函數找規律題復習講義

與函數圖象相關的圖形規律探究題常以選擇題或填空題的形式壓軸出現往往先給出一系列圖形的運動變化過

程，該系列圖形中往往有一個頂點在所給函數的圖象上，通常求該系列圖形中特定點的坐標、特定線段的長度或特

定圖形的面積.解題時需先理解該圖形的運動過程，把握其本質或生成規律，并借助圖形與函數圖象的公共點探求、

歸納出其規律（較常見的是圖形成倍變化規律）.此類問題看似繁瑣，但只要耐心地一步步計算，往往不難解決.

解題策略圖形成倍變化規律

1.變換前：寫出第一次變換前的目標量，如點的坐標、線段長、圖形的周長或面積等；

2.變換中：借助系列圖形與函數圖象的公共點計算出第一次變換、第二次變換、第三次變換后的目標量，如變

換后的點的坐標、線段長、圖形的周長或面積等；

3.歸納后：歸納出后一個目標量（點的坐標、線段、周長、面積等）與前一個目標量存在的倍數關系m；

4.寫結果：根據上述步驟歸納出的規律寫出第n次變換后求到的目標量（點的坐標、線段、周長、面積為n"a）.

精選例題

例1.如圖，在平面直角坐標系中，直線k：y=fx+1與直線l2-.y=百乂交于點A1,過點A1作x軸的垂線,

垂足為點B[,過點B]作k的平行線父11于點A2；過點A2作X軸的垂線,

垂足為點B2；過點B2作％的平行線交11于點A3，?過點A3作X軸的垂線，

垂足為點B3…按此規律，則點A□的縱坐標為（）.

解析

先求出It,12這兩條直線的交點4的坐標，從而可得點,&的坐標；再求直線人氏的解析式，與直線1

1的解析式聯立成方程組，解得點4的坐標，從而可得點B2的坐標；同理，求出點43*3的坐標，從而找出點

AU的縱坐標的規律.

L（_V3（x^—r

解把Z1：y=yX+1與12：y=屆聯立成方程組『一三久+L解得；'.點心的坐標為（爭號,點B1

y=V3x.[y=--'…

的坐標為（爭0）直線的解析式為尸百卜-外與聯立成方程組解得點心的坐標為（學?，點B2的

坐標為（W，o）;&殳的解析式為丫=舊（久-#）,與k聯立成方程組解得點人的坐標為（胃亭），點扇的坐標

為（萼，0）…按此規律，得點.4回的縱坐標為（|）:故選A.

例2.如圖，04/1442殳,443*83?…是分別以為人人,…為直角頂點，一條直角邊在X軸正半軸上的等腰直

角三角形,其斜邊的中點（。10甘乃）,。2（X2，丫2）,。3（知為）,…均在反比例函數y=5。＞0）的圖象上，則71+y2+

…+為0的值為（）.

y

Bi

以號—■—n

o\A,A2A,

A.2410B.6C.4V2O.2V7

解析

根據△OGA是等腰直角三角形過點G作QM1x軸，則JM=0M=AM1,,所以可設的的坐標是(a,a),

把(a,a)代入解析式得到a=2,,從而求出人的坐標是(4,0)；再根據△Cz&Az是等腰直角三角形，設C?的縱坐

標是b，則C2的橫坐標是4+①把(4+6,6)代入函數解析式得到b的值，故可得出(C2的縱坐標.y2,,同理可以

得到。3,…,C10的縱坐標，根據規律可以求出yi+y2+-+yio.

解如圖,過點(的作C1M1x軸.

0cMl是等腰直角三角形，.Cl"=OM=此名設Q的坐標是(a,a)(a>0).

把(a,a)代入解析式y=￡(a)0)中，得a=2,二y1=2,，4的坐標是(4,0).

又..?△C2A1A2是等腰直角三角形，

；?設C2的縱坐標是(b(B>0),則C2的橫坐標是4+b把(4+6,b)代入函數解析式得b=言解得b=2V2-

2.

y2=2V2—2,

4的坐標是(4魚，0).

設。3的縱坐標是(c(c)0),則。3橫坐標為4V2+c把(4V2+c，c)代入函數解析式得c=念.解得c=2

V3-2V2.

y3=2舊—2V2.

月=2Vl—2V0,y2=2V2-2”,為=2A/3—2vx…，

y10=2V10—2A/9.

、Pi+曠2++…+為0—2+2-\/2—2+2-2-\/2+…+2-10—2A/9=2d10.

精選練習

1.在平面直角坐標系中，直線l：y=工+1與y軸交于點4,,如圖所示，依次作正方形。4&的,正方形

Ci&B2c2,正方形c24383c3,正方形C3&B1C4…，點，在直線上，點C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}\cdots,,

2.如圖,。314,4/24，22殳23，“\41-1&4都是一邊在*軸上的等邊三角形，點%,6%…，&都在反比例

函數y=?(久〉0)的圖象上，點42,都在X軸上，則A口的坐標為.

3.如圖直線AM的解析式為.y=x+1,,與x軸交于點M,與y軸交于點A.以0A為邊作正方形ABCO,點B

的坐標為(1,1)；過點B作EOilMA交MA于點E,交x軸于點(06過點01作x軸的垂線交MA于點力6以0出

為邊作正方形OiABiCi,點％的坐標為(5,3),過點.當作EQ1M4交MA于E1交x軸于點。2；過點。2作x軸

的垂線交MA于點4；以。24為邊作正方形。2482c2；….照此作法，則點B2020O的坐標為.

精選練習

1.解:：點Ai是y=x+l與y軸的交點,...點Ai的坐標為(0,1).；OA】B】Cx是正方形，.?.點Cj的坐標

為(1,0),&G=VI..?.點A2的坐標為(1,2),(C1A2=2,42c2=2V2.23c2=4M3C3=4段.按照此規律,A】CU

=2人邁.?.前n個正方形的對角線長的和為V2+2V2+4V2+-+2九-也=/x(1+2+4+…+2或】)=&x

(1+1+2+4+…+2nt-1)=V2(2n-1)=2nV2-V2.

2.解:如圖過點B1作BiC，x軸于點C,過點B2作B2D_Lx軸于點D,過點B3作B3E，x軸于點E.

???△OAiBi為等邊三角形，

???乙B[OC=60°,OC=ArC.

???B】C=y/3OC.

設oc的長度為t,則點Bi的坐標為(色百。

把/0履)代入y=，得t-V3t=四解得t=l或t=-1(舍去).

??.0A±=20C=2,

；?點Ai的坐標為(2,0).

設AiD的長度為m,同理得B2D=B2的坐標表示為(2+m-V3m).

把&(2+加，百代入y=?得(2+m)xV3m=遍解得爪=&-1或m=-V2-1(舍去).

???A]D=五-1,4加=2魚一2,。4=2+2魚-2=2V2.

.?.點A2的坐標為(2V2,0).

設A?E的長度為n,同理B3E為百n點B3的坐標表示為(2&+n-V3n).

把B3(2V2+w國)代入y=曰得(2&+n)-V3n=V3.

???A2E=V3-V2,X2^3=2V3-2V2,0A3=2V2+2V3-2V2=2V3.

.*.A3的坐標為(2V3,0).

綜上可得點A□的坐標為(2Vn,0).

故答案為(2dn,0).

3.解:：點B的坐標為(1,1),

OA=AB=BC=CO=COi=1.

VAi的坐標為(2,3),

???A101=A/i=B1C1=C102=3.

?