.2.1等差數列課程標準學習目標（1）通過生活中的實例，理解等差數列的概念；（2）掌握等差數列通項公式的意義；（3）掌握等差數列的判定方法（4）理解并掌握等差中項的概念及其應用；（5）理解并掌握等差數列的項與序號之間的規律及其應用；（6）能在具體問題情境中，發現數列的等差關系，并解決相應問題。（1）通過對等差數列概念、通項公式的學習，達成數學抽象、邏輯推理和數學運算的核心素養；（2）通過等差數列中項、性質的學習培養邏輯推理、數學運算的素養；（3）通過等差數列解決實際問題，達成數學建模的核心素養。知識點01等差數列的概念1、文字語言：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母表示．2、遞推公式：（為常數，）3、等差數列定義的理解（1）“從第2項起”是指第1項前面沒有項，無法與后續條件中“與前一項的差”相吻合．（2）“每一項與它的前一項的差”這一運算要求是指“相鄰且后項減去前項”，強調了：①作差的順序；②這兩項必須相鄰．（3）定義中的“同一常數”是指全部的后項減去前一項都等于同一個常數，否則這個數列不能稱為等差數列．【即學即練1】（2022·高二課時練習）下列數列中，不成等差數列的是（）．A．2，5，8，11B．1.1，1.01，1.001，1.0001C．a，a，a，aD．，，，【答案】B【解析】對于A，因為第2項起，后一項與前一項的差是同一個常數3，所以此數列是等差數列，所以A不合題意，對于B，因為，，即，所以此數列不是等差數，所以B符合題意，對于C，因為第2項起，后一項與前一項的差是同一個常數0，所以此數列是等差數列，所以C不合題意，對于D，數列，，，可表示為，，，，因為第2項起，后一項與前一項的差是同一個常數1，所以此數列是等差數列，所以D不合題意，故選：B知識點02等差數列的通項公式與等差中項1、等差數列的通項公式及推廣已知等差數列的首項為a1，公差為d，則通項公式為：該式可推廣為2、等差數列通項公式的推導過程如果等差數列的首項是，公差是，根據等差數列的定義得到：，，，…所以，，，……由此歸納出等差數列的通項公式為．3、等差中項：如果三個數a，A，b成等差數列，那么A叫做a與b的等差中項，且.在一個等差數列中，中間的每一項都是它的前一項與后一項的等差中項。【即學即練2】（2023·河北唐山·高二開灤第一中學校考期末）若不全相等的非零實數成等差數列且公差為，那么（）A．可能是等差數列B．一定不是等差數列C．一定是等差數列，且公差為D．一定是等差數列，且公差為【答案】B【解析】若是等差數列，則，因為成等差數列，則，則，整理得，與非零實數不全相等矛盾，所以一定不是等差數列.故選：B.知識點03等差數列與函數的關系1、等差數列與一次函數的異同點：等差數列一次函數不同點解析式公差、斜率公差斜率定義域圖像位于同一直線上的一系列孤立的點一條直線相同點等差數列的通項公式與一次函數的解析式都是關于自變量的一次式2、等差數列的單調性等差數列中，若公差，則數列為遞增數列；若公差，則數列為遞減數列；若公差，則數列為常數列，不增也不減。【即學即練3】（2022·寧夏銀川·高二校考期中）已知等差數列的公差為，則“”是“數列為單調遞增數列”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，則，即，此時，數列為單調遞增數列，即“”“數列為單調遞增數列”；若等差數列為單調遞增數列，則，即“”“數列為單調遞增數列”.因此，“”是“數列為單調遞增數列”的充分必要條件.故選：C.知識點04等差數列的性質1、角標和對稱性（1）若是公差為d的等差數列，正整數m，n，p，q滿足m＋n＝p＋q，則.特別地，當m＋n＝2k（m，n，k∈N*）時，.（2）對有窮等差數列，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首末兩項的和，即2、子數列的性質：從等差數列中，每隔一定的距離抽取一項，組成的數列仍為等差數列。3、由等差數列衍生的新數列若，分別是公差為，的等差數列，則有數列結論公差為的等差數列（c為任一常數）公差為的等差數列（c為任一常數）公差為的等差數列（k為常數，k∈N*）公差為的等差數列(p，q是常數)【即學即練4】（2023·高二課時練習）已知數列是等差數列，下面的數列中必為等差數列的個數是（）①②③④A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】設的公差為，對于①，，是等差數列，故①正確；對于②，，是等差數列，故②正確；對于③，，是等差數列，故③正確；對于④，若，則不是等差數列，故④錯誤；故選：C．【題型一：數列數列的通項與基本量】例1．（2023·江蘇淮安·高二統考期末）在等差數列中，若，，則的公差為（）A．B．C．1D．2【答案】A【解析】設等差數列的公差為，因為，所以，即，所以.故選：A.變式1-1．（2024·北京順義·高二統考期末）已知等差數列的首項為，且，則.【答案】24【解析】因為是等差數列，，，設公差為d，可得，解得，所以.變式1-2．（2024·安徽蕪湖·高二統考期末）已知數列是公差相等的等差數列，且，若為正整數，設，則數列的通項公式為．【答案】【解析】設數列的公差為，由，可得，解得，，，所以.變式1-3．（2024·云南玉溪·高二統考期末）已知數列滿足.（1）求；（2）求數列的通項公式．【答案】（1），；（2）【解析】（1）由可得，（2）由已知可得則，則數列的奇數項是以1為首項，3為公差的等差數列，數列的偶數項是以2為首項，3為公差的等差數列，即，當n為奇數時，則當n為偶數時，則，故【方法技巧與總結】等差數列通項公式的求法與應用技巧（1）等差數列的通項公式可由首項與公差確定，所以要求等差數列的通項公式，只需求出首項與公差即可；（2）等差數列的通項公式中共含有四個參數，即，，，，如果知道了其中的任意三個數，那么就可以由通項公式求出第四個數，這一求未知量的過程，我們通常稱之為“知三求一”；（3）通項公格可變形為。【題型二：等差數列的判斷與證明】例2．（2024·天津·高二天津第一百中學校聯考期末）在數列中，，且，則.【答案】【解析】由得，所以為等差數列，且公差為1，首項為3，故，進而.變式2-1．（2023·重慶·高二育才中學校聯考階段練習）已知是等差數列，若，．（1）求的通項公式；（2）證明是等差數列．【答案】（1），；（2）證明見解析【解析】（1）設等差數列的公差為d，，，所以，（2）證明：因為所以是公差為的等差數列.變式2-2．（2023·湖北·高二校考期中）已知滿足，且.（1）求；（2）證明數列是等差數列，并求的通項公式.【答案】（1）；（2）證明詳見解析，【解析】（1）依題意，，，所以，，所以.（2）依題意，，，所以，所以是首項為，公差為的等差數列，所以.變式2-3．（2023·廣東汕頭·高二潮陽實驗學校校考階段練習）已知數列{an}滿足，，令.（1）證明：數列是等差數列；（2）求數列的通項公式．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）∵，∴，又，∴是首項為，公差為的等差數列．（2）由（1）知，，∴.【方法技巧與總結】判斷或證明一個數列是等差數列的方法1、定義法：（常數）是等差數列；2、中項法：是等差數列；3、通項公式法：（，為常數）是等差數列。【題型三：等差中項及其應用】例3．（2022·黑龍江哈爾濱·高二校考期末）已知，，則、的等差中項為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】、的等差中項為.故選：B.變式3-1．（2023·福建三明·高二校考階段練習）在等差數列中，，則（）A．5B．6C．8D．9【答案】A【解析】由是等差數列，則是和的等差中項，所以，則，.故選：A變式3-2．（2023·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學校考階段練習）在等差數列中，若，則（）A．16B．17C．18D．19【答案】C【解析】由題意，得，所以，故C正確，故選：C.變式3-3．（2023·全國·高二專題練習）在等差數列中，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為數列為等差數列，因為，得，所以，所以，故A項正確，故選:A.【方法技巧與總結】三個數稱等差數列的條件是（或），可用來解決等差數列的判定或有關等差中項的計算問題。如若證為等差數列，可證（）【題型四：利用等差數列的性質計算】例4．（2024·內蒙古赤峰·高二統考期末）在等差數列中，已知，，則等于（）A．42B．43C．44D．45【答案】A【解析】由，可得，所以，故，故選：A變式4-1．（2024·全國·高二期末）已知數列滿足，則等于（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解析】∵，∴是等差數列．由等差數列的性質可得，，∴，，∴．故選：B變式4-2．（2024·內蒙古赤峰·高二統考期末）已知為遞增等差數列，，，則的公差（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為，所以，又，所以或，又為遞增等差數列，所以，則.故選：C變式4-3．（2023·高二課時練習）在等差數列中，，則.【答案】20【解析】在等差數列中，，所以，所以.【方法技巧與總結】1、在等差數列{an}中，當m≠n時，d＝eq\f(am－an,m－n)為公差公式，利用這個公式很容易求出公差，還可變形為am＝an＋(m－n)d.2、等差數列{an}中，每隔相同的項抽出來的項按照原來的順序排列，構成的新數列仍然是等差數列．3、等差數列{an}中，若m＋n＝p＋q，則an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特別地，若m＋n＝2p，則an＋am＝2ap.【題型五：等差數列的單調性及最值】例5．（2023·上海·高二洋涇中學校考階段練習）設，則當數列{an}的前n項和取得最小值時，n的值為（）A．4B．5C．4或5D．5或6【答案】A【解析】由，即，解得，因為,故.故選：A.變式5-1．（2022·陜西渭南·高二瑞泉中學校考階段練習）（多選）在等差數列中，記，則數列（）A．有最大項，有最小項B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項D．無最大項，無最小項【答案】C【解析】依題意可得公差，，所以當時，，當時，，因為，，，，，，又當時，，且，即，所以當時，數列單調遞增，所以數列無最大項，數列有最小項，故選：C變式5-2．（2023·高二課時練習）（多選）已知等差數列的公差，則下列四個命題中真命題為（）A．數列是遞增數列B．數列是遞增數列C．數列是遞增數列D．數列是遞增數列【答案】AD【解析】對于A，等差數列的公差，則數列是遞增數列，正確；對于B，不妨取，則不是遞增數列，B錯誤；對于C，不妨取，則不是遞增數列，C錯誤；對于D，由于等差數列的公差，隨n的增大而增大，隨n的增大而增大，故也隨n的增大而增大，即數列是遞增數列，D正確，故選：AD變式5-3．（2023·高二課時練習）已知，是等差數列的圖象上的兩點．（1）求數列的通項公式；（2）畫出數列的圖象；（3）判斷數列的單調性．【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）為遞減數列．【解析】（1）設等差數列的首項為，公差為d．因為，是等差數列的圖象上的兩點，所以，，即，解得．因此，．（2）等差數列的圖象是均勻分布在直線上的一系列離散的點，如下圖所示：（3）因為公差，所以等差數列為遞減數列．【方法技巧與總結】利用等差數列與函數的關系，將等差數列轉化為一次函數的形式可知：等差數列中，若公差，則數列為遞增數列；若公差，則數列為遞減數列；若公差，則數列為常數列，不增也不減。【題型六：設元法巧解等差數列】例6．（2022·江蘇連云港·高二期末）已知四個數依次成等差數列，且四個數的平方和為94，首尾兩數之積比中間兩數之積少18，則此等差數列的和是（）A．14B．13C．或14D．或13【答案】C【解析】設這四個數分別為，由題意得，即，解得或或或，當時，等差數列為-1，2，5，8；當時，等差數列為8，5，2，-1；等差數列的和是14；當時，等差數列為-8，-5，-2，1；當時，等差數列為1，-2，-5，-8，等差數列的和是．故選：C．變式6-1．（2023·江蘇·高二專題練習）已知五個數成等差數列，這五個數之和為100，其中較大的三個數之和的是較小的兩個數之和，則這五個數中最大的數為（）A．B．20C．D．【答案】C【解析】設這五個數分別為，，由題意可得，解得，且，解得，則最大的數為.故選：C變式6-2．（2023·高二課時練習）三個數成等差數列，這三個數的和為6，三個數之積為－24，求這三個數.【答案】三個數為－2，2，6或6，2，－2.【解析】設這三個數分別為a－d，a，a＋d.由題意可得解得或∴所求三個數為－2，2，6或6，2，－2.變式6-3．（2023·江蘇·高二專題練習）已知成等差數列的四個數，四個數之和為26，第二個數與第三個數之積為40，求這個等差數列．【答案】或【解析】設這四個數依次為(公差為)．因為四個數之和為26，第二個數與第三個數之積為40，所以，解得：或，∴這個數列為或【方法技巧與總結】設元法巧解等差數列中常見的設元技巧1、某兩個數是等差數列中的連續兩個數且知其和，可設這兩個數為：，，公差為；2、三個數成等差數列且知其和，常設此三數為：，，，公差為；3、四個數成等差數列且知其和，常設成，，，，公差為。【題型七：由等差數列構造新數列】例7．（2024·四川眉山·高二仁壽一中校考期末）數列和數列的公共項從小到大構成一個新數列，數列滿足：，則數列的最大項等于.【答案】【解析】數列和數列的公共項從小到大構成一個新數列為：，該數列為首項為1，公差為的等差數列，所以，所以因為所以當時，，即，又，所以數列的最大項為第二項，其值為.變式7-1．（2023·湖南益陽·高二統考期末）已知等差數列中，，，若在數列每相鄰兩項之間插入三個數，使得新數列也是一個等差數列，則新數列的第項為．【答案】【解析】設等差數列的公差為，則，在數列每相鄰兩項之間插入三個數，則新的等差數列的公差為，故新數列的首項為，故通項公式為，故.變式7-2．（2022·高二課時練習）已知為等差數列，且以，，若在每相鄰兩項之間插入三個數，使它和原數列的數構成一個新的等差數列，求：（1）原數列的第12項是新數列的第幾項？（2）新數列的第29項是原數列的第幾項？【答案】（1）第45項；（2）第8項．【解析】（1）設新數列為，則，，根據，有，即，所以，所以．又因為，所以．即原數列的第n項為新數列的第項．當時，，故原數列的第12項為新數列的第45項．（2）由（1），令，得，即新數列的第29項是原數列的第8項．變式7-3．（2023·全國·高二課時練習）已知等差數列中，，.（1）證明:數列是公差為的等差數列；（2）若在數列每相鄰兩項之間插入三個數，使得新數列也是一個等差數列，求新數列的第41項.【答案】（1）證明見解析；（2）31.【解析】（1）證明：設數列的公差為，∵，，∴，得，∴，設，則，∴，即數列是公差為的等差數列.（2）由（1）得，設新數列為，其公差為，則，，∴，得，∴.【方法技巧與總結】（1）從等差數列中，每隔一定的距離抽取一項，組成的數列仍為等差數列。（2）在數列中插入幾個數構成新的等差數列，根據等差數列的定義確定新數列的項數以及公差。【題型八：等差數列的實際應用】例8．（2023·全國·高二隨堂練習）夏季高山上氣溫從山腳起每升高100m降低0.6℃，已知山頂的氣溫是15.8℃，山腳的氣溫是26℃．那么，此山相對于山腳的高度是（）．A．1500mB．1600mC．1700mD．1800m【答案】C【解析】山頂與山腳的溫度差為，因為每升高100m，氣溫降低，所以山頂相對于山腳的高度為（m）.故選：C.變式8-1．（2023·廣東佛山·高三佛山一中開學考試）哈雷彗星大約每76年環繞太陽一周，因英國天文學家哈雷首先測定其軌道數據并成功預言回歸時間而得名.已知哈雷是1682年觀測到這顆彗星，則人們最有可能觀測到這顆彗星的時間為（）A．2041年～2042年B．2061年～2062年C．2081年～2082年D．2101年～2102年【答案】B【解析】由題意，可將哈雷彗星的回歸時間構造成一個首項是1682，公差為76的等差數列，則等差數列的通項公式為，，，可預測哈雷彗星在本世紀回歸的年份為2062年．故選：B．變式8-2．（2024·北京順義·高二統考期末）《周髀算經》中有這樣一個問題：從冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣.立竿測影，得其最短日影長依次成等差數列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，春分日影長為7.5尺，則這十二個節氣中后六個（春分至芒種）日影長之和為（）A．8.5尺B．30尺C．66尺D．96尺【答案】B【解析】設這個等差數列為，公差為，首項為冬至日最短日影長，根據題意有即，解得所以.故選:B變式8-3．（2023·福建龍巖·高二校聯考期中）潮涌杭州，亞運來了！2023年9月23日，第19屆亞運會在杭州盛大開幕，這是杭州歷史上的一件大事，也是中國繼北京奧運會、廣州亞運會后再次舉辦的大型國際體育賽事.某網站全程轉播了該次賽事，為慶祝本次賽事，該網站舉辦了一場針對本網站會員的獎品派發活動，派發規則如下：①對于會員編號能被3整除余1且被5整除余1的可以獲得精品吉祥物一套；②對于不符合①中條件的可以獲得普通吉祥物一套.已知該網站的會員共有2023人（編號為1號到2023號，中間沒有空缺），則獲得精品吉祥物的人數為.【答案】135【解析】將能被3整除余1且被5整除余1的正整數按從小到大排列，所得的數列記為，由已知得是3的倍數，也是5的倍數，所以為15的倍數，所以是首項為0，公差為15的等差數列，所以，令，可得，又，解得且，故獲得精品吉祥物的人數為135.【方法技巧與總結】等差數列的實際應用1、解決實際應用問題，首先要認真領會題意，根據題目條件，尋找有用的信息．若一組數按次序“定量”增加或減少時，則這組數成等差數列。2、合理地構建等差數列模型是解決這類問題的關鍵，在解題過程中，一定要分清首項、項數等關鍵的問題一、單選題1．（2024·廣東河源·高二統考期末）若等差數列中，，則（）A．12B．14C．D．【答案】A【解析】設等差數列的公差為，則，解得；因此可得數列的通項公式為，所以.故選：A2．（2023·湖北武漢·高二武漢市東湖中學校考期中）在等差數列中，若，是方程的兩根，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，是方程的兩根，，是等差數列，.故選：D.3．（2024·廣東·高二校聯考期末）在等差數列中，若，則（）A．4B．6C．8D．3【答案】B【解析】由等差數列的性質可得，故，解得.故選：B4．（2022·高二課時練習）已知點，是等差數列圖象上的兩點，則數列為（）A．遞增數列B．遞減數列C．常數列D．無法確定【答案】B【解析】等差數列的圖象所在直線的斜率，則直線呈下降趨勢，故數列單調遞減.故選：B.5．（2023·高二課時練習）在數列、、、、的每相鄰兩項中插入個數，使它們與原數構成一個新數列，則新數列的第項（）A．不是原數列的項B．是原數列的第項C．是原數列的第項D．是原數列的第項【答案】C【解析】設數列為，則，，，，設，則，，，，由題意可知，數列是首項為，公差為的等差數列，故，令，解得，因此，新數列的第項為原數列的第項，故選：C.6．（2023·廣西欽州·高二校考階段練習）在和兩數之間插入個數，使它們與，組成等差數列，則該數列的公差為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在和兩數之間插入個數，使它們與組成等差數列，則這個數列共有項，設該數列的公差為d，則.故選：B.7．（2023·山東泰安·高二泰安第二中學校考階段練習）首項為的等差數列，從第項起開始為正數，則公差的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設等差數列首項為，公差為，由從第項起開始為正數，所以，即，解得，故D正確.故選：D.8．（2023·云南昆明·高二云南師大附中校考期末）已知數列中，且，則為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由得：，又，數列是以1為首項，為公差的等差數列，，，，，故選：A．二、多選題9．（2022·福建漳州·高二華安縣第一中學校考階段練習）設等差數列中，，公差，依次取出項的序號被4除余3的項組成新數列，則（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】因為，，所以，數列中序號被4除余3的項是第3項，第7項，第11項，，所以故A錯誤，BC正確；設數列中的第項是數列中的第項，則，所以當時，，故，所以D正確，故選：BCD10．（2023·甘肅白銀·高二靖遠縣第一中學校聯考期中）若正項數列是等差數列，且，則（）A．當時，B．的取值范圍是C．當為整數時，的最大值為29D．公差的取值范圍是【答案】ABC【解析】當,時，公差，，故A正確；因為是正項等差數列，所以，即，且，所以公差的取值范圍是，故D錯誤；因為，所以的取值范圍是，故B正確；，當為整數時，的最大值為29，故C正確；故選：ABC.11．（2024·全國·高二專題練習）若數列是等差數列，公差，則下列對數列的判斷正確的是（）A．若，則數列是遞減數列B．若，則數列是遞增數列C．若，則數列是公差為d的等差數列D．若，則數列是公差為的等差數列【答案】AD【解析】由且，A：由，即數列是遞減數列，對；B：由，若時，如，不單調，錯；C：由，則數列是公差為的等差數列，錯；D：由，則數列是公差為的等差數列，對.故選：AD12．（2023·山東煙臺·高二校考期末）《九章算術》是我國古代的數學名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等.問各得幾何.”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數列，問五人各得多少錢？”.關于這個問題，下列說法正確的是（）A．戊得錢是甲得錢的一半B．乙得錢比丁得錢多錢C．甲、丙得錢的和是乙得錢的3倍D．丁、戊得錢的和比甲得錢多錢【答案】AD【解析】依題意，設甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為，，，，，且，即，又，∴，，即，，，，∴甲得錢，乙得錢，丙得錢，丁得錢，戊得錢，則有如下結論：戊得錢是甲得錢的一半，故A正確；乙得錢比丁得錢多錢，故B錯誤；甲、丙得錢的和是乙得錢的倍，故C錯誤；丁、戊得錢的和比甲得錢多錢，故D正確．故選：AD.三、填空題13．（2023·廣東佛山·高三校考階段練習）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，可見于中國南北朝時期的數學著作《孫子算經》卷下第十六題的“物不知數”問題，原文如下：今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二．問物幾何？現有一個相關的問題：將到這個自然數中被除余且被除余的數按照從小到大的順序排成一列，構成一個數列，則該數列的項數為．【答案】【解析】由題知，滿足上述條件的數列為，該數列為首項是，公差為的等差數列，則，解得，故該數列的項數為.14．（2023·江蘇淮安·高二統考期末）已知正項數列是等差數列，若，，則的值為.【答案】【解析】設等差數列的公差為，，由，，，，，解得，.15．（2024·重慶·高二統考期末）已知數列，則通過該數列圖象上所有點的直線的斜率為．【答案】3【解析】由，得數列是以為首項，3為公差的等差數列，由等差數列公差的幾何意義知，通過該數列圖象上所有點的直線的斜率.16．（2024·四川宜賓·高二統考期末）已知數列、是等差數列，其中且，那么．【答案】