專題四《函數(shù)》講義

函數(shù)的三要素

■知識梳理.函數(shù)的概念

1.函數(shù)的有關(guān)概念

(1)函數(shù)的定義域、值域：

在函數(shù))，=兀0,XWA中，x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定區(qū)域；與x的值

相對應(yīng)的)，值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合伏x)|x￡A｝叫做函數(shù)的值域.

(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系.

(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,則這兩個函數(shù)相等，這是

判斷兩函數(shù)相等的依據(jù).

2.函數(shù)的三種表示法

解析法圖象法列表法

就是把變量工，y之間的關(guān)系

就是把x,y之間的關(guān)系繪制就是將變量x,y的取值列成

用一個關(guān)系式y(tǒng)=?r)來表示，

成圖象，圖象上每個點的坐標(biāo)表格，由表格直接反映出兩者

通過關(guān)系式可以由X的值求

就是相應(yīng)的變量x,y的值.的關(guān)系.

出)，的值.

3.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系,這樣的函

數(shù)通常叫做分段函數(shù).

題型一.定義域

考點1.具體函數(shù)定義域

1

I.函數(shù)/a)=(1-x)-2+(2x-1)0的定義域是()

A.(-8,J]B.(-8,i)U(-,1)

22

C.(-1)D.1)

2.函數(shù)/'(X)=亍/的定義域為M,g(x)=lnC?+3x+2)的定義域為N,則MUCRN=

乒

()

A.[-2,1)B.(-2,1)C.(-2,+8)D.(-8,i)

,考點2.抽象函數(shù)定義域

3.若函數(shù)f(3-2x)的定義域為[-1,2],則函數(shù)了(外的定義域是.

4.函數(shù)y=/(x)的定義域為[-1,2],則函數(shù)y=/(l+x)?x)的定義域為()

A.[-1,3]B.[0,2]C.[-1,1]D.[-2,2]

一考點3.已知定義域求參

5.已知函數(shù)/(x)=/g(a?+3x+2)的定義域為R,則實數(shù)。的取值范圍

是.

6.若函數(shù)/(外=(2。2+5〃+3)/+[4+1)X-1的定義域、值域都為R,則實數(shù)。滿足()

Q1Q

A.0=-1或。=-2B.<a<-1

33

C.。#-1或。。一5D.a=-j

1題型二.解析式

考點1.待定系數(shù)法

I.已知函數(shù)f(%)是一次函數(shù)，且"'(x)]=9x+4,求函數(shù)/(%)的解析式.

2.已知/(x)是二次函數(shù)，且滿足f(0)=1,/(x+1)-/(x)=2x,則/(x)的解析式

是.

一考點2.換元法

3.己知/"(正-1)=%—2vL則函數(shù)，(外的解析式為.

1—X1—丫2

4.已知/'(TG)=4/，求/(%)的解析式.

考點3.湊配法

5.(I)已知f(1)=y_^2>求f(x)的解析式；

(2)已知=/+/，求/(x).

,0

6.已知/⑶)=4xlog23+10,則/(2)4/(4)4/(8)4--4/(2)的值等于.

考點4.方程組法

7.已知函數(shù)f(%)滿足f(x)+2f(-x)=3x,則/(I)=.

8.己知函數(shù)/(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，/(x)+g(x)=2?33

則函數(shù)/(x)=.

考點5,求誰設(shè)誰

9.已知函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，當(dāng)延(0,+8)時，/(x)=10g2T,(1)求/(X)的解析式：

(2)當(dāng)/(X)>0時.求x的取值范圍.

10.定義域為R的函數(shù)f(x)滿足/(x+1)=4(-，且當(dāng)xE(0,1]時，/(x)=f-乂

則當(dāng)立(-1,0]時，/(x)的值域為()

11111

A.[弋，0]B.[-^0]C.[一右一aD.[0,-]

考點6.利用對稱求解析式

11.下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù))=法的圖象關(guān)于直線x=l對稱的是()

A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)

12.設(shè)函數(shù)y=/(x)的圖象與y=2戶”的圖象關(guān)于y=-x對稱，且-2)4/(-4)=1,

則a=()

A.-1B.1C.2D.4

'題型三.值域

考點1.利用單調(diào)性求值域

I.下列函數(shù)中，與函數(shù)/?(%)=(》”的定義域和值域都相同的是()

A.y=/+2x,x>0B.y=\x+\\

1

C.y=IOxD.y=x+-

2.已知函數(shù)f(x)=10g3(x-2)的定義域為A,則函數(shù)g(x)=2-xGeA)的值域

為()

A.(-8,o)B.(?8,i)C.[1,+°°)D.(1,+8)

Q考點2.換元法

3.函數(shù)y=25+4>/1-乃的值域為()

A.(-8,-4]B.(-8,4]C.[0,+8)D.[2,+8)

4.函數(shù)/(X)=10g2(7-2x+3)的值域為)

A.[0,+8)B.[1,+8)C.RD.[2,+8)

考點3,分離常數(shù)

5.函數(shù)丫=箭在x€[0,+8)上的值域是.

6.已知函數(shù)/(%)=學(xué)，則該函數(shù)在(1,3]上的值域是()

A.[4,5)B.(4,5)C.[苧，5)D.5]

7.函數(shù)y=的值域是

8.下列求函數(shù)值域正確的是()

A.函數(shù)丫=磊，俎-3,-1]的值域是3尸1

B.函數(shù)y=的值域是工-Ly-

C.函數(shù)y=袈>，xw/2)U(2,用的值域是(y|"曰，y>^)

D.函數(shù)y=x+V1-/的值域是{y|-1WyW應(yīng)}

課后作業(yè).函數(shù)的三要素

1.函數(shù)/'(%)=yJ-x2+9x+10-最=芍的定義域為()

A.[1,10]B.[L2)U(2,10]

C.(1,10]D.(1,2)U(2,10]

2.已知函數(shù)/(外=‘°叱””則由]的值為()

3”,4

11

A.-B.-C.-2D.3

93

3.已知/■(?)=/-2%,則函數(shù)/(幻的解析式為()

A./(x)=X4-2X1(GO)B./(x)=9-廿

C./(x)=x—2>/x(x>0)D.f(x)=x-2\[x

4.已知函數(shù)f(x)滿足2f(x-1)+f(1-x)=2x-1,求：f(x)解析式.

5.已知f(x)=I。72a)X+3a(%〈I)的值域為R,那么a的取值范圍是()

{lnx(x>1)

11

A.(-8,-i]B.(-1,-)C.[-1,-)D.(0,1)

22

x

6.用min{a>b,c}表示a,b,c三個數(shù)中的最小值設(shè)/(x)=min{2fx+2,10-x)(x20),

則/(x)的最大值為.

專題四《函數(shù)》講義

函數(shù)的三要素

,知識梳理.函數(shù)的概念

1.函數(shù)的有關(guān)概念

(1)函數(shù)的定義域、值域：

在函數(shù)y=A力，中，x叫做自變量，工的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值

相對應(yīng)的)，值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合伏刈人七川叫做函數(shù)的值域.

(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系.

(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,則這兩個函數(shù)相等，這是

判斷兩函數(shù)相等的依據(jù).

2.函數(shù)的三種表示法

解析法圖象法列表法

就是把變量X,y之間的關(guān)系

就是把x,y之間的關(guān)系繪制就是將變量x,y的取值列成

用一個關(guān)系式y(tǒng)=7(x)來表示，

成圖象，圖象上每個點的坐標(biāo)表格，由表格直接反映出兩者

通過關(guān)系式可以由X的值求

就是相應(yīng)的變量x,y的值.的關(guān)系

出)，的值.

3.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系,這樣的函

數(shù)通常叫做分段兩數(shù).

,題型一.定義域

考點L具體函數(shù)定義域

1.函數(shù)=(1?幻三+(2x7)°的定義域是()

11

A.(-8,1]B.(-8,4)U(-,1)

22

C.(-8,1)D.1)

【解答】解.：要使/(X)有意義，則[1一%>°;

(2%—1看0

解得XVI,且％H4；

-V(X)的定義域為(一%1)U(1,1).

故選：B.

2.函數(shù)/?(%)=7、的定義域為M,g(x)=ln(f+3x+2)的定義域為N,則MUCRN=

Jl-x2

()

A.[-2,1)B.(-2,1)C.(-2,+8)D.(…，1)

【解答】解：由1-/>0,解得

：.M=(-1,1),

由/+3*+2>0,解得r<-2或-I,

:?N=(-8,-2)U(-1,+8),

，CRN=[-2,-1],

則MUCRN=[-2,1).

故選：4.

考點2.抽象函數(shù)定義域

3.若函數(shù)f(3-2x)的定義域為[-1,2J,則函數(shù)/(%)的定義域是一[-1,51.

【解答】解：???函數(shù)f(3-2x)的定義域為[-1,2],

即-UW2,

J-2W2xW4

:.?1W3-2XW5

，函數(shù)/(x)的定義域是[-1,5]

故答案為：[-1,5J

4.函數(shù)y=/(x)的定義域為[-1,2],則函數(shù)y=/(l+x)tf(l-%)的定義域為()

A.[-1,3]B.[0,2]C.[-L1]D.[-2,2]

【解答】解：,??函數(shù)y=f(%)的定義域為[-1,2],

：t^l<l-x<2r解得-0W1.

???函數(shù)y=/(l+x)4/(1-x)的定義域為[7,1].

故選：C.

考點3.已知定義域求參

a

5.已知函數(shù),八1=lg(ar+3x+2)的定義域為R,則實數(shù)a的取值范圍是_(f+8)

8

【解答】解：根據(jù)條件可知加+3/2>0恒成立，

9

-

則a>0,且△=9-8a<0,解得8

9

故a的取值范圍是(3+8).

故答案為：(,+8).

6.若函數(shù)/(#=(2/+5"3)產(chǎn)+，％+1丘-1的定義域、值域都為R,則實數(shù)。滿足()

A_T3r>13—7d

A.d="1或4=-2B.----g-、—1

C.4#-1或—2D?a——2

【解答】解：函數(shù)函數(shù)/a)=(2/+5。+3)/+(a+1)x-1的定義域為R,對。沒有

范圍限制，

若值域為R，則函數(shù)為一次函數(shù)，即依2152+3=0,解得。=一,

故選：D.

\7I題型二.解析式

，、考點1.待定系數(shù)法

I.已知函數(shù)/(%)是一次函數(shù)，且/(/(x)]=9x+4,求函數(shù)/(x)的解析式.

【解答】解：設(shè)f(%)=ax+b,a、bER,

則川(x)]=j[ajc+b]=a(ar+fe)+b

即a2x+ab+b=9x+4,

=9.

E+b=4'

解得｛：：：，或

/./(x)=3x+l,或f(x)=-3x-2.

2.已知/(x)是二次函數(shù)，且滿足，(0)=1,/(x+1)-/(x)=2x,則/(x)的解析式

是f(x)=/-x+1.

【解答】解：設(shè)yua^+fer+c(a#0)

由/(O)=1得，c=l…(2分)

V/(x+l)-f(x)=2x,

.*.￡?(x+1)2+b(x+1)-cur-bx=2x,

即2ax+a+b=2x,,,(8分)

(11分)

la+b=0

/./(x)=J?-x+1.

故答案為：f(x)=/-x+l

考點2.換元法

3.已知/■(近-1)=%-2>[x,則函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=f?l,(x2-l)

【解答】解：令，=y—12-1,則y=什1,x=c+i)2,

.*./(/)=(r+1)2-2(r+1)=?-1,(彥-1),

?"(x)=x1-1>

故答案為v(x)=?-1,(%27).

4.己知/(=；)=；+：2,求/(X)的解析式.

【解答】解：設(shè)占W=/,則1=與口工-1)；

1+XI+C

..八”匕1螞r2=與

1+(號)Mt

f(x)=論7(#-1)?

1+x2

考點3.湊配法

5.(1)已知/(L)=備，求/G)的解析式;

(2)已知/(x+3)=/+當(dāng)，求f(x).

【解答】解：(1)設(shè)t=J，則(f#0),代入f(?)=/2，

1

得到4)=就了=喜t,

所以/(%)=蛀五(%W0,xW±1).

⑵/(升》=/+5=(%+62-2,

所以/(%)=?-2(l22或工＜-2).

6.已知/(3、)=4.dog23+10,則/(2)4/(4)+f(8)+…4/(296值等于320.

【解答】解：V/(3X)=4xlog23+10,

:.設(shè)t=3",則x=log3f,

：.f⑺=4XlogsrXlog23+10=41og2/+10,

/./(2)4/(4)4/(8)+…4/(210)

=4(Iog22+log24+log28+log216+log232+log264+log2128+log2256+log2512+log21024)+10

xio

=4(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)+100

=320.

故答案為：320.

，考點4.方程組法

7.己知函數(shù)/(工)滿足/(x)+2f(-x)=3x,則/(I)=-3.

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)/滿足/CO+2f(-x)=3%，

令x=l可得：/(1)+2f(-1)=3,①

令x=-1可得：/(-1)+2f(1)=-3,②

聯(lián)立①②，解可得：/(I)=-3；

故答案為：~3.

8.已知函數(shù)/CO,g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，/(x)+g(x)=2?3L

則函數(shù)/(x)=3、+3].

【解答】解：因為函數(shù)f(外，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，/(x)+g(x)

=2?3L

所以f(-X)+g(-x)=/(x)-g(A-)=2?3汽

解得y(x)=3A+3'\

故答案為：3"+3汽

一考點5.求誰設(shè)誰

已知函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)尤時，求的解析式；

9.f(x)(0,+8)f(x)=iog2x,(1)f(x)

(2)當(dāng)f(x)>0時.求x的取值范圍.

【解答】解：(1)設(shè)x<0,-x>0；

:.f(-X)=log2(-X)=~f(X)；

.*./(1)=Tog2(-X)；

.〃、｛logxx>0

??/(%)=|2;

1一1。。2(-%)%VO

(2)①x>0時，由f(x)>0得，logM>0；

Ax>l；

②xVO時，由/(x)>0得，-logz(-x)>0；

Iog2(-X)<0;

r.o<-%<i；

????IVxVO；

的取值范圍為(-1,0)U(1,+8).

10.定義域為R的函數(shù)/(x)滿足/(x+1)=4(%)，且當(dāng)在(0,1]時，，(x)=f-x,

則當(dāng)在(-1,0]時，/(x)的值域為()

11111

A.[弋，0]B.[-/，0]C.[一右一aD.[0,-]

【解答】解：V/(x+1)=2f(x),

/./(X)=3(x+1)；

當(dāng)xG(-1,0]時，X+1G(0,1]；

故f(x)=3(x+l)=^1(x+1)2-(x+1)];

；?-1工(x+I)2-(x+l)WO,

/工](x+1)(x+1)]/0,

故選：A.

考點6.利用對稱求解析式

11.下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線1=1對稱的是()

A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)

【解答】解：首先根據(jù)函數(shù))，=/nx的圖象，

貝I」：函數(shù)的圖象與y=/〃(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱.

由于函數(shù)丁=/心的圖象關(guān)于直線x=l對稱.

貝IJ：把函數(shù)(-x)的圖象向右平移2個單位即可得到：y=ln(2-x).

即所求得解析式為：y=ln(2-x).

故選：R.

12.設(shè)函數(shù)y=/(x)的圖象與y=2戶。的圖象關(guān)于y=-X對稱，且"-2)4/(-4)=1,

則a=()

A.-1B.1C.2D.4

【解答】解：I?與)，=2/。的圖象關(guān)于y=x對稱的圖象是)，=2/。的反函數(shù)，

y=log2x-a(x>0)?

即g(x)=log2x-at(x>0).

???函數(shù)y=f(x)的圖象與丁=2戶”的圖象關(guān)于y=-x對稱，

(x)=-g(-x)=-log2(-x)+a,x<0,

V/(-2)4/(-4)=1,

-Iog22+6T-Iog24+fl=1,

解得，4=2,

故選：C.

題型三.值域

考點1.利用單調(diào)性求值域

1.下列函數(shù)中，與函數(shù)/(%)=弓廠的定義域和值域都相同的是()

A.y=xz+2x,x>0B.y=|x+l|

C.j=10'xD.y=x4-i

【解答】解：函數(shù)/'(?=4尸的定義域R,值域(0,+8),

4函數(shù)的定義域不同，不符合題意；

B：y=|x+l|^0,值域不同，不符合題意；

C：>=10"定義域R,值域(0,+8),符合題意；

D：的定義域{MxWO},定義域不同，不符合題意.

故選：C.

1

2.已知函數(shù)/G)=log3(x-2)的定義域為A,則函數(shù)g(x)=(5)2-x(xw4)的值域

為()

A.(?8,0)B.(?8,1)C.[1,+8)D.(1,+8)

【解答】解：要使函數(shù)有意義，則工-2>0得x>2,即函數(shù)/(x)的定義域為(2,+8),

即A=(2,+8),

g(x)=(}2'x=為增函數(shù)，

則g(x)>g(2)=1-22=1,即g(x)的值域為(1,+8),

故選：D.

一考點2.換元法

3.函數(shù)y=2%+4S』的值域為()

A.(-8,-4]B.(-8,4JC.[0,+8)D.[2,+<?)

【解答】解：設(shè)勺萬/，則/20,則x=l-落

則函數(shù)等價為y=2(1-z2)+4f=-2?+4f+2,

4

對稱軸為t=-八=八=1,

則當(dāng)/=1時，函數(shù)取得最大值5=-2+4+2=4,

即yW4,即函數(shù)的值域為(-8,41，

故選：B.

4.函數(shù)f(x)=log2(?-2x+3)的值域為()

A.[0,+8)B.[1,+8)C.RD.[2,+8)

【解答】解：V？-2x+3=Cx-1)2+222,

2

?=log2(x-2x+3)>log22=l,

故函數(shù)/(x)的值域是［1,+8),

故選：B.

考點3.分離常數(shù)

5.函數(shù)丫=等，在大曰0,+8)上的值域是“，2).

【解答】解：當(dāng)上20時，函數(shù)、=翳=2一上在［0,+8)上是增函數(shù)，

"iJLAk"iJL

故當(dāng)x=0時，函數(shù)取得最小值為1,

又)，V2,故函數(shù)/(x)的值域為［1,2),

故答案為：［1?2).

6.已知函數(shù)八X)=與±則該函數(shù)在(1,3］上的值域是()

A.［4,5)B.(4,5)C.［苧,5)D.［苧,5］

【解答】解：f(x)=爭=%+：

.V(x)在(1,2)上單調(diào)遞減，在［2,3］上單調(diào)遞增，

：.f(2)=4是f⑺在(I,3］上的最小值，且/⑴=5,/(3)=導(dǎo)

/./(x)在(1,3］上的值域為［4,5).

故選：A.

7.函數(shù)y=爐宜+2的值域是(…，-2］U［2,+8).

【解答】解：

y=^^x±2=M！±l=(x+1)+_^_.

當(dāng)x+l>0時，y=(x+1)+^->2,當(dāng)且僅當(dāng)1+1=擊，即x=0時“=”成立；

當(dāng)x+1V0時,y=(x+l)+4=-［-(x+1-2,當(dāng)且僅當(dāng)-(x+1)=-京,

人1xri人IXJ人【X

即x=-2時“=”成立.

???函數(shù)y=書笄2的值域是(-8,-2］U［2,+oo).

故答案為：(-8,-2］U［2?+8).

8.下列求函數(shù)值域正確的是()

A.函數(shù)y=^l，戈曰-3，-1]的值域是｛y|y工不｝

B.函數(shù)y=7_9+1的值域是｛yly4-1，y-1)

C.函數(shù)，=袈>，％6攻，2)U(2,利的值域是3"白，y>^)

D.函數(shù)y=%+一N的值域是｛y|-1-y4&｝

【解答】解：對于4函數(shù)y=^=>息9，

7778

因為在[-3,-1],所以-5W2X+1W7,故;——r<所以二WyW3,

8

-

53],故選項A錯誤;

對于B,當(dāng)x=0時，y=0；

當(dāng)yWO時，則有yx2-(3.y+l)x+y=O,所以△=(3y+l)2-4y2^0,解得yW-1或y>-1；

綜上所述，函數(shù)的值域為｛y|y￡-l矽之一臺，故選項8正確；

對于C,因為y'=竺0滯詈二1〈0在皮，2)U(2,TT]上恒成立，

故函數(shù)y=嚶拈在朦，2)和(2,TT]上單調(diào)遞減，且x=2是函數(shù)的漸近線，

故函數(shù)丫=當(dāng)字的值域為是｛y|yW工物之與｝,故選項C正確：

人//€-III乙

對于D,函數(shù)y=x+V1-x2,設(shè)x=cosa?a€[O,TT],所以y=cosa+sina=y[2sin(a+*),

因為aW[O,n],所以Q+p.住,故sin(a+與)e[—孝,1]?

所以函數(shù)的值域為｛y|-lWy￡&｝,故選項。正確.

故選：BCD.

課后作業(yè).函數(shù)的三要素

1.函數(shù)/'(%)=V-%2+9%+10-7(二1)的定義域為()

A.[1,10]B.[L2)U(2,10]

C.(1,10]D.(1,2)U(2,101

-x2+9x4-10>0

【解答】解：要使，（外有意義，則：G-1>