2024學(xué)年第一學(xué)期杭州市高三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題卷考生須知:1.本試卷分試題卷和答題卷兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡指定的區(qū)域（黑色邊框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的作答無效!3.考試結(jié)束，只需上交答題卡.一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡的相應(yīng)位置.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.函數(shù)是（）A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C.既非奇函數(shù)也非偶函數(shù) D.既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)3.已知直線y=2x是雙曲線的一條漸近線，則的離心率等于（）A. B. C. D.或4.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，則"是偶函數(shù)"是""的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知向量，若，則（）A.1或 B.或C.或2 D.或16.設(shè)，滿足.若函數(shù)存在零點(diǎn)，則（）A B. C. D.7.已知，則（）A.1 B.2 C.3 D.28.對(duì)，不等式恒成立，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則二、選擇題:本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖，在正方體中，O為底面中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（）A B.C. D.10.已知函數(shù)，則（）A.若，則B.若，則C.若，則在0,1上單調(diào)遞減D.若，則在上單調(diào)遞增11.已知函數(shù)定義域?yàn)椋簦瑒t（）A. B.C. D.三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是_________.13.已知復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都不為0，滿足①；②.則_____，_____.（寫出滿足條件的一組和）14.已知雙曲線都經(jīng)過點(diǎn)，離心率分別記為，設(shè)雙曲線的漸近線分別為和.若，則_____.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知在中，.（1）判斷的形狀，并說明理由;（2）若點(diǎn)在AB邊上，且.若，求的面積.16.在直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，若的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為.（1）求的方程;（2）若點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)在上，求的值.17.一設(shè)隨機(jī)變量所有可能的取值為，且.定義事件的信息量為，稱的平均信息量為信息熵.（1）若，求此時(shí)信息熵;（2）最大熵原理:對(duì)一個(gè)隨機(jī)事件的概率分布進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的狀態(tài)數(shù)最多，復(fù)雜程度最大，概率分布最均勻，這才是風(fēng)險(xiǎn)最小（最合理）的決定.證明:，并解釋等號(hào)成立時(shí)的實(shí)際意義.（參考不等式:若，則）18.已知函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間;（2）若，求證:;（3）若使得，求證:.19.已知正項(xiàng)有窮數(shù)列，設(shè)，記的元素個(gè)數(shù)為.（1）若數(shù)列，求集合，并寫出的值;