從本章開始由時域轉入變換域分析，首先討論傅里葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級數正交函數展開的基礎上發展而產生的，這方面的問題也稱為傅里葉分析（頻域分析）。將信號進行正交分解，即分解為三角函數或復指數函數的組合。頻域分析將時間變量變換成頻率變量，揭示了信號內在的頻率特性以及信號時間特性與其頻率特性之間的密切關系，從而導出了信號的頻譜、帶寬以及濾波、調制和頻分復用等重要概念。頻域分析本章從傅里葉級數正交函數展開問題開始討論，引出傅里葉變換，建立信號頻譜的概念。通過典型信號頻譜以及傅里葉變換性質的研究，初步掌握傅里葉分析方法的應用。對于周期信號而言，在進行頻譜分析時，可以利用傅里葉級數，也可以利用傅里葉變換，傅里葉級數相當于傅里葉變換的一種特殊表達形式。本章最后研究抽樣信號的傅里葉變換，引入抽樣定理。主要內容第4章連續系統的頻域分析4.1信號的正交分解4.2傅里葉級數4.3周期信號的頻譜4.4非周期信號的頻譜4.5傅里葉變換的性質4.6能量譜與功率譜4.7周期信號的傅里葉變換4.8LTI系統的頻域分析4.9取樣定理當上述函數集中任意兩個函數φi(t),φj(t)之間,在區間(t1,t2)內滿足：式中Ki為常數，則稱此函數集是在區間(t1,t2)內的正交函數集。例如,三角函數集｛1,cosΩt,cos2Ωt,…,cosmΩt,…,sinΩt,sin2Ωt,…,sinnΩt,…｝在區間（t0,t0+Ｔ）(式中T=2π/Ω)組成正交函數集,而且是完備的正交函數集。這是因為（ki為與之有關的常量且不為零）（4.1-2）(4.1-3)即三角函數集滿足正交性式（4.1-2）,因而是正交函數集。

4.2傅里葉級數19世紀初葉,法國數學家吉·傅里葉證明:任何正常的周期為T的函數f(t)都可分解為無限個正弦和余弦函數的代數和。即

通常稱（4.2-1）式為傅里葉級數。式中，Ω=2π/T稱為基波角頻率,an和bn為傅里葉系數。(4.2-1)

(4.2-2)(4.2-3)如果已知f(t),則可通過下面三式分別求出an,bn和a0的值。為簡便，我們把積分區間取為(-T/2,T/2)，因此有：(4.2-4)根據三角函數的運算法則,式(4.2-1)還可寫成下式：(4.2-5)(4.2-6)(4.2-8)(4.2-7)a0式(4.2-5)表明，任何滿足狄里赫利條件的周期函數都可分解為直流和許多余弦分量。其中第一項A0/2是常數項，即周期信號中所包含的直流分量；式中第二項為基波或一次諧波，其角頻率與周期信號相同。A1是基波振幅，θ1是基波初相角；式中第三項稱為二次諧波，它的頻率是基波頻率的二倍。一般而言，稱為n次諧波，An是n次諧波的振幅，θn是初相角。1、函數絕對可積2、具有有限個間斷點3、具有有限個極值點4.2.1信號的傅里葉級數正交分解

由于傅里葉級數具有正交性及完備性,故任何周期信號均可正交分解成傅里葉級數。這種分解,在對信號進行分析時將會表現出很大的優勢。例4―1試將圖4.2所示的方波信號f(t)展開為傅里葉級數。圖4.2方波信號的傅里葉級數解我們將信號分解成傅里葉級數,并分別計算an,bn及a0。cos(2πnft)dtsin(2πnft)dta0當f(t)為t的奇函數時，則有f(t)cos(nΩt)為t的奇函數，f(t)sin(nΩt)為t的偶函數，因而有：4.2.2奇偶函數的傅里葉系數當f(t)為t的偶函數時，由于f(t)cos(nΩt)為t的偶函數，f(t)sin(nΩt)為t的奇函數。因而有即當f(t)為偶函數時，其傅里葉級數展開式中只可能有直流分量及cos(nΩt)分量，而無sin(nΩt)分量。4.2.3指數形式的傅里葉級數指數傅里葉級數可以從三角傅里葉級數直接導出。因為cosθ=(ejθ+e-jθ)/2，將這一關系應用于式(4.2-5)，并考慮到An是n的偶函數，φn是n的奇函數，即An=A-n，φn=-φ-n，則式(4.2-5)可寫為:一般來說Fn亦為一復數，即(4.2-10)(4.2-9)

4.3周期信號的頻譜

4.3.1周期信號的頻譜

周期信號的復振幅 一般為nΩ的復函數，因而描述其特點的頻譜圖一般要畫兩個，一個稱為振幅頻譜，另一個稱為相位頻譜。所謂振幅頻譜為以ω為橫坐標，以振幅為縱坐標所畫出的譜線圖；而相位頻譜則為以ω為橫坐標，以相位為縱坐標所得到的譜線圖。在信號的復振幅 為nΩ的實函數的特殊情況下，其復振幅n(Fn)與變量(nΩ)的關系也可以用一個圖繪出。例4.3-1試畫出f(t)的振幅譜和相位譜。解：根據可知，其基波頻率Ω=π(rad/s)，基本周期T=2s，ω=2π、3π、6π分別為二、三、六次諧波頻率。且有其余圖4.3-1例4.3-1信號的頻譜振幅譜；

(b)相位譜4.3.2周期信號頻譜的特點圖4.3-3周期矩形脈沖信號為得到該信號的頻譜，先求其傅里葉級數的復振幅。取樣函數定義為這是一個偶函數，且x→0時，Sa(x)=1；當x=kπ時，Sa(kπ)=0。據此，可將周期矩形脈沖信號的復振幅寫成取樣函數的形式，即因此可寫出該周期性矩形脈沖的指數形式傅立葉級數展開式為：圖4.3-4Sa(x)函數的波形圖4.3-5周期矩形脈沖信號的頻譜由圖4.3-5可以看出，此周期信號頻譜具有以下幾個特點：第一為離散性，此頻譜由不連續的譜線組成，每一條譜線代表一個正弦分量，所以此頻譜稱為不連續譜或離散譜。第二為諧波性，此頻譜的每一條譜線只能出現在基波頻率Ω的整數倍頻率上，即含有Ω的各次諧波分量，而決不含有非Ω的諧波分量。第三為收斂性，此頻譜的各次諧波分量的振幅雖然隨nΩ的變化有起伏變化，但總的趨勢是隨著nΩ的增大而逐漸減小。當nΩ→∞時，|Fn|→0。圖4.3-6不同τ值時周期矩形信號的頻譜(a)τ=T/5;(b)τ=T/10圖4.3-7不同T值時周期矩形信號的頻譜(a)T=5τ;(b)T=10τ

周期矩形脈沖信號含有無窮多條譜線，也就是說，周期矩形脈沖信號可表示為無窮多個正弦分量之和。在信號的傳輸過程中，應要求傳輸系統能將信號中的主要頻率分量傳輸過去，以滿足失真度方面的基本要求。周期矩形脈沖信號的主要能量集中在第一個零點之內，因而，常常將ω=0~ 這段頻率范圍稱為矩形脈沖信號的頻帶寬度。記為或4.3.3周期信號的功率周期信號的能量是無限的，而其平均功率是有界的，因而周期信號是功率信號。為了方便，往往將周期信號在1Ω電阻上消耗的平均功率定義為周期信號的功率。顯然，對于周期信號f(t)，無論它是電壓信號還是電流信號，其平均功率均為由于：所以：因為：4.4非周期信號的頻譜4.4.1傅里葉變換對于非周期信號，重復周期T趨于無限大，譜線間隔趨于無窮小量dω，而離散頻率nΩ變成連續頻率ω。在這種極限情況下，Fn趨于無窮小量，但 可望趨于有限值，且為一個連續函數，通常記為F(jω)，即非周期信號的傅里葉變換可簡記為一般來說，傅里葉變換存在的充分條件為f(t)應滿足絕對可積，即要求4.4.2非周期信號的頻譜函數由非周期信號的傅里葉變換可知:頻譜函數F(jω)一般是復函數，可記為習慣上將F(ω)~ω的關系曲線稱為非周期信號的幅度頻譜(F(ω)并不是幅度!)，而將φ(ω)~ω曲線稱為相位頻譜，它們都是ω的連續函數。f(t)為實函數時，根據頻譜函數的定義式不難導出:式中：4.4.3典型信號的傅里葉變換例4.4-1圖4.4-1(a)所示矩形脈沖一般稱為門函數。其寬度為τ，高度為1，通常用符號gτ(t)來表示。試求其頻譜函數。解門函數gτ(t)可表示為可得：圖4.4-1門函數及其頻譜(a)門函數；(b)門函數的頻譜；(c)幅度譜；(d)相位譜例4.4-2求指數函數f(t)的頻譜函數。圖4.4-2單邊指數函數e-αt及其頻譜(a)單邊指數函數e-αt;(b)e-αt的幅度譜其振幅頻譜及相位頻譜分別為解例4.4-3求圖4.4-3(a)所示雙邊指數函數的頻譜函數。圖4.4-3雙邊指數函數及其頻譜(a)雙邊指數函數；(b)頻譜例4.4-4求圖4.4-4(a)所示信號f(t)的頻譜函數。圖4.4-4例4.4-4圖(a)信號f(t);(b)頻譜(a>0)解圖示信號f(t)可表示為例4.4-5求單位沖激函數δ(t)的頻譜函數。圖4.4-5信號δ(t)及其頻譜(a)單位沖激信號δ(t);(b)δ(t)的頻譜解可見，沖激函數δ(t)的頻譜是常數1。也就是說，δ(t)中包含了所有的頻率分量，而各頻率分量的頻譜密度都相等，常稱為“均勻譜”或“白色頻譜”。例4.4-6求直流信號1的頻譜函數。圖4.4-6直流信號f(t)及其頻譜(a)直流信號f(t);(b)頻譜解直流信號1可表示為例4.4-7求符號函數Sgn(t)的頻譜函數?？疾炖?.4-4所示信號f(t)當α→0時，其極限為符號函數Sgn(t)。因而可以用求f(t)的頻譜函數F