專題19圓壓軸題

1.(2022?寧波)如圖1,O為銳角三角形ABC的外接圓，點(diǎn)。在BC上，AD交3c于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在AE

上，滿足NAFB—NBFD=NACB,FGIIAC交BC于點(diǎn)、G,BE=FG,連結(jié)8D,DG.設(shè)NACB=tz.

(1)用含c的代數(shù)式表示NB?力.

(2)求證：ABDE=AFDG.

(3)如圖2,AD為.O的直徑.

①當(dāng)AB的長(zhǎng)為2時(shí)，求AC的長(zhǎng).

②當(dāng)Ob:OE=4:ll時(shí)，求cosa的值.

圖1圖2

(3)①3；②2

【答案】(1)ZBFD=90°--；(2)見解析;

28

【詳解】(1)—ZAFB—ZBFD=ZACB=a,①

又?ZAFB+ZBFD=180°,②

②-①，M2ZBJFD=180°-?,

Cf

:.ZBFD=90°——；

2

(2)由(1)得NBFD=90。一區(qū),

2

ZADB=ZACB=a,

or

ZFBD=180°-ZADB-ZBFD=90。——,

2

:.DB=DF,

FG//AC,

:.ZCAD=ZDFG,

/CAD=ZDBE,

:.ZDFG=ZDBE,

在她。￡和AFDG中，

DB=DF

<ZDFG=ZDBE,

BE=FG

:.ABDE=AFDG(SAS)；

(3)①ABDE^AFDG.

,\ZFDG=ZBDE=a,

:.ZBDG=ZBDF+/EDG=2a,

DE=DG,

1(X

ZDGE=-(l80°-ZFDG)=90°-—,

3a

/./DBG=180°-ZBDG-ZDGE=90°-—

2

AD是O的直徑，

.\ZABD=90°,

3tz

:.ZABC=ZABD—/DBG=—,

2

AC與AB所對(duì)的圓心角度數(shù)之比為3:2,

AC與AB的長(zhǎng)度之比為3:2,

AB=2,

AC=3；

②如圖，連接30,

OB=OD,

/OBD—NODB=a,

/.ZBOF=ZOBD+ZODB=2a,

ZBDG=2a,

:.NBOF=NBDG,

Of

ZBGD=ZBFO=90°——，

2

..ABDG^ABOF,

設(shè)\BDG與ABOF的相似比為人

DGBD,

，--=——二k，

OFBO

OF_4

-----=---9

OE11

...設(shè)O尸=4x,則OE=llx,DE=DG=Akx,

OB=OD=OE+DE=llx+4-kx,BD=DF=OF+OD=15x+4Ax,

BD15x+4fcv15+4左

"礪―n%+4fcl-11+41'

由15+4"=左,得4左2+7左一15=0,

11+4左

解得左=9或_3(舍去)，

4

/.OD=1lx+4Ax=16x,5￡)=15x+4Ax=20%,

AD=2OD=32x,

在RtAABD中，cosZAZ)B=—,

AD32x8

5

cosa=—.

8

方法二：連接05,作曲/_LAD于M,

E

由題意知，AfiDF和ABEF都是等腰三角形，

:.EM=MF,

設(shè)OE=11,OF=4,

設(shè)DE=m,則03=771+11,OM=3.5,BD=m+15,DM=m+7.5,

OB2-OM2=BD2-DM2,

即(m+ll)2-3.52=(m+15)2-(m+7.5)2,

解得7%=5或7〃=—12(舍去)，

MD5

.,.cosa=-----=—.

BD8

2.(2021?寧波)如圖1,四邊形ABCD內(nèi)接于O,BD為直徑,AD上存在點(diǎn)E,滿足AE=CD,連結(jié)BE

并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，BE與AD交于點(diǎn)G.

(1)若ZDBC=a,請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示ZAGB.

(2)如圖2,連結(jié)CE,CE=BG.求證：EF=DG.

(3)如圖3,在(2)的條件下，連結(jié)CG,AD=2.

①若tanZAD3=3,求AFGD的周長(zhǎng).

2

②求CG的最小值.

【答案】(1)ZAGB=9Q°-a；(2)見解析；(3)①土立；②百

2

【詳解】(1)BD為O的直徑，

,\ZBAD=90°,

AE=CD,

:.ZABG=ZDBC=a.

,\ZAGB=90°-a；

(2)BD為，O的直徑，

ZBCD=90°,

.\ZBEC=ZBDC=90°-a,

:.ZBEC=ZAGB,

ZCEF=1800-ZBEC,ZBGD=1800-ZAGBf

,\ZCEF=ZBGD,

又?CE=BG,ZECF=NGBD,

:.ACFE=ABDG(ASA),

:.EF=DG；

(3)①如圖，連接DE,

BD為_O的直徑，

,\ZA=ZBED=90°,

在RtAABD中，tanZADB=—,AD=2,

2

/.AB=—xAD=y/3,

2

AE=CD,

.e.AE+DE=CD+DE,

即AD=CE,

,\AD=CE,

CE=BG,

:.BG=AD=2,

，在RtAABG中，sinZAGB=—=—,

BG2

:.ZAGB=60°,AG=-BG=\,

2

:.EF=DG=AD-AG=\,

「在RtADEG中，ZEGD=60°,

:.EG=~DG=-,DE=—DG=—,

2222

在RtAFED中，DF=yjEF2+DE2,

2

FG+DG+DF=§+近,

2

.?.AFGD的周長(zhǎng)為；

②如圖，過點(diǎn)C作CH_L3尸于”,

NBDGwACFE,

:.BD=CF,ZCFH=ZBDA,

ZBAD=ZCHF=90°,

ABAD工^CHF(AAS),

:.FH=AD,

AD=BG,

FH=BG,

ZBCF=90°,

/.ZBCH+ZHCF=90°,

ZBCH+ZHBC=90。,

:.ZHCF=ZHBC,

ZBHC=ZCHF=90°,

.?許HCsACHF,

.BHCH

一~CH~~FH'

設(shè)GH=x,

/.BH=2—x9

CH2=2(2-x),

在RtAGHC中，CG?=GH2+CH?,

CG2=X2+2(2-X)=(X-1)2+3,

當(dāng)x=l時(shí)，CG?的最小值為3,

「.CG的最小值為義.

3.（2020?寧波）定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該

三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角.

(1)如圖1,NE是AABC中的遙望角，若NA=a,請(qǐng)用含夕的代數(shù)式表示NE.

(2)如圖2,四邊形ABCD內(nèi)接于O,AD=BD,四邊形ABCD的外角平分線DP交?。于點(diǎn)尸，連接

班1并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證：/3EC是AA5c中NB4C的遙望角.

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接AE,AF,若AC是。的直徑.

①求/4ED的度數(shù)；

②若AB=8,CD=5,求ADE尸的面積.

圖1圖2圖3

175

【答案】(1)ZE=-a；(2)見解析；(3)①NA￡D=45。；②土

29

【詳解】(1)BE平分ZABC,CE平分ZACD,

:.NE=ZECD-NEBD=-(ZACD-ZABC)=-ZA=-a,

222

(2)如圖1,延長(zhǎng)3c到點(diǎn)T,

圖1

四邊形RBCD內(nèi)接于(O,

ZFDC+Z.FBC=180°,

又一ZFDE+ZFDC=l80°,

:.ZFDE=ZFBC,

平分/4DE,

:.ZADF=ZFDE,

ZADF=ZABF,

:.ZABF=ZFBC,

「.BE是NABC的平分線,

AD=BD,

:.ZACD=ZBFD,

ZBFD+ZBCD=\^0,ZDCT+ZBCD=180。，

:.ZDCT=ZBFD,

.\ZACD=ZDCT,

:.CE是AABC的外角平分線，

/.ZBEC是AABC中ABAC的遙望角.

(3)①如圖2,連接CF,

ZBEC是\ABC中ABAC的遙望角,

:.ZBAC=2ZBEC,

ZBFC=ZBAC,

:.ZBFC=2ZBECf

ZBFC=ZBEC+AFCE,

:.ZBEC=ZFCE,

ZFCE=ZFAD,

:,ZBEC=AFAD,

又.ZFDE=ZFDA,FD=FD,

:.AFDE^AFDA(AAS),

DE=DA，

:.ZAED=ZDAE,

AC是O的直徑，

,\ZADC=90°,

:.ZAED+ZDAE=90°,

.\ZAED=ZDAE=45°f

②如圖3,過點(diǎn)人作47_15￡于點(diǎn)G,過點(diǎn)尸作RW_LC￡于點(diǎn)M,

圖3

47是_。的直徑，

..ZABC=90°,

BE平分ZABC,

ZFAC=ZEBC=-ZABC=45°,

2

ZAED=45°,

:.ZAED=ZFAC,

ZFED=ZFAD,

:.ZAED—NFED=NFAC-AFAD,

:.ZAEG=Z.CAD,

ZEGA=ZADC=90°,

.'.AEGA^AADC,

.AEAG

~\C~~CD'

在RtAABG中，AB=8fZABG=45°,

/.AG=—AB=472,

2

在RtAADE中，AE=y/2ADf

.V2AD_45/2

.?—,

AC5

AD_4

??—,

AC5

222

在RtAADC中，AD+DC=ACf

二.設(shè)AD=4x,AC=5x,則有(4x)2+52=(5x)2,

5

x——,

3

:.ED=AD=—

3f

35

:.CE=CD+DE=—,

3

ZBEC=NFCE,

:.FC=FE,

FMICE,

:.EM=-CE=—,

26

:.DM=DE-EM=-,

6

NFDM=45。,

:.FM=DM=-,

6

125

.-.SSDEF=-DEFM=—.

4.(2019?寧波)如圖1,。經(jīng)過等邊AABC的頂點(diǎn)A,C(圓心O在AABC內(nèi))，分別與鉆，CB的延

長(zhǎng)線交于點(diǎn)。，E,連接DE,3尸_LEC交"1于點(diǎn)尸.

(1)求證：BD=BE.

(2)當(dāng)AF:EF=3:2,AC=6時(shí)，求4E；的長(zhǎng).

Af1

(3)設(shè)---=x,tanZ.DAE=y.

EF

①求y關(guān)于冗的函數(shù)表達(dá)式；

②如圖2,連接O/，OB,若A4EC的面積是AOJ4面積的10倍，求y的值.

A

I//O\

cE\~/B------------yc

圖1圖2

【答案】(1)見解析；(2)AE=2y/13；(3)@y=^~；②y=@或色

4x+l97

【詳解】證明：(1)AABC是等邊三角形，

:.ZBAC=ZC=60°,

ZDEB=ZBAC=60°,ZD=NC=60。，

:.ZDEB=ZD,

BD=BE；

(2)如圖1,過點(diǎn)A作AG_L3C于點(diǎn)G,

AASC是等邊三角形，AC=6,

BG=-BC=-AC=3,

22

.?.在RtAABG中，AG=6BG=36,

BF±EC,

:.BF//AG,

.AFBG

"~EF~~EB'

AF:EF=3:2f

:.BE=-BG=2,

3

:.EG=BE+BG=3+2=5,

在RtAABG,AE=y/AG2+EG2=7(3^)2+52=2^；

(3)①如圖1,過點(diǎn)石作石HLAD于點(diǎn)H,

A

H

圖1

ZEBD=ZABC=60。,

.?.在RtABEH中，—=sin60°=—

BE2

:.EH=—BE,BH=-BE,

22

BGAF

1---------=-----------=x,

EBEF

:.BG—xBE,

..AB=BC=2BG=2xBE,

:.AH=AB+BH=2xBE+gBE=(2x+g)BE,

百甌

FH—BE伺

.?.在RtAAHE中，tanZ￡A￡>=—=—J——=△—

AH

(2x+^BE4-1

,y=JL.

4x+l

②如圖2,過點(diǎn)。作于點(diǎn)M,

圖2

設(shè)BE-a，

BGAF

----=x

EBEF

CG=BG=xBE=ax,

EC-CG+BG+BE=Q+2ax,

——EC=—Q+ux,

22

/.BM=EM—BE=ux—a，

2

BF//AG,

:.NEBF^NEGA,

BFBE_a_1

AGEGa+ax1+x

AG=>l3BG=yf3ax,

1s

..BDIF?-------AG=-------,

x+\x+1

八八廠八旬本工門BF,BM16ax/1、

AOFB的面而、=-------=—x-------(ax—d)，

22x+12

AAEC的面積=EC，AG=]_X#1axg+2ax),

22

AAEC的面積是AOFB的面積的10倍，

/.-x—10x—x————{cix—ci)，

22x+12

—7x+6=0,

3

解得：石=2,%=/，

：.y=—邪^T—邪.

97

3

5.(2018?寧波)如圖1,直線/:y=-：兀+6與x軸交于點(diǎn)A(4,0),與y軸交于點(diǎn)點(diǎn)。是線段Q4上一

動(dòng)點(diǎn)(0<AC<9).以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作A交X軸于另一點(diǎn)。，交線段至于點(diǎn)E,連接OE并

延長(zhǎng)交：A于點(diǎn)P.

圖1圖2備用圖

(1)求直線/的函數(shù)表達(dá)式和tanNBAO的值；

(2)如圖2,連接CE,當(dāng)CE=EF時(shí)，

①求證：AOCESAOEA；

②求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點(diǎn)C在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求O￡￡F的最大值.

【答案】(1)直線/的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-3尤+3,tan/BAO=0；(2)①見解析；②E四,—)；(3)—

44252525

【詳解】,直線/:、=—0+〃與無軸交于點(diǎn)A(4,0),

4

3

——x4+6=0,

4

「2=3,

直線I的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=--x+3,

3(0,3),

.,.d4=4,OB=3>

在RtAAOB中，tanZBAO=—=-；

OA4

(2)①如圖2,連接小，CE=EF,

:.ZCDE=/FDE,

,\ZCDF=2ZCDE,

NOAE=2NCDE,

:.ZOAE=ZODF9

?四邊形CEFD是_A的圓內(nèi)接四邊形，

NOEC=NODF,

,\ZOEC=ZOAE,

ZCOE=ZEOA,

:.ACOE^AEOA9

②過點(diǎn)石作EM_LQ4于M,

3

由①知，tan/OAB=—,

4

設(shè)￡70=3帆，則AM=4m,

/.OM=4—4m,AE=5m,

E(4—4m,3m),AC=5m,

/.OC=4-5m，

由①知，ACOE^AEOA,

.OC_OE

…~OE~~O\"

...OS?=OA-OC=4(4—5根)=i6—20根,

E(4—4m,3m)，

(4-4m)2+9m2=25m2-32m+16,

25m2—32m+16=16—20m,

:.m—Q(舍)或機(jī)=U,

25

…52c36

4—4/T?=—,3m=—,

2525

“秘，當(dāng)，

2525

(3)如圖，設(shè),A的半徑為廠，過點(diǎn)。作OG_LM于G,

A(4,0),5(0,3),

/.OA=4,05=3,

AB=5，

-ABxOG=-OAxOB,

22

.”_12

..CzCr=—,

5

—OG12416

tanZOAB535

:.EG=AG-AE=--r,

5

連接

EH是A直徑，

:.EH=2r,NEFH=9Q。=ZEGO,

ZOEG=ZHEF,

:.\OEG^\HEF,

OEEG

~HE~~EF

1zrO1QQ

2

:.OE-EF=HE-EG=2r(--r)=-2(r--^)+—,

.?〃=§時(shí)，O￡￡F最大值為世.

6.(2022?鎮(zhèn)海區(qū)一模)如圖，。是AABC的外接圓，點(diǎn)。在8c上，連結(jié)DB,DC,DA,過點(diǎn)C作BD

的平行線交相)于點(diǎn)￡.

(1)如圖1,求證：AABC—ACDE；

(2)如圖2,若Na4Q=NC4D=30。，AB^6,BD=4,求DE；

(3)如圖3,/為AABC的內(nèi)心，若/在線段AE上，AB=10,tanZBAD=-,當(dāng)花最大時(shí)，求出O的

5一

半徑.

【詳解】(1)證明：：點(diǎn)。在圓O上,

:.ZABC=ZADC,ZADB=ZACB,

又'CE//BD,

;.ZADB=ZDEC,

:.AABCsACDE；

(2)解：由(1)可得AABCSACDE,

.DEDC

ZBCD=ZBAD=NCAD=NCBD=30。,

BC=超BD=4百，

..DE=；

3

(3)解：由(2)得：DEAB=BCDC,

:AODE=BCDC,

5

設(shè)BF=x,CF=5x,CD—BD=t,

BD2=BF2^DF2,

解得，t=—xJ

5

故BC=河,

13

:.DE=^-t2,

26

連接C7,

/為AABC的內(nèi)心，

:.ZACI=ABCI,ZBAD=NCAD=ZBCD,

...ZDIC=NCAD+ZACI=NBCD+ZBCI=ZDCI,

DC—DI=t,

IE=ID-DE=t-^-t2

26

半時(shí)，花最大,

13

連接OD交3c于點(diǎn)M,由勾股定理可得出DM=!，

2

-.OM2+MC2=OC2,

,（一步+（＞=/,

解得一旦

2

即圓。的半徑為g.

2

7.（2022?寧波模擬）如圖①，在RtAABC中，NC=90。，。是AC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A,C重合），以A為

圓心，AD長(zhǎng)為半徑作A交于點(diǎn)E,連結(jié)并延長(zhǎng)交A于點(diǎn)尸，連結(jié)ED,EF,AF.

（1）求證：ZEAF=2ZBDE-,

（2）如圖②，若ZEBD=2ZEFD,求證：DF=2CD；

（3）如圖③，BC=6,AC=8.

①若NE4F=90。，求一A的半徑長(zhǎng)；

②求6E.DE的最大值.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）①r=5；②5回

【詳解】（1）證明：在優(yōu)弧防上任意取一點(diǎn)G,連接GE,GF,

①

，四邊形￡DCG是圓內(nèi)接四邊形,

NEO尸+NG=180。，

ZEDB+ZEDF=180。,

:.ZG=ZBDE,

ZE4F=2NG,

:.ZEAF=2ZBDE；

(2)作匹于"，

B

②

ZEBD=2ZEFD,2ZEFD=ZBAD,

:.ZEBD=ZBAD,

BD=AD,

在ABZX7和AADH中，

ZC=/AHD

<NBDC=/ADH,

BD=AD

NBDC=AADH(AAS),

:.CD=DH,

AH±DF,

:.DF=2DH,

:.DF=2CD；

(3)解：①在RtAABC中，由勾股定理得，AB=10,

ZBDC=ZADF=ZAFD,ZC=ZEAF=90°,

:.ACDBS^AFB,

.BCCD

"AF'

.6_8-r

??—,

10r

解得r=5；

②作￡G_LAT）于G,

:.EG!IBC,

,\AAEG^AABC,

431

/.AG=-r,EG=-r,DG=-r,

555

在RtAEDG中，由勾股定理得,

5

..現(xiàn)母=(10—力率廠=—半產(chǎn)+2回廠,

當(dāng)「=-2=2"=5時(shí),3E.DE最大值為5幅.

2a2x叵

5

8.(2022?北侖區(qū)一模)有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等鄰邊互補(bǔ)四邊形.

(1)如圖1,在等鄰邊互補(bǔ)四邊形ABCD中，AD=CD,且AO/ABC,BC^2AD,則Nfi=

(2)如圖2,在等鄰邊互補(bǔ)四邊形ABCD中，ZBAD=90°,且3C=CD,求證：AB+AD=y/2AC.

(3)如圖3,四邊形ABCD內(nèi)接于(O,連結(jié)并延長(zhǎng)分別交AC,3C于點(diǎn)E,F,交于點(diǎn)G,

若點(diǎn)E是&C的中點(diǎn)，AB=BG,tanZABC=—,AC=6,求FG的長(zhǎng).

7

【詳解】(1)解：如圖1中，作AH//C。交BC于H,

AD

AD/IBC,AHI/CD,

四邊形AHCD是平行四邊形，

,\AH=CD,AD=HC,ZD=ZAHC,

AD=CD,BC=2AD=BH+CH,

:.BH=AH=AD,

ZB+ZD=180°,ZAHC+ZAHB=180°,

:.ZB=ZAHB,

.\AB=AH,

:.^ABH是等邊三角形，

:.ZB=60°,

故答案為：60°；

（2）證明：如圖2中，延長(zhǎng)AB到石，使BE=AD,連接CE,

A

,\ZBCD=9O0,

ZD+ZABC=180。，ZCBE+ZABC=180°,

:.ZD=ZCBE,

在A4DC和AEBC中，

AD=BE

<NO=ZCBE,

CD=BC

:.\ADC=\EBC{SAS）,

:.AC=EC,ZBCE=ZACD,

:.ZACE=ZBCE+ZACB=ZACD+ZACB=ZBCD=90。,

AE2=(AB+BE)2=AC2+EC2,

即(AB+AD)2=2AC2,

AB.AD>AC均為正數(shù)，

:.AB+AD=yf2AC；

(3)解：如圖3中，連接。4,OC,AG,CG,作Rl/_LCG于M,FN工AG于N,

一點(diǎn)石是AC的中點(diǎn)，AC=6,

AE=EC=3,

.\OD±AC,AD=DC,

:.ZAOE=ZCOE,GA=GC，

:.ZAGF=NCGF,

ZAOC=2ZABC,

:.ZAOE=ZABC,

24AF

tanZAOE=tan=—=——，

7OE

:.OE=~,

8

,__

:.OA=yJAE2+OE2=—,

8

25Q

:.GD=2OA=—,DE=OD-OE=-,GE=OG+OE=4,

44

AD=y/AE2+DE1=—,

4

DG是_O的直徑，

.-.ZGAD=90°,

GA^GC=yjDG2-AD2=5,

BG=AB,

:.ZACB=ZBCG,

ZAGF=ZCGF,

.?.點(diǎn)尸是AAGC的內(nèi)心,

：.FM=FN=FE,設(shè)FM=FN=FE=d,

S^CG=^AC+GA+GCyd^^AC-EG,

35

:.FG=EG-EF=4——=—.

22

9.（2022?寧波模擬）如圖，已知的是一。的直徑，弦CDLAB于點(diǎn)E,點(diǎn)F是線段8延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),

連結(jié)￡4交（。于點(diǎn)G,連結(jié)CG交AH于點(diǎn)P,連結(jié)。1.

①②

（1）求證：ZACG=ZF.

（2）如圖②，若C4=CG,求證：AG=CD.

（3）如圖③，連結(jié)DG,AE=8.BE=2.

①若tanNF=』，求AP的長(zhǎng)；

4

②求AG-DG的最大值.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）①6；②50-10有

【詳解】（1）證明：連接BG,如圖，

A

AB是O的直徑，

:.ZAGB=90°.

:.ZABG+ZBAG=90°.

.?弦CD_LAB于點(diǎn)石，

.*.ZF+ZBAG=90°.

.\ZABG=ZF.

ZACG=ZABG,

:.ZACG=ZF.

(2)證明：連接4),如圖,

AB是。的直徑，弦CD_LAB,

AC=AD.

CA^CG,

AC=CG.

AD=CG.

/.AD—DG=CG—DG.

即CD=AG.

「.AG=CD.

(3)解：①過點(diǎn)尸作P"_LAC于點(diǎn)“，連接BC,OC,如圖,

AE=8，BE=2,

.?.OA=OC=5,OE=3.

:.CE=y/0C2-0E2=4.

.?弦CD_LAB于點(diǎn)E,

:.DE=CE=4.

:.AC=dCE°+AE2=4&,tanZC4￡=—=-.

AE2

由（1）得：ZACP=ZF.

3

/.tanZACP=tanNF=—.

4

PH

tanZACP=—，

CH

?PH_3

沒PH=3k,貝！JCH=4左.

PH上AC,tanZC4E=—=-,

AH2

.\AH=2PH=6k.

ZACB=ZAHP=90°,

..PH//BC.

??尸—?_3

"OT-2,

33

二.AP=—AB=—x10=6.

55

②連接AD,如圖,

?四邊形ACDG是圓的內(nèi)接四邊形，

.-.ZACE+ZAEG=180°.

.?/srn--/人小___8_2逐

..sin/AGD—sinNACE=——尸—------.

AC4y/55

S塊0c=2-xAGDGsinZA5GD=—AGDG,

二當(dāng)SMX；取最大值時(shí)，AG-Z)G最大.

，點(diǎn)G為A￡＞上任意一點(diǎn)，

當(dāng)點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)時(shí)，AADG的面積最大.

若G為4)的中點(diǎn)，連接OG,交AD于點(diǎn)H,如圖,

2

AD=AC=4y/5,

AH=HD=2卮

:.OH=yjOA2-AH2=75.

:.HG=OG-OH=5-45.

：.SMDG=|XAD-WG=1X4^X(5-A/5).

叵AG-DG=Lx4亞x(5-亞).

52

.?.AG-ZX；的最大值為：50-10后.

10.(2022?寧波一模)如圖1,在等腰AABC中，AB=AC=2^,ABAC=120°,點(diǎn)。是線段3c上一點(diǎn),

以DC為直徑作,O,O經(jīng)過點(diǎn)A.

A

圖1圖2圖3

(1)求證：鈣是＜。的切線；

(2)如圖2,過點(diǎn)A作AEL3c垂足為E,點(diǎn)尸是O上任意一點(diǎn)，連結(jié)EF.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸是0c的中點(diǎn)時(shí)，求生的值；

BF

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸是O上的任意一點(diǎn)時(shí)，空的值是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由.

BF

(3)在(2)的基礎(chǔ)上，若射線面與的另一交點(diǎn)G,連結(jié)EG,當(dāng)NGEF=90。時(shí)，直接寫出|￡F-EG|

的值.

【答案】⑴見解析；⑵①篇《②見解析；⑶夜

【詳解】(1)證明：如圖1,連結(jié)。4.

:.ZB=ZC=30°,

以。C為直徑作（O,O經(jīng)過點(diǎn)A,

ZOAC=ZC=30°,

:.ZBAO=9Q°,

:.OA±AB,且點(diǎn)A在：O上，

.〔AB是_O切線；

(2)解：①如圖，連結(jié)Ob,OA.

A

OA±AB,AE±BC,ZB=ZC=30°,

OF=AO=AB-tanZABO=2j3xtan30o=2,

BE=ABcosZABO=2否xcos30°=3,

OB=2AO=4,

；.EO=4—3=1,

.?點(diǎn)尸是CD的中點(diǎn)，

:.OF±DC,

EF=A/22+12=卡,BF=V42+22=2式,

EFA/51

~BF~2^5^2

②空的值不發(fā)生變化，仍為空=工，理由如下:

BFBF2

連結(jié)OF,

OE_1OF_2_1

OF~1"OB~4~2

.OEOF

"'OF~~OB，

ZEOF=ZFOB,

..AEOF^AFOB,

.即OF_1

BF~OB~2'

(3)解：①如圖，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)尸的左側(cè)時(shí)，連結(jié)OG,OF,EG,FC,設(shè)OG與EF交于H.

OEOG1

OG-OF-2'

ZEOG=ZGOB,

.ZOG^NGOB,

-=ZEGO=ZGBO,

BGOB2

:.^EG=-BG=x,貝U5G=2x,

2

AEOF^AFOB,

EFOFL,ZEFO=ZFBO,

BFOB2

.?.設(shè)=y,貝IJB/=2y,

ZEFO=ZEGO=ZOBG,ZEHG=ZFHO,

:./GEF=NGOF=9/，

OG=OF,

GF=y/2OF=242,

/.GF=BF-BG=2y-2x=2^2,BPy-x=42,

②當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)尸的右側(cè)時(shí)，

同理可得y-x=-0，

.[EF—￡G|的值拒.

11.（2022?北侖區(qū)二模）【證明體驗(yàn)】

（1）如圖1,O是等腰AABC的外接圓，AB=AC,在力C上取一點(diǎn)尸，連結(jié)AP,BP,CP.求證:

ZAPB=ZPAC+ZPCA；

【思考探究】

（2）如圖2,在（1）條件下，若點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，AB=6,PB=5,求E4的值；

【拓展延伸】

（3）如圖3,。的半徑為5,弦3C=6,弦CP=5,延長(zhǎng)AP交3c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,SLZABP=ZE,

求"-PE的值.

（圖2）（圖3）

【答案】（1）見解析；（2）4；（3）20+15A/3

【詳解】（1）證明：AB=AC,

AB=AC.

:.ZAPB=ZABC.

ZABC=ZABP+NCBP,ZABP=ZACP,NCBP=ZPAC,

二.ZABC=/PAC+"CA.

ZAPB=APAC+ZPCA.

（2）解：延長(zhǎng)3尸至點(diǎn)。，使PD=PC,連接AD,如圖,

?點(diǎn)尸為AC的中點(diǎn)，

/.PA=PC.

:.PA=PC,ZABP=ZCBP.

,\PA=PD.

:.ZD=ZPAD.

:.ZAPB=ZPAD+ZD=2ZPAD.

AB=AC,

AB=AC.

:.ZAPB=ZABC.

ZABC=ZABP+NCBP=2ZABP,

:.ZPAD=ZABP.

ZD=ZD,

/.ADAP^ADBA,

,PDPAAD

"茄一茄一訪.

ZD=ZPAD,ZPAD=ZABP,

:.ZD=ZABP.

AD—AB=6.

設(shè)叢=無，貝=BD=5+x,

x6

65+x

/./+5%—36—0.

解得：x=4或-9（負(fù)數(shù)不合題意，舍去）.

.?.9=4；

（3）連接OP,OC,過點(diǎn)。作5尸于點(diǎn)“，如圖,

BE

O的半徑為5,CP=5,

:.OP=OC=PC=5,

.?.AOPC為等邊三角形.

NPOC=60。.

:.ZPBC=-ZPOC=30°.

2

在RtABCH中，

BH=BC-cos3Q°=6x同=34,

2

CH=LBC=3.

2

在RtAPCH中，

PH7PC。-CH。=4.

PB=PH+BH=4+3y5.

四邊形ABCP是圓的內(nèi)接四邊形，

:.ZPCE=NBAP.

ZE=ZABP,

gPCs/^BPA.

,PEPC

"BP-AP'

AP-PE=PC-BP=5(4+3^)=20+15^.

12.(2022?鄲州區(qū)模擬)如圖，AB為。的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E,S.DE=OE.

(1)求證：ZBAC=3ZACD；

(2)點(diǎn)F在弧班)上，S.ZCDF=-ZAEC,連接CF交互于點(diǎn)G,求證：CF=CD；

2

(3)①在(2)的條件下，若OG=4,設(shè)OE=x,FG=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

②求出使得y有意義的x的最小整數(shù)值，并求出此時(shí)（9的半徑.

cc

E0E0E0

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）①丁=」/十%—小②當(dāng)叵

42

【詳解】（1）證明：如圖1中，連接OD,OC,設(shè)"=%.

ED=EO,

ND=^EOD=x,

OD=OC,

ND=NOCD=x,

:.NCEO=ZD+ZEOD=2x,Z.COB=ZOEC+AOCD=3x,

OA=OC,

,\ZA=ZACO,

ZA+ZACO=NCOB=3x,

3

:.ZA=ZACO=-x,

ZACD=—x,

2

,\ZBAC=3ZACD；

（2）證明：連接CO,延長(zhǎng)CO交OF于T.

F

圖2

由(1)可矢口，ZAEC=180°-2x,

ZAEC=2ZCDF,

:.ZCDF=9Q°-x,

NCDF+ZDCO=90°,

.\CT±DF9

:.DT=TF,

:.CD=CF.

(3)解：①連接CO,延長(zhǎng)CO交DF于T,,過點(diǎn)。作OM_LCD于/,ON1CF于N.

圖3

由(2)可知，CD=CF,CTLDF,

:.ZDCO=NFCO,

ON工CF,OM工CD,

:.OM=ON,

NGEC=NGCE,

:.GE=GC=x+^,

,\CD=CF=CG+FG=x+y+^,

ED=OE=x，

EC=CD—DE=y+4,

1

CEOM

S\OCE_2_OE

,△COG]_OG

?CGON

2

y+4_X

x+44

/.y——%?+%—4.

4

②設(shè)。4=O5=R,

當(dāng)y>0時(shí)，一f+%一4>0,

4

解得x>26—2或x<-2方-2,

.?”的最小整數(shù)值為3,

,\CG=7,FG=~,

4

AGGB=CGxFG,

/.(/?+4)(7?-4)=7x-，

4

:.R=—(負(fù)根已經(jīng)舍去)，

2

此時(shí)o的半徑為題.

2

13.(2022?海曙區(qū)一模)【基礎(chǔ)認(rèn)知】

(1)如圖1,點(diǎn)A為NMW內(nèi)部一點(diǎn)，AB//PN交PM于點(diǎn)、B,已知=求證：PA平分■ZMPN；

(2)在(1)的情況下，作AHLPN于點(diǎn)H.

①如圖2,若AP=12,PH=9,求PB的長(zhǎng);

②如圖3,延長(zhǎng)AH至點(diǎn)C,使C7/=AH,過尸，A,C三點(diǎn)作圓交PN于點(diǎn)D,交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.若

BP=a,求圓的直徑；（用含“的代數(shù)式表示）

③在（2）的情況下，設(shè)斯=x,BE=y,當(dāng)。=6時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

【答案】（1）見解析；（2）①8；②2a；③y=6-2元

【詳解】（1）證明：AB=PB,

:.ZBPA=ZBAP.

AB//PN,

:.ZBAP=ZAPN.

:.ZBPA=ZAPN.

即PA平分ZMPN；

（2）解：①過點(diǎn)3作尸"于點(diǎn)E,如圖，

M

IRZA

PEHN

AHVPN,AB//PN,

：.四邊形ABEH為矩形.

:.AH=BE,AB=EH.

AB=PB,

:.AB=PB=EH.

設(shè)AB=PB=EH=x,則PE=PH—EH=9—x.

AH2=AP1-PH2=122-92=63,

BE2=63.

在RtAPBE中，

PE2+BE2=PB2,

（9-X）2+63=X2.

解得：x=8.

;.PB=8；

②-CH=AH,AH±PN,

.?.PZV垂直平分AC.

.?.PD是圓的直徑.

設(shè)圓心為點(diǎn)O,如圖，連接Q4,

M

OP=OA,

:.ZDPA=ZPAO.

,\ZBPA=ZDPA=ZBAP=ZPAO.

在ABPA和AOPA中，

ZBPA=ZOPA

<PA=PA,

ZBAP=ZOAP

:.ABPA=AOPA(ASA).

:.PB=PO.

PB=BA,OP=OA,

,\OP=OA=BA=BP.

OP=PB=a.

.?.圓的直徑=2OP=2a.

③連接AE,AD,過點(diǎn)A作A方，于點(diǎn)尸，如圖,

P4平分NMW,AF±BM,AH±PD,

:.AF=AH.

PA=PA,

RtAPAF=RtAPAH(HL).

:.PF=PH.

a=6,

.?.PB=6,PD=12.

DH=x,BE=y,

:.PH=PD-DH=12-x.

,\PF=12-x.

/.EF=PF-PB-BE=6-x-y.

PD是圓的直徑，

.\ZPAD=90°.

AH±PD,

.,.APAH^^ADH.

.PHAH

.12-xAH

-AH-_r*

...AH2=x(12-x).

AF2=X(12-X).

同理：AD1=DHPD=12x.

出平分NMPN,

:.ZAPE=ZAPD.

AE=AD.

AE=AD.

/.AE2=AT>2=12X.

AF2-^-EF2=AE2,

/.x(12-x)+(6-x—4=12x.

(6-x—y)2—Y=0.

(6—x—y+x)(6—x—y—x)=O.

即(6-y)(6-2x-y)=0.

y<6,

二.6—ywO.

:.6—2x—y=0.

.'.y=6—2x.

.??關(guān)于彳的函數(shù)關(guān)系式為了=6-2二

14.（2022?寧波模擬）如圖1,AABC內(nèi)接于C。，AA5c的外角NW3的平分線交iO于點(diǎn)尸（點(diǎn)A在

弧PC之間），連結(jié)PB,PC.

（1）求證：PB=PC.

3