中考沖刺：閱讀理解型問題一學問講解(基礎)

【中考展望】

閱讀理解型問題在近幾年的全國中考試題中頻頻“亮相”，應當特殊引起我們的重視.它由兩部分

組成：一是閱讀材料；二是考查內容.它要求學生依據閱讀獲得的信息回答問題.供應的閱讀材料主要

包括：一個新的數學概念的形成和應用過程，或一個新的數學公式的推導與應用，或供應新聞背景材料

等.考查內容既有考查基礎的，又有考查自學實力和探究實力等綜合素養的.這類問題一般文字敘述較

長，信息量較大，內容豐富，超越常規，源于課本，又高于課本，各種關系錯綜困難，不僅能考查同學

們閱讀題中文字獲得信息的實力，還能考查同學們獲得信息后的抽象概括實力、建模實力、決策推斷實

力等.同時，更能夠綜合考查同學們的數學意識和數學綜合應用實力.

【方法點撥】

題型特點：先給出一段材料，讓學生理解，再設立新的數學概念，新概念的解答可以借鑒前面材料

的結論或思想方法.

解題策略：從給的材料入手，通過理解分析本材料的內容，捕獲已知材料的信息，敏捷應用這些信

息解決新材料的問題.

解決閱讀理解問題的關鍵是要細致細致地閱讀給定的材料，弄清材料中隱含了什么新的數學學問、

結論，或揭示了什么數學規律，或示意了什么新的解題方法，然后依題意進行分析、比較、綜合、抽象

和概括，或用歸納、演繹、類比等進行計算或推理論證，并能精確地運用數學語言闡述自己的思想、方

法、觀點.綻開聯想，將獲得的新信息、新學問、新方法進行遷移，建模應用，解決題目中提出的問題.

閱讀理解題一般可分為如下幾種類型：

(1)方法模擬型一一通過閱讀理解，模擬供應材料中所述的過程方法，去解決類似的相關問題；

(2)推斷推理型一一通過閱讀理解，對供應的材料進行歸納概括；依據對材料本質的理解進行推理,

作出解答；

(3)遷移發展型一一從供應的材料中，通過閱讀，理解其采納的思想方法，將其概括抽象成數學模

型去解決類同或更高層次的另一個相關命題.

【典型例題】

類型一、閱讀試題供應新定義、新定理，解決新問題

1.閱讀材料：

例：說明代數式‘米+1+J(x—3)2+4的幾何意義,并求它的最小值.

解:

如圖，建立平面直角坐標系，點P(X,0)是x軸上一點,

則J(x—0)2+1可以看成點P與點A(0,1)的距離，J(x—3)2+2?可以看成點P與點B(3,2)的距

離，所以原代數式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值.

設點A關于x軸的對稱點為A，,則PA=PA，,因此，求PA+PB的最小值，只需求PA'+PB的最小值，

而點A，、B間的直線段距離最短，所以PA，+PB的最小值為線段A，B的長度.為此，構造直角AA，CB,

因為A'C=3,CB=3,所以A'B=30,即原式的最小值為3J5.

依據以上閱讀材料，解答下列問題：

(1)代數式—+1+J(九一2y+9的值可以看成平面直角坐標系中點P(X,0)與點A(1,1)、

點B的距離之和.(填寫點B的坐標)

(2)代數式7%2+49+VX2-12X+37的最小值為.

【思路點撥】

(1)先把原式化為J(龍—ly+l+J(x—+3?的形式,再依據題中所給的例子即可得出結論；

(2)先把原式化為J(x—0(+7?+J(x—6(+1的形式,故得出所求代數式的值可以看成平面直角坐

標系中點P(x,0)與點A(0,7)、點B(6,1)的距離之和，然后在坐標系內描出各點，利用勾股定

理得出結論即可.

【答案與解析】

解：(1)???原式化為J(x—1)2+1+J(X-2)2+32的形式,

；?代數式—+1+JO—+32的值可以看成平面直角坐標系中點P(x,0)與點A(1,1)、點

B(2,3)的距離之和，

故答案為(2,3)；

(2)?.?原式化為0)2+7?+J(尤—6)2+1的形式,

；?所求代數式的值可以看成平面直角坐標系中點P(x,0)與點A(0,7)、點B(6,1)的距離之和，

如圖所示：設點A關于x軸的對稱點為A',貝lJPA=PA',

；.PA+PB的最小值，只需求PA，+PB的最小值，而點A'、B間的直線段距離最短，

.,.PA,+PB的最小值為線段為B的長度,

VA(0,7),B(6,1)

:.A'(0,-7),A'C=6,BC=8,

.*.A,B=y/AC2+BC2=A/62+82=10,

故答案為：10.

【總結升華】

本題考查的是軸對稱一一最短路途問題，解答此題的關鍵是依據題中所給給的材料畫出圖形，再利

用數形結合求解.

類型二、閱讀試題信息，歸納總結提煉數學思想方法

^^2.閱讀材料：

(1)對于隨意兩個數a、b的大小比較，有下面的方法：

當a-b>0時，肯定有a>b；

當a-b=O時，肯定有a=b；

當a-b<0時，肯定有a<b.

反過來也成立.因此，我們把這種比較兩個數大小的方法叫做“求差法”.

(2)對于比較兩個正數a、b的大小時，我們還可以用它們的平方進行比較：

*.*a2-b2=(a+b)(a-b),a+b>0,

(a2-b2)與(a-b)的符號相同.

當a2-b2>0時，a-b>0,得a>b；

當a2-b2=0時，a-b=O,得a=b；

當a2-b2<0時，a-b<0,得a<b.

解決下列實際問題：

(1)課堂上，老師讓同學們制作幾種幾何體，張麗同學用了3張A4紙，7張B5紙；李明同學用了2張

A4紙，8張B5紙.設每張A4紙的面積為x,每張B5紙的面積為y,且x>y,張麗同學的用紙總面積為

W],李明同學的用紙總面積為W2.回答下列問題：

①Wi=(用x、y的式子表示)；

W2=(用x、y的式子表示)；

②請你分析誰用的紙面積更大.

(2)如圖1所示，要在燃氣管道1上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮供氣，已知A、B到1的距離分

別是3kli1、4km(即AC=3km,BE=4km),AB=xkm,現設計兩種方案：

圖1圖2圖3

方案一：如圖2所示，APL1于點P,泵站修建在點P處，該方案中管道長度ai=AB+AP.

方案二：如圖3所示，點A，與點A關于1對稱，A，B與1相交于點P,泵站修建在點P處，該方案中

管道長度a2=AP+BP.

①在方案一中，ai=km(用含x的式子表示)；

②在方案二中，a2=km(用含x的式子表示)；

③請你分析要使鋪設的輸氣管道較短，應選擇方案一還是方案二.

【思路點撥】

(1)①依據題意得出3x+7y和2x+8y,即得出答案；②求出W1T2=x-y,依據x和y的大小比較即可；

(2)①把AB和AP的值代入即可；②過B作BMLAC于求出AM,依據勾股定理求出BM.再依據勾股

定理求出BA，,即可得出答案；

22

③求出ai-a2=6x-39,分別求出6x-39>0,6x-39=0,6x-39<0,即可得出答案.

【答案與解析】

(1)解：①Wi=3x+7y,W2=2x+8y,

故答案為：3x+7y,2x+8y.

②解：Wi-W2=(3x+7y)-(2x+8y)=x-y,

Vx>y,

x-y>0,

.?.Wi-Wa>0,

得WAWz

所以張麗同學用紙的總面積更大.

(2)①解：ai=AB+AP=x+3,

故答案為：x+3.

②解：過B作BM_LAC于M,

則AM=4-3=1,

在AABM中，由勾股定理得：BM2=AB2-12=X2-L

在AA，MB中，由勾股定理得：AP+BP=A,B=^AM2+BM2=A/X2+48,

故答案為：J*+48.

2221222

③解：ai-a2=(x+3)-(Jx+48)=x+6x+9-(x+48)=6x-39,

當a「-a/>0(即a「a2>0,ai>a2)時，6x-39>0,解得x>6.5,

當aJ-az'O(§Pai-a2=0,ai=aa)時，6x-39=0,解得x=6.5,

當aJ-a/<0(即ai-azCO,ai<a2)時，6x-39<0,解得x<6.5,

綜上所述，

當x>6.5時，選擇方案二，輸氣管道較短，

當x=6.5時,兩種方案一樣，

當0<x<6.5時，選擇方案一，輸氣管道較短.

【總結升華】

本題考查了勾股定理，軸對稱一一最短路途問題，整式的運算等學問點的應用，通過做此題培育了

學生的計算實力和閱讀實力，題目具有肯定的代表性，是一道比較好的題目.

舉一反三：

【變式】如圖所示，正方形ABCD和正方形EFGH的邊長分別為2&和，對角線BD、FH都在直線/上,

01、分別是正方形的中心，線段0。的長叫做兩個正方形的中心距.當中心0在直線/上平移時，正

方形EFGH也隨之平移，在平移時正方形EFGH的形態、大小沒有變更.

(1)計算：0iD=,02F=；

(2)當中心O2在直線/上平移到兩個正方形只有一個公共點時，中心距50?=.

(3)隨著中心在直線/上的平移，兩個正方形的公共點的個數還有哪些變更？并求出相對應的中心

距的值或取值范圍.(不必寫出計算過程)

【答案】

(1)0山=2,O2F=1；

(2)Oi02=3；

(3)當Oi0z>3或OWOi時，兩個正方形無公共點；

當。02=1時，兩個正方形有多數個公共點；

當l<Oi。2<3時，兩個正方形有2個公共點.

類型三'閱讀相關信息，通過歸納探究，發覺規律，得出結論

CB.在學習軸對稱的時候，老師讓同學們思索課本中的探究題.

如圖(1),要在燃氣管道/上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮供氣.泵站修在管道的什么地方，可使所

用的輸氣管線最短？

你可以在1上找幾個點試一試，能發覺什么規律？

B

短3A.

■/I

六:1

(1)(2)"

聰慧的小華通過獨立思索，很快得出了解決這個問題的正確方法.他把管道/看成一條直線(圖(2)),

問題就轉化為，要在直線1上找一點P,使AP與BP的和最小.他的做法是這樣的：

①作點B關于直線/的對稱點T.

②連接AB'交直線/于點P,則點P為所求.

請你參考小華的做法解決下列問題.如圖在aABC中，點D、E分別是AB、AC邊的中點，BC=6,BC

邊上的高為4,請你在BC邊上確定一點P,使4PDE的周長最小.

(1)在圖中作出點P(保留作圖痕跡，不寫作法).

(2)請干脆寫出4PDE周長的最小值：.

【思路點撥】

(1)依據供應材料DE不變，只要求出DP+PE的最小值即可，作D點關于BC的對稱點D',連接D，E,

與BC交于點P,P點即為所求；

(2)利用中位線性質以及勾股定理得出UE的值，即可得出答案.

【答案與解析】

解：(1)如圖，作D點關于BC的對稱點D，,連接WE,與BC交于點P,

P點即為所求；

A

D,

(2):點D、E分別是AB、AC邊的中點，

；.DE為AABC中位線，

VBC=6,BC邊上的高為4,

.\DE=3,DD'=4,

.?DE=y/DE2+DD'2=A/32+42=5,

.?.△PDE周長的最小值為：DE+D'E=3+5=8,

故答案為：8.

【總結升華】

此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑以及三角形中位線的學問，依據已知得出要求4PDE周長的

最小值，求出DP+PE的最小值是解題關鍵.

舉一反三：

【變式】閱讀材料，大數學家高斯在上學讀書時曾經探討過這樣一個問題：

1+2+3+…+100=?經過探討，這個問題的一般性結論是1+2+3+…+"=；"("+1),其中n是正整數.現在

我們來探討一個類似的問題：1X2+2X3+…〃(〃+0=?

視察下面三個特殊的等式：

將這三個等式的兩邊相加，可以得到1X2+2X3+3X4=1X3X4X5=^O

3

讀完這段材料，請你思索后回答：

(1)Ix2+2x3+…+100x101=；

⑵Ix2+2x3++n(n+l)=；

⑶1X2X3+2X3X4H----Fn(n+1)(〃+2)=-

(只需寫出結果，不必寫中間的過程)

【答案】

⑴343400(或;xl00xl01xl02)

每相鄰兩個自然數相乘再求和時可以發覺結果總是:〃(〃+以力+2),但當每相鄰三個自然數相乘再求和

時就成為:"("+以"+2加+3)了.

類型四'閱讀試題信息，借助已有數學思想方法解決新問題

4.已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,/B=90°,AD=2,BC=6,AB=3.E為BC邊上一點，

以BE為邊作正方形BEFG,使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同側.

(1)當正方形的頂點F恰好落在對角線AC上時，求BE的長；

(2)將(1)問中的正方形BEFG沿BC向右平移，記平移中的正方形BEFC為正方形B,EFG,當點E與

點C重合時停止平移.設平移的距離為t,正方形B‘EFG的邊EF與AC交于點M,連接B'D,B’M,DM,

是否存在這樣的3使AB,DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；

(3)在(2)問的平移過程中，設正方形B,EFG與AADC重疊部分的面積為S,請干脆寫出S與t之間

的函數關系式以及自變量t的取值范圍.

【思路點撥】

(1)首先設正方形BEFG的邊長為x,易得△AGFS^ABC,依據相像三角形的對應邊成比例，即可求得

BE的長；

(2)首先利用△MECs^ABC與勾股定理，求得B'M,DM與ID的平方，然后分別從若/DB'M=90°,

則DM?=B‘M2+B,D2,若/DB'M=90°,則DM*M2+B/D2,若NB‘DM=90°,則B‘M=B,D’+DM?去分析，

即可得到方程，解方程即可求得答案；

441010

(3)分別從當OWtW—時，當一<tW2時，當2<tW—時，當一<tW4時去分析求解即可求得答

3333

案.

【答案與解析】

解：(1)如圖①，

設正方形BEFG的邊長為x,

則BE=FG=BG=x,

VAB=3,BC=6,

.\AG=AB-BG=3-x,

VGF/7BE,

/.△AGF^AABC,

.AGGF

??—,

ABBC

即=

36

解得：x=2,

即BE=2.

(2)存在滿意條件的t,

理由：如圖②，過點D作DHLBC于H,

則BH=AD=2,DH=AB=3,

由題意得:BB'=HE=t,HB'=11-21,EC=4-t,

VEF//AB,

AMECABC,

MEECME4-t

---=----,即an----=----,

ABBC36

1

.\ME=2—t,

2

在Rt^B'ME中，B'M2=ME2+BZE=22+(2--t)2=-t2-2t+8,

24

在RtZXDHB'中，B'D2=DH2+B,H2=32+(t-2)2=tMt+13,

過點M作MN±DH于N,

則MN=HE=t,NH=ME=2--t,

2

.\DN=DH-NH=3-(2--t)=-t+l,

22

在RtADMN中，DM2=DN2+MN2=-t2+t+l,

4

(I)若/DB'M=90°,則DM'=B'M2+BZD2,

即3t，t+l=(-t-2t+8)+(t-4t+13),

44

解得：t=20'，

7

(II)若/B'MD=90°,則B'D?=B'M2+DM2,

即t2-4t+13=(-t-2t+8)+(-t2+t+l),

44

解得：ti=-3+JF7,t2--3-\/ll(舍去)，

t=_3+s/17；

(III)若NB'DM=90°,則B，M-B,D2+DM2,

即：-t-2t+8=(t-4t+13)+(-t2+t+l),

44

此方程無解，

綜上所述，當t=型或-3+JI7時，AB，DM是直角三角形；

7

N、

B~B1ECBHB'EC

圖③圖④

(3)①如圖③，當F在CD上時，EF：DH=CE：CH,

即2：3=CE：4,

8

,\CE=-,

3

,84

.\t=BB/=BC-13'E-EC=6-2—=-,

33

1

：ME=2--t,

2

1

；.FM=-t,

2

4-1112

當OWtWT寸，S—SAFMN——XtX—t——t,

3224

②如圖④，當G在AC上時，t=2,

DH33

,/EK=EJtan/DCB=EC?——=—(4-t)=3-—t,

CH44

3

.?.FK=2-EK=-t-l,

4

24

VNL=-AD=-,

33

4

；.FL=t—-,

3

4114、，32

2z--

，當一＜tW2時，S—SAFMN-SAFKL=—t—-(t--)(—tl)=~-t+t-；

3423483

③如圖⑤，當G在CD上時，B'C：CH=B'G：DH,

即B'C：4=2：3,

Q

解得：B'C=-，

3

,2

.?.EC=4-t=B'C-2=-,

3

.+_io

3

,1,1,、1

VB,N=—B'C=-(6-t)=3一?t,

222

,,1

VGN=GB,-B'N=-t-l,

2

43

…〃104=1,1—1、1：3.5

?.當2<tW時,SSGNMF-SAFKL=—X2X(—11+■—t)———(t—)--t+2t—,

322223483

④如圖⑥，當3ctW4時,

3

1

EM=-EC=-(4-t),

22

15

S=S梯形MNLK=S梯形B'EKL_SEMN=-—'t+-.

22

綜上所述：

41

當OWtW一時,S=-t2,

34

4122

當一<tW2時,S=--t+t--；

383

當2c時，S=--t2+2t--,

383

當3<tW4時，S=--1+—.

322

【總結升華】

此題考查了相像三角形的判定與性質、正方形的性質、直角梯形的性質以及勾股定理等學問.此題

難度較大，留意數形結合思想、方程思想與分類探討思想的應用，留意協助線的作法.

5.閱讀理解

如圖1,4ABC中，沿NBAC的平分線ABi折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿NBAC的平分線AB2折疊,

剪掉重復部分；…；將余下部分沿NBnAnC的平分線AnBm折疊，點區與點C重合，無論折疊多少次，只

要最終一次恰好重合，ZBAC是4ABC的好角.

小麗展示了確定NBAC是AABC的好角的兩種情形.情形一：如圖2,沿等腰三角形ABC頂角NBAC的平

分線ABi折疊，點B與點C重合；情形二：如圖3,沿/BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復部分；將余下

部分沿NBAC的平分線AA折疊，此時點Bi與點C重合.

探究發覺：

(1)AABC中，ZB=2ZC,經過兩次折疊，ZBAC是不是4ABC的好角？(填“是”或“不

是").

(2)小麗經過三次折疊發覺了NBAC是4ABC的好角，請探究NB與/C(不妨設/B>NC)之間的等量

關系.依據以上內容猜想：若經過n次折疊NBAC是AABC的好角，則NB與NC(不妨設/B>NC)之

間的等量關系為.

應用提升

(3)小麗找到一個三角形，三個角分別為15°、60°、105°,發覺60°和105°的兩個角都是此三角

形的好角.

請你完成，假如一個三角形的最小角是4。，試求出三角形另外兩個角的度數，使該三角形的三個

角均是此三角形的好角.

【思路點撥】

(1)在小麗展示的情形二中，如圖3,依據三角形的外角定理、折疊的性質推知/B=2/C；

(2)依據折疊的性質、依據三角形的外角定理知/AAB2=NC+NA2B￡=2NC；依據四邊形的外角定理知

ZBAC+2ZB-2C=180°①，依據三角形ABC的內角和定理知/BAC+NB+NC=180°②，由①②可以求得

ZB=3ZC；利用數學歸納法，依據小麗展示的三種情形得出結論：ZB=nZC；

(3)利用(2)的結論知NB=nNC,NBAC是AABC的好角，ZC=nZA,NABC是AABC的好角，ZA=nZB,

/BCA是AABC的好角；然后三角形內角和定理可以求得另外兩個角的度數可以是88°、88°.

【答案與解析】

解：(1)AABC中，ZB=2ZC,經過兩次折疊，NBAC是AABC的好角；

理由如下：小麗展示的情形二中，如圖3,

:沿NBAC的平分線ABi折疊，

ZB=ZAAiBi；

又：將余下部分沿NBAC的平分線AiB2折疊，止匕時點Bi與點C重合，

.\ZAiBiC=ZC；

VZAAiB^ZC+ZAiBiC(外角定理)，

.\ZB=2ZC；

故答案是：是；

(2)ZB=3ZC；如圖所示，在4ABC中，沿NBAC的平分線AB1折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿NBAC

的平分線AR折疊，剪掉重復部分，將余下部分沿/B2A2c的平分線AB折疊，點灰與點C重合，則/BAC

是AABC的好角.

證明如下：：依據折疊的性質知，ZB=ZAAiBi,ZC=ZA2B2C,ZAIBIC=ZAIA2B2,

依據三角形的外角定理知，ZAIA2B2=ZC+ZA2B2C=2ZC；

:依據四邊形的外角定理知，ZBAC+ZB+ZAAiBi-ZAiBiC=ZBAC+2ZB-2C=180°,

依據三角形ABC的內角和定理知，ZBAC+ZB+ZC=180°,

.\ZB=3ZC；

由小麗展示的情形一知，當NB=