專題07解答壓軸題（圓的綜合）

通用的解題思路：

一、切割線定理

當出現圓中一條弦和一條切線（或另一條弦）所在直線交于圓外一點時，可利用相似三角形解決線段

相關問題。

二、解決三角形外接圓的問題

做這類題時可通過連接圓心（外心）和三角形的頂點，或過圓心（外心）作邊的垂線，進而應用圓周

角定理、垂徑定理及勾股定理解決問題。

三、證切線的方法

1、己知半徑證垂直；

2、已知垂直證半徑。

經典例題

1.（2023?安徽?中考真題）已知四邊形A8CD內接于O。，對角線是。。的直徑.

⑴如圖1,連接。4,C4,若。4_L3D,求證；C4平分NBCD；

（2）如圖2,E為。。內一點，滿足若BD=3百，2E=3,求弦BC的長.

【答案】（1）見解析

（2）BC=3A/2

【分析】(1)利用垂徑定理的推論和圓周角的性質證明即可.

(2)證明四邊形4ECD平行四邊形，后用勾股定理計算即可.

【詳解】(1):對角線BD是。。的直徑，OALBD

-"-AB=筋，

/.ZBCA^ZDCA,

."4平分N8CD.

(2):對角線80是。。的直徑，

/.BAD=Z.BCD=90°,

：.DCA.BC,DAA.AB

'：AELBC,CE±AB,

：.DC||AE,DA||CE,

，四邊形ZECD平行四邊形，

：.DC=AE=3,

又■:BD=3V3,

:?BC=J(3V3)2-32=3V2-

【點睛】本題考查了垂徑定理的推論，直徑所對的圓周角是直角，平行四邊形的判定和性質，勾股定理，

熟練掌握垂徑定理的推論，平行四邊形的判定和性質，勾股定理是解題的關鍵.

2.(2022?安徽?中考真題)已知為。。的直徑，C為。。上一點，。為8A的延長線上一點，連接CD

(D如圖1,COLAB,ZD=3Q°,OA=\,求A。的長;

(2)如圖2,若。C與。。相切，E為。4上一點，且求證：CELA艮

【答案】⑴/一1

(2)見解析

【分析】（1）根據直角三角形的性質（在直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半）及勾股定理

可求出。。，進而求出AO的長；

（2）根據切線的性質可得OCLC。，根據同一個圓的半徑相等及等腰三角形的性質可得/0C4=/O4C,

由各個角之間的關系以及等量代換可得答案.

【詳解】（1）解：'COA^OC,COLAB,ZD=30°

CD=2OC=2

OD=y/CD2—OC2=V22—l2=V3

/.AD=OD-OA=s/3-l

（2）證明：DC與。。相切

OC1CD

即NACD+/OCA=90。

OC=OA

：.ZOCA=ZOAC

'：ZACD=ZACE

：.ZOAC+ZACE^9Q°

：.ZAEC=90°

：.CELAB

【點睛】本題考查切線的性質，直角三角形的性質，勾股定理以及等腰三角形的性質，掌握相關性質定理

是解題的關鍵.

3.（2021?安徽?中考真題）如圖，圓。中兩條互相垂直的弦AB,CD交于點、E.

（1）M是C￡＞的中點，0M=3,CD=12,求圓。的半徑長；

（2）點尸在上，J.CE=EF,求證：AF1BD.

4\￡1/B

【答案】（1）3V5;（2）見解析.

【分析】(1)根據M是CD的中點，與圓。直徑共線可得。MLCD,。“平分CD,則有MC=6,利

用勾股定理可求得半徑的長；

(2)連接AC,延長A尸交2。于G,根據CE=EF,AE1FC,可得力F=4C,Z1=z2,利用圓周角定

理可得N2=ND,可得N1=AD,利用直角三角形的兩銳角互余，可證得N4GB=90。，即有4F1BD.

【詳解】(1)解：連接OC,

是CO的中點，與圓。直徑共線

：.0M1CD,。“平分CO,

???乙0MC=90°

???CD=12

.-.MC=6.

在Rt△0MC中.

0C=VMC2+0M2

=收+32

=3V5

.，.圓0的半徑為3花

(2)證明：連接AC,延長A尸交8。于G.

???CE=EF,AE1FC

：.AF=AC

又「CE=EF

???zl=Z.2

/-*\,*—\

???BC=BC

Z.2=乙D

???zl=Z-D

在Rt△中

ZD+ZB=90°

???zl+ZF=90°

???乙4GB=90°

???AF1BD

D

\E

【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，直角三角形的兩銳角互余，勾股定理等知識點，熟練應用相

關知識點是解題的關鍵.

壓軸題預測

1.(2024?安徽六安?一模)如圖，△48。內接于。。，4B是O。的直徑，。。143交。。于點￡交"于

點F,且DF=DC.

⑴求證：CD是。。的切線；

(2)若。尸=V10,BC=6,求DE的長.

【答案】(1)見解析

(2)2710

【分析】(1)連接。C,只要證明NOC4+NOCF=90。，即可證明CD是O。的切線；

(2)作。G14C于G,證明AAGOSAOGF,求得。4=3"U，OC=3V10,在Rt^OCD中，利用勾股定

理求得。尸=DC=4V10,據此求解即可.

【詳解】⑴解:連接。C,

D

VOA=OC,

Z-A=Z.OCA,

9CDF=DC,

：.Z.DCF=乙DFC,

\9^AFO=乙DFC,

."DCF=Z.AFO,

U

：ODlABf

：.Z-A+Z.AFO=90°,

：.^OCA+2LDCF=90°,

：.OC1CD,

；.CD是。。的切線；

(2)解：作OG14C于G,貝IMG=CG,

"：OA=OB,

；.OG是△ABC的中位線，

1

：.OG||BC,OG=-BC=3,

???FG=yJOF2-OG2=L

9：^AGO=NOGF=90°,LA=ZFOG=90°-乙OFG,

/.△AGOOGF,

.OA_OF

**OG-FG?

?OA_Vio

??3—1

/.OA=3V10,OC=3V10,

設OF=DC=x,

在Rt△OCO中，(3VIU)2+久2=(x+VTU)2,

解得x=4V10，

.".DO=x+4V10=5V10,

/.DE=DO-OE=5y/10-3y/l0=2s/l0.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和判定，相似三角形的判定與性質，三角形內角和定理，切線的判定,

圓周角定理，三角形中位線定理等知識點，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關鍵.

2.(2024?安徽?一模)如圖，已知點P為。。外一點，點A為。。上一點，直線P4與。。的另一個交點為

點、B,AC是。。的直徑，NP"的平分線AD交。。于點Z),連接CD并延長交直線P2于點M,連接。D.

(1)求證：0D||BM；

(2)若tan/ACO=g,。。的直徑為4,求力B的長度.

【答案】(1)詳見解析

⑵昔

【分析】本題考查了角平分線的定義、等邊對等角、圓周角定理、解直角三角形、勾股定理，熟練掌握以

上知識點并靈活運用是解此題的關鍵.

(1)由角平分線的定義得出匕M/W=4&40,由等角對等邊得出=匕。04從而得出ZJIM0

Z.0DA,即可得證；

(2)連接BC,由圓周角定理得出NADC=N4BC=90。，由tan/ACD=’結合勾股定理得出4。=延，

2s

CD=￥，求出力M=4C=4,CM再結合勾股定理得出—4B2=CA/2-Q4M+48)2,求解

即可得出答案.

【詳解】(1)證明：???4。平分NP力C,

??.Z.MAD=Z.CAD,

???0A—0D,

???Z-0AD=Z.0DA,

???Z-MAD=Z,0DA,

??.0D||BM；

(2)解：如圖，連接BC,

O。的直徑為4,

1

v

tanZ-ACD=2

,“「八AD1

...tan/ACD-----——,

CD2

令ZO=x,則CD=2%,

由勾股定理得：AD2+CD2=AC2,

???x2+(2%)2=42,

解得：x=延，

5

m4A片「“8V5

55

OD//BM,

Z.M=Z.ODCf

???OD=OC,

???Z-OCD=Z.ODC,

Z.M=Z-OCD,

,.AM=AC=4,

???/.ADC=90°,

MM=26=?

???BC2=CM2-{AM+AB}2,BC2AC2-AB2,

2

AC2-AB2=CM2-(AM+AB)2,即42_45=(零)_(4+AB)2,

12

解得：AB=y

3.(2024?安徽合肥?二模)如圖，4B為O。的直徑，AC和8。是。。的弦，連接

P

(1)若點C為力P的中點，且PC=PD,求NB的度數；

(2)若點C為弧4。的中點，PD=4,PC=2V3,求。。的半徑.

【答案】⑴60。

(2)3

【分析】(1)根據直徑所對的圓周角為直角得乙4DB=90。，在Rt△4OP中，點C為斜邊2P的中點，則

CD=AC=PC,再根據PC=PD可得△PCD為等邊三角形，貝叱PCD=60。，然后根據圓內接四邊形的性

質可得ZB的度數；

(2)根據點C為弧4D的中點得NCAD=ACDA,AC=CD,證4CDP=乙P得CD=PC=2舊，貝必。=

CD=PC=2如,AP-4V3.再證△PCD-APBA得CD:4B=PD:P2,由此可得力8=6,由此可得。。

的半徑.

【詳解】(1)解：,?FB為。。的直徑，

C.Z.ADB=90°,

在Rt2X4)P中，點C為斜邊/P的中點，

：.CD=AC=PC,

VPC=PD,

：.CD=PC=PD,

；?APCD為等邊三角形,

：.Z.PCD=60°,

???四邊形4BDC內接于。。，

：.Z.PCD+AACD=180°,乙ACD+ZB=180°,

:?乙B=乙PCD=60°；

(2),?,點。為弧40的中點，

?'?Z.CAD=乙CDA,AC=CD,

VZ-ADB=90°,

；.4CDA+乙CDP=90°,

在中，/-CAD+Z.P=90°,

"CDP=乙P,

ACD=PC=2V3,

?'-AC=CD=PC=2?

，4P=AC+PC=4V3,

?:乙PCD=乙B/P=乙P,

：.△PCDfPBA,

/.CD:AB=PD:PA,

即POSBNO,P4

A4-i4B=2V3X4V3,

：.AB=6,

???。。的半徑為｝/8=3.

【點睛】此題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關系，圓內接四邊形的性質，等邊三角形和等腰三角

形的判定和性質，直角三角形的性質，相似三角形的判定和性質等，綜合運用各知識點是解決問題的關

鍵.

4.(2024?安徽黃山?一模)如圖，在Rt^aBC中，乙4cB=90。，D為邊AC上的點，以40為直徑作。0,連

接BD并延長交。。于點E,連接CE,CE=BC.

⑴求證：CE是。。的切線.

(2)若CD=2,BC=4,求2C的長.

【答案】(1)證明見解析

(2)AC=8.

【分析】本題考查的是切線的判定、等腰三角形的性質、勾股定理.

(1)連接。E,根據等腰三角形的性質得到41=42,Z3=Z4,由41+/5=90。得到42+43=90。，得

ZOEC=90°,于是得到結論；

(2)設。。的半徑為廠，則OD=OE=r,OC=r+2,由OE?+CE?=OC?得到關于r的方程，即可求出

半徑，進而求出4C的長.

【詳解】(1)證明：如圖所示，連接。E,

z.ACB=90°,

.".Z1+45=90°.

VCE=BC,

Azi=Z2.

YOE=OD,

Az3=Z4.

又???44=45,

z3=z5,

Az2+Z3=90°,BPZOEC=90°,

；,OE1CE.

?；。5是0。的半徑，

；.CE是。。的切線.

(2)解：在RfABCO中，NDCB=90。，CD=2,BC=4,

由題意得，BC=CE=4,

設。。的半徑為r,則。。=0E=r,OC=r+2,

在RtAOEC中，ZOEC=9Q0,

：.OE2+CE2=OC2,

：.r2+42=(r+2)2,

解得r=3,

?\AD=2r=6,

：.AC=AD+CD=8.

5.(2024?安徽安慶?一模)如圖，四邊形力BCD的四個頂點都在。。上，DB平分N4DC,連接。C,且。C1

BD.

(1)求證：AB=CD

⑵若CD=5,BD=8,求。。的半徑.

【答案】(1)證明見解析

【分析】本題考查了垂徑定理，弧與弦的關系，勾股定理；

(1)根據角平分線的定義得出〃DB=NCDB則43=BC，根據垂徑定理可得詫=力，即可得出觸=

比，則4B=CD；

(2)連接。8,。。設0C與8。交于E,在RtACDE中，勾股定理求得CE=3,設O。半徑為r,在RtBOE

中，勾股定理，即可求解.

【詳解】(1)證明：???DB平分乙4DC,

???Z-ADB=Z.CDB,

???AB=BC，

0C1BD,

-BC=CD>

■■AB=CD,

：.AB=CD；

(2)解：連接。B,OD,設。C與8。交于E,

OC1BD,

OC平分BD,即BE=DE=4,

在Rt△CDE中，CE=y/CD2-DE2=3,

設O。半徑為r,

在Rt3OE中，/=42+（r—3）2,

6.(2024.陜西西安.二模)如圖，。。是AABC的外接圓，乙4cB=60。，弦交AC于點E,S.AE=DE.

(1)求證：AEBC是等邊三角形；

(2)過點。作。F14C于點凡延長F0交見于點G,若DE=3,EG=2,求4B的長.

【答案】(1)證明見解析

(2)X5=7

【分析】(1)先證明AZEB三△￡>￡'(：可得EB=EC,結合N2CB=60。，可得結論；

(2)先證明AF=CF,求解EF=1,可得CF=4F=4,證明8c=5.如圖，過2作物1_LAC于點

求解BM=7BC2—CM2="AM=AC-CM=再利用勾股定理可得答案.

【詳解】(1)證明：在。。中，乙4=乙。，

?:乙AEB=^DEC,AE=DE,

?△AEB=△DEC.

：.EB=EC.

又二乙4cB=60°,

???△EBC為等邊三角形；

(2),：OF1ACf

：.AF=CF.

?「△EBC為等邊三角形，

ZGEF=60°,

AZ.EGF=30°,

?:EG=2,

：.EF=1.

又???AE=￡D=3,

：.CF=AF=4,

：.AC=8,CE=5,

BC=5.

如圖，過8作于點”,

■:乙BCM=60°,

:?乙MBC=30°,

/.CM=1，BM=VBC2-CM2=—,

22

11

：.AMAC-CM^―,

2

：-AB=yjAM2+BM2=7.

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，等邊三角形的判定與性質，圓周角定

理的應用，垂徑定理的應用，作出合適的輔助線構建直角三角形是解本題的關鍵.

7.（2024?安徽合肥?一模）如圖，。。是AaBC的外接圓，AB=AC,CD14B于點。，BO延長線交CD于

點、E.

⑴求證：乙DBE=4DCB；

⑵若BC=40,BE=4,求。E的長.

【答案】（1）詳見解析

⑵OE=1

【分析】（1）延長的交圓于點尸，連接AF,根據等弧所對的圓周角相等可得乙4BC=乙4F8,根據即是

直徑，可得NH4F=90°,進一步可得結果；

(2)根據余角的性質可得ADEB=NFCE,進而可得FE=FC,然后設FE=FC=尤，在Rt^CBF中，利

用勾股定理列出關于尤的方程，進行計算即可解答.

【詳解】(1)延長班交圓于點孔連接AF,

AB=AC'

'-AB=AC>

:.ZABC=ZAFB,,

:油=檢，

???Z.F=乙ACB,

v8F是直徑，

???/,BAF=90°,

???乙ABE+ZF=90°=/.ABC+￡.ACB,

???Z-DBE=Z-DCB；

(2)連接C尸,

???4800=90。，

，乙DBE+乙DEB=90°,

???BF是直徑，

:,(FCB=90°,

:?乙FCE+乙DCB=90。,

VZ.DBE=乙DCB,

LDEB=乙FCE,

■:乙DEB=乙FEC,

:?/FEC=/FCE,

：.FE=FC,

設FE=FC=x,

在RtZkCBF中，BC=4五,BF=BE+EF=4+%,

：.BC2+CF2=BF2,

.*.32+%2=(4+x)2,

解得：x=2,

/.BF=4+%=6,

：.0B—BF=3,

2

OE=BE-OB=4-3=l,

；.0E的長為1.

【點睛】本題考查圓周角定理，弧弦圓心角的關系，等角對等邊，勾股定理等知識點，熟知定理性質是解

題的關鍵.

8.（2024?安徽馬鞍山?一模）如圖1,等腰△28C中，AB=AC,以AC為直徑的O。與AB所在直線、BC分

別交于點D、E,EF14B于點F.

圖2

⑴求證：EF為。。的切線;

（2）如圖2,當4比4。〉90。時,若4F=2,EF=4,求4。的長.

【答案】（1）見解析

(2)4。=6

【分析】（1）連接。E,證出EF1OE,由切線的判定可得出結論；

（2）證明AAEF-△力CE,得出若=竽，證明ABEF7BCD,得出CE=BE=求出CD的長，由

ACAE2

勾股定理可得出答案.

【詳解】（1）解：證明：連接。E,

是等腰三角形，AB=AC,

Z.B-Z-C,

'：0E=OC,

Z-OEC=Z-C,

:,乙OEC=Z-B,

：.0E||AB.

\9EFLAB,

:.乙BFE=90°,

???OE||AB.

:,(OEF=(BFE=90°,

：.EF1OE.

是。。的半徑，

，EF是。。的切線；

(2)解：為。。的直徑，

：.AE1CB,^AEC=90°,

"：AB=AC,

：.BE=CE,

如圖所示，連接CD,0E,

U：AF=2,EF=4,Z.AFE=90°,

由勾股定理可得：AE=y]AF2+EF2=<22+42=2縣,

'：OC=OEf

C.Z-OCE=乙OEC,

*：Z.AEF+AAEO=90°,^OEC+Z.AEO=90°,

C.Z.AEF=Z.OEC,

J.^OCE=^AEF,

9：Z.AEC=^AFE=90°,

△AEF—△ACE,

AEAF日口2^52

,?=,--=—三,

ACAEAC2V5

解得/c=10,

??,/C為。。的直徑，

??.Z.D=90°,

ZBFE=ZD=90。,

EF||CD,

BEFBCD,

：.CE=BE—BC,

2

.EFBE_1

*CD-Ci-2?

:.CD=2EF=8,

:.AD=YJAC2-BD2=V102-82=6.

【點睛】本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質，三角形相似的性質和判定，勾股定理，矩形的判定

與性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

9.(2024?安徽合肥?一模)如圖，。。是△ABC的外接圓，4。是。。的直徑，尸是4。延長線上一點，連接

CD,CF,且CF是。。的切線.

(1)求證：4DCF=LCAD；

(2)若CF=4&,DF=4,求。。的半徑.

【答案】(1)詳見解析

(2)2

【分析】（1）連接。C,由切線的性質結合圓周角的性質得到NDCF=N4C。，進而得到。力=。配推出

Z.ACO=Z.CAD,即可證明結論；

（2）設。。的半徑為r,在RtAFC。中，利用勾股定理即可求解.

【詳解】（1）證明：連接0C,

:.ZDCF+Z.OCD=9Q0

???力。是O。的直徑

???/LACD=90°

???/LACO+ZOCZ)=90°,

???Z-DCF=Z.ACO

???OA=0C,

Z.ACO=Z.CAD

.\ZDCF=ZCAD；

（2）解：設O。的半徑為廣，

在Rt△尸C。中，0C2+CF2=OF2

■:CF=4V2.DF=4

2

???r2+（4V2）=（r+4）2

解得r=2

.??。。的半徑為2.

【點睛】本題考查的是切線的性質、等腰三角形的性質，圓周角定理以及勾股定理，掌握圓的切線垂直于

經過切點的半徑是解題的關鍵.

10.（2024?安徽合肥?一模）如圖，448。內接于（O,AC（不是直徑）與。B相交于點0,且4。=8,北

與。。相切點a.

⑴求證：力B平分皿IE；

⑵若BD=6,AD=12,求力E的長.

【答案】(1)見詳解

(2)20

【分析】(1)連接。力，則。4=。8,所以Z.04B=N0B4,由切線的性質證明4EA。=90。，由垂徑定理證

明=90°,則ND48+N0B4=90。，Z.EAB+Z.OAB=90°,所以NE48=N￡MB,貝平分

ADAE；

(2)因為BD=6,AD=12,所以0。=OB—6=。4-6,由勾股定理得122+(04-6尸=求得

0A=15,貝!10。=9,所以tcmN力。6=絲=也=々則4E=&04=20.

OAOD33

【詳解】(1)證明：連接。4貝i|04=0B,

???Z-OAB=Z.OBA,

???4E與。。相切于點4

??.AE10A,

??.Z.EAO=90°,

???AD=CD,

???OBLAD,

??.Z.ADB=90°,

???/.DAB+Z.OBA=90°,

???Z.EAB+Z.OAB=Z-EAO=90°,

???乙EAB=Z-DABf

???48平分NOZE.

(2)解：v^ADO=90°,

.-.AD1+ODr=O^,

???BD=6,AD=12,

OD=OB-6=OA—6,

???122+(。4-6)2=OA2,

解得。4=15,

OD=15-6=9,

，入「AEAD12

tanz.AOE-——=—=—

OAOD9

44

AE--OA=-x15=20,

33

4E的長為20.

【點睛】此題重點考查切線的性質定理、垂徑定理、勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余、等角的余角

相等、銳角三角函數與角直角三角形等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵.

11.(2024?安徽合肥?一模)如圖，在AABC中，NC=90。，點。是AB邊上一點，以BD為直徑的。。與邊

AC相切于點E,與邊BC交于點尸，過點E作EH148于點打，連接BE.

(1)求證：BC=BH；

(2)若AB=5,AC=4,求CE的長.

【答案】(1)見解析

(2)|

【分析】（1）連接。E,如圖，根據切線的性質得到。E，AC,則可證明N1=N3,加上N2=N3,從而

得到41=42,然后證明三RfABEC得到結論；

（2）利用勾股定理計算出BC=3,設。E=r,貝1］。4=5—r,證明△力。E“△力BC,利用相似比計算

出r=J則4。=個，然后利用勾股定理計算出4E,從而得到CE的長.

OO

【詳解】（1）證明：連接。E,如圖，

：.0E1AC,

C.Z-AEO=90°,

VzC=90°,

：.0E||BC,

Azl=Z3,

?；0B=OE,

z2=z_3,

z.1=乙2,

*：EH=EC,

在Rt△BEH和Rt△BEC中

(BE=BE

lEH=EC'

，Rt△BEH=Rt△BEC(HL)，

：.BC=BH；

(2)在Rt/kZBC中，BC=V52-42=3>

設OE=乙則04=5-r,

???OE||BC,

??.△ZOE?△ZBC,

器=器，即F河，解得?孩

■--A0=5-r=-,

在Rt^AOE中,

53

■■.CE=AC-AE=4--=-.

22

【點睛】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑.若出現圓的切線，必連過切點的半徑,

構造定理圖，得出垂直關系.也考查了相似三角形的判定與性質.

12.(2024?安徽?一模)如圖，在。。中，直徑力B垂直弦CD于點E,連接AC、BD,點G為直徑4B上一點,

且DG=DB,延長DG父力C于點F.

⑴求證;DFLAC；

(2)若BE=ni,OE=n,求BD的長.(用含的代數式表示)

【答案】(1)證明見解析

(2)V2m2+2mn

【分析】本題主要考查了同弧所對的圓周角相等，勾股定理，三線合一定理：

(1)由三線合一定理得到NCDF=NCD8,由同弧所對的圓周角相等推出NB4C=再由三角形內

角和定理可得NAFG=NDEG=90。，即DF14C；

(2)連接。￡),由三線合一定理得到GE=BE=m,求出。0=。8=OE+BE=m+n,由勾股定理可得

GD2-m2=(m+n)2-n2,據此可得8。=DG=V2m2+2mn.

【詳解】(1)證明：:DG=DB,CDLAB,

：./.CDF=4CDB,

VzBXC=乙BDC,

：./LBAC=乙CDF,

又：ZAGF=ZDGE,

：.ZAFG=ZDEG=90°,即DF1AC；

(2)解：如圖所示，連接。。，

'：DG=DB,CDLAB,

GE=BE=m,

BE=m,OE=n,

OD=OB=OE+BE=m+n,

在Rt△OED中，由勾股定理得DE?=OD2-OE2,

在Rt△GED中，由勾股定理得=GD2-GE2

：.GD2-GE2=OD2-OE2,

GD2—m2=(m+n)2—n2,

GD2=2m2+2mn,

13.（2024?安徽合肥?一模）如圖，4B是。。的直徑，AC是一條弦，。是弧AC的中點，DE14B于點E,交

AC于點尸交。。于點H,DB交4C于點G.

C

G

B

O

H

⑴求證：AF=DF-,

(2)若4F=5,tanABD=|,求。。的半徑.

【答案】(1)見解析

⑵10

【分析】(1)根據。是忿的中點，DELAB于點E,4B是。。的直徑，

得到禽=AD=虎,得到乙4DF=/必。即可得證.

(2)連接。。，根據==j設4E=x,DE=2x,利用勾股定理求得x,再利用正切函數計

DE2

算即可.

【詳解】(1)?.?。是潴的中點,

-'-AD=DC>

?.?0石，48于點￡,4B是O。的直徑，

-"-AH=AD

"-AH=筋=虎，

AZ.ADF=/.FAD,

：.AF=DF.

(2)連接。0,

??,OELAB于點凡4B是O。的直徑，

：.^ADE=90°-Z.DAE=乙ABD,

1

Vtanz.ABD=

2

.,*teenz.ADE=—=一，

DE2

設/E=x,DE=2%,

*：AF=OF=5,

：.EF=DE-DF=2x-S,

(2x-5)2+產=52,

解得％=4或%=0(舍去),

1

VtanZ-ABD=

2

.DE_1

*-25

：.BE=16,

：.AB=AE+BE=20

二。。的半徑為10.

【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，一元二次方程的解法，正切函數，熟練掌握垂徑

定理，勾股定理，圓周角定理，正切函數是解題的關鍵.

14.(2024?安徽合肥.一模)已知：如圖，48為。。的直徑，點E為上一點，過點E作交。。點

C、D.

⑴如圖1,若AE=2,OE=3,求CD的長;

(2)如圖2,點P為京上一點，連接DP交直徑48于點F,連接CF,若OC||PB,求證：乙CFP=LB.

【答案】(1)4

(2)見解析

【分析】此題考查了圓周角定理、垂徑定理及平行線的性質，熟記圓周角定理、垂徑定理是解題的關鍵.

(1)根據垂徑定理求出CE=^CD,再根據勾股定理求解即可；

(2)連接4P,根據圓周角定理求出BP根據平行線的性質求出。CLAP,乙8=乙4。。，根據垂徑

定理求出公=無，根據圓周角定理求出40C=2ZD=N8,再根據線段垂直平分線的性質、等腰三角形的

性質求出ND=4DCF,再根據三角形外角性質求解即可.

【詳解】（1）解：如圖1,連接。C,

他為O。的直徑，CDLAB,

:.CE=DE=-CD,

2

AE—2,OE=3,

:.OA=AE+OE=5=OC,

??.CE=yj0C2-OE2=4，

CD=8；

(2)證明：如圖2,連接4P,

AB為。。的直徑，

乙APB=90°,

???BPLAP,

9：OC||PB,

:.OC.LAP,乙B=LAOC,

z—\z—X

-AC=PC，

:.ZAOC=2ZD=ZB,

???CD±AB,CE=DE,

???垂直平分CD,

:.CF=DF,

???Z-D=乙DCF,

:.NCFP=ZD+ZDCF=2ZD,

:.ZCFP=ZB.

15.(2024?安徽蚌埠?一模)如圖，4B是。。的直徑，直線/與。。相切于點C,且I||BC,D為I上一點,

BD=AB,AC,BD交于點E.

⑴求證：AC=BC；

⑵求乙4BD的度數；

(3)若CD=1,求BE的長.

【答案】(1)見解析

(2)A.ABD=30°

(3)BE=2

【分析】本題考查了切線的性質，垂徑定理和相似三角形的性質與判定，解直角三角形.

(1)連接。C,如圖，利用切線的性質得。c_LZ,利用平行線的性質得OC148,然后根據垂徑定理得

AC=BCr從而得到ac=BC；

(2)作于“，如圖，易得四邊形COHD為矩形得到=OC,然后根據BD=B4得到BD=

2DH,從而可判斷乙4BD的度數；

(3)作EF14B于F,如圖，先計算出AEMC=30。，再利用CD||4B得到"C4=NG4B,則可判斷4

ADCs△BEA,利用相似比可計算出4E=V2,利用等腰直角三角形的性質得到4尸=EF=1,然后在

白△8EF中利用含30度的直角三角形三邊的關系得到BE的長.

【詳解】(1)證明：連接。C,如圖,

D

??,直線，與。。相切于點c,

???0C1/,

V/IIBC,

AOCLAB.

AC=BC?

AC=BC；

則四邊形C。”。為矩形,

??.DH=OC,

BD—BA,

??.BD=2DH,

：.sinZ.ABD=-=-

BD2

???乙ABD=30°；

.-.ZACB=90°,

?.?△acB為等腰直角三角形，

.-.ZC4B=45°,AB=y/2AC,

???/.BAD=)180。-30°)=75°,

???4。4。=75。-45。=30。，

???CD||AB,

???Z-DCA=Z-CAB,

ADCs&BEA,

CD：AE=AC：AB,

AE=空?CD=迎,

AC

在RtAF=EF=~Xy/2=1,

在Rt^BEF中，BE=2EF=2.

16.(2024?安徽合肥?一模)如圖，4B是半圓。的直徑，C是半圓上不同于4B的一點，/是△力BC的內心,

4/的延長線交半圓。于點。，連結BI,BD」O.

⑵若BD=2,IOLBI,求加的長.

【答案】(1)見解析

(2)4

【分析】本題主要考查了圓周角定理，相似三角三角性的判定和性質，三角形的內心等知識：

(1)根據48是半圓。的直徑，可得NC=AD=90。，從而得至=NB4D+N4B/=

1

-(ZBXC+Z71BC)=45°,進而得至!U/8D=乙BID,即可求證；

(2)過點O作OE1AD于點E,可得OEIIBD,從而得至必40E4BD,進而得到黑=警=蕓=；,可

BDABAD2

得到OE=1,AD=6,再證得△O/E是等腰直角三角形，可得/E=OE=1,即可求解.

【詳解】（1）證明：是△4BC的內心,

8/是△ABC的角平分線，

11

C.Z.BAD=-/-BAC,Z.ABI=-Z.ABC,

2'2

???48是半圓。的直徑，

AzC=Z.D=90°,

：.Z.CAB+ACBA=90°,

-1

,"BID=Z.BAD+匕ABI="BAC+^ABC)=45°,

AZ-IBD=45°,

：.Z-IBD=乙BID,

：.DI=DB；

(2)解：如圖，過點。作。El于點￡,

：.Z.AEO=NO=90°,

：.OE||BD,

：.△AOEs^ABD,

.OE_OA_AE_1

**BD-AB~AD~2f

;BD=2,

：.OE=1,

,:DI=DB=2,

：.DE=3,

：.AD=6,

IO.LBI,

：.Z.AEO=乙BIO=90°,

:?乙OIE+乙BID=90°,

：.AOIE=45°,

???△O/E是等腰直角三角形,

：.1E=0E=1,

：.AI=AD-ID=6-2=4.

17.（2024?安徽合肥?一模）如圖，四邊形力BCD內接于G）。，^BAD=90°,=CD,過點。作CE,使得

CD=CE,交4。的延長線于點E.

⑴求證：AB=AE.

（2）若AD=L>E=2,求CD的長.

【答案】（1）見解析

⑵V1U

【分析】（1）如圖，連接"，根據BC=C。推出NB2C=N瓦4C,再證明8cCE,乙B=,進而證明

△28C三△4EC（AAS）,即可證明AB=AE.

（2）先證明8。是O。的直徑，得到NBCD=90。.由（1）可得4B=4.在]△48。中求出BO=2V5;

在RSBCD中，CD=BC=—BD=y/]O.

22

【詳解】（1）證明：如圖，連接4C.

???BC=CD,

BC=CD，

???Z.BAC=Z-EAC.

???CD=CE,

???Z-E—乙CDE,BC=CE.

???乙B+^ADC=180°,乙CDE+Z.ADC=180°,

???Z-B=乙CDE,

???乙B=Z-E.

在△48。與△4EC中,

Z.BAC=Z-EAC,

（B=乙E,

BC=CE,

ABC三△4EC（AAS），

???AB=AE,

???乙BAD=90°,

??.BD是。。的直徑，

..ZBCD=90。.

由（1）可得AB=AE.

AD=DE=2,

??.AB=4.

在RQZBO中，BD=y/AB2+AD2=2V5;

在RtZXBCO中，CD=BC=BD=y/10.

【點睛】本題主要考查了弧，弦，圓周角之間的關系，圓內接四邊形的性質，等邊對等角，勾股定理，90

度圓周角所對的弦是直徑，直徑所對的圓周角是直角，全等三角形的性質與判定等等，正確作出輔助線構

造全等三角形和直角三角形是解題的關鍵.

18.（2024?安徽宿州?一模）如圖，。。中的兩條弦4B1CD于E,點F在。。上，BDBF.連接轉交CD

于G,交BC于H.

D

(1)若4E=2,BE=4,BC=8,求的長;

(2)分別連接OF,EH,求證：DF||EH.

【答案】(1)BH=3

(2)見解析

【分析】

本題考查相似三角形的判定及性質，圓周角定理，添加輔助線構造相似三角形是解決問題的關鍵.

(1)由防=0,根據圓周角定理可得=進而可證得黑=器即可求

BCBE

解；

⑵根據WCD及△48H8CBE,可得乙4H8=90。，黑=器=黑，則*=n，連接6、BF，結合

CEBEBCABBC

圓周角定理，先證△AHB八CHF,得箸=黑=條則黑=署，可知罟=箸，可證△ECH八BCF,可

得NCEH=乙CBF,根據圓周角定理可知NCDF=/.CBF,得NCDF=乙CEH,即可證明DF||EH.

【詳解】(1)解：=2,BE=4,

'?AB—AE+BE=6,

VRD=翁，

：.^BAF=乙DCB,

又,：乙ABH=Z.CBE,

：.△ABH八CBE,

.ABBH6BH

：.——=—,即nn：-=—,

BCBE84

：.BH=3；

(2),：AB1CD,則4CEB=90。

由(1)可矢口，AABHfCBE,

AH_BH

：.Z.AHB=90°,絲，則竺=生,

CE—BEBCABBC

連接CF、BF,貝I」4=々BCF,

又,：乙AHB=乙CHF=90°,

A△AHB八CHF,

??——，火1j—，

CHHFCFABCF

?.C?E_=CH,

CBCF

又,：前)=時,

?"BCF=乙DCB,

：.△ECHs^BCF,

;?乙CEH=(CBF,

又,：乙CDF=乙CBF,

:?乙CDF=乙CEH,

：.DF||EH.

19.（2023?安徽?模擬預測）如圖，在中，乙4BC=90。,。為AC邊上一點，。。與邊相切于點D,

交BC,4;于點及F,連接CD.

A

⑴求證：乙BCD=AACD；

Q）若CE=2BE=2,求劣弧DF的長度.（結果保留兀）

【答案】（1）見解析

⑵|兀

【分析】