4.1.2指數函數的性質與圖像TOC\o"13"\h\z\u題型1指數函數的判斷 3題型2指數函數求值 6題型3指數函數含參求值 8題型4指數函數的解析式 10題型5指數函數圖象問題 11題型6指數函數過定點問題 19題型7定義域問題 22題型8指數函數的對稱性 23題型9指數函數圖像中的含參問題 27題型10指數函數比較大小問題 29題型11指數方程 34題型12指數函數不等式 37◆類型1指數不等式 37◆類型2抽象不等式 40題型13指數函數的性質 45知識點一.指數函數的定義一般地，函數y=ax（a>0且a≠1）叫做指數函數，其中【結構特征】底數：大于零且不等于1的常數；指數：僅有自變量；(3)系數：的系數是1.知識點二.指數函數的圖象與性質圖象性質定義域值域過定點單調性在上是增函數在上是減函數奇偶性非奇非偶函數注意∶底數a與1的大小關系決定了指數函數圖像的“升”與“降”.當a>1時，指數函數的圖像是“上升”的；當0<a<1時，指數函數的圖像是"下降"的.知識點三.兩類指數模型1．y＝kax(k>0)，當a>1時為指數增長型函數模型．2．y＝kax(k>0)，當0<a<1時為指數衰減型函數模型．知識點四.指數函數單調性的應用1.比較冪的大小比較冪的大小的常用方法：(1)對于底數相同，指數不同的兩個冪的大小比較，可以利用指數函數的單調性來判斷；(2)對于底數不同，指數相同的兩個冪的大小比較，可以利用指數函數圖象的變化規律來判斷；(3)對于底數不同，且指數也不同的冪的大小比較，可先化為同底的兩個冪，或者通過中間值來比較．2．有關指數型函數的性質(1)求復合函數的定義域形如的函數的定義域就是的定義域．求形如的函數的值域，應先求出的值域，再由單調性求出的值域．若的范圍不確定，則需對進行討論．求形如的函數的值域，要先求出的值域，再結合確定出的值域．(2)判斷復合函數的單調性令，，如果復合的兩個函數與的單調性相同，那么復合后的函數在上是增函數；如果兩者的單調性相異(即一增一減)，那和復合函數在上是減函數．(3)研究函數的奇偶性一是定義法，即首先是定義域關于原點對稱，然后分析式子與的關系，最后確定函數的奇偶性．二是圖象法，作出函數圖象或從已知函數圖象觀察，若圖象關于原點或軸對稱，則函數具有奇偶性．知識點五.簡單指數不等式的解法(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的單調性求解；(2)形如af(x)>b的不等式，可將b化為以a為底數的指數冪的形式，再借助y＝ax的單調性求解；(3)形如ax>bx的不等式，可借助兩函數y＝ax，y＝bx的圖象求解．題型1指數函數的判斷【方法總結】判斷一個函數是否為指數函數的方法(1)底數的值是否符合要求；(2)ax前的系數是否為1；(3)指數是否符合要求【例題1】（2019上·河北邢臺·高一邢臺一中校考階段練習）下列函數中指數函數的個數是（

）①y=2?3x

②y=3x+1

③y=3x

④y=2a?1⑤y=x3

⑥y=?4A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據指數函數的定義，對每個選項進行逐一分析即可.【詳解】對①：指數式的系數為2，不是1，故不是指數函數；對②：其指數為x+1，不是x，故不是指數函數；對③④：滿足指數函數的定義，故都是指數函數；對⑤：是冪函數，不是指數函數；對⑥：指數式的系數為1，不是1，故不是指數函數；對⑦：指數的底數為4，不滿足底數大于零且不為1的要求，故不是；綜上，是指數函數的只有③④，故選：B.【點睛】本題考查指數函數的定義：只有形如y=a【變式11】1.（2021上·高一課時練習）給出下列函數：①y＝x13；②y＝?3xA．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】依據指數函數的概念來判斷.【詳解】對于①，函數y＝x1對于②，函數y＝?3x對于③，函數y＝?3x中的指數式對于④，函數y＝π?3故選：A.【變式11】2.（2017·高一課時練習）下列函數中，指數函數的個數為()①y=12x?1②③y＝1x；④y=A．0 B．1C．3 D．4【答案】B【詳解】由指數函數的定義可判定，只有②正確．故選B【變式11】3．（2023·全國·高一專題練習）給定下列函數：①y=x②y=8③y=a?1x，a>1④y=?4⑤y=π⑥y=5⑦y=x⑧y=?10其中是指數函數的有.（填序號）【答案】②⑤【分析】根據指數函數fx=a【詳解】對于①，y=x2不符合指數函數fx對于②，y=8x符合指數函數fx對于③，y=a?1x只有當a>1且a≠2時是指數函數，∴y=a?1x，對于④，y=?4x不符合指數函數fx對于⑤，y=πx符合指數函數fx對于⑥，y=52x2+1對于⑦，y=xx不符合指數函數fx對于⑧，y=?10x不符合指數函數fx故答案為：②⑤.題型2指數函數求值【例題2】（2023上·河北保定·高一河北定興第三中學校聯考期中）已知函數fx=2x,x<02?x,x≥0，則ff?1=.【答案】3【分析】先得到f?1，進而求出f【詳解】由題意得f?1故答案為：30，且a≠1)，由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(5),25)得a?32=525=5125【變式21】1．（2021·四川攀枝花·高一期末）已知函數fx=2【答案】2【分析】由分段函數解析式先求f(1)，再求f【詳解】由已知可得f(1)=1+2=3，故f【變式21】2．（2022·貴州黔西·高一期末）已知函數fx=xA．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】將x=1【詳解】∵當x≤2時，fx=【變式21】3．（2022·全國·高一專題練習）已知函數fx=g【答案】72【分析】先由奇函數結合f0=0求得g1=1，再由【詳解】因為fx是定義在R上的奇函數，所以fx=?f?x，特別地，當x=0時，得到f0=0．由fx=gx+1?2x取x=0，所以f(0)=g(1)?1，所以g1=1【變式21】4．（2022·全國·高一專題練習）若函數Fx=fx?2【答案】5【分析】由于函數Fx=fx?2x4是奇函數可得f【詳解】∵函數F(x)=f(x)?2x4是奇函數，∴F(1)+F(?1)=0，即f(1)?2+f(?1)?2=0題型3指數函數含參求值【例題3】（2023·全國·高三專題練習）若函數fx=a2?3?ax為指數函數，則a＝.【答案】2【分析】利用指數函數的定義列方程組即可解得.【詳解】因為函數fx所以a2故答案為：2【變式31】1.（2017上·湖南株洲·高一階段練習）已知函數f(x)=(a2?2a+2)【答案】1【詳解】∵函數fx=a2?2a+2a+1x【變式31】2.（2021·江蘇·無錫市市北高級中學高一期中）已知指數函數f(x)=axA．8 B．16 C．116 D．【答案】B【分析】把點(12，4)代入函數解析式，即可求出【詳解】解：由題意可得a12=4【變式31】3.（2023上·甘肅蘭州·高二蘭州一中校考學業考試）已知指數函數fx=a?1bxA．4 B．1 C．2 D．1【答案】A【分析】根據指數函數的特征，結合經過的點即可求解.【詳解】由指數函數fx=a?1a?1=1a?1b?1所以ab=4，故選：A【變式31】4（2023下·上海黃浦·高三格致中學校考開學考試）已知函數fx=2x?1,x≤0【答案】7或?2【分析】根據題意,結合函數的解析式,分2種情況討論,求出x的值,綜合可得答案.【詳解】根據題意，函數f(x)=2x?1,x≤0當x≤0時，f(x)=2x當x>0時，f(x)=1?x4=?34，則有x=7故答案為：7或?2.【變式31】5.（2022上·廣東佛山·高一統考期中）已知函數y=a12xA．a=?2，b=2 B．a=2，b=2C．a=?1，b=2 D．a=2，b=1【答案】A【分析】根據題意得到a+b=0，a12x+b→b，從而求出【詳解】由題意得0=a120x→+∞時，12x故b=2，解得a=?2.故選：A題型4指數函數的解析式【例題4】（2022·全國·高一專題練習）若指數函數fx的圖象經過點2,9，求f【答案】f【分析】設出函數解析式，代入點2,9求解即可.【詳解】設fx=axa>0且a≠1)解得a=3或a=?3(舍去)．故【變式41】1.（2023·江蘇·高一專題練習）已知指數函數fx的圖象過點3,π，則函數【答案】f【分析】根據指數函數的概念設出指數函數求出底數即可.【詳解】設fx=ax（a>0且a≠1），將點解得a=3π，所以故答案為：f【變式41】2.（2020·高一課時練習）若指數函數fx，滿足f2?f【答案】27【分析】先設指數函數fx=a【詳解】設指數函數fx由f2?f1=6得a2則f3故答案為：27.【點睛】本題主要考查求指數函數值，熟記指數函數的概念即可，屬于基礎題型.【變式41】3.（2019上·重慶渝北·高一重慶市松樹橋中學校校考階段練習）若指數函數fx的圖象經過點2，14【答案】1【分析】設指數函數為fx=a【詳解】設fx因為fx的圖象經過點2，所以14=a所以f(x)=(∴f6故答案為：1【點睛】本題主要考查了指數函數的解析式，函數值，屬于容易題.【變式41】4.（2018上·浙江杭州·高一統考期末）已知f2x+3=ex,【答案】3【分析】先換元求得函數fx【詳解】f2x+3=ex,且fx0=1，令故答案為：3.題型5指數函數圖象問題【方法總結】處理函數圖象問題的策略(1)抓住特殊點：指數函數的圖象過定點(0,1)，求指數型函數圖象所過的定點時，只要令指數為0，求出對應的y的值，即可得函數圖象所過的定點．(2)巧用圖象變換：函數圖象的平移變換(左右平移、上下平移)．(3)利用函數的性質：奇偶性與單調性．【例題5】（2017上·廣西南寧·高一南寧三中校考期中）函數fx=aA． B．C． D．【答案】A【分析】由a>1時，函數fx的單調性和g【詳解】當a>1時，函數fx=ax單調遞增，當故選：A【變式51】1．（2023上·高一課時練習）函數y=ax?1aA．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】分別討論a>1或0<a<1時，圖象與y軸的交點的縱坐標，即可得出答案.【詳解】A，B選項中，a>1，于是0<1?1a<1顯然A，B的圖象均不正確；C，D選項中，0<a<1，于是1?1a<0故選：D【變式51】2.（2022·全國·高一專題練習）如圖所示，函數y=2A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】將原函數變形為分段函數，根據x=1及x≠1時的函數值即可得解.【詳解】∵y=2∴x=1時，y=0，當x>1時，函數y=2x?2為1,+當x<1時，函數y=2?2x為?∞故選：B【變式51】3.（2022上·湖南益陽·高一統考期末）函數fxA． B．C． D．【答案】C【分析】判斷函數fx【詳解】由fx=ex?2因為f1所以函數fx所以函數fx的圖象不關于y又f1選項C滿足以上要求.故選：C.【變式51】4．（2021上·福建福州·高一校聯考期中）指數函數y=bax

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】先由指數函數的圖象判斷出0<ba<1即可解出.【詳解】由指數函數y=bax令ax2+bx=0則?1<x對應只有B選項符合題意.故選：B【變式51】5.（2022上·重慶九龍坡·高一重慶市育才中學校考階段練習）函數f(x)=xA． B．C． D．【答案】D【分析】利用函數的性質和特殊值排除部分選項可得答案.【詳解】若函數有意義，則ex?4≠0，解得x≠±2所以函數fx的定義域為{x|x≠±2因為f(x)=x2e所以fx為定義域上的偶函數，圖像關于y當x∈2ln2,+故選：D．【變式51】6.（2023上·浙江寧波·高一鎮海中學校考期中）函數fxA． B．C． D．【答案】B【分析】判斷函數的奇偶性排除兩個選項，再結合特殊的函數值排除一個選項后得正確結論．【詳解】由2x?2?x≠0因為f?x=?2又f4故選：B.【變式51】7．（2022·全國·高一單元測試）函數fxA． B．C． D．【答案】D【分析】首先求出函數的定義域，再判斷函數的奇偶性，最后根據函數值的情況判斷即可.【詳解】解：因為函數fx=x22所以fx是偶函數，函數圖象關于y當x∈0,2時1<2x<4，f故選：D．【變式51】8．（2022·全國·高一課時練習）函數fxA． B．C． D．【答案】B【分析】先判斷函數的奇偶性，再判斷當x趨近于+∞時，函數fx【詳解】解：因為fx=x所以fx當x趨近于+∞時，ex趨近于+∞，x2趨近于+∞，但是ex比x2增長速度快得多，所以

題型6指數函數過定點問題【方法總結】形如指數型函數求定點：①求x，令f(x)=0求解x;②求y=A+B【例題6】（2023上·上海·高一格致中學校考階段練習）已知函數y=4+ax?1（其中a>0且a≠1）的圖象恒過定點P，則點【答案】1,5【分析】根據指數函數的性質，令x?1=0，求出y的值，即可得答案.【詳解】對于函數y=4+ax?1（其中a>0且令x?1=0，∴x=1，則即函數y=4+ax?1的圖象恒過定點(1,5)，即點P坐標為故答案為：(1,5)【變式61】1.（2023上·上海閔行·高一校考階段練習）函數y=ax?1+2（a>0【答案】1,3【分析】令指數x?1=0，即x=1即可得解.【詳解】當x=1時，y=a1?1+2=a0+2=1+2=3，所以函數y=a故答案為：1,3.【變式61】2.（2023上·河北保定·高一保定一中校聯考期中）已知函數fx=3a2x?4+1(a>0且a≠1)【答案】2,4【分析】考慮a0【詳解】令2x?4=0，得x=2，則f2=3+1=4，所以點A的坐標為故答案為：2,4【變式61】3.（2023上·廣東東莞·高一東莞市東華高級中學校聯考期中）函數y=ax?1+1（a>0且a≠1）圖象過定點Ax0,y【答案】9【分析】先求出定點A，代入方程mx+ny=3得到m,n的等式，再根據基本不等式可求得答案.【詳解】由y=ax?1+1，（a>0且a≠1），令x=1，得y=a0代入方程mx+ny=3得，m+2n=3即m?1+2n=2，m>1,n>0∴≥125+22nm?1×2所以1m?1+2故答案為：92【變式61】4.（2023上·山西呂梁·高一校聯考階段練習）已知函數fx=amx+1+n?3a（其中m，n∈R，a>0且【答案】2【分析】根據指數冪的性質可得m=?12，n=3，根據f1【詳解】由于fx=amx+1+n?3a的圖象恒過定點2,1，所以2m+1=0由于a>0，所以n=3，又f1=2，即f因此fx=2故答案為：2【變式61】5.（2023上·云南昭通·高一校聯考階段練習）已知函數y=2ax?3?1(a>0，且a≠1)恒過定點Ax0,y0，且滿足A．16 B．6 C．23 D．【答案】A【分析】通過x?3=0可得定點A，代入等式得3m+n=1，然后通過展開3m【詳解】令x?3=0，得x=3，此時y=1，∴Ax0∴3m+n=1.∴3當且僅當3nm=3m故選：A.【變式61】6.（2023上·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學校考期中）已知函數y=ax?1+2a>0,a≠1的圖像恒過的定點A，且A點在直線A．4 B．1 C．2 D．5【答案】B【分析】由給定條件求出點A的坐標即可得出m+n+1=4，再利用“1”的妙用即可得解.【詳解】函數y=ax?1+2a>0,a≠1中，由x?1=0可得即函數的圖象恒過定點A(1,3).若點A在直線mx?y+n=0m,n>0上，即有m+n+1=4于是得1m當且僅當n+1m=m所以m=2，n=1時，故選：B.題型7定義域問題【例題7】（2022·全國·高一課時練習）函數y=A．?∞,3 B．?∞,3 C．3,+∞ 【答案】C【分析】根據二次根式的被開方式非負，列出不等式，求解不等式可得答案.【詳解】由題意得3x?27≥0，即3x【變式71】1．（2022·全國·高一課時練習）函數y=【答案】?∞,?3【分析】將函數轉化為根式形式，根據根式復合型函數定義域范圍求解，轉化為指數函數不等式2?【詳解】因為y=0.5x?8?12=1故函數y=0.5x?8?【變式71】2．（2022·全國·高一專題練習）函數f(【答案】?2，0【分析】解不等式組4?【詳解】解：要使fx有意義，則4?x2≥0x∴fx的定義域為?2，0【變式71】3．（2022·全國·高一專題練習）函數fx【答案】0,1【分析】結合分式型，二次根號型函數的定義即可求解.【詳解】由題知，2x?1≥0x?1≠0?故答案為：0,1∪題型8指數函數的對稱性【例題8】（2022下·山東青島·高二統考期末）函數y=3?x與函數A．關于x軸對稱 B．關于y軸對稱 C．關于原點對稱 D．關于直線y=x對稱【答案】C【分析】在同一坐標系中，作出兩個函數的圖象判斷.【詳解】解：在同一坐標系中，作出函數y=3?x與函數由圖象知：函數y=3?x與函數故選：C【變式81】1．（2021·上海·高一專題練習）函數y=?axa>0A．與y=ax的圖像關于y軸對稱 B．與C．與y=a?x的圖像關于y軸對稱 D．與【答案】D【分析】利用函數的對稱性即可求解.【詳解】函數y=ax是把y=ax中的x換成x，把y換成y，所以兩個函數的圖像關于原點對稱，故選：D.【變式81】2．（2023上·北京·高一北京市第十二中學校考階段練習）將函數fx的圖象向右平移1個單位長度后，再向上平移4個單位長度，所得函數圖象與曲線y=4x關于yA．4 B．2 C．0 D．4【答案】C【分析】先根據對稱變換和平移變換得到fx【詳解】因為函數fx再向上平移4個單位長度，設所得函數圖象為gx因為gx與曲線y=4x關于y則gx向下平移4個單位長度，再向左平移1個單位長度后可得f則fx=4故選：C.【變式81】3．（2018下·四川瀘州·高二四川省瀘縣第二中學校考期末）下列函數中，其圖像與函數y=e2x的圖像關于直線A．y=e2x?2 B．y=e8?2x C．【答案】B【分析】由函數的對稱性求解，【詳解】設f(x)=e2x，若g(x)與f(x)的圖像關于直線則g(x)=f(4?x)=e故選：B【變式81】4．（2021上·高一課時練習）函數y=1A．關于原點成中心對稱B．關于y軸對稱C．既關于原點成中心對稱又關于y軸對稱D．既不關于原點成中心對稱也不關于y軸對稱【答案】A【分析】先求出函數的定義域關于原點對稱，再證明函數是奇偶性，即得解.【詳解】解：設f(x)=1由題得x≠0，所以函數的定義域關于原點對稱.所以f(?x)=1所以f(?x)+f(x)=3所以f(?x)=?f(x)，f(?x)≠f(x)，所以函數f(x)=1所以其圖象關于原點成中心對稱，不關于y軸成軸對稱.故選：A【變式81】5.（2023上·廣東廣州·高一校考階段練習）函數fx的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象與y=exA．ex+1 C．e?x+1 D．【答案】D【分析】根據題意得出y=ex關于【詳解】因為y=ex關于y軸對稱的解析式為把y=e?x的圖象向左平移1個單位長度得出∴f(x)=e故選：D．【變式81】6.（2021上·河南洛陽·高一洛寧縣第一高級中學校聯考階段練習）已知函數f(x)=2|x?a|的圖象關于直線A．1 B．2 C．0 D．2【答案】B【分析】根據y=2|x|的對稱性，結合函數圖象平移得到關于直線【詳解】函數y=2將函數y=2|x|的圖象向右平移2個單位長度可得函數所以函數y=2|x?2|的圖象關于直線x=2對稱，故故選：B【變式81】7.（2021上·上海虹口·高一統考期末）函數y=4A．關于x軸對稱 B．關于y軸對稱 C．關于原點對稱 D．關于直線y=x對稱【答案】B【分析】將函數進行化簡，利用函數的奇偶性的定義進行判斷．【詳解】解：因為f(x)=4x+1所以函數f(x)是偶函數，即函數圖象關于y軸對稱．故選：B．【變式81】8.（2022上·上海虹口·高一統考期末）函數y=x2A．x軸 B．y軸 C．原點 D．直線y=x【答案】B【分析】判斷函數的奇偶性即可得函數圖象的對稱性.【詳解】函數y=x2又f?x所以y=x2函數y=x2故選：B.題型9指數函數圖像中的含參問題【例題9】（2021上·浙江溫州·高一樂清市知臨中學校考期中）函數f(x)=a

A．a>1,b<0 B．a>1,b>0C．0<a<1,b>0 D．0<a<1,b<0【答案】D【分析】由函數單調性判斷a與1的大小，再由圖象與y軸的交點位置判斷b的正負.【詳解】由圖象可知，函數f(x)為減函數，從而有0<a<1；法一：由f(x)=ax?b圖象，函數與y軸的交點縱坐標令x=0，得y=a由0<a?b<1，即0<法二：函數f(x)圖象可看作是由y=a則?b>0，即b<0.故選：D.【變式91】1.（2023上·廣西柳州·高一柳州高級中學校考期中）要使fx=1A．?1,+∞ B．?∞,?12 【答案】B【分析】根據指數函數的相關知識，找到該函數與y軸的交點坐標,并結合單調性，只需該點的縱坐標小于等于0即可.【詳解】函數fx=12x+1要使fx圖象不經過第一象限，則12+t≤0故選：B.【變式91】2．（2021上·高一課時練習）指數函數y=ax與A．a>1,0<b<1 B．a>1,b>1C．0<a<1,b>1 D．0<a<1,0<b<1【答案】C【分析】根據指數函數的性質即可得答案.【詳解】解：因為函數y=ax的圖象是下降的，所以又因為函數y=bx的圖象是上升的，所以故選：C.【變式91】3.（2022·高一課時練習）函數y=ax與A．2 B．3 C．12 D．【答案】D【分析】利用排除法，結合指數函數和冪函數的圖象特征分析判斷即可.【詳解】顯然a>0．由y=ax>0，知①是函數y=由函數y=ax的圖象可知由②知，函數y=xa在故選：D．【變式91】4.（2021上·陜西西安·高一西北工業大學附屬中學校考階段練習）已知函數gx=ax+3?2aA．2,+∞ B．2,+∞ C．1,2 【答案】A【分析】根據指數函數的性質得到不等式組，解得即可；【詳解】解：因為函數gx=ax+3?2a（a>0且a≠1故選：A題型10指數函數比較大小問題【方法總結】比較冪的大小的方法:1同底數冪比較大小時構造指數函數，根據其單調性比較.2指數相同底數不同時分別畫出以兩冪底數為底數的指數函數圖象，當x取相同冪指數時可觀察出函數值的大小.3底數、指數都不相同時，取與其中一底數相同與另一指數相同的冪與兩數比較，或借助“1”與兩數比較.4當底數含參數時，要按底數a>1和0<a<1兩種情況分類討論.【例題10】（2023上·福建泉州·高一泉州七中校考期中）設a=3727，A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a【答案】A【分析】利用指數函數和冪函數單調性比較大小.【詳解】由fx=2由gx=x即：a>c>b.故A項正確.故選：A.【變式101】1.（2023上·廣東汕頭·高一金山中學校考期中）已知a=0.40.2,b=A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．b>c>a【答案】C【分析】根據指數函數的單調性和中間值比較出大小關系.【詳解】因為y=0.4x在R上單調遞減，所以0.40>0.4c=2.10.2>故選：C【變式101】2.（2023上·廣東汕頭·高一汕頭市潮陽林百欣中學校考階段練習）已知a=313，b=915，c=1A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b【答案】D【分析】根據指數函數的單調性及中間量“1”即可比較a，b，c大小，得出答案.【詳解】b=因為函數y=3x為R上的增函數，所以325>因為函數y=12x為R所以1229綜上可得：c<a<b.故選：D.【變式101】3.（2023上·天津武清·高三天津英華國際學校校考階段練習）已知a=2?1，b=aA．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a【答案】B【分析】結合指數函數的單調性即可得.【詳解】由a=2?1，即0<a<1，則a1則a1<a故選：B.【變式101】4.（2023上·北京·高一北京一七一中校考階段練習）已知a>b，ab≠0，下列不等式恒成立的是（

）A．a2>bC．1a<1【答案】B【分析】應用特殊值a=1,b=?2判斷A、C；由指數函數的單調性判斷B、D.【詳解】a=1,b=?2時a2<bB：由y=2x在定義域上遞增，則D：由y=(13故選：B【變式101】5.（2023上·遼寧朝陽·高一建平縣實驗中學校考階段練習）若2xA．1x>1y B．x>y【答案】D【分析】依題意可得2x?7?x>2y【詳解】因為2x?2y>因為y=2x和y=?7?x在R上單調遞增，所以所以由2x?7當x=2、y=1時，滿足x>y，而1x當x=2、y=?2時，滿足x>y，而x=因為y=12x在R故選：D【變式101】6．（2022·全國·高一課時練習）若實數x，y滿足2022xA．xy>1 B．xy<1C．【答案】C【分析】由指數函數的性質可知fx=2022x?2023?x是【詳解】令fx=2022x?2023?x，由于y=2022x，y=?2023?x均為R【變式101】7．（多選）（2023上·廣西·高一校聯考階段練習）x，y，z為正實數，若13x=A．x>y>z B．z>y>xC．5z>4y>3x D．3x>4y>5z【答案】AC【分析】將13x=14y=15z變形得到3x=4y=5z【詳解】由13即有3x=4y=因為3x故3x因為81>64，故3x<4y，同理，因為4故4y因為1024>625，故4y<5z，即有5z>4y>3x，故C正確，D錯誤.故選：AC.題型11指數方程【例題11】（2022·全國·高一專題練習）方程5x?1A．1,4 B．14 C．1,14【答案】B【分析】根據題意，先把103x轉化為53x?【詳解】原方程可化為：5x?1?53x?故選：B．【變式111】1.（2022上·河北滄州·高一統考期中）關于x的方程21+xA．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】令t=2x,(t>0)，化簡可得2t2【詳解】解：原方程即2×2x?22x+5=0，化簡可得2×2x2+5×故選：B.【變式111】2．（2023上·北京順義·高一牛欄山一中校考期中）關于x的方程4x【答案】x=1【分析】由4x?2x=2可得出2【詳解】由4x?2x=2因為2x>0，可得2x所以，方程關于x的方程4x?2故答案為：x=1.【變式111】3（2023·高一單元測試）方程22x+1【答案】{?1,2}【分析】令t=2x，換元可得方程2t2?9t+4=0【詳解】令t=2x，則方程可化為2t2?9t+4=0，解得t=所以，2x=1解得x=?1或x=2.所以，方程的解集為{?1,2}.故答案為：{?1,2}.【變式111】4．（2021·安徽省定遠中學高一階段練習）函數fx=3A．23,+∞ B．23,+∞ C．【答案】B【分析】令fx=t，則ft=2t，當t<1時，3t【詳解】由函數fx=3x?1,當t<1時，3t?1=．∴t<1時，當t≥1時，2t=2t成立，由fx≥1當x≥1時，有2x≥1，解得x≥1，綜上，【變式111】5.（2020·全國·高三對口高考）方程35x?2y【答案】x=2【分析】根據指數函數的圖象和性質列出方程組，解之即可.【詳解】因為5x?2y≥0且y?5≥0，由指數函數的圖象和性質可知：當x≥0時，y=a則有5x?2y=0y?5=0解得：x=2，y=5故答案為：x=2y=5【變式111】6.（2023·全國·高三專題練習）求方程35【答案】x=2【分析】令fx=3【詳解】令fx=35x所以函數y=fx在R又f2=3題型12指數函數不等式【方法總結】1．比較兩個指數式值的大小的主要方法(1)比較形如am與an的大小，可運用指數函數y＝ax的單調性．(2)比較形如am與bn的大小，一般找一個“中間值c”，若am<c且c<bn，則am<bn；若am>c且c>bn，則am>bn.2．解簡單指數不等式問題的注意點(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的單調性求解．如果a的值不確定，需分0<a<1和a>1兩種情況進行討論．(2)形如ax>b的不等式，注意將b化為以a為底的指數冪的形式，再借助y＝ax的單調性求解．(3)形如ax>bx的不等式，可借助圖象求解．◆類型1指數不等式【例題121】（2023上·上海·高一校考階段練習）關于x的不等式3x?1【答案】x【分析】根據題意，由指數函數的單調性代入計算，即可得到結果.【詳解】因為不等式3x?1>1，即3x?1>3則不等式的解集為xx>1故答案為：x【變式121】1.（2022上·遼寧阜新·高一校考期末）不等式(1【答案】(0,1)【分析】作出函數y=(【詳解】在同一坐標系內作出函數y=(兩個函數圖象交于點(0,1),(1,13)，觀察圖象知，當且僅當0<x<1所以不等式(13)故答案為：(0,1)【變式121】2.（2023上·四川涼山·高一校聯考期末）不等式13【答案】?【分析】根據函數的單調性、一元二次不等式的解法求得正確答案.【詳解】依題意，132x由于y=3x在R上單調遞增，所以2x解得x≤?52或x≥1，所以不等式的解集為故答案為：?【變式121】3.（2023上·廣東廣州·高一南沙一中校考期中）不等式2x【答案】x【分析】先利用指數冪的運算化簡不等式，再根據指數函數的單調性求解即可.【詳解】不等式2x2?4x?1因為函數y=2x為單調遞增函數，所以x2解得?1≤x≤3，所以不等式2x2?4x?1故答案為：x【變式121】4．（2023上·北京順義·高一牛欄山一中校考期中）不等式2?x【答案】(?【分析】根據一次函數及指數函數的性質求解.【詳解】當x<0時，?x>0，則2?x>20=1當x=0時，則2?x=20=1當x>0時，?x<0，則2?x<20=1綜上，不等式2?x>x+1的解集為故答案為：(?∞【變式121】5．（2022·上海·高一單元測試）關于x的不等式10?2【答案】?3,?1【分析】首先將不等式轉化為2?x2【詳解】由題知：4?x?10?2?x+16<0，整理得：2?【變式121】6.（2023上·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第十九中學校考階段練習）不等式2x2?2x?3<1【答案】7【分析】根據指數函數單調性解不等式，結合一元二次不等式解法進而得到答案.【詳解】因為y=2x則2x2?2x?3即x2+x?6<0，解得因為?3＜x＜所以?3+2=?a?3×2=b此時x2+ax+b<0，即x2故a?b=7故答案為：7.◆類型2抽象不等式【例題122】（2021上·河南鄭州·高一統考期末）已知函數f(x)=1?22x【答案】1,+∞【解析】首先分析函數的奇偶性和單調性，不等式變形為f2x?1【詳解】fx=1?2并且f?x=1?2所以不等式f2x?1+fx?2即2x?1>2?x，解得：x>1，所以不等式的解集為1,+∞.故答案為：1,+∞【變式122】1．（2022上·浙江臺州·高一校聯考期中）已知函數fx=ex?【答案】0,+【分析】構造函數F(x)=f(x)?1為R上單調遞增的奇函數，再利用其性質將原不等式轉化求解即可.【詳解】令F(x)=f(x)?1=e則F(?x)=e故F(x)為奇函數，則原不等式變形為f(2x?1)?1>?fx+1+1=f?x?1因為y=ex是R上的增函數，所以所以F(x)=e所以2x?1>?x?1，解得x>0.故答案為：0,+∞【變式122】2．（2023·全國·高一單元測試）雙曲正弦函數shx=ex?A．23,+∞ B．12,+∞ C．【答案】A【分析】函數f(x)是奇函數且在R上單調遞增，由奇偶性可將f【詳解】由題意可知，函數f(x)是奇函數且在R上單調遞增，所以f(x+1)+f【變式122】3．（2023上·湖北咸寧·高一校考階段練習）已知函數fx=2024x?【答案】x【分析】構造函數gx=2024【詳解】依題意，函數fx的定義域為R，令g則g?x=2024?x?2024x所以不等式f4x+1+f?2x+1得到g4x+1<?g?2x+1=g2x?1故答案為：x|x<?1.【變式122】4．（2022·全國·高一課時練習）設函數fx=2x,A．?∞,0 B．0,+∞ C．0,1 D．1,+∞【答案】B【分析】分類討論：①當a<0時和②當a【詳解】①當a<0時，2a<0②當a≥0時，2a≥0，fa<f2綜上，實數a的取值范圍是0,+∞．故選：B．【變式122】5.（2023上·四川成都·高一校考期中）指數函數y=g(x)的圖像經過點12,2(1)求y=g(x)的解析式；(2)判斷f(x)的單調性，并用定義法證明；(3)解關于x的不等式0<f3【答案】(1)g(2)fx在R(3)?【分析】（1）求冪函數解析式采用待定系數法，設函數解析式gx=ax，代入點g1（2）證明單調性利用定義法，定義域上任取x1<x（3）將不等式轉化為f0<f3【詳解】（1）設gx=axa>0,a≠1因為gx（2）因為gx=2fx在R任取x1，x2∈fx因為x1<x2，所以2x所以fx1?f所以fx是定義在R（3）由fx是定義在R令f(x)=12?2x?12所以原不等式0<f3x2所以0<3x2?x≤2，即所以x的取值范圍是?2【變式122】6.（2023上·江蘇蘇州·高一蘇州中學校考期中）已知定義域為R的函數fx(1)求實數a的值．(2)試判斷fx(3)解關于x的不等式f(4【答案】(1)1(2)函數f（x）(3)(0,3)．【分析】（1）根據題意，結合f?x（2）化簡fx（3）根據題意，把不等式轉化為22x【詳解】（1）解：因為函數fx=1?a?2x即fx所以a?1=0，解得a=1.（2）解：函數fx在R證明如下：由函數fx=1?2x則fx因為x1<x2，所以所以fx1?f所以函數fx在R（3）解：由（1）（2）知，函數fx為奇函數，且在R所以f(4x)>f(9×令2x=t(t>0)，可得t2即1<2x<8，解得0<x<3【變式122】7.（2023上·廣東江門·高一臺山市第一中學校考期中）己知定義域為R的函數f(x)=?2x(1)求實數a的值，并用定義證明fx(2)求不等式f2【答案】(1)a=1，證明見解析(2)?【分析】（1）根據奇函數的性質求解a，再利用函數單調性的定義，即可證明；（2）先利用奇偶性將不等式化為f2【詳解】（1）若函數fx為奇函數，則f又f?x=?2?x所以a?1=0，解得a=1，所以fx=?證明如下：設x1<x因為x1