第七章立體幾何

7.1基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積

課程標準有的放矢

1.利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形，認識柱、錐、臺、球及其簡單組

合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構.

2.知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡

單的實際問題.

3.能用斜二測法畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡

單組合）的直觀圖.

必備知識溫故知新

【教材梳理】

L棱柱、棱錐、棱臺

類別棱柱棱錐棱臺

圖形

定義有兩個面互相平行,其余各面有一個面是多邊形，用一個平行于棱錐底

都是四邊形,并且相鄰兩個四其余各面都是有一個面的平面去截棱錐，

邊形的公共邊都互相平行,由公共頂點的三角形,底面和截面之間那部

這些面所圍成的多面體由這些面所圍成的多分多面體

面體

結構底面互相平行且全等;側面都底面是一個多邊形；上、下底面互相平行

特征是平行四邊形;側棱都相等且側面都是三角形;側且相似;各側棱延長

互相平行面有一個公共頂點線交于一點;各側面

為梯形

分類①按底面多邊形的邊數：三棱①按底面多邊形的邊①按底面多邊形的邊

柱、四棱柱、五棱柱...數：三棱錐、四棱數：三棱臺、四棱

②按側棱與底面的關系：側棱錐、五棱錐…臺、五棱臺…

垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,②正棱錐：底面是正②正棱臺：由正棱錐

多邊形，并且頂點與截得的棱臺

底面中心的

否則叫做斜棱柱.底面是正多邊連線垂直于底面的棱

形的直棱柱叫做正棱柱.底面是錐

平行四邊形的四棱柱也叫做壬

行六面體

2.圓柱、圓錐、圓臺、球

類圓柱圓錐圓臺球

別

定以矩形的一邊所在以直角三角形的一用平行于圓錐底以半圓的直徑所

義直線為旋轉軸，其條直角邊所在的直面的平面去截圓在直線為旋轉

余三邊旋轉一周形線為旋轉軸，其余錐，底面與截面軸，旋轉一周所

成的面所圍成的旋兩邊旋轉一周形成之間的部分形成的曲面叫做

轉體的面所圍成的旋轉球面,球面所圍

體成的旋轉體

結①母線互相平行且①母線相交于一點①母線延長線交截面是圓面

構相等，并垂直于底②軸截面是全等的于一點

特面等腰三角形②軸截面是全等

征②軸截面是全等的③側面展開圖是扇的等腰梯形

矩形③側面展開圖是

③側面展開圖是更扇環

娶

簡單組合體：由簡單幾何體組合而成的幾何體叫簡單組合體.其構成形式主

要有：由簡單幾何體拼接，或由簡單幾何體截去或挖去一部分.

3.立體圖形的直觀圖

（1）概念：直觀圖是觀察者站在某一點觀察一個空間幾何體獲得的圖形，

立體幾何中通常是在平行投影下得到的平面圖形.

（2）斜二測畫法畫水平放置的平面圖形直觀圖的步驟：

①在已知圖形中取互相垂直的X軸和y軸，兩軸相交于點。.畫直觀圖時，把

它們畫成對應的％'軸和V軸，兩軸相交于點。'，且使々'。歹=45。_（或

135。），它們確定的平面表示水平面.

②已知圖形中平行于％軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成生任于軸或V

軸的線段.

③已知圖形中平行于遨的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸

的線段，在直觀圖中長度為原來的一半.

畫幾何體的直觀圖時，與畫平面圖形的直觀圖相比，只是多畫一個與％軸、

y軸都垂直的z軸,并且使平行于z軸的線段的平行性和長度都不變.

4.簡單幾何體的表面積與體積

（1）圓柱、圓錐、圓臺的側面積.

類別

側面

展開

圖

側面

積公

式

其中r,r'為底面半徑，2為母線長.

（2）柱、錐、臺、球的表面積和體積.

幾何體表面積體積（S是底面積，九是高）

棱

柱體(

S表面積—S側+25^V;盹

柱

圓

和

柱

，

錐體（棱s.=￡+S",V=一

3----

錐和圓

錐）

臺體（棱s表面積=s側+S上+S下，=［（S,+邑+5）九

臺和圓

臺）

球（R是S=4TIR2V=：7l/?3

3

半徑）

常用結論

常見四棱柱及其關系

底面是平側棱垂直

行四邊形平行于底面直

六八面伴體平行底矩面形是,X?，底正面方是形.正?各都棱相長等十正

直四底面是平棱A

費.行商形I黑怦柱體

E自主評價牛刀小試

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內畫“，錯誤的畫“X”.

（1）有兩個側面是矩形的棱柱是直棱柱.（X）

（2）有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.（X）

（3）所有側面都是全等矩形的四棱柱一定是正四棱柱.（X）

（4）用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖時，原圖形面積S與其直觀圖面積S'的

關系為9=鄒.（V）

4

（5）圓錐的體積等于底面積與高之積.（X）

2.已知直角梯形ZBCD,現繞著它的較長底CD所在的直線旋轉一周，所得的幾

何體包括（A）

A.一個圓柱、一個圓錐B.一個圓柱、兩個圓錐

C.一個圓臺、一個圓柱D.兩個圓柱、一個圓臺

解：直角梯形2BCD可以分割成一個矩形和一個直角三角形，矩形繞其一邊旋

轉一周得圓柱，直角三角形繞其直角邊旋轉一周得圓錐.可得幾何體包括一個圓

柱、一個圓錐.故選A.

3.【多選題】如圖，長方體4BCD-&B1C14被一個平面截成兩個幾何體，其

中EF//B1G//BC,則（ACD）

A.幾何體ABC。-ZiEFDi是一個六面體

B.幾何體4BCD-&EFD1是一個四棱臺

C.幾何體44EB-DD/C是一個四棱柱

D.幾何體BBiE-CC/是一個三棱柱

解：對于A,幾何體43。。一4速尸。1一共六個面，是一個六面體，故A正確.

對于B,幾何體2BCD-4￡7叨1一共六個面，側棱不相交于一點，所以不是棱

臺，故B錯誤.

對于C,幾何體441EB-DDiFC的面A41EB〃面DDiFC,另外四個面都是平行

四邊形，所以是四棱柱，故C正確.

對于D,幾何體BBiE—CCiF的面BB]E〃面CCiF,另外四個面都是平行四邊

形，所以是三棱柱，故D正確.

故選ACD.

4.[2021年全國甲卷]已知一個圓錐的底面半徑為6,其體積為30TT,則該圓錐的

側面積為漁L.

解：因為，=qTTX6?X九=30TI,所以九=|.

所以Z=V/i2+r2-J（習+62-

所以S側=nrl—TVx6x——39TT.故填39Tl.

2核心考點精準突破

考點一基本立體圖形及直觀圖

例1

（1）下列命題中正確的是（A）

A.棱柱的側棱都相等，側面都是全等的平行四邊形

B.在四棱柱中，若兩個過相對側棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱

柱

C.夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉體

D.棱臺的上、下底面可以不相似，但側棱長一定相等

解：A不正確，根據棱柱的定義，棱柱的各個側面都是平行四邊形，但不一定

全等.B正確，由線面平行的性質定理，知兩個過相對側棱的截面的交線平行于側

棱，且垂直于底面.C不正確，若兩個平行截面與圓柱的底面平行，則是旋轉體，若

這兩個平行截面與圓柱的底面不平行,則不是旋轉體.D不正確，棱臺的上、下底

面相似且是對應邊平行的多邊形，各側棱的延長線交于一點，但側棱長不一定

相等.故選B._

（2）如圖，已知正四棱錐S-2BC。的側棱長為2g,側面等腰三角形的頂角

為30。，則從點a出發環繞側面一周后回到點a的最短路程為（D）

%

A.2V6B.2V3C.V6

解：把正四棱錐的側面沿著S2剪開，得到它的側面展開圖，如圖所示.則最短路

程為線段44〉

在^SAAr中，zASAi=30°x4=120°,S4=SA1=2遮，貝=30°.

所以A4i=2S4-cos30°=6.故選D.

【點撥】①課程標準要求考生認識柱、錐、臺、球的結構特征，并能描述

現實生活中的簡單物體結構.②解決空間幾何體表面距離最短問題,需通過展開,

把問題轉化為平面兩點間線段最短問題.多面體表面展開圖可以有不同的形

狀，要觀察并想象立體圖形與表面展開圖的關系.③直觀圖是立體圖形在平面

中的一種重要表現形式，解決直觀圖的相關問題，要牢牢掌握直觀圖與原圖的

關系,具體見【教材梳理】.注意巧用直觀圖與原圖的面積比S直:S原=e:4.

變式1

（1）下列結論正確的是（B）

A.側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐

B.六條棱長均相等的四面體是正四面體

C.有兩個側面是矩形的棱柱是直棱柱

D.用一個平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫圓臺

解：如圖，各側面均是等腰三角形，但該三棱錐非正三棱錐，A錯誤.斜四棱柱

也有可能兩個側面是矩形，C錯誤.截面平行于底面時，底面與截面之間的部分

才叫圓臺，D錯誤.故選B.

（2）一如圖而示，矩形。N'B'C'是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中

。'4=3,O'C=1,則原圖形是（C）

C.面積為6近的菱形D.面積為乎的菱形

4

解：^D'0'A'=45°,0'C=CD'=1,所以。'￡）'=四.故在原圖形中，0D二

2V2,CD=CD'=1,

OC=y/OD2+CD2=V8T1=3=04所以四邊形。ABC為菱形（如圖所

示）.則原圖形的面積為S=。2x。。=6近.故選C.

考點二空間多面體的面積、體積

命題角度1空間多面體的面積

例2《九章算術》中將正四棱臺稱為“方亭”.現有一方亭，高為2,上底面邊

長為2,下底面邊長為4,則此方亭的表面積為20+12星.

解：如圖所示，分別是正四棱臺不相鄰兩個側面的高，

AC—BD-J22+=居，

所以此方亭的表面積為

42+22+4X^-+4）—=20+12V5.

2

故填20+12V5.

【點撥】求解多面體的表面積，關鍵是找到其中的特征圖形，如棱柱中的

矩形，棱錐中的直角三角形，棱臺中的直角梯形等，通過這些圖形，找到幾何

元素間的關系，通過建立未知量與已知量間的關系進行求解.

變式2如圖1所示的正方體的棱長為1,沿對角面（圖中陰影部分）將其分割

成兩塊，重新拼接成如圖2所示的斜四棱柱，則所得的斜四棱柱的表面積是

2V2.

解：由拼接規律，得斜四棱柱的上下兩個底面為矩形，長為1,寬為或；左右為

兩個正方形，邊長為1；前后為兩個平行四邊形，相鄰兩邊長為1與魚，一個

內角為45°.從而斜四棱柱的表面積是2xlx/+2xl2+2xlx/xsin

45。=4+2/.故填4+2V2.

命題角度2空間多面體的體積

例3如圖，在多面體4BCDEF中，已知4BCD是邊長為1的正方形，且△4DE,

△BCF均為正三角形，EF//AB,EF=2,則該多面體的體積為（A）

解：如圖，過4B兩點分別作AM,BN垂直于EF,垂足分別為M,N,連接

DM,CM可證得DM1EF,CNJ.EF.則多面體2BCDEF分為三部分，即多面體

的體積%BCDEF—^AMD-BNC+-AMD+/-BNC?

依題意，知ZEFB為等腰梯形.

易知Rt△DME三Rt△CNF,所以EM=NF

又BF=1,所以BN=立.

作NH工BC于點、H,則“為BC的中點，所以NH=今

所以降.=3邛5皿二牛.

所以4-BNC=Z.S^BNC.NF=

%-AMD=%-BNC=^AMD-BNC=^^BNC'MN=￡

Z4-G

所以匕BCDEF=，.故選A.

【點撥】求空間多面體體積的常用方法為公式法、割補法和等積變換法

(等體積法).①割補法：將這個幾何體分割成幾個柱體、錐體，分別求出柱體

和錐體的體積，從而得出要求的幾何體的體積.②等積變換法：對于三棱錐，由

于其任意一個面均可作為棱錐的底面，從而可選擇更容易計算的方式來求體

積，利用“等積性”還可求點到面的距離.

變式3［2023年新課標II卷］底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所

截，截去一個底面邊長為2,高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為空.

解：(方法一)如圖，由于工，而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱

42

錐的高為6.所以正四棱錐的體積為1x(4x4)x6=32,截去的正四棱錐的體

積為［X(2X2)X3=4.所以棱臺的體積為32-4=28.

(方法二)棱臺的體積為］x3x(16+4+V16X4)=28.故填28.

2一節4/

-------------%

考點三空間旋轉體的面積、體積

命題角度1空間旋轉體的面積

例4如圖,四邊形ZBCD為梯形，AD//BC,乙4BC=90。，以4為圓心，為半

徑畫一個扇形，則圖中陰影部分繞旋轉一周所形成的幾何體的表面積為幽1.

A

解：依題意，形成的幾何體是一個圓臺從上面挖出一個半球.

S半球=1x4nx22=8n.又CD=^/(5—2)2+42=5,所以S圓臺側=nx

(2+5)x5=35Tl,S圓臺底=25TC.

故所求幾何體的表面積S表=8n+35n+25TT=68Tl.

故填68Tl.

【點撥】求旋轉體的表面積問題需注意其側面展開圖的應用.直角梯形繞直

角腰旋轉一周形成的是圓臺，四分之一圓繞半徑所在的直線旋轉一周，形成的

是半球，所以陰影部分繞旋轉一周形成的是組合體，圓臺挖去半球，5表=

S圓臺側+S下底面+S半球表,

變式4如圖，以菱形ZBCD的一邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉一周形成

的面圍成一個幾何體，已知=2,Z.DAB-p則該幾何體的表面積為8glT.

解：作出所求的幾何體，如圖.

A'

D

C

該幾何7本上部分為圓錐，下部分為在圓柱內挖去一個與上部分相同的圓錐.易知

點。到的距離為2sin三=g,即圓柱底面圓的半徑為百，圓錐的側面積為

|x2x2V3TT=2V3TT,圓柱的側面積為2x2舊!1=4百11.所以該幾何體的表面

積為2x2痘大+4V3TT=8V3TT.故填8百11.

命題角度2空間旋轉體的體積

例5如圖，在AaBC中，NZCB=90。,乙4BC=30。，BC=逐，在三角形內挖去

一個半圓（圓心。在邊BC上，半圓與分別相切于點C,M,交BC于點

N）,則圖中陰影部分繞直線BC旋轉一周所得旋轉體的體積為貉1.

設OM=r,因為BC=逐，所以OB二遍一r.

在△MB。中，sin41BC=4一=工，解得r=省.

V5-r23

在△ABC中，因為N2CB=90°,NZBC=30°,BC=遮，所以AC=BCtan30°=

V5

后

圖中陰影部分繞直線BC旋轉一周所得幾何體為一個圓錐內挖去一個球.設圓錐的

體積為匕，球的體積為七,則所求體積1/=%-匕=?ZC2.BC—=^x

23

(5xV5-yX(^)=警聯故填警聯

【點撥】求旋轉體體積的一般思路是理解旋轉體的幾何特征，確定得到計

算體積所需要的幾何量.求旋轉體的體積常用公式法、分割法等，注意相關公式

要牢記.

變式5已知4(0,0),B(l,0),C(2,l),￡>(0,3),將四邊形ABCD繞y軸旋轉一周,

則所得旋轉體的體積是(A)

A.5nB.3nC.”D.”

解：如圖，過點C作y軸的垂線交y軸于點E.則△DCE是直角三角形.四邊形ZBCE

是直角梯形，四邊形2BCD繞y軸旋轉一■周所得幾何體是一■個圓錐和一■個圓臺的

組合體.易求得ZB=1,BC=V2,CE=2,AE=1,ED=2,DC=2五,則所得旋轉

體的體積為，=|XTTX22X2+^(1+1X2+22)X1=57T.故選A.

課時作業知能提升

【鞏固強化】

1.如圖所示的幾何體是柱體的有(B)

①②③④⑤

A.1個B.2個C.3個D.4個

解：①③⑤不是柱體，②是圓柱，④是以左、右面為底面的棱柱.故選B.

2.將一個等腰梯形繞它的較長的底邊所在的直線旋轉一周，所得的幾何體包括

(D)

A.-?個圓臺、兩個圓錐B.兩個圓臺、一個圓柱

C.兩個圓柱、一個圓臺D.一個圓柱、兩個圓錐

解：從較短的底邊的端點向另一底邊作垂線，兩條垂線把等腰梯形分成了兩個

直角三角形，一個矩形，所以一個等腰梯形繞它的較長的底邊所在直線旋轉一

周形成的是由一個圓柱、兩個圓錐所組成的幾何體，如圖.故選D.

3.[2021年江蘇卷]若圓錐的軸截面為等腰直角三角形，則它的底面積與側面積

之比是(C)

A.V2:lB.2:1C.1：V2D.1:2

解：

s

作出圓錐的軸截面，如圖所示.

設圓錐的底面圓半徑為丁，高為h,母線長為

則/=2rcos45°=V2r.

該圓錐的底面積與側面積比值為貯=

nrlnry/2r72

故選c.

4.如圖，一個水平放置的平行四邊形ZBCD的斜二測畫法的直觀圖為矩形

A'B'C'D',若4B'=4,B'C=3,則在原平行四邊形4BCD中，AD=(D)

B.3V2C.6V2D.9

解：在直觀圖AB'C'D'中,A'B'=4,B'C'=3,則D'E'=3,Z'E'=3迎.把直

觀圖還原為原圖，如圖所示，根據斜二測畫法規貝山得DE=3,AE=6V2,所

以=y/DE2+AE2=9.故選D.

5.如圖為某工廠內一手電筒最初模型的組合體，該組合體是由一圓臺和一圓柱

組成的，其中。為圓臺下底面圓心，。2,。1分別為圓柱上、下底面的圓心.經實

驗測量，得到圓柱上、下底面圓的半徑為2cm,0r02-5cm,00x-4cm,

圓臺下底面圓半徑為5cm,則該組合體的表面積為(B)

解：圓柱的上底面面積為4Tlem2,側面積為4nx5=20Tr(cm2).圓臺的下底面

面積為25Ttem2,圓臺的母線長為J42+(5—2尸—5(cm),所以圓臺的側面積

為TT(2+5)x5=35Tl(cm?).則該組合體的表面積為4TT+20n+25TT+35TT=

84Ti(cm2).故選B.

6」2023年全國乙卷］已知圓錐P。的底面半徑為耳，。為底面圓心，PA,PB為圓

錐的母線，乙4OB=120°,若△P2B的面積等于%,則該圓錐的體積為(B)

4

A.TiB.V6TIC.3TlD.3V6n

解：在△ZOB中，乙4OB=120°,而OA=OB=?取的中點C,連接

OC,PC,有。ClZB,PCI2BJ(口圖，ZAB。=30。，OC==2BC=3.由

△PZB的面積為竽，得］x3-PC=W，解得PC=”.于是PO=

VPC2—OC2-J(~~)—(9)=①.所以圓錐的體積U=",。鄧?PO=1ITx

2

(V3)義傷=傷R.故選B.

7.[2023年新課標I卷]在正四棱臺ABC。一2/停1。1中，AB=2,44=

1,^1=V2,則該棱臺的體積為摯.

解：如圖，過點&作&MJ_2C,垂足為M.易知&M為四棱臺4BCD

的高.

因為AB=2/iBi=l,AAt=V2,所以&。1==|x=^-,AO=

22

171C=|xy/2AB=&.故AM=20-&。1=y,則=y/A^-AM=

I2--=漁.所以所求體積為，=工x(4+1+V43?l)X漁二獨.故填壁.

7223、7266

8.如圖所示的幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形2BCD以邊所在的直線為

旋轉軸旋轉120。得到的，AB=3,AD=2.

(1)求這個幾何體的體積；

解：由題意，可知若將矩形旋轉一周，所得圓柱的體積為，=2B-n-a02=

3x4TT=121T.

因為該幾何體是矩形旋轉120。得到，所以該幾何體體積為5=411.

3603

(2)求這個幾何體的表面積.

由題設，得而=EC=[x240f=詈，則幾何體外側曲面的面積為3x等=

4TT.

上、下底面的面積和為2x^=：,矩形2BCD與矩形2BEF的面積和為2X

3x2=12.

綜上，幾何體的表面積為12+詈.

【綜合運用】

9.[2022年全國甲卷]甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和

為2ir,側面積分別為S,和邑，體積分別為匕和匕.若去=2,則*=(C)

3乙卜乙

A.V5B.2V2C.V10D.—4

S

解：設母線長為2,甲圓錐底面半徑為廠1，乙圓錐底面圓半徑為「2，則色=

S7

rl

TUV_=2,所以-1=2r2.

Tir2lr2

由圓心角之和為2TC,得2："+~~~—2—則牛=1，所以「1=沁=?.所

V5,乙圓錐的高九JR_京2=手？.所以

以甲圓錐的高九1=二丁'2=

唉=京91二臺2?爭

丫乙如他夢爭=64故選C.

10.[2022年新課標II卷]【多選題】如圖，四邊形4BCD為正方形，ED1平面

ABCD,FB//ED,ABED=2FB,記三棱錐E-4CD,F-ABC,F-2CE的

解：設ZB=ED=2FB=2a.

因為ED1平面ZBCD,FBfIED,

所以匕=:后。-54相。=92展?(2。)2=(￡13,72=|FB-SAABC=|-a-|-

(2a)2=|a3.

ED,BDu平面BDEF,所以AC1平面BDEF.

大BM=DM=3BD=過點尸作FG1DE于點G,易得四邊形BDGF為矩

形，所以FG=BD=242a,EG=a.

則EM=J(2a)2+(V2a)2=V6a,

FM—Ja2+(V2a)=V3a,

EF-Ja2+(2V2a)2=3a.

EM2+FM2=EF2,則EM1FM.

2

S^EFM=|EM-FM=^a,AC=2y/2a.

則匕—^A-EFM+%-EFM='^AEFM-2a2

所以2%=3匕，V3=3V2,V3^V1+V2.

故A,B錯誤；C,D正確.

故選CD.

11.某市民廣場有一批球形路障球（如圖1所示），現公園管理處響應市民要

求，決定將每個路障球改造成方便市民歇腳的立方八面體石凳（如圖2所示）.

其中立方八面體有24條棱、12個頂點、14個面（6個正方形、8個正三角

形），它是將立方體“切”去8個“角”后得到的幾何體.經過測量，這批球形

路障球每個直徑為60cm,若每個路障球為改造后所得立方八面體的外接球，

則每個改造后的立方八面體的表面積為5400+1800gcm2.

圖1

解：如圖，由題意，知立方八面體表面有8個正三角形，再加上6個小正方

形，且正方形邊長與正三角形邊長相等,因為路障球為立方八面體的外接球，所

以圖中EG為外接球的直徑.設立方八面體棱長為見在正六邊形E力。GPN中，

EG=2G,即2a=60,則Q=30.

所以立方八面體的表面積S=6a2+8x—a2=5400+1800k（cm2）.故填

4

5400+1800V3.

12.如圖所示，四棱錐P—ABC。中，P41菱形2BCD所在的平面，乙4BC=

60°，點E,尸分別是BC,PD的中點.

bEc

（1）求證：平面2EF1平面PAD.

解：證明：菱形ZBCD中，連接AC,如圖.

則△4BC是正三角形.又E是BC二的中點，所以ZE1BC.又20〃BC,所以ZE1

2D.因為PZJ■平面4BC0,ZEu平面ZBCD,所以PZ_L2E.又PZC2。=4所

以ZE1平面PAD又ZEu平面4EF,所以平面ZEF1平面24D

（2）當AB=2P=2時，求多面體P4BEF的體積.

［答案］由（1）知ZE==1BE-AE=^-,S“AF=^SAPAD=；X1.

PA-AD1.而P41平面ABE,AE1平面PZF,于是有/TBE=|SNBE-PA=

VE-PAF=［SAP.-AE=所以多面體PZBEF的體積/ABEF=VP-ABE+

VE-PAF=V-

【拓廣探索】

13.【多選題】下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容

器（容器壁厚度忽略不計）內的有（ABD）

A.體積為！n?的球體

B.所有棱長均為1.41m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1m，側面積為亨的圓錐體

解：對于A,由球體的體積公式，得空R3==所以球的半徑R=±即球體的直徑

362

等于正方體的棱長，所以恰好能夠被整體放入正方體內，故A正確.

對于B,因為正方體的面對角線長為且魚>1,41,所以能夠被整體放入正

方體內，故B正確.

對于C,因為正方體的體對角線長為gm,且8<1,8,所以不能夠被整體放入

正方體內，故C不正確.

對于D,由于圓錐的底面直徑為1m,側面積為立三1112,所以由圓錐的側面積公式

4

得m7=等，得母線長2=/m,所以高為=/=l（m）,即圓錐的底面直

徑和高都等于正方體的棱長，所以能夠被整體放入正方體內，故D正確.

故選ABD.

專題突破13球的切、接問題

1.在棱長為a的正方體中，內切球半徑71=|,棱切球半徑上=弓。，外接球

半徑七=ya.

2.在棱長為a,b,c的長方體中，外接球半徑r=匹廷|三日.

3.在棱長為a的正四面體中，高九二^a,外接球半徑q=乎a,內切球半徑

34

r——V6a.

z?12

4.在三棱錐中，若有兩個面為直角三角形，且這兩個三角形有公共的斜邊，

則斜邊的中點為該三棱錐外接球的球心，斜邊長的一半為外接球的半徑.

5.若幾何體外接球的球心到面的距離為d,該截面外接圓的半徑為r,則外

接球的半徑R滿足R2="+d2

6.已知直棱柱，側棱長為九，底面多邊形外接圓的半徑為r,則外接球的半

徑R滿足R2=r2+—.

4

核心考點精準突破

考點一長（正）方體的外接球

例1正四面體的所有頂點都在表面積為36n的球面上，則該正四面體的棱長為

2^6.-

解：如圖，在正方體2BCD中，正四面體為a-CB/i.設球的半徑

為R,貝U4TTR2=36TT,解得R=3.所以AG=6,則正方體的棱長為2g.所以正

四面體的棱長為2必=2遙.故填2遙.

【點撥】①長（正）方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體

對角線長的一半.②可以補成長方體的一些特殊三棱錐如下，上面講到的“共斜

邊直角三角形所成三棱錐”也可算作其中1種，據此可確定球心.

圖形特征三棱錐的三條側棱兩兩三棱錐的四個面均是直三棱錐的對棱兩兩

互相垂直角三角形相等

PA1PB,則三棱錐P—4BC的外接球的體積為（B）

A.—B.出包C.27V31TD.27TT

22

解：因為在三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA=PB=PC=3,所

以4PAB=△PBC=△PAC.

因為P21PB,所以P21PC,PC1PB.

以P4PB,PC為過同一頂點的三條棱作正方體（如圖所示），則正方體的外

接球即三棱錐P-2BC的外接球.

因為正方體的體對角線長為，32+32+32=3V3,所以其外接球半徑R=手.

因此三棱錐P-4BC的外接球的體積，=等X（等）=和竺故選B.

考點二外接球的球心問題

例2【多選題】正三棱錐S-4BC的外接球半徑為2,2B=3,則此正三棱錐

的體積為（AB）

解：設三棱錐S-2BC的外接球球心為。，△ABC的中心為。.由題知2CD=

當外接球球心。在線段S。上時，如圖1所示.

S

則00=Voc2-CD2=J22-(V3)2=1,SD=1+2=3.所以％一.。=|x|x

當外接球球心。在線段SD的延長線上時，如圖2所示.則。。=122-（V3）2=

1,SD=2-1=1.所以％TBC=-xix3x3x—xl=%.故選AB.

3224

【點撥】確定多面體外接球球心的方法:尋找幾何體中一個面的外接圓圓心

。1（正三角形外心為中心，直角三角形外心為斜邊中點，一般三角形可用正弦

定理確定外心），過點。1作該平面的垂線，球心就在垂線上，球的半徑可用勾

股定理求得，如圖所示.

變式2[2023年全國乙卷]已知點S/,B,C均在半徑為2的球面上，△4BC是邊長

為3的等邊三角形，S41平面4BC,貝Usa=2.

解：如圖，將三棱錐S—4BC補形成直三棱柱SMN-2BC.

設△2BC的外接圓圓心為。1，半徑為r,則百，可得r=

~T

V3.

設三棱錐S-2BC的外接球球心為。，連接。4,。。1，則。a=2,。。1=]S4由

。弟=。。次+。1屋，得4=1Sa2+3,解得sa=2.故填2.

,W

R

考點三內切球的球心問題

例3已知正三棱錐的高為1,底面邊長為28，則該棱錐的內切球的半徑為也-

1.

解：如圖，在正三棱錐P-2BC中，過點P作PD1平面4BC于點。，連接并

延長，交BC于點E,連接PE.

P

R

易知。為△4BC的中心.

因為2B=2j5,PD=1,所以SNBC=3舊，DE=1,PE=所以S“BC=

|x2V3xV2=巡.所以三棱錐的體積U|x3V3x1=V3.

設內切球半徑為R,則U=V0_ABC+V0_PBC+V0_PAC+V0_PAB=|SAABC-R+

3x|SAPBC-/?=（V3+呵R=V3,可得H=V2-1.

故填魚-1.

【點撥】求幾何體內切球的方法.①等體積法：內切球球心到多面體各面的

距離均相等，故可用等體積法^=157（7為多面體的體積，S為多面體的表面

積，r為內切球的半徑）.②軸截面法：適用于對稱幾何體，作出軸截面，利用

相似三角形以及勾股定理求解.

變式3如圖，該幾何體為兩個底面半徑為1,高為1的相同的圓錐形成的組合

體，設它的體積為匕，它的內切球的體積為匕，則匕:匕=（D）

A.2:V3B.2V2:3D.V2:l

解：該幾何體的軸截面如圖，可得內切球的半徑R=0E==|TIx1?x

3

1=|1T"=Xd)=、7T,所以匕：(=/：1,故選D.

考點四最值問題

例4【多選題】已知圓柱的軸截面的周長為12,圓柱的體積為匕外接球的表

面積為S,則下列結論正確的是(BC)

A.S有最大值，最大值為36nB.S有最小值，最小值為18n

C.U有最大值，最大值為8nD.U有最小值，最小值為4n

解：設圓柱的底面半徑為r,高為九，圓柱的外接球的半徑為H.

由4r+2九=12,得2r+h—6.

2R—74T2+九2,o<r<3.

圓柱的體積為V=nr2h-irr2(6—2r)=2irr2(3—r),

則函數，的導數為，=6-nr(2-r).

當0<r<2時,『>0;當廠>2時，V<0.

故函數，=2nr2(3—r)在(0,2)上單調遞增，在(2,3)上單調遞減，所以當r=2

時，，取最大值8n.

易得0<UW8TI,無最小值.

圓柱的外接球的表面積S=4nR2=-n:(4r2+F)--n；[4r2+(6—2r)2]=

8m(r—)+三，易知當廠=弓時，S取最小值18n,S無最大值.故選BC.

【點裝】策的切、接中的器值問題是綜合性問題，常見解決方法有導數

法、基本不等式法、觀察法等.

變式4半徑為2的球內有一內接圓柱，圓柱上、下底面圓周都在球面上，圓柱

內有一正四棱錐，其頂點在圓柱上底面圓心，底面正方形4個頂點在下底面圓

周上，則四棱錐體積的最大值為筍.

解：如圖，設圓柱高為九，底面圓半徑為H,則C￥+R2=4,正四棱錐底面邊

長為迎2+R2=/兄則”=|(V27?)2/I=1R2九=：(4-9)九=F—9，所以

『錐=，—9，由圖可得0〈無<4.令『錐=0,解得九=卓.所以曝在(0,#)上

單調遞增，在(手,4)上單調遞減.則當九=手時，嗓取得最大值臀.故填臀.

課時作業知能提升

1.在三棱錐P-2BC中，已知P4=BC=2>J13,AC=BP=441,CP==

V61,則三棱錐P-ABC外接球的表面積為（C）

A.64nB.72ITC.77UD.108TT

解：因為三棱錐的對棱相等，所以可以把它看成長方體的面對角線.設長方體的

同一頂點三條棱長分別為a,b,c,且長方體的面對角線長分別為2尺,俯,周，

則Ka2+[2—2V13,VC23*+b2-V41,VCL2+c2-A/ST.長方體的體對角線長為長

方體外接球直徑，即為三棱錐p-ABC外接球的直徑，且2R=Va2+b2+c2=

（52+61+41）=V77,貝U表面積為4TTR2=77n.故選C.

2.已知a,B,C為球。的球面上的三個點，O0i為aaBC的外接圓，若o。1的面

積為4n,ZB=BC=2C=。。>則球。的表面積為（A）

A.64TlB.48nC.36TlD.32Tl

解：如圖，設圓。i的半徑為r,球的半徑為R.依題意，得71產=4TI,所以丁=2.

因為△力為等邊三角形，

根據球的截面性質，得0。11平面所以。。11。14，R=0A=

J。。/+。遇2=J。久+。=4,所以球。的表面積S=4TTR2=64n.故選A.

3.[2022年新課標II卷]已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3次和

4V3,其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（A）

A.IOOTIB.128nC.144nD.192Tl

解：設正三棱臺上、下底面所在圓面的半徑分別為七,72.則2r1=卡a,2萬=

設球心到上、下底面的距離分別為did2,球的半徑為R.則慮=7R2—9,d2=

7R2—16.由甩—Bl=1或di+B=1,得|A/R2—9—7R2—16|=1.或

、R2-9+至-16=1,解得R2=25,符合題意.所以球的表面積為S=

4TTR2=icon.故選A.

4.已知三棱錐P-ABC,若P4PB,PC兩兩垂直，且P4=2,PB=PC=

1,則三棱錐P—ABC的內切球的表面積為土

解：由題意，設三棱錐P-4BC的內切球的半徑為r,球心為。.則由等體積，得

1111

Up-ABC=%-PAB+%-PAC+%-PBC+%-ABC9即]><-'X2XlXl=-X-X

2xlxrx2+-x-xlxlxr+-x-xV2x5--xr,解得丁=±故內切

3232q24

球的表面積為4TI產=E.故填

44

5.［2023年全國甲卷］在正方體ABC。一為當64中，AB=4,。為人6的中點，

若該正方體的棱與球。的球面有公共點，則球。的半徑的取值范圍是

［2左2的.

解：設球的半徑為R.當球是正方體的外接球時，恰好經過正方體的每個頂點,

222

所求球的半徑最大.外接球直徑2R'=ACr=V4+4+4=4V3,則R'=

2V3,故Rmax=2V3.

如圖，分別取側棱441381，。。1，。。1的中點時,46聲，連接MG.顯然四邊形

MNG”是邊長為4的正方形，則MG=4近.當球的一個大圓恰好是四邊形

MNG”的外接圓時，球的半徑最小，即Rmin=271

綜上，RC［2VX2迎］.故填［2VX2遮］.

6.［2022年全國乙卷］已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為。，底面的四個頂點

均在球。的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為盤.

解：如圖，由題意，可知當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大.

設底面邊長為a,底面所在圓的半徑為=四棱錐的高g.則

四棱錐的體積U=

-,當且僅當貯=1-貯，即時，等號成立.所以該四棱錐的體

3y\3/27423

積最大時，其高九=Jl-y=Jl_：=J.故填..

7.2空間點、直線、平面之間的位置關系

課程標準有的放矢

借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象

出空間點、直線、平面的位置關系的定義，并了解基本事實1-3.

必備知識溫故知新

【教材梳理】

L平面的基本性質

(1)基本性質.

基文字語言圖形語言符號語言作用

本

事

實

基過不在一條直線上的三/-B.c/三點不共線今存在確定平

本個點，有且只有一個平及”/唯一的平面a使4B,面；判定

事面CEa點線共面

實等

1

基如果一條直線上的兩個/、/AEl,862,且46戊，確定直線

本點在一個平面內，那么"/BCanIua在平面

事這條直線在這個平面內內；判定

實點在平面

2內等

基如果兩個不重合的平面pea,且Pe夕nan判定兩平

本有一個公共點,那么它B=L且PeI面相交；

事們有且只有一條過該點二工〉/判定點在

實的公共直線"直線上等

3

(2)基本事實1與2的推論.

推文字語言圖形語言符號語言

論

推經過一條直線和這條直A生I今有且只有一個平面a,使4G

論線外一點，有且只有一a,/ua

1個平面

推經過兩條相交直線,有aC匕=p=有且只有一個平面a,使

論且只有一個平面aua,/?ua

2

推經過兩條平行直線,有/——a〃bn有且只有一個平面a,使au

論且只有一個平面及/a,bua

3

2.空間點、直線、平面之間的