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文檔簡介

ssss2.3Laplace逆變換本節內容四、小結一、問題的提出二、Laplace反演積分公式三、Laplace反演積分的計算方法一、問題的提出

在前面主要討論了由已知函數f(t)求它的象函數F(s),

但在實際應用中常會碰到與此相反的問題,即已知象函數F(s)求它的象原函數f(t).

本節來解決這個問題.

由Laplace變換的概念可知,函數f(t)的Laplace變換實際上就是f(t)u(t)e-bt的Fourier變換.

當f(t)u(t)e-bt滿足Fourier積分定理的條件時,按Fourier積分公式,在f(t)的連續點處有二、Laplace反演積分公式等式兩邊同乘以ebt,并考慮它與積分無關,則二、Laplace反演積分公式Laplace反演積分公式二、Laplace反演積分公式

右端的積分稱為Laplace反演積分,它的積分路線是沿著虛軸的方向從虛部的負無窮積分到虛部的正無窮.而積分路線中的實部b則有一些隨意,但必須滿足的條件就是e-btf(t)u(t)的零到正無窮的積分必須收斂.計算復變函數的積分通常比較困難,但是可以用留數方法計算.二、Laplace反演積分公式三、Laplace反演積分的計算方法定理:

若s1,s2,...,sn是函數F(s)的所有奇點(適當選取b使這些奇點全在Re(s)<b的范圍內),且當s

時,F(s)0,

則有

如圖,閉曲線C=L+CR,

CR在Re(s)<b的區域內是半徑為R的圓弧,當R充分大后,可以使F(s)的所有奇點包含在閉曲線C圍成的區域內.三、Laplace反演積分的計算方法證明:RO實軸虛軸LCRb+jRb-jRb三、Laplace反演積分的計算方法根據留數定理可得三、Laplace反演積分的計算方法

在上式左方取R

的極限,并根據Jordan引理,當t>0時,有得三、Laplace反演積分的計算方法

如果函數F(s)是有理函數,即其中A(s)和B(s)是不可約的多項式,B(s)的次數是n,A(s)的次數小于B(s)的次數,這時F(s)滿足定理所要求的條件.三、Laplace反演積分的計算方法情形A:

若有n個單零點即這些都是的單極點,根據留數的計算方法,有得三、Laplace反演積分的計算方法情形B:

若是的一個m階零點,

是的單極點,即是的m階極點,

是它的單極點.根據留數的計算方法,有三、Laplace反演積分的計算方法三、Laplace反演積分的計算方法例1解利用留數方法求的逆變換.有兩個單零點得例2解利用留數方法求

的逆變換.為單零點，為二階零點.得例2例3解利用部分分式方法求的逆變換.因此例4解利用查表方法求的逆變換.根據附錄二中的公式,在時,有例5解利用查表方法求的逆變換.在附錄二中找不到現成的公式,怎么辦?

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