第三章圓

3.6第2課時切線的判定及三角形的內切圓北師大版九年級下冊數學課件目錄目錄CONTENTSCONTENTS1-新知導入2-探究新知3-鞏固練習4-課堂小結新知導入第一部分PART

01yourcontentisenteredhere,orbycopyingyourtext,selectpasteinthisboxandchoosetoretainonlytext.yourcontentistypedhere砂輪上打磨工件時飛出的火星

下圖中讓你感受到了直線與圓的哪種位置關系？如何判斷一條直線是否為切線呢？情境引入問題1如圖，OA是

⊙O的半徑，經過

OA的外端點

A，作一條直線

l⊥OA，圓心

O到直線

l的距離是多少？直線

l和

⊙O有怎樣的位置關系？合作探究ll圓的切線的判定

圓心

O到直線

l

的距離等于半徑

OA.由圓的切線定義可知直線

l

與圓O相切.ll探究新知第二部分PART

02yourcontentisenteredhere,orbycopyingyourtext,selectpasteinthisboxandchoosetoretainonlytext.yourcontentistypedhere過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線.OA為

⊙O的半徑BC

⊥

OA

于

ABC

為

⊙O

的切線ABC切線的判定定理應用格式O要點歸納

在此定理中，“經過半徑的外端點”和“垂直于這條半徑”，兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切線.下列各直線是不是圓的切線？如果不是，請說明為什么？(1)不是，因為沒有垂直.(2)，(3)不是，因為沒有經過半徑的外端點

A.判一判注意O.AO.ABAO(1)(2)(3)判斷一條直線是一個圓的切線有三個方法：1.定義法：直線和圓只有一個公共點時，

我們說這條直線是圓的切線;2.數量關系法：圓心到這條直線的距離等于半徑(即

d

=

r

)時，直線與圓相切；3.判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.lAlOlrd要點歸納OO用三角尺過圓上一點畫圓的切線.做一做(2)過點

P沿著三角尺的另一條直角邊畫直線

l，則

l

就是所要畫的切線.如圖所示.如下圖所示，已知

⊙O

上一點

P，過點

P畫

⊙O

的切線．畫法：(1)

連接

OP，將三角尺的直角頂點放在點

P

處，并使一直角邊與半徑

OP

重合；為什么畫出來的直線l

是

⊙O

的切線呢？例1已知：直線

AB

經過

⊙O

上的點

C，并且OA=OB，CA=CB.求證：直線

AB

是

⊙O

的切線.OBAC證明：連接

OC.∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC

是等腰

△OAB

底邊

AB

上的中線.

∴AB⊥OC.

∵OC

是

⊙O

的半徑，

∴AB

是

⊙O

的切線.典例精析

例2

如圖，△ABC

中，AB

＝AC

，O是

BC的中點，⊙O

與

AB

相切于

E.求證：AC是⊙O的切線．BOCEA分析：根據切線的判定定理，要證明

AC

是

⊙O

的切線，只要證明由點

O

向

AC

所作的垂線段

OF

是⊙O

的半徑就可以了，而

OE

是

⊙O

的半徑，因此只需要證明

OF=OE.F證明：連接

OE，OA，

過

O作

OF⊥AC.∵⊙O與

AB相切于

E

，∴OE⊥AB.又∵在

△ABC中，AB＝AC，O是

BC的中點．∴AO平分∠BAC，FBOCEA∴OE＝OF.∵OE是⊙O半徑，OF＝OE，OF⊥AC.∴AC是

⊙O的切線．又∵OE⊥AB，OF⊥AC.例1例2(1)已明確直線和圓有公共點，連結圓心和公共點，即半徑，再證直線與半徑垂直.簡記“有交點，連半徑,證垂直”；(2)不明確直線和圓有公共點，過圓心作直線的垂線，再證圓心到直線的距離等于半徑.簡記“無交點，作垂直，證半徑”.方法歸納證切線時輔助線的添加方法例3

如何作圓，使它和已知三角形的各邊都相切？已知：△ABC.求作：和

△ABC的各邊都相切的圓

O.分析：如果圓

O

與

△ABC

的三條邊都相切，那么圓心

O

到三條邊的距離都等于______，從而這些距離相等.半徑到一個角的兩邊距離相等的點一定在這個角的平分線上，因此圓心

O

是∠A

的__________與∠B

的___________的___點.平分線平分線交三角形的內切圓及內心作法：1.作

∠B和∠C

的平分線

BM

和

CN，交點為O.2.過點

O

作

OD⊥BC.垂足為

D.3.以

O

為圓心，OD

為半徑作圓O.☉O就是所求的圓.MNDO觀察與思考與

△ABC

的三條邊都相切的圓有幾個？因為

∠B

和∠C

的平分線的交點只有一個,并且交點

O

到

△ABC

三邊的距離相等且唯一，所以與

△ABC三邊都相切的圓有且只有一個.D1.與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓.B2.三角形內切圓的圓心叫做三角形的內心.4.三角形的內心就是三角形的三條角平分線的交點.┐ACO┐┐DEF3.三角形的內心到三角形的三邊的距離相等.⊙O是

△ABC的內切圓，點

O是

△ABC的內心.概念學習名稱確定方法圖形性質外心：三角形外接圓的圓心內心：三角形內切圓的圓心三角形三邊中垂線的交點1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的內部．三角形三條角平分線的交點1.到三邊的距離相等；2.OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；3.內心在三角形內部．ABOABCO填一填C例4

△ABC

中，⊙O是

△ABC

的內切圓，∠A=70°，

求

∠BOC

的度數.ABCO解：∵∠A

=

70°∴∠ABC

+∠ACB=180°

-∠A=110°∵⊙O是

△ABC

的內切圓∴BO，CO

分別是∠ABC

和∠ACB的平分線即∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB

典例精析∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-

×110°

=125°.ABCO（

√）1.判斷下列命題是否正確.(1)經過半徑外端的直線是圓的切線.(2)垂直于半徑的直線是圓的切線.(3)過直徑的外端并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線.(5)和圓只有一個公共點的直線是圓的切線.(6)三角形的內心是三角形三個角平分線的交點.(7)三角形的內心到三角形各邊的距離相等.(8)三角形的內心一定在三角形的內部.（×）（×）（√）（√）（√）（√）2.如圖，⊙O內切于△ABC，切點

D、E、F分別在BC、AB、AC上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，連接

OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于(

)A．40°B．55°C．65°

D．70°解析：∵∠B＝50°，∠C＝60°，

∴∠A＝70°.∵D、E、F為⊙O的切點，∴∠OEA＝∠OFA＝90°.∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA

－∠OFA

＝110°.∴∠EDF＝∠EOF＝55°.B·BDEFOCA3.

如圖，△ABC

的內切圓的半徑為

r，△ABC

的周長為

l，求

△ABC

的面積

S.解：設

△ABC的內切圓與三邊相切于

D、E、F，連接

OA、OB、OC、OD、OE、OF，則OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC

＋S△AOC＝AB·OD＋

BC·OE＋AC·OF＝l·r鞏固練習第三部分PART

03yourcontentisenteredhere,orbycopyingyourtext,selectpasteinthisboxandchoosetoretainonlytext.yourcontentistypedhere設

△ABC的三邊為

a、b、c，面積為

S，則

△ABC的內切圓的半徑

r＝

；當

△ABC為直角三角形，a、b為直角邊時，r=.2sa＋b＋caba＋b＋c知識拓展證明：連接

OP.∵AB=AC，∴∠B=∠C.

∵OB=OP，∴∠B=∠OPB.

∴∠OPB=∠C.

∴OP∥AC.

∵PE⊥AC，∴PE⊥OP.

∴PE

為

⊙O

的切線.4.如圖，△ABC

中，AB=AC，以

AB

為直徑的

⊙O

交邊

BC

于

P，PE⊥AC

于E.

求證:PE

是

⊙O

的切線.OABCEP5.如圖，O

為正方形

ABCD

對角線

AC

上一點，以

O

為圓心，OA

長為半徑的

⊙O

與

BC

相切于點

M.

求證：

CD

與

⊙O

相切．證明：連接

OM，過點

O作

ON⊥CD于點

N，∵⊙O與

BC相切于點

M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O為正方形

ABCD

對角線

AC上一點，∴OM＝ON∴CD與

⊙O相切．MN6.已知：△ABC內接于

☉O，過點

A作直線

EF.(1)

如圖

1，AB

為直徑，要使

EF

為

☉O的切線，還需

添加的條件是（只需寫出兩種情況）：

①_________；②_____________.(2)

如圖

2，AB

是非直徑的弦，∠CAE=∠B，求證：

EF

是

☉O的切線.BA⊥EF∠CAE=∠BAFEOAFEOBCBC圖1圖2證明：連接

AO

并延長交

☉O

于

D，連接

CD，則

AD

為

☉O

的直徑.∴∠D+∠DAC=90°.∵∠D

與∠B

同對

，∴∠D=∠B.又∵∠CAE=∠B,∴∠D=∠CAE.∴∠DAC+∠EAC=90°.∴EF

是

☉O

的切線.AFEOBC圖2D7.如圖，已知

E是△ABC的內心，∠A的平分線交

BC于點

F，且與△ABC的外接圓相交于點

D.(1)

證明：∵E

是

△ABC

的內心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∴∠CBE＋∠