PAGEPAGE18參數方程與一般方程的互化與應用1.必記的曲線參數方程已知條件一般方程參數方程經過點P(x0，y0)，傾斜角為αeq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(α為參數)圓心在點M0(x0，y0)，半徑為req\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋rcosθ，,y＝y0＋rsinθ))(θ為參數)長半軸a和短半軸b橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，,y＝bsinθ))(θ為參數)實軸a和虛軸b雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(a,cosθ)，,y＝btanθ))(θ為參數)已知p拋物線y2＝2px(p＞0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))參數方程與一般方程的轉化參數方程轉化成一般方程類型一：含t的消參思路：含有t的參數方程消參時，想方法把參數t消掉就可以啦，有兩個思路：思路一：代入消元法，把兩條式子中比較簡潔的一條式子轉化成t=f(x)或t=f(y)，思路二：加減消元：讓含有t前面的系數相同或成相反數后相加減。例如：曲線C：解：思路一：代入消元：∵x＝2＋eq\f(\r(2),2)t，∴eq\f(\r(2),2)t＝x－2，代入y＝1＋eq\f(\r(2),2)t，得y＝x－1，即x－y－1＝0.思路二：加減消元：兩式相減，x－y－1＝0.類型二：含三角函數的消參思路：三角函數類型的消參一般的步驟就是：移項-化同-平方-相加移項：把除了三角函數的其他相加減數字移動左邊化同：把三角函數前面的系數化成相同平方：兩道式子左右同時平方相加：平方后的式子進行相加（注：有時候并不須要全部步驟）例如：圓eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cosθ，,y＝－2＋sinθ))消參數θ，化為一般方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝1.解：移項：（三角函數前面系數已經相同，省去化同，干脆平方）平方：相加：參數方程涉及題型直線參數方程的幾何意義距離最值（點到點、曲線點到線、）距離的最值：用“參數法”1.曲線上的點到直線距離的最值問題2.點與點的最值問題“參數法”：設點套公式--三角協助角①設點：設點的坐標，點的坐標用該點在所在曲線的的參數方程來設②套公式：利用點到線的距離公式③協助角：利用三角函數協助角公式進行化一直線參數方程的幾何意義.經過點P(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數方程為若A，B為直線l上兩點，其對應的參數分別為t1，t2，線段AB的中點為M，點M所對應的參數為t0，則以下結論在解題中常常用到：(1)t0=eq\f(t1＋t2,2)；(2)|PM|=|t0|=eq\f(t1＋t2,2)；(3)|AB|=|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|=|t1·t2|（5）（注：記住常見的形式，P是定點，A、B是直線與曲線的交點，P、A、B三點在直線上）【特殊提示】1.直線的參數方程中，參數t的系數的平方和為1時，t才有幾何意義且其幾何意義為：|t|是直線上任一點M(x，y)到M0(x0，y0)的距離，即|M0M|=|t|.直線與圓錐曲線相交，交點對應的參數分別為，則弦長；解題思路第一步：曲線化成一般方程，直線化成參數方程其次步：將直線的參數方程代入曲線的一般方程，整理成關于t的一元二次方程：第三步：韋達定理：第四步：選擇公式代入計算。3.直線與兩曲線分別相交，求交點間的距離：思路：一般采納直線極坐標與曲線極坐標聯系方程求出2個交點的極坐標，利用極徑相減即可。4.面積的最值問題：面積最值問題一般轉化成弦長問題+點到線的最值問題真題演練真題演練1．（2024?上海）已知直線方程的一個參數方程可以是A．為參數） B．為參數） C．為參數） D．為參數）【答案】B【解析】為參數）的一般方程為：，即，不正確；為參數）的一般方程為：，即，正確；為參數）的一般方程為：，即，不正確；為參數）的一般方程為：，即，不正確；故選．2．（2024?北京）已知直線的參數方程為為參數），則點到直線的距離是A． B． C． D．【答案】D【解析】由為參數），消去，可得．則點到直線的距離是．故選．3．（2024?天津）設，直線和圓為參數）相切，則的值為__________．【答案】【解析】，直線和圓為參數）相切，圓心到直線的距離：，解得．故答案為：．4．（2024?新課標Ⅲ）在直角坐標系中，曲線的參數方程為為參數且，與坐標軸交于，兩點．（1）求；（2）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，求直線的極坐標方程．【解析】（1）當時，可得舍去），代入，可得，當時，可得舍去），代入，可得，所以曲線與坐標軸的交點為，，則；（2）由（1）可得直線過點，，可得的方程為，即為，由，，可得直線的極坐標方程為．5．（2024?新課標Ⅱ）已知曲線，的參數方程分別為為參數），為參數）．（1）將，的參數方程化為一般方程；（2）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系．設，的交點為，求圓心在極軸上，且經過極點和的圓的極坐標方程．【解析】（1）曲線，參數方程為：為參數），轉換為直角坐標方程為：，所以的一般方程為．曲線的參數方程：為參數）．所以①②整理得直角坐標方程為，所以的一般方程為．（2）法一：由，得，即的直角坐標為．設所求圓的圓心的直角坐標為，，由題意得，解得，因此，所求圓的極坐標方程為．法二：由，整理得，解得：，即．設圓的方程，由于圓經過點和原點，所以，解得，故圓的方程為：，即，轉換為極坐標方程為．6．（2024?新課標Ⅰ）在直角坐標系中，曲線的參數方程為為參數）．以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）當時，是什么曲線？（2）當時，求與的公共點的直角坐標．【解析】（1）當時，曲線的參數方程為，為參數），消去參數，可得，故是以原點為圓心，以1為半徑的圓；（2）法一：當時，，消去得到的直角坐標方程為，的極坐標方程為可得的直角坐標方程為，，解得．與的公共點的直角坐標為．法二：當時，曲線的參數方程為，為參數），兩式作差可得，，得，整理得：，．由，又，，．聯立，解得（舍，或．與的公共點的直角坐標為．7．（2024?新課標Ⅰ）在直角坐標系中，曲線的參數方程為為參數）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．（1）求和的直角坐標方程；（2）求上的點到距離的最小值．【解析】（1）由為參數），得，兩式平方相加，得，的直角坐標方程為，由，得．即直線的直角坐標方程為得；（2）法一、設上的點，，則到直線得的距離為：．當時，有最小值為．法二、設與直線平行的直線方程為，聯立，得．由△，得．當時，直線與曲線的切點到直線的距離最小，為．8．（2024?新課標Ⅲ）在平面直角坐標系中，的參數方程為為參數），過點且傾斜角為的直線與交于，兩點．（1）求的取值范圍；（2）求，中點的軌跡的參數方程．【解析】（1）的參數方程為為參數），的一般方程為，圓心為，半徑，當時，過點且傾斜角為的直線的方程為，成立；當時，過點且傾斜角為的直線的方程為，傾斜角為的直線與交于，兩點，圓心到直線的距離，，或，或，綜上的取值范圍是，．（2）的參數方程為，為參數，，設，，對應的參數分別為，，，則，且，滿意，，滿意，中點的軌跡的參數方程為：，為參數，．9．（2024?新課標Ⅱ）在直角坐標系中，曲線的參數方程為，為參數），直線的參數方程為，為參數）．（1）求和的直角坐標方程；（2）若曲線截直線所得線段的中點坐標為，求的斜率．【解析】（1）曲線的參數方程為為參數），轉換為直角坐標方程為：．直線的參數方程為為參數）．轉換為直角坐標方程為：或．（2）把直線的參數方程為參數），代入橢圓的方程得到：整理得：，則：，（由于和為、對應的參數）由于為中點坐標，所以利用中點坐標公式，則：，解得：，即：直線的斜率為．10．（2024?江蘇）在平面直角坐標系中，已知直線的參數方程為為參數），曲線的參數方程為為參數）．設為曲線上的動點，求點到直線的距離的最小值．【解析】直線的直角坐標方程為，到直線的距離，當時，取得最小值．11．（2024?新課標Ⅰ）在直角坐標系中，曲線的參數方程為，為參數），直線的參數方程為，為參數）．（1）若，求與的交點坐標；（2）若上的點到距離的最大值為，求．【解析】（1）曲線的參數方程為為參數），化為標準方程是：；時，直線的參數方程化為一般方程是；聯立方程，解得或，所以橢圓和直線的交點為和，．（2）的參數方程為參數）化為一般方程是：，橢圓上的任一點可以表示成，，，所以點到直線的距離為：，滿意，且的的最大值為．①當時，即時，解得和，符合題意．②當時，即時，解得和18，符合題意．綜上，或．12．（2024?新課標Ⅲ）在直角坐標系中，直線的參數方程為，為參數），直線的參數方程為，為參數）．設與的交點為，當改變時，的軌跡為曲線．（1）寫出的一般方程；（2）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，設，為與的交點，求的極徑．【解析】（1）直線的參數方程為，為參數），消掉參數得：直線的一般方程為：①；又直線的參數方程為，為參數），同理可得，直線的一般方程為：②；聯立①②，消去得：，即的一般方程為；（2）的極坐標方程為，其一般方程為：，聯立得：，．與的交點的極徑為．強化訓練強化訓練1．（2024?楊浦區校級模擬）已知曲線的參數方程為，其中參數，則曲線A．關于軸對稱 B．關于軸對稱 C．關于原點對稱 D．沒有對稱性【答案】C【解析】由于為奇函數，為奇函數，故曲線關于原點對稱．故選．2．（2024?楊浦區二模）已知曲線的參數方程為是參數），曲線的參數方程為是參數），則和的兩個交點之間的距離為__________．【答案】【解析】由曲線的參數方程是參數），得其一般方程為，由曲線的參數方程是參數），得其一般方程為，則曲線是以為圓心，半徑的圓，圓心到直線的距離，和的兩個交點之間的距離為．故答案為：．3．（2024?奉賢區二模）已知圓的參數方程為為參數），則此圓的半徑是__________．【答案】2【解析】圓的參數方程為為參數），轉換為直角坐標方程為，所以該圓為以為圓心，2為半徑的圓．故答案為：2．4．（2024?長寧區二模）直線是參數）的斜率為__________．【答案】2【解析】直線是參數），消去參數為：，可得斜率．故答案為：2．5．（2024?浦東新區模擬）若點在曲線為參數，上，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】由為參數，可得：因此可以看作與圓：上的點的連線的直線的斜率的取值范圍．設過點的直線方程為：，化為，，解得．解得．的取值范圍是．故答案為：．6．（2024?武漢模擬）已知曲線的參數方程為為參數），曲線的參數方程為為參數），以直角坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．（1）求曲線和曲線的的極坐標方程；（2）射線與曲線和曲線分別交于，，已知點，求的面積．【解析】（1）曲線的參數方程為為參數），由于①，，②，①②得：．依據整理得．曲線的參數方程為為參數），轉換為一般方程為．轉換為極坐標方程為．（2）射線與曲線和曲線分別交于，，所以，，所以，則的面積為．7．（2024?韓城市模擬）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為為參數），曲線的參數方程為，，為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）已知點的直角坐標為，直線與曲線交于，兩點，求．【解析】（Ⅰ）由，得，又，，曲線的直角坐標方程為，即．又曲線的參數方程為，化為一般方程，即，，，；（Ⅱ）將直線的參數方程為參數）代入即，得．設，對應的參數分別為，，則，．．8．（2024?沙坪壩區校級模擬）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為為參數），以為極點，正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）求曲線的直角坐標方程；（2）設直線與曲線交于，兩點，點是的中點，點，求的取值范圍．【解析】（1）由題意可得，，所以曲線的直角坐標方程為．（2）聯立方程，得到，設，對應的參數分別為，，則因為是，的中點，所以當時，當時，，因為，，所以，．綜上所述，，．9．（2024?漢陽區校級模擬）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為：為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為：，．（1）求曲線的極坐標方程并指出曲線類型；（2）若曲線與直線交于不同的兩點、，，求的值．【解析】（1）由，消去參數，得，令，，則有，即，曲線為等軸雙曲線；（2）將直線的極坐標方程代入，得，曲線與曲線交于不同的兩點、，則，又，可得或，設，，，，則，解得：，或，得或．10．（2024?運城模擬）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為為參數），在以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為．（1）求曲線的一般方程及直線的直角坐標方程；（2）求曲線上的點到直線的距離的最大值．【解析】（1）曲線的參數方程為為參數），消去參數得到一般方程為．直線的極坐標方程為．依據轉換為一般方程為．（2）設點，則點到直線的距離，當時，點到直線的距離的最大值為．11．（2024?金鳳區校級四模）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為為參數），在以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中，直線的極坐標方程為．（1）求曲線的一般方程和直線的直角坐標方程；（2）設直線與軸，軸分別交于，兩點，點是曲線上隨意一點，求面積的最大值．【解析】（1）曲線的參數方程為為參數），消去參數得：．直線的極坐標方程為．依據轉換為直角坐標方程為．（2）直線與軸的交點坐標為與軸的交點坐標為，設點到直線的距離，由于，所以．12．（2024?湖北模擬）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為為參數），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）求直線的一般方程和曲線的直角坐標方程；（2）設，直線與曲線的交點為，，線段的中點為，求．【解析】（1）直線的參數方程為為參數），轉換為一般方程為；曲線的極坐標方程為，依據，轉換為直角坐標方程為．（2）將代入到中得到設，所對應的參數分別為，，則線段的中點所對應的參數為13．（2024?香坊區校級一模）已知曲線的參數方程為為參數），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．（Ⅰ）寫出曲線的極坐標方程和直線的直角坐標方程；（Ⅱ）若射線與曲線交于，兩點，與直線交于點，射線與曲線交于，兩點