第八章一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；③棱臺的上、下底面可以不相像，但側(cè)棱長肯定相等．其中真命題的個數(shù)是(A)A．0B．1C．2D．3解析：①不肯定，只有當(dāng)這兩點的連線平行于軸時才是母線；②不肯定，因為“其余各面都是三角形”并不等價于“其余各面都是有一個公共頂點的三角形”，如圖所示；③錯誤，棱臺的上、下底面相像且是對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點，但是側(cè)棱長不肯定相等．2．以長為8cm，寬為6cm的矩形的一邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的圓柱的底面面積為(C)A．64πcm2B．36πcm2C．64πcm2或36πcm2D．48πcm2解析：分別以長為8cm，寬為6cm的邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，即可得到兩種不同大小的圓柱，明顯C選項正確．3．梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，則直線CD與平面α內(nèi)的直線的位置關(guān)系只能是(B)A．平行B．平行或異面C．平行或相交D．異面或相交解析：由直線與平面平行的判定定理，可知CD∥α，所以CD與平面α內(nèi)的直線沒有公共點．4．如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必通過(D)A．點AB．點BC．點C但不通過點MD．點C和點M解析：通過A，B，C三點的平面γ，即通過直線AB與點C的平面，因為M∈AB，∴M∈γ，而C∈γ，又M∈β，C∈β，∴γ和β的交線必通過點C和點M.5．如圖所示，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，將此正方形沿EF折成直二面角后，異面直線AF與BE所成角的余弦值為(C)A.eq\f(\r(2),2)B.eq\r(3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)解析：過點F作FH∥DC，交BC于H，過點A作AG⊥EF，交EF于G，連接GH，AH，則∠AFH為異面直線AF與BE所成的角．設(shè)正方形ABCD的邊長為2，在△AGH中，AH＝eq\r(\f(5,2)＋\f(2,4))＝eq\r(3)，在△AFH中，AF＝1，F(xiàn)H＝2，AH＝eq\r(3)，∴cos∠AFH＝eq\f(1,2).6．已知三棱錐S-ABC中，∠SAB＝∠ABC＝eq\f(π,2)，SB＝4，SC＝2eq\r(13)，AB＝2，BC＝6，則三棱錐S-ABC的體積是(C)A．4B．6C．4eq\r(3)D．6eq\r(3)解析：∵∠ABC＝eq\f(π,2)，∴AB⊥BC，又∵AB＝2，BC＝6，∴AC＝2eq\r(10)，∵∠SAB＝eq\f(π,2)，∴AB⊥AS，又∵AB＝2，SB＝4，∴AS＝2eq\r(3)，再由SC＝2eq\r(13)得AC2＋AS2＝SC2，∴AC⊥AS，∴AS⊥平面ABC，∴AS為三棱錐S-ABC的高，∴VS-ABC＝eq\f(1,3)×6×2eq\r(3)＝4eq\r(3)，故選C.7．正四棱錐的頂點都在同一球面上．若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為(A)A.eq\f(81π,4)B．16πC．9πD.eq\f(27π,4)解析：如圖所示，設(shè)球的半徑為R，球心為O，正四棱錐的底面中心為O′.∵正四棱錐P-ABCD中AB＝2，∴AO′＝eq\r(2).∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝(eq\r(2))2＋(4－R)2，解得R＝eq\f(9,4)，∴該球的表面積為4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))2＝eq\f(81π,4)，故選A.8．已知圓錐的高為16cm，底面積為512cm2，平行于圓錐底面的截面面積為50cm2，則截面與底面的距離為(C)A．5cmB．10cmC．11cmD．25cm解析：設(shè)截面與底面的距離為hcm，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16－h(huán),16)))2＝eq\f(50,512)，解得h＝11，故選C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分．9．以下關(guān)于空間幾何體特征性質(zhì)的描述，錯誤的是(ABC)A．以直角三角形一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐B．有兩個面相互平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱C．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐D．兩底面相互平行，其余各面都是梯形，側(cè)棱延長線交于一點的幾何體是棱臺解析：以直角三角形的一個直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐，可得A錯誤；有兩個面相互平行，其余各面都是四邊形的幾何體可能是棱臺，不肯定是棱柱，故B錯誤；有一個面是多邊形，其余各面都是有公共頂點三角形的幾何體叫棱錐，故C錯誤；依據(jù)棱臺的定義，可得D正確．故選ABC.10．如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，點M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點，若平行六面體的各棱長均相等，則下列說法正確的是(ACD)A．A1M∥D1P B．A1M∥B1QC．A1M∥平面DCC1D1 D．A1M∥平面D1PQB1解析：連接PM，因為M、P為AB、CD的中點，故PM平行且等于AD.由題意知AD平行且等于A1D1，故PM平行且等于A1D1，所以PMA1D1為平行四邊形，所以A1M∥D1P.故A正確；明顯A1M與B1Q為異面直線，故B錯誤；由A知A1M∥D1P，由于D1P既在平面DCC1D1內(nèi)，又在平面D1PQB1內(nèi)，且A1M即不在平面DCC1D1內(nèi)，又不在平面D1PQB1內(nèi)，故C、D正確．故選ACD.11．如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列命題中，肯定正確的為(ABD)A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．異面直線PM與BD所成的角為45°解析：∵QM∥PN，∴QM∥平面ABD，∴QM∥BD，同理可得AC∥MN，∵QM∥BD，AC∥MN，MN⊥QM，∴AC⊥BD，A正確；∵AC∥MN，∴AC∥截面PQMN，B正確；∵QM∥BD，AC∥MN，∴eq\f(MN,AC)＋eq\f(QM,BD)＝1，C不肯定正確；∵QM∥BD，∴異面直線PM與BD所成的角為∠PMQ＝45°，D正確．故選ABD.12．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點．則(BC)A．直線D1D與直線AF垂直B．直線A1G與平面AEF平行C．平面AEF截正方體所得的截面面積為eq\f(9,8)D．點C與點G到平面AEF的距離相等解析：取DD1中點M，則AM為AF在平面AA1D1D上的射影，∵AM與DD1不垂直，∴AF與DD1不垂直，故A選項錯誤；∵A1G∥D1F，A1G?平面AEFD1，∴A1G∥平面AEFD1，故B選項正確；平面AEF截正方體所得截面為等腰梯形AEFD1，易知梯形面積為eq\f(9,8)，故C選項正確；假設(shè)C與G到平面AEF的距離相等，即平面AEF將CG平分，則平面AEF必過CG中點，連接CG交EF于H，而H不是CG中點，則假設(shè)不成立．故D選項錯誤．故選BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．一個直徑為32厘米的圓柱形水桶中放入一個鐵球，球全部沒入水中后，水面上升9厘米，則此球的半徑為__12__厘米．解析：設(shè)球的半徑為R，由題意知V球＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(32,2)))2×9＝eq\f(4,3)πR3，∴R＝eq\r(3,64×27)＝12(厘米)．14．P為△ABC所在平面外一點，PA，PB，PC與平面ABC所成角均相等，又PA與BC垂直，那么△ABC的形態(tài)為__等腰三角形__．解析：設(shè)點P在底面ABC上的射影為O.由PA，PB，PC與平面ABC所成角均相等，∴O點到△ABC三個頂點的距離相等，即O是△ABC的外心，∵PO⊥底面ABC，∴PO⊥BC，又PA⊥BC，PO∩PA＝P，∴BC⊥平面PAO，∴OA⊥BC，∴AB＝AC，∴△ABC肯定為等腰三角形．15．如圖所示，ABCD-A1B1C1D1是長方體，AA1＝a，∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°，則AB與A1C1所成的角為__30°__，AA1與B1C所成的角為__45°__.解析：長方體ABCD-A1B1C1D1中，∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°，∵AB∥A1B1，A1B1與A1C1所成的角，就是AB與A1C1所成的角，∴AB與A1C1所成的角為30°，∵AA1∥BB1，BB1與B1C所成的角就是AA1與B1C所成的角，連接AC，則AC∥A1C1，∴∠BAC＝30°，∵AA1＝a，∠BAB1＝30°，∴AB＝eq\r(3)a，∴BC＝a，∴∠BB1C＝45°，∴AA1與B1C所成的角為45°，故答案為30°，45°.16．如圖，邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點G，已知△A′DE(A′?平面ABC)是△ADE繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形，有下列命題：①平面A′FG⊥平面ABC；②BC∥平面A′DE；③三棱錐A′-DEF的體積的最大值為eq\f(1,64)a3；④動點A′在平面ABC上的射影在線段AF上；⑤直線DF與直線A′E可能共面．其中正確的命題是__①②③④__(寫出全部正確命題的編號)．解析：由已知可得四邊形ADFE是菱形，則DE⊥GA′，DE⊥GF，所以DE⊥平面A′FG，所以平面A′FG⊥平面ABC，①正確；因為BC∥DE，所以BC∥平面A′DE，②正確；當(dāng)平面A′DE⊥平面ABC時，三棱錐A′-DEF的體積達到最大值，最大值為eq\f(1,64)a3，故③正確；由①知動點A′在平面ABC上的射影在線段AF上，故④正確；△ADE在旋轉(zhuǎn)過程中，直線DF與直線A′E始終異面，故⑤錯誤．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題10分)某高速馬路收費站入口處的平安標(biāo)識墩如圖所示，墩的上半部分是正四棱錐P-EFGH，下半部分是長方體ABCD-EFGH.長方體的長、寬、高分別是40cm、40cm、20cm，正四棱錐P-EFGH的高為60cm.題圖答圖(1)求該平安標(biāo)識墩的體積；(2)求該平安標(biāo)識墩的側(cè)面積．解：(1)該平安標(biāo)識墩的體積V＝VP-EFGH＋VABCD-EFGH＝eq\f(1,3)×402×60＋402×20＝64000(cm3)．(2)如圖，連接EG，HF交于點O，連接PO，結(jié)合三視圖可知OP＝60cm，OG＝eq\f(1,2)EG＝20eq\r(2)cm，可得PG＝eq\r(602＋20\r(2)2)＝20eq\r(11)(cm)．于是四棱錐P-EFGH的側(cè)面積S1＝4×eq\f(1,2)×40×eq\r(20\r(11)2－202)＝1600eq\r(10)(cm2)，四棱柱EFGH-ABCD的側(cè)面積S2＝4×40×20＝3200(cm2)，故該平安標(biāo)識墩的側(cè)面積S＝S1＋S2＝1600(eq\r(10)＋2)(cm2)．18．(本小題12分)如圖所示，一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形的冰淇淋，假如冰淇淋溶化了，會溢出杯子嗎？請用你的計算數(shù)據(jù)說明理由．解：不會溢出杯子．理由如下：由題圖可知半球的半徑為4cm，所以V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×43＝eq\f(128,3)π(cm3)，V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×42×12＝64π(cm3)．因為V半球<V圓錐，所以假如冰淇淋溶化了，不會溢出杯子．19．(本小題12分)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一點．(1)若CD∥平面PBO，試指出點O的位置；(2)求證：平面PAB⊥平面PCD.解：(1)∵CD∥平面PBO，CD?平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，∴BO∥CD.又BC∥AD，∴四邊形BCDO為平行四邊形，則BC＝DO，而AD＝3BC，∴AD＝3OD，即點O是靠近點D的線段AD的一個三等分點．(2)證明：∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?底面ABCD，且AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD，∴AB⊥PD.又PA⊥PD，AB∩PA＝A，AB，PA?平面PAB，∴PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD.20．(本小題12分)在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，△PAD是等邊三角形，已知AD＝2，BD＝2eq\r(3)，AB＝2CD＝4.題圖答圖(1)設(shè)M是PC上一點，求證：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱錐P-ABCD的體積．解：(1)證明：在三角形ABD中，AD＝2，BD＝2eq\r(3)，AB＝4，由勾股定理可得AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BD⊥平面PAD，又BD?平面BDM，所以平面MBD⊥平面PAD.(2)如圖，取AD的中點O，連接PO，則PO是四棱錐P-ABCD的高，易得PO＝eq\r(3)，底面四邊形ABCD的面積是三角形ABD面積的eq\f(3,2)倍，即為3eq\r(3)，所以四棱錐P-ABCD的體積為eq\f(1,3)×3eq\r(3)×eq\r(3)＝3.21．(本小題12分)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點．(1)求證：PA∥平面BDE，平面PAC⊥平面BDE；(2)若二面角E-BD-C為30°，求四棱錐P-ABCD的體積．題圖答圖解：(1)證明：連接OE，如圖所示．∵O，E分別為AC，PC的中點，∴OE∥PA.∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE.∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD.在正方形ABCD中，BD⊥AC，又∵PO∩AC＝O，PO，AC?平面PAC，∴BD⊥平面PAC.∵BD?平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE.(2)由(1)知，BD⊥平面PAC，∴BD⊥OC，BD⊥OE，∴∠EOC為二面角E-BD-C的平面角，∴∠EOC＝30°.在Rt△OPC中，OC＝eq\f(\r(2),2)a，∠ECO＝∠EOC＝30°，∴PO＝eq\f(\r(2),2)a×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(\r(6)a,6)，∴V四棱錐P-ABCD＝eq\f(1,3)×a2×eq\f(\r(6),6)a＝eq\f(\r(6),18)a3.22．(本小題12分)如圖，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2eq\r(5)，AA1＝eq