點到直線的距離最值問題復習講義

典例精析

【題目6-7]如圖6-28,在RtAABC中,/B=9(F,AB=4,BC=3,P為AC上的動點，過點P作PMLAB于點M,

作PN±BC于點N,連接MN,求MN的最小值.

圖6-28

解法1設AM=4x(0<x<l).

VAAMP^AABC,

.AM_AB_4

??MP-BC-3’

???PM=BN=3x.

在RtABMN中，

MN2=BM2+BN2

=(4—4x)2+(3%)2

=25/-32X+16

=25(%-牙+貴

當x=!|時，MN?取得最小值等，

所以MN的最小值為Y，

點撥：MN為直角三角形的斜邊，結合基本的“A”型相似可以得到BM和BN之間的關系，利用勾股定理和二

次函數求出最值.

解法2如圖6-29,連接BP,過點B作BHXAC于點H.

:四邊形BNPM是矩形，

；.BP=MN,求MN的最小值，即求BP的最小值.

；B為定點，點P在線段AC上運動，

.,?由垂線段最短可知，當BPXAC時BP最短，即為BH.

Q_ABBC_ACBH

?ABC—2—2，

BH=差箸=?即MN的最小值為y.

圖6-29

點撥：從矩形BNPM入手，利用矩形對角線相等轉化為求線段BP的最小值，最終轉化為垂線段最短來求,

求BH使用面積法，簡單易懂.

解法3如圖6-30①.

,/ZMBN=ZMPN=90°,

；.B,N,P,M四點共圓,MN為直徑.

要使得MN最小，即使得圓最小，當圓與AC相切時，MN最小，最小值為圖6-30②中BP的長度.

BcPc=-A-B-B--C-=-12

AC5

AMN的最小值為Y.

圖6-30

點撥：通過90。聯想到圓，最終轉化為求圓的最小直徑問題，可知圓與AC相切時直徑最小.很多利用隱圓的題

目與90。密切相關，即“見直徑想90°,見90。想直徑”.

賞析此題雖然簡單，但是一題三法，從不同的角度入手，將最值問題常見的幾種解法都囊括在內.解法1用代

數法求最值，屬于常規方法；解法2利用垂線段最短求解；解法3利用隱圓求解，三種方法均為解決最值問題最普

遍的方法.

【題目6-8］如圖6-31,已知AB=4,P為線段AB上的一個動點，分別以AP,PB為邊在AB的同側作菱形AP

CD和菱形PBEF,點P,C,F在同一條直線上,/D=120。.M,N分別是對角線AC,BF的中點.當點P在線段AB上移

動時，求MN的最小值.

解法1如圖6-32,連接PM,PN,設AP=2x,貝!]PB=4—2x.

?..四邊形APCD和四邊形PBEF均為含有120。角的菱形，M,N為各自對角線的交點，

ZAPM=ZCPM=60°,ZFPN=ZBPN=30°,AAPM.ABPN均為含有30。角的直角三角形,

.-.乙MPN=90°,PM=^AP=x,

PN=WBN=萼=2V3-V3x,

MN2=PM2+PN2=x2+(2A/3-V3x)2=4x2-12x+12=4(x-|V+3.

?..當x=時，MN2取最小值，最小值為3,

；.MN的最小值為V3.

點撥：通過兩個特殊菱形對角線的中點，發現其中與MN有關的R3PMN,進而利用勾股定理及二次函數求

得最值.

解法2如圖6-33,連接PM,PN,延長AC交BF于點Q,連接PQ,過點Q作QHLAB于點H.

VZDAP=60°,ZEBP=120°,AQ,BQ分別為NDAP,NEBP的平分線，

ZQAB=30°,ZQBA=60°,

ZAQB=90°,

BQ=^AB=2,AQ=有BQ=2V3.

VM,N分別為AC,BF的中點，

.*.PM±AQ,PN±BF,

四邊形PNQM是矩形，

；.PQ=MN,求MN的最小值即求PQ的最小值.

為定點，點P在AB上運動，

/.當QPXAB時,PQ最小，即為QH.

ZQAH=30°,

■■■QH=1AQ=V3,

AMN的最小值為V3.

點撥:“在變化中尋找不變”，通過尋找幾何不變性發現AABQ為形狀固定的三角形，且四邊形PNQM為矩形，

通過矩形的兩條對角線相等將MN轉化為PQ,進而將兩個動點構成的線段的最值問題轉化為定點到直線的距離問

題.

解法3如圖6-34,取AP的中點G,BP的中點H,連接GM,HN,過點G作GQXHN的延長線于點Q.

VG,M分別為AP,AC的中點，

；.GM〃PC,同理得HN〃PC,

；.MG〃HN且NGHN=120°.

又'GH=GP+PH=+工PB==2,

222

GQ=V3.

?.?由直角三角形的斜邊大于直角邊可得MN>GQ,

MN>V3,

；.MN的最小值為V3.

點撥：在變化中發現GH為定值，GM〃:HN且角度固定，最后由“斜大于直”得出最值.

賞析解法1從代數法入手，利用特殊的角度產生的直角三角形，結合勾股定理，再利用二次函數求出最值；

解法2從幾何方法入手，將問題轉化為垂線段最短的問題.這兩種方法屬于解決幾何最值問題的通用方法.解法3利

用“斜大于直”，得出最值.

【題目6-9](1)如圖6-35,AB，直線1于點B,AB=4,C為直線1上一動點，以AC為直角邊,C為直角頂點向上

構造等腰RtAACD,連接BD,求BD的最小值.

(2)如圖6-36,在等邊△ABC中,AB=4,D為直線BC上一動點，以AD為邊向右側構造等邊△ADE,連接BE,求

BE的最小值.

(1)解法1如圖6-37,過點D作DELBC所在直線于點E,設BC=x.(規定點C在點B右邊)

ZBAC+ZACB=ZACB+ZDCE=90°,

ZBAC=ZDCE.

又,/CA=CD,ZABC=ZDEC,

.,.△ABC^ACED,

DE=BC=x.

BD2=BE2+DE2=(x+4)2+x2=2x2+8x+16=2(x+2)2+8>8,

BD>2V2,

ABD的最小值為2V2.

點撥：通過構造“K”型全等，設未知數，利用勾股定理及二次函數求最值.

解法2如圖6-38,在BC上取點H,使得AB=BH,連接DH,過點B作BPLDH的延長線于點P.

NBAH二NCAD,

???NBAH+NHAC=NHAC+NCAD,即NBAGNHAD.

FAB_AC_y[2

乂--=---=—.

AHAD2

AAABC^AAHD,

ZAHD=ZABC=90°.

：H為定點,NAHD為定角，

點D的軌跡即為垂直于AH且過點H的直線.

由垂線段最短可知，BD的最小值即為BP的長度.

ZAHB=45°,ZAHP=90°,

...△BPH為等腰直角三角形，

??.BP=&=五=2短

ABD的最小值為2V2.

點撥：通過構造另一個等腰直角三角形從而產生相似，確定點D的運動軌跡為直線，最終轉化為點到直線的

距離問題.

⑵解法1如圖6-39,連接CE,過點E作EHXBC于點H,設BD=2x.

,/ZBAC=ZDAE=60°,

ZBAD=ZCAE.

又；AB=AC,AD=AE,

AABAD^ACAE,

CE=BD=2x,ZACE=ZABD=60°,

AAECH=180°-乙4cB-AACE=60°

CH=*=x,EH=V3CH=信.

???BE2=BH2+EH2=(4+x)2+(V3x)2=4(%+I)2+12>12,

BE>2A/3?即BE的最小值為2遍.

''''A—

圖6-39

點撥：通過兩等邊共頂點構造全等，再設未知數，利用勾股定理及二次函數求最值.

解法2如圖6-40,連接CE,過點B作BH±EC的延長線于點H.

,/ZBAC=ZDAE=60°,

ZBAD=ZCAE.

又：AB=AC,AD=AE,

△ABD絲△ACE,

ZACE=ZABD=60°.

：/ACE為定角,C為定點，

.?.點E的軌跡為直線CE.

由垂線段最短可知BE的最小值即為BH的長度.

,/ZACB=ZACE=60°,

ZBCH=60°,

BH=V3CH=V3x|fiC=2百，

BE的最小值為2V3.

點撥：由兩個等邊三角形共頂點產生全等，從而確定點E的運動軌跡為直線，最終轉化為點到直線的距離問

題.

賞析兩道小題中，解法1均為代數法，解法2均為幾何法.大多數最值問題都可以用代數法和幾何法兩種方法

處理.

【題目6-10］如圖6-4LAB=2,AD=4AB=8,E為線段AD上一點，以CE為邊向上構造正方形CEFG,連接B

F,求BF的最小值.

,G

A//D!

1/

BC

圖6-41

解法1如圖6-42,延長AD至點M,使得DM=DC,連接CF,FM,延長FM交BC的延長線于點N,過點B作BH，F

N于點H.

ZECF=ZDCM=45°,

JZECD=ZFCM.

▽,,EC_DC_y/2

'FC~CM_2'

AECD^AFCM,

???ZCMF=ZCDE=90°,

；.NAMF=45。是定角，即點F的軌跡為直線MN,

/.當BF±MN時,BF最小，即為BH的長度.

VCD=DM=2,

???CM=V2C0=2V2,

???CN=42CM=4,

.\BN=12.

又?；ABHN為等腰直角三角形，

點撥：此法從幾何角度進行解析，直線型軌跡問題都可以構造“手拉手”全等或相似（也有人理解為旋轉相似）,

從而得到定角來說明動點的運動軌跡是直線，結合垂線段最短知BF的最小值即為BH的長度.

解法2如圖6-43,過點E作MN±BC于點N,過點F作FHXBA的延長線于點H,交MN于點M.

設HM=BN=x,5l!lNC=8一x.

,--△EFM^ACEN,

ME=CN=8-x=AH,MF=EN=2,

.?.在RSBHF中,BH=AB+AH=10-x,HF=HM+MF=x+2,

???BF2=BH2+HF2=(10-x)2+(x+2)2=2x2-16%+104=2(%-4)2+72.

當x=4時BF?最小，最小值為72,

ABF的最小值為6V2.

點撥：此法利用“手拉手”全等轉移線段，通過設未知數，巧妙利用二次函數來求最值，簡單明了，凸顯出“數形

結合”的獨特魅力.實際上，很多幾何最值問題，若能夠巧妙地發現代數關系，利用代數法來解答會有意想不到的效

果.同樣，代數最值問題往往也可以利用幾何法來求解.

賞析此題給人的第一印象就是直線型軌跡問題，若從幾何角度出發，步驟繁多，不容易想到，但是若能認真

體會解法1的幾何法，相信大家會有意想不到的收獲.解法2巧妙利用代數法，用數形結合的思想完美解決問題，令

人耳目一新.

【題目6-11］如圖6-44,在動點C與定長線段AB組成的△ABC中,AB=6,AD，BC于點D,BE，AC于點E,

連接DE.在點C運動的過程中，始終有意=號則點C到AB的距離的最大值是

圖6-44

解法如圖6-45,作^ABC的外接圓，即。O,連接OAQBQC.

vcosZ-ACB=—,cosZ-ACB=―,

ACBC

CD_CE目口CD_AC

''AC~BC'CE-BC'

AACDE^ACAB,

.CE_DE_y/2

"CB~AB~2'

cosZ.ACB=—,Z-ACB—45°.

2

?；AB=6（定弦）NACB=45。（定角）,

ZAOB=90°,

AAAOB為等腰直角三角形，

OA=OB=OC=^=3V2.

過點O作OHLAB于點H,則OH=IAB=3.

當C,O,H三點共線時，點C到AB的距離最大，為3/+3.

點撥：利用相似得到NC=45。，因為有定弦和定角，隱藏圓出現，得到點C的運動軌跡為圓，最終轉化為圓上

的點到弦的距離問題求解.

賞析定弦定角類型的幾何最值問題，首先要根據已知條件求出動點的軌跡，再根據具體問題進行處理.

【題目6-12]如圖6-46,在Rt^ABC^P,AABC=90°,AB=8,BC=6,,四邊形DEFG是4ABC的內接矩形,

點E,F分別在邊AB,BC上，點D,G在邊AC上,H是矩形DEFG的對角線的交點，求線段CH長度的最小值.

解法1如圖6-47,取AC的中點M,連接HM,過點H作HNLAC于點N,設AD=16m.

AAED^>AACB,

.AD_AB日H16m_8

"DE-BC'DE-6’

JDE=12m,FG=DE=12m,

???HN=-ED=6m.

2

AFCG^AACB,

FGAB日n12?7l8

--=---，即----=―,

CGBCCG6

???CG=9m.

VAC=10,

1

/.CM=-2AC=5,

DGAC-AD-CG10-25m

???NG=—2=------2-----=-----2----,

n,nnrcLc10-25?717

MN=MG—NG=5—9m-------2-----=-2m,

6m12

???tan乙HMN=—=—

-m7

2

，/HMN為定角，點H的軌跡為直線，

22

HM=y/HN+MN=J(6m)2+Qm)2=等科

.rm^ATHN67n12

sm^HMN=—HM=-7=—=V193

?.?當CH_LMH時CH最小，

errr,=-126060,193

C”mmin=CM,sin乙HMN5xV/193=V/19—3=---1-9-3---.

點撥：利用相似求出NHMN恒定，從而說明點H的軌跡是直線，再利用點到直線的距離求解.

解法2如圖6-48,取AC的中點M,連接HM,取點N使得AN=CG.

設AD=16m4UDE=FG=12m,GC=9m.

VAN=CG,

；.M為NG的中點.

：H為EG的中點，

；.HM〃EN,

12

???tan乙HMG=tanZ.END=—7,

???."MG=磊=急際

.-.CHmin=5x^V193=^VT93.

點撥:點H的運動軌跡是解決問題的關鍵，通過中位線證明其軌跡為直線，將問題轉化為定點到定直線的距

離求解.

解法3如圖6-49,過點H作HN_LAC于點N.設CG=3a,貝!JFG=4a,FC=5a,BF=6-5a.

VEF//AC,

.EF_BF目口EF_6-5a

''AC~BC110-6'

|(6-5a).

VH是矩形DEFG對角線的交點，

HN=^FG=2a,NG=|EF=|(6-5a),

c7

CN=—(6—5a)+3a=5—a,

66

CH=J(5-；a)2+Qa)2119335.

——az9-----a+25

363

_卜93(q_210)2+3600

―q36I“1937193'

圖6-49

點撥：根據“若兩三角形相似，則對應線段成比例”，不斷利用3：4：5將所有線段用未知數表示，最終利用勾

股定理建立函數關系，通過“暴力”計算求出最大值.

賞析此題中，點H的軌跡是核心，大多數解法的不同之處在于如何證明點H的軌跡是直線，其他基本上相

同，當然也有直接利用代數法求出最值的.幾何法巧妙，代數法“暴力”，各有千秋.

【題目6-13］如圖6-50,己知拋物線y=|x2-當％-3交y軸于點A,交直線y=6于點B（點B在y軸右側）,

點P在y軸上，求PA+2PB的最小值.

基礎數據準備：

令y=6,則|x2——3=6,

即%2-信-18=0,

即(X-3V3)(X+2A/3)=0,

解得x1=3V3,X2=-2V3,

由于點B在y軸右側，則點B的橫坐標為3百，從而B(3百，6).

解法1如圖6-51,作點B關于y軸的對稱點C,BC交y軸于點M,連接AC,過點B作BHXAC于點H,過點P

作PQLAC于點Q.

???CM=BM3y/3,AM=OM+OA=9,

-CAR/

???tanzCXCMM=V——3=—,

AM3

???ZCAM=30°,

PQ=|PX.

PA+2PB=2(PB+^PA)=2(PS+PQ),

又；BP+PQNBH,

當B,P,Q三點共線時PB+PQ最小，最小值為BH的長度.

ZCAM=ZBAM=30°,AB=AC,

AABC為等邊三角