第一章集合、常見邏輯用語與不等式

第一節集合（北京專版）

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【課標要求*解讀】

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課標要求高考舉例

型

1.集合的2018?北京

1.了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關系，能用自然語

基本關系

言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體文，8

問題2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的

2024北京卷，

子集.

2.集合的12023北京

3.會求兩個集合的并集與交集，理解在給定集合中一個子集的

基本運算卷，1

補集的含義，能求給定子集的補集.

2022北京卷，

4.能使用Venn圖表達集合的基本關系及集合的基本運算.1

2021北京卷，

1

2020北京卷，

1

【五年真題*體會】

](2024.北京.高考真題)已知集合”={醫-3<工<1},N={x|-lVx<4},則A/uN=()

A.{x|-l<x<l}B.{x|x>-3}

C.{x|-3<x<4}D.{巾<4}

【答案】C【詳解】由題意得MuN={x|-3Vx<4}.故選：C.

2.(2023?北京?高考真題)已知集合"={周彳+220},"=屏|尤-1<0},則HcN=()

A.[x\—2<x<l}B.{^|-2<x<l}

C.[x\x>-2}D.[x\x<i]

【答案】A【詳解】由題意，M^{x\x+2>Q]={x\x>-2],N={Mx-l<0}={尤[x<l},

根據交集的運算可知，M雙=口|-24尤<1}.故選：A

3.(2022?北京.高考真題)已知全集。=回一3。<3},集合4={同一2。41},則即4=()

A.(-2,1]B.(-3,-2)[1,3)C.[-2,1)D.(一3,-2].(1,3)

【答案】D

【詳解】由補集定義可知：^A={x\-3<x<-2^1<x<3},即即4=(-3,-2]1(1,3),故選：

D.

4.(2021?北京?高考真題)已知集合4={刈-1<彳<1},B={x|0<x<2},則()

A.{x\-l<x<2}B.{x|-l<x<2}

C.{x|0<x<l}D.[x\0<x<2}

【答案】B

【詳解】由題意可得：A3={x|-1〈尤W2}.故選：B.

5.(2020?北京?高考真題)已知集合4={-1,0,1,2},B={x|0<x<3},則AB=().

試卷第2頁，共12頁

A.{-1,0,1}B,{0,1}C.{-1,1,2}D.{1,2}

【答案】D

【詳解】AIB={-1,0,1,2)I(0,3)={1,2},故選:D.

【高考命題*規律】

考查要核心素

考題考點考向關鍵能力

求養

集合的并集運運算求解能邏輯推

2024?北京，1,4分基礎性

算力理

集合的補集運運算求解能數學運

2023?北京,1,4分基礎性

算力算

集合的運集合的并集運運算求解能數學運

2022?北京，1,4分基礎性

算算力算

集合的交集運運算求解能數學運

2021?北京，1,4分基礎性

算力算

集合的并集運運算求解能數學運

2020?北京，1,4分基礎性

算力算

【備考建議*方向】

1.命題規律：本章內容是高考的必考內容，通常每年考一道選擇題，主要涉及集合的性質

與運算，屬于簡單題.

2.復習要求：準確把握集合中元素的屬性，知道中學常見的集合有兩類：數集和點集；

正確區分和表示元素與集合、集合與集合之間的關系；分清并掌握集合的交、并、補運算;

能使用維恩圖表達集合間的關系及運算；把集合作為工具解決后面知識中的問題.

3.復習重點：能正確表示元素與集合、集合與集合兩類不同的關系.

4.復習難點：把集合作為工具，靈活地解決相關問題.

考點1集合的基本概念

【深挖教材*必備基礎】

(1)集合元素的三個特征：確定性、互異性、無序性;

(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于關系,用符號?或任表示；

(3)集合表示的方法：列舉法、描述法、圖示法、區間法;

(4)常用數集：自然數集N；正整數集N*(或N+)；整數集Z；有理數集Q；實數集R；

(5)集合的分類：按集合中元素個數劃分，集合可以分為有限集、無限集.

【系統歸納*探究突破】

探究1集合的基本概念

【例1】給出下列六個關系：(1)OwN*(2)0g{-1,1}

(3)0e{O}(4)0c{O}(5){0}e{0,l}(6){o}G{O}

其中正確關系的序號是.

【解析】(1)N*表示的含義是正整數集.(2)正確，集合元素具有確定性?(4)正確，空

集是任何集合的子集.(6)集合相等，是子集的特殊情況.故為(2)(4)(6).

【舉一反三】(2024北京大興期末)

1.已知集合4=5|1：=2?#€2},則()

A.—IGAB.IGA

c.-V2eAD.2A

探究2元素與集合的關系

【例2】(人教B必一P9練習B,4)已知集合4="-2"+5,12}且—3€4,求x的值

【答案】x=-l或％=-8

【解析】根據題意，％-2=-3或彳+5=-3,因此x=-l或X=-8，

經檢驗x=-1與x=-8都滿足題意.

【舉一反三】

2.已知集合4={。+2,〃+2a2},若3eA,則實數〃的值為.

探究3集合中元素性質應用

【例3-1】已知集合4=卜辰2+2*+1=0,°€式,彳6氏}.若人中只有一個元素,則。=()

A.0B.1C.0或1D.-1

試卷第4頁，共12頁

【答案】C

[a00,

【解析】集合A中只有一個元素，則方程只有一個解，所以a=O或L//八即〃=0或

[A=4-4?=0,

42=1.故選C.

【例3?2】設]￡X爐—(2X——=0,則集合X%2----X_62=0中所有元素之積為.

【答案】|9

【解析】因為卜一分一1=0,,所以、：一十；一|=o,解得a=_g,

IQIOOQ

代入—萬X—Q=0,X2——X+—=0,由韋達定理，得所有兀素之積為西尤2=5.

【舉一反三】

3.已知集合4=卜|62+2》+1=0,aeT?）,若A中至多只有一個元素，求。取值范圍.

【題后反思*必備技能】

確定集合中的代表元素是什么，即

<箍略?集合是數集、點集還是其他類型的

XX________________________

—國這些元素滿足什么限制條件一

根據限制條件列式求參數的值或確

途略與J定集合中元素的個數，但要注意檢

驗集合是否滿足元素的互異性

考點2集合的基本關系

【深挖教材*必備基礎】

（1）子集、真子集及其性質

對任意的xeA,都有則4=8（或3宣A）.

若4=8,且B中至少有一個元素xe3,但x/A,則（或BA）.

。三；ACA；ACB,BCC=>Ace.

若A含有〃個元素，則A的子集有2"個，A的非空子集有（2"-1）個,A的非空真子集有（2"-2）

個；

（2）集合相等

若403且則A=B.

【系統歸納*探究突破】

探究1判斷集合間的關系

【例1】若4={小2=x},則下列說法正確的是（）

A.{0}cAB.{1}=A

C.{-1,1}cAD.{0}cA

【答案】D

【解析】4={小2=尤}={0,1},{0}是以空集為元素的集合，不是集合A的子集，故A錯

誤；

{1}*{0,1},故B錯誤;-U{0.1},故C錯誤;0e{0,l},故D正確.

故選：D.

【舉一反三】（2023?北京東城?二模）

4.4知集合A={xeN|—l<x<5},8={0,123,4,5},則（）

A.A呈3B.A=BC.BeAD.B=A

探究2判斷滿足條件的集合個數

【例3］滿足{1}=M={L2,3}的集合M的個數為（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【解析】因為{1}="={1,2,3},所以集合M可能為：{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}共4種

情況.

故選：C

【舉一反三】（2020.北京豐臺.二模）

5.集合A={xeZ卜2<尤<2}的子集個數為（）

A.4B.6C.7D.8

【題后反思*必備技能】

判斷兩集合關系的常用方法：

一是元素特征法：即先化簡集合，再從表達式中尋找兩集合的關系；

二是列舉法：表示各集合，一一列舉元素觀察關系；

試卷第6頁，共12頁

三是利用Venn圖或數軸法表示集合間的關系.

考點3集合的運算

【深挖教材*必備基礎】

(1)集合的并、交、補運算

集合的并集集合的交集集合的補集

符號表示AuBAcB若全集為U,則集合A的補集為樂A

.

圖形表示(30

AUB4c8

集合表示A,且不￡用^x\xeU,且xeA}

(2)集合的運算性質

并集的性質：

Au0=A；AA=A-AB=BA-AB=A<^B^A.

交集的性質：

A0=0；A\A=A；Ac5=5cA；Ar^B=B.

補集的性質：

AU(6A)=U；A(%A)=0；<(UA)=A.

【系統歸納*探究突破】

探究1集合的交、并、補運算

【例1-1](人教A必一P13,例5)設〃="卜是小于9的正整數},A={1,2,3},

3={3,4,5,6},求許A,&B,(>4)n(VB).

【解析】U={123,4,5,6,7,8},

于是電A={4,5,6,7,8},^B={1,2,7,8},An^B={l,2},(枷)(膽)={7,8}.

【例1-2](2024?北京順義?三模)已知集合知={0,1,2},N={x,-3尤<0},則McN=

()

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{x|0Vx<3}D.{x[0<x<3}

【答案】B

【分析】化簡集合N,根據交集運算法則求McN.

【詳解】不等式d-3x<0的解集為{x[0<x<3},所以N={x|O<尤<3},又洋={0,1,2},

所以A/cN={1,2},故選：B.

【舉一反三】

（2024?北京豐臺?二模）

6.已知集合。={1,2,3,4,5},4={1,3},3={2,3},則（瘵4）小（心）=（）

A.{3}B.{1,2}C.{4,5}D.{1,2,3}

（2024?北京西城?三模）

7.設集合A={x[x+l<0},B={x\-2<x<2},則集合AD3=（）

A.（-oo,2]B.[-2,-1）C.（-1,2]D.（-<?,+<?）

（2024?北京通州三模）

8.己知U為整數集，A={xeZ,|x2>4},則24=（）

A.{—1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.（0,1,2}D.{-2,—1,0,1,2}

探究2Venn圖

【例2】已知全集U是實數集R.下邊的韋恩圖表示集合/={小>2}與雙={尤|1<尤<3}關

系，那么陰影部分所表示的集合可能為（）

A.{x|尤>2}B.[x\x<2^C.{x|x>l}D.{x|xVl}

【答案】D

【解析】先求出白色區域，然后得出補集，即為陰影部分.

如圖，白色區域為MUN={HX>2}3X[1<X<3}={X|X>1},

則陰影部分表示的集合為即（MUN）={x|x<1}.故選D.

試卷第8頁，共12頁

【舉一反三】（2024.北京東城.一模）

9.如圖所示，U是全集，是U的子集，則陰影部分所表示的集合是（）

A.AnBB.AuBC.D.Q；（AuB）

【題后反思*必備技能】

集合基本運算的求解策略：

首先看集合能否化簡，能化簡的先化簡.當集合是用列舉法表示的數集時，可以通過列舉集

合的元素進行運算，也可借助Venn圖運算；當集合是用不等式表示時，可運用數軸求解.對

于端點處的取舍，可以單獨檢驗.

Bi.）…小能….

微點1根據集合的運算求參數

【典例1】（2024?北京海淀?二模）已知集合4={-1,0』,2},3=*|4"<3}.若4。8,

則。的最大值為（）

A.2B.0C.-1D.-2

【答案】C

【解析】由于所以aW-l,故。的最大值為-1,故選：C

【方法歸納】利用集合的運算求參數的方法

（1）將集合中的運算關系轉化為兩個集合之間的關系.若集合中的元素能一一列舉，則用

觀察法得到不同集合中元素之間的關系；若集合中的元素是用不等式（組）表示的，則一般

利用數軸解決，要注意端點值能否取到.

（2）將集合之間的關系轉化為解方程（組）或不等式（組）問題求解.

（3）根據求解結果來確定參數的值或取值范圍.

【舉一反三】

（2024.北京?開學考試）

10.集合A={—IWXWI},B^{x\x>a},且A呈3,則實數。的取值范圍是.

（2024?北京?模擬預測）

11.已知集合&={3?'},集合8={辦〃},若Ac8={l},貝打"+”=()

A.4B.2C.0D.1

微點2集合的新定義問題

【典例2-1】定義集合運算：A*B={z|z=q(x+y),xe,設集合A={O,1},3={2,3},

則集合A*B中的所有元素之和為.

【答案】18

［解析］當x=0,y=2時，z=xy(x+y)=O；當x=0,y=3時，z=xy(x+y)=O；

當x=l,y=2時，z=xy(x+y)=6；當x=l,y=3時，z=xy(x+y)=12.

由于集合中元素具有互異性，所以得到A*B={0,6,12},則集合中的所有元素之和為

0+6+12=18.

【典例2-2】(2023北京朝陽期末)已知集合”為非空數集，且同時滿足下列條件：

(1)2eAf；

(2)對任意的xeA1,任意的ywM,都有x-yeM

(3)對任意的xeV且XHO,都有工eM.

X

給出下列四個結論：

?0FM；

②leM；

③對任意的尤,yeM,都有x+yeM；

④對任意的尤,yeM,都有個wAf.

其中所有正確結論的序號是.

【答案】①③④

【解析】由2eM,得2-2=0eM,故結論①正確；

由2e",得;wM，。一;==M,

故結論②錯誤；

對任意的尤,yeM,貝IJO-y=-yeM,有尤-(-y)=x+yeAf,故結論③正確；

對任意的則x-leM,可得,eM,一一eM,；————eM,即

xx-1xx-1

試卷第10頁，共12頁

x(l—X)GM,BPx-X2GM,得X-(%-%2)=

112

由％,y￡M,%+y,^f-+-=-eM,

XXX

二當x,ye/時，f2-2±《±MeM，

22

...(x+y)—+y2eM，故結論④正確.

22

【方法歸納】集合的新定義問題的解決方法

(1)遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質.

(2)按新定義的要求，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.

(3)對于選擇題，可以結合選項通過驗證，用排除、對比、特值等方法求解.

【舉一反三】

12.若一個集合是另一個集合的子集，則稱兩個集合構成“全食”；若兩個集合有公共元素,

但互不為對方的子集，則稱兩個集合構成“偏食”.對于集合4=,

B=[x\ax2=l,a>0\,若這兩個集合構成“全食”或“偏食”，則實數。的值為.

(2024?朝陽二模)

13.集合A={1,2,3,4,5}的所有三個元素的子集記為耳,火記々為集合用

(z=1,2,3,,〃)中的最大元素，則仿+4+&++么=()

A.10B.40C.45D.50

qq.,語上檢測*反嫌敗事

(2023?北京海淀?模擬預測)

14.設集合M={2m—1,7找一3},若-3eAf,則實數優=()

A.0B.-1C.0或-1D.0或1

(2024?北京?開學考試)

15.已知集合4={1,2},AcB,則B可以為（）

A.{3}B.{1,3,4}C.{2}D.{1,2,3）

（2024?北京順義?期末）

16.已知集合A={-1,0,2},B={X|X2<1},則下列結論正確的是（）

A.A=BB.A^BC.A<JB=BD.AnB={-l,0}

（2024?北京通州?二模）

17.已知集合。={—1,0,1,2,3},A={1,2},B={0,2,3},則（屯勾門3=（）

A.{3}B.{0,3}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3）

18.如圖，集合A、B均為U的子集，（gA）c3表示的區域為（）

19.定義集合的新運算如下：MN={x|尤eM或reN,且xe/cN},若集合

M={0,2,4,6,8,10},N={0,3,6,9,12,15},則（河N）M等于（）

A.MB.NC.{2,3,4,8,9,10,15}D,{0,6,12}

試卷第12頁，共12頁

參考答案：

1.D

【分析】根據元素和集合關系進行判斷即可.

【詳解】集合A={x|x=2A#eZ},

故集合A表示的是偶數集，

所以2eA.

故選：D

3

2.——##-1.5

2

【分析】依題意可得。+2=3或a+24=3,求出。的值，再代入檢驗即可.

【詳解】解：因為A={a+2,a+2a2}且3eA,

所以4+2=3或“+2a2=3，

3

解得。=1或4=-彳，

2

當。=1時a+2a2=a+2=3,此時不滿足集合元素的互異性，故舍去；

當〃=一|時，A=］；,3；符合題意；

3

故答案為：-§

3.或〃=0

【解析】由題意按照。=0、分類；當時，轉化條件為方程以2+2%+1=0無實數

根或有兩個相等實根，再由根的判別式即可得解.

［詳解］當4=0時，A={x辰2+2x+l=0,aej?j={x|2x+l=o}=,符合題意；

當時，若集合A中至多只有一個元素，

則方程ax2+2x+l=0無實數根或有兩個相等實根，所以△=4-4aV0即a>l；

所以。取值范圍為或。=0.

【點睛】本題考查了描述法表示集合的應用，考查了分類討論思想與轉化化歸思想，屬于基

礎題.

4.A

【分析】用列舉法寫出集合4利用集合間的基本關系判斷.

【詳解】A={xeN|-l<x<5}={0,l,2,3,4},8={0,1,2,3,4,5},則A魂B.

故選：A.

答案第1頁，共5頁

5.D

【分析】先求出集合4再根據集合A的元素個數即可求出集合A的子集個數.

【詳解】解：,1?A={%GZ|-2<x<2}={-1,0,1},

集合A的子集個數為23=8個，

故選：D.

【點睛】本題考查集合的子集的個數，屬于基礎題.

6.C

【分析】由補集和交集的定義求解.

【詳解】集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},8={2,3},

GA={2,4,5},^5={1,4,5},(>4)n(={4,5}.

故選：C

7.A

【分析】先解不等式求集合A,再求并集即可.

【詳解】由x+lv。得到故人={%|%〈一1},

又5={%|-2JW2},所以A5=(—,2].

故選：A.

8.A

【分析】根據條件，利用集合的運算，即可求出結果.

【詳解】因為A={xeZ,|/N4},所以2A={xeZ|無2<4}={尤eZ|-2<x<2}={T,0,l},

故選：A.

9.D

【分析】由給定的韋恩圖分析出陰影部分所表示的集合中元素滿足的條件，再根據集合運算

的定義即可得解.

【詳解】由韋恩圖可知陰影部分所表示的集合是a(AB).

故選：D.

10.

【分析】根據A呈8,即可得出答案.

答案第2頁，共5頁

【詳解】因為集合4={-14％41},B={x\x>a\,且A房3,

所以〃4-1.

所以實數〃的取值范圍是：（F，T].

11.D

【分析】依題意IwA且即可求出加、〃的值，從而得解.

【詳解】因為A={3,e"'},8={m,”}且AcB={l},

則IwA,所以e"=l,解得根=0,

又leB,所以〃=1,

所以m+n=l.

故選：D

12.0或1或4

【分析】分4=0和〃>0兩種情況討論，再結合“全食”和“偏食”的定義即可得解.

【詳解】若