

6.(2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)(文)試題)設(shè)/(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且〃l+x)=/(f).若：

則)

7.(2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)(文)試題)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()

A./(x)=-xB.=0C.f(x)=x2D.于(x)=E

8.(2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)(理)試題)設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,〃x+l)為奇函數(shù)，〃x+2)為偶

9

函數(shù)，當(dāng)％目1,2]時(shí)，f(x)=ax2+b.若〃。)+〃3)=6,則/)

1—x

9.(2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)(文)試題)設(shè)函數(shù)/。)=產(chǎn)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

1+x

A.f(x—1)—1B.f(x—1)+1C.f(x+1)—1D.f(x+l)+l

10.(2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,且

22

/(x+y)+f(x-y)=/(x)/(y),/(I)=1,則￡/(幻=()

k=\

A.-3B.-2C.0D.1

11.(2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知函數(shù)/(無(wú))送(尤)的定義域均為R,且

22

/(x)+g(2-x)=5,g(x)-/(x-4)=7.若y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，g(2)=4,則￡〃％)=()

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

12.(2023年北京高考數(shù)學(xué)真題)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+s)上單調(diào)遞增的是()

A./(x)=-lnxB./(x)=]

C./(%)=--D.“XT-"

X

13.(2023年新課標(biāo)全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題)若/(x)=(x+a)ln||W為偶函數(shù)，則a=().

A.-1B.0C.1D.1

14.(2021年全國(guó)新高考H卷數(shù)學(xué)試題)寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)/(x)：

①/（平2）=/（%）/（七）；②當(dāng)xe（O,+w）時(shí)，f'{x}>0；③/'（x）是奇函數(shù).

15.（2021年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)/（力=丁,2-2-，）是偶函數(shù)，則。=.

16.（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）若〃x）=lna+J—+6是奇函數(shù)，貝I]a=—,b=

1—X

第02講函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性、最值

目錄

01模擬真題練..................................................................2

題型一：?jiǎn)握{(diào)性的定義及判斷....................................................................2

題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷..................................................................2

題型三：分段函數(shù)的單調(diào)性......................................................................3

題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值..............................................................3

題型五：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍............................................................4

題型六：利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小.......................................................4

題型七：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明..............................................................5

題型八：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)................................................................6

題型九：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式、求值.......................................................6

題型十：奇函數(shù)的中值模型......................................................................7

題型十一：利用單調(diào)性與奇偶性求解函數(shù)不等式...................................................7

題型十二：函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用....................................................................8

題型十三：函數(shù)周期性的應(yīng)用....................................................................8

題型十四：對(duì)稱性與周期性的綜合應(yīng)用............................................................9

題型十五：類周期與倍增函數(shù)...................................................................10

題型十六：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性..........................................10

02重難創(chuàng)新練.................................................................11

03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................13

梢陽(yáng)建礎(chǔ)饗

//

題型一：?jiǎn)握{(diào)性的定義及判斷

1.下列函數(shù)在(-8,0)上單調(diào)遞減的是()

1a

A.y=-B.y=%29C.y=x3D.y=^

x

【答案】B

【解析】對(duì)于A,函數(shù)y=--在區(qū)間(一8,0)上是增函數(shù)，故A不正確；

對(duì)于B,函數(shù)y=V在區(qū)間(-8,0)上是減函數(shù)，故B正確；

對(duì)于C,函數(shù)y=V在(-“,0)上是增函數(shù)，故C不正確；

對(duì)于D,函數(shù)y=x在上是增函數(shù)，故D不正確.

故選：B.

2.(2024.高三.黑龍江齊齊哈爾.期末)設(shè)函數(shù)〃力=小|-2%,則/(力()

A.是偶函數(shù)，且在。,+力)上單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(-U)上單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減

【答案】B

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=x|尤|一2%的定義域?yàn)镽,S.f(-x)=-x\x\+2x=-(x\x\-2x')=-f(x),

所以/(力是奇函數(shù)，又=作出函數(shù)/⑺圖象如下圖：

—X—2x

由圖知，函數(shù)/(X)在(-8,-1)和(1,+力)上單調(diào)遞增，在(-1,1)上單調(diào)遞減.

故選：B

3.(2024?高三?上海靜安?期中)已知函數(shù)/。)=二-=3>0),且"0)=0.

a2X

（1）求。的值，并指出函數(shù)/（X）的奇偶性；

（2）在（1）的條件下，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)/（X）在（-8,+8）上是增函數(shù).

【解析】（1）因?yàn)?（。）=,-。=0,又。＞。，所以”=1,

a

所以xe（Y）,3?,

2

此時(shí)/（-無(wú)）=5-2、=-f（x）,所以為奇函數(shù)；

（2）任取%＜%,貝IJ/（玉）一/（%）=2為一—一29+5

2為11

=（2為一2沏）+—:——=（2畫(huà)-2^）（1+----）=2應(yīng)（1+----）（]_2沏/）,

2再2再+“2+"2

因?yàn)閄]＜%,所以2七國(guó)＞1，所以1一2*』＜0,2*（1+不、）＞0

所以/a）-"々）＜0即/U）＜f（x2）,

所以函數(shù)/（x）在（TO,+8）上是增函數(shù).

題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷

4.函數(shù)/（力=1Y2（-/+4》+5）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.（毋,2）B.（2,+s）C.（2⑸D.（-1,2）

【答案】C

【解析】由題意/（x）=log2（-/+4x+5）=logJ-（x-2）2+9],令I(lǐng)；,；2’”,。

解得—lvxv2,即函數(shù)〃x）=log?（-/+4尤+5）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1,2）.

5.函數(shù)〃x）=GJ'"J的單調(diào)增區(qū)間為（）

A.（-oo,-l]B.（-oo,l]

C.[l,+oo）D.[3,+oo）

【答案】B

（〔xylx2—2x—3

【解析】因?yàn)?（尤）=g,則必-2尤-320，解得xM—1或心3,

所以/（力的定義域?yàn)椋èD,T][3，H＞

又t=f-2x_3開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=l,>=?在［0,+8）上單調(diào)遞增，

所以y=VX2-2X-3在（-8,T］上單調(diào)遞減，在［3,+8）上單調(diào)遞增，

因?yàn)閥=（g］在R上單調(diào)遞減，

所以〃X）=g