專題跟蹤訓練(二十一)一、選擇題1．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，從A，B中各任意取一個數，則這兩數之和等于4的概率是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,6)[解析]從A，B中各任意取一個數記為(x，y)，則有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6個基本事件．而這其中兩數之和為4的有(2,2)，(3,1)，共2個基本事件．又從A，B中各任意取一個數的可能性相同，故所求的概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).[答案]C2．(2014·湖南卷)在區間[－2,3]上隨機選取一個數X，則X≤1的概率為()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)[解析]在區間[－2,3]上隨機選取一個數X，則X≤1，即－2≤X≤1的概率為p＝eq\f(3,5).[答案]B3．甲、乙兩人玩猜數字游戲，先由甲心中想一個數字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數字，把乙猜的數字記為b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就稱甲乙“心有靈犀”．現任意找兩人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為()A.eq\f(11,36)B.eq\f(5,18)C.eq\f(1,6)D.eq\f(4,9)[解析]根據題目條件知所有的數組(a，b)共有62＝36組，而滿足條件|a－b|≤1的數組(a，b)有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)，共有16組，根據古典概型的概率公式知所求的概率為P＝eq\f(16,36)＝eq\f(4,9).故選D.[答案]D4．現有三個不為零的不同的數字a、b、c排成一個三位數，則數字a、b恰好相鄰的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,6)D.eq\f(5,6)[解析]三個不同的數字a、b、c排成一個三位數共有abc，acb，bac，bca，cab，cba共6種可能，則a、b相鄰的情況有abc，bac，cab，cba，共4種，則所求概率P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).[答案]B5．(2015·合肥高三模擬)現釆用隨機模擬的方法估計該運動員射擊4次，至少擊中3次的概率：先由計算器給出0到9之間取整數值的隨機數，指定0、1表示沒有擊中目標，2、3、4、5、6、7、8、9表示擊中目標，以4個隨機數為一組，代表射擊4次的結果，經隨機模擬產生了20組隨機數：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根據以上數據估計該射擊運動員射擊4次至少擊中3次的概率為()A．0.85B．0.8C．0.75D．0.7[解析]每組數中表示擊中3次或4次的有7527,0293,9857,0347,4373,8636,6947,4698,6233,8045,3661,9597,7424,4281,2616,15組，所以概率為eq\f(15,20)＝eq\f(3,4)＝0.75，選C.[答案]C6．(2015·福建卷)如圖，矩形ABCD中，點A在x軸上，點B的坐標為(1,0)，且點C與點D在函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x<0))的圖象上．若在矩形ABCD內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,8)D.eq\f(1,2)[解析]依題意得，點C的坐標為(1,2)，所以點D的坐標為(－2,2)，所以矩形ABCD的面積S矩形ABCD＝3×2＝6，陰影部分的面積S陰影＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2)，根據幾何概型的概率求解公式，得所求的概率P＝eq\f(S陰影,S矩形ABCD)＝eq\f(\f(3,2),6)＝eq\f(1,4)，故選B.[答案]B二、填空題7．(2015·太原模擬)如圖，在邊長為1的正方形中隨機撒1000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據此估計陰影部分的面積為______．[解析]由題意知，這是個幾何概型問題，eq\f(S陰,S正)＝eq\f(180,1000)＝0.18，∵S正＝1，∴S陰＝0.18.[答案]0.188．(2015·江蘇卷)袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球．從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為________．[解析]從4只球中一次隨機摸出2只球，有6種結果，其中這2只球顏色不同有5種結果，故所求概率為eq\f(5,6).[答案]eq\f(5,6)9．(2015·重慶卷)在區間[0,5]上隨機地選擇一個數p，則方程x2＋2px＋3p－2＝0有兩個負根的概率為________．[解析]設方程x2＋2px＋3p－2＝0的兩個根分別為x1，x2，由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4p2－43p－2≥0,x1＋x2＝－2p<0,x1x2＝3p－2>0))，結合0≤p≤5，解得eq\f(2,3)<p≤1或2<p≤5，所以所求概率P＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋5－2,5)＝eq\f(2,3).[答案]eq\f(2,3)三、解答題10．現有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學從中任取2道題解答．試求：(1)所取的2道題都是甲類題的概率；(2)所取的2道題不是同一類題的概率．[解](1)將4道甲類題依次編號為1,2,3,4；2道乙類題依次編號為5,6.任取2道題，基本事件為：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15個，而且這些基本事件的出現是等可能的．用A表示“都是甲類題”這一事件，則A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6個，所以P(A)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).(2)基本事件同(1)，用B表示“不是同一類題”這一事件，則B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8個，所以P(B)＝eq\f(8,15).11．(2015·德州第二次模擬)甲、乙兩名考生在填報志愿時都選中了A、B、C、D四所需要面試的院校，這四所院校的面試安排在同一時間．因此甲、乙都只能在這四所院校中選擇一所做志愿，假設每位同學選擇各個院校是等可能的，試求：(1)甲、乙選擇同一所院校的概率；(2)院校A、B至少有一所被選擇的概率．[解]由題意可得，甲、乙都只能在這四所院校中選擇一個做志愿的所有可能結果為：(甲A，乙A)，(甲A，乙B)，(甲A，乙C)，(甲A，乙D)，(甲B，乙A)，(甲B，乙B)，(甲B，乙C)，(甲B，乙D)，(甲C，乙A)，(甲C，乙B)，(甲C，乙C)，(甲C，乙D)，(甲D，乙A)，(甲D，乙B)，(甲D，乙C)，(甲D，乙D)，共16種．(1)其中甲、乙選擇同一所院校有4種，所以甲、乙選擇同一所院校的概率為eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).(2)院校A、B至少有一所被選擇的有12種，所以院校A、B至少有一所被選擇的概率為eq\f(12,16)＝eq\f(3,4).12．已知集合A＝{x|x2＋2x－3<0}，B＝{x|y＝lg(x＋2)(3－x)}．(1)從A∪B中任取兩個不同的整數，記事件E＝{兩個不同的整數中至少有一個是集合A∩B中的元素}，求P(E)；(2)從A中任取一個實數x，從B中任取一個實數y，記事件F＝{x與y之差的絕對值不超過1}，求P(F)．[解](1)由已知可得：A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|－2<x<3}，∴A∪B＝{x|－3<x<3}，A∩B＝{x|－2<x<1}．∵A∪B中的整數為－2，－1,0,1,2，∴從中任取兩個的所有可能情況為：{－2，－1}，{－2,0}，{－2,1}，{－2,2}，{－1,0}，{－1,1}，{－1,2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}共10種，∵A∩B中的整數為－1,0，∴事件E包含的基本事件為：{－2，－1}，{1，－1}，{2，－1}，{－2,0}，{1,0}，{2,0}，{0，－1}共7個，∴P(E)＝e