第09講拓展四：三角形中周長（定值，最值，取值范圍）問題(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知識點必背 2第二部分：高考真題回歸 2第三部分：高頻考點一遍過 5高頻考點一：周長（邊長）定值 5角度1：求周長 5角度2：求邊的代數和 10高頻考點二：周長（邊長）最值 14角度1：周長最值 14角度2：邊的最值 21角度3：邊的代數和最值 27高頻考點三：周長（邊長）取值范圍 37角度1：周長取值范圍 37角度2：邊的代數和取值范圍 40角度3：銳角三角形中周長（邊長）取值范圍 49溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點必背1、基本不等式核心技巧：利用基本不等式，在結合余弦定理求周長取值范圍；2、利用正弦定理化角核心技巧：利用正弦定理，，代入周長（邊長）公式，再結合輔助角公式，根據角的取值范圍，求周長（邊長）的取值范圍.第二部分：高考真題回歸1．（2022·全國（新高考Ⅱ卷）·統考高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．2．（2022·全國（乙卷文）·統考高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：3．（2022·全國（乙卷理）·統考高考真題）記的內角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．4．（2022·北京·統考高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長．5．（2022·全國（新高考Ⅰ卷）·統考高考真題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：周長（邊長）定值角度1：求周長典型例題例題1．（2023春·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中學校考階段練習）已知分別為三個內角的對邊，且.(1)求；(2)已知的面積為，設為的中點，且，求的周長.例題2．（2023春·寧夏·高一六盤山高級中學校考階段練習）在中，延長到，使，在上取點，使，(1)設，用表示向量及向量．(2)若，且的面積為，求的周長．例題3．（2023·全國·模擬預測）在中，角,,所對的邊分別為，，，，為邊上一點，.(1)若，求的面積；(2)若為的平分線，求的周長.練透核心考點1．（2023春·廣東韶關·高二校考階段練習）在中，角對應的邊分別是，且．(1)求角的大小；(2)若，的面積，求的周長．2．（2023春·天津和平·高一校考階段練習）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求角C；(2)若，求的值；(3)若的面積為，求的周長．3．（2023·安徽·高二馬鞍山二中校考學業考試）記△ABC內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且．(1)求B的值；(2)若△ABC的面積為，b＝2，求△ABC周長．角度2：求邊的代數和典型例題例題1．（2023春·云南麗江·高一麗江第一高級中學校考階段練習）在中，角，，的對邊分別為，，，且，.(1)若，求的值；(2)若的面積為，求的值.例題2．（2023春·山東濟寧·高三校考階段練習）在①；②；③；這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并進行解答．問題：在中，內角,,的對邊分別為，，，且_______．(1)求角；(2)若的內切圓半徑為，求．例題3．（2023春·湖南長沙·高一雅禮中學校考階段練習）已知分別為三個內角的對邊，且.(1)求；(2)若，且的面積為，求的值.練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求A；(2)若，，角A的平分線交BC于點D，求AD.2．（2023春·廣東江門·高二校考階段練習）在中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，，，.(1)求的值；(2)若點D在邊BC上且的面積為，求.3．（2023秋·甘肅天水·高二天水市第一中學校考期末）設的內角、、的對邊分別為、、，(1)確定角B的大小；(2)若為銳角三角形，，的面積為，求的值．高頻考點二：周長（邊長）最值角度1：周長最值典型例題例題1．（2023·四川南充·統考二模）在中，內角,,的對應邊分別為，，,已知，且的面積為，則周長的最小值為（

）A． B．6 C． D．例題2．（2023春·山東煙臺·高一山東省招遠第一中學校考期中）在中，內角，，所對的邊分別為，，，角的平分線交于點，且，則周長的最小值為______．例題3．（2023·河北邯鄲·統考一模）已知函數在上單調．(1)求的單調遞增區間；(2)若的內角，，的對邊分別是，，，且，，求周長的最大值．例題4．（2023·福建漳州·統考三模）如圖，平面四邊形內接于圓，內角，對角線的長為7，圓的半徑為.(1)若，，求四邊形的面積；(2)求周長的最大值.練透核心考點1．（2023·全國·高一專題練習）在中，內角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，已知，且的面積為，則周長的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2023·四川廣安·統考二模）中，角、、所對的邊分別為、、.若，且，則周長的最大值為______.3．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中學校考階段練習）在中，.(1)求；(2)若，求周長的最小值.4．（2023·甘肅蘭州·蘭州五十九中校考模擬預測）已知△ABC中，C＝，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.(1)若a，b，c依次成等差數列，且公差為2，求c的值；(2)若△ABC的外接圓面積為π，求△ABC周長的最大值.角度2：邊的最值典型例題例題1．（2023春·全國·高三校聯考階段練習）在中，已知，，為的中點，則線段長度的最大值為（

）A．1 B． C． D．2例題2．（2023·青海西寧·統考二模）在中，內角的對邊分別為，，，且.(1)求角的大小；(2)若，是邊上的一點，且，求線段的最大值.例題3．（2023·全國·模擬預測）在銳角三角形中，角，，的對邊分別為，，，且．(1)求；(2)若是線段上靠近的三等分點，，求的最大值．例題4．（2023·全國·高三專題練習）在中，角所對的邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)若角的平分線交于且，求的最小值.練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，csin=sinC，且a=1．(1)求A；(2)若AB=AC，D，E兩點分別在邊BC，AB上，且CD=DE，求CD的最小值．2．（2023·全國·模擬預測）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題．在銳角中，內角的對邊分別為，且______．(1)求；(2)若，，求線段長的最大值．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．3．（2023·全國·高一專題練習）a，b，c分別為△ABC的內角A，B，C的對邊，已知．(1)若，證明：△ABC為等腰三角形；(2)若，求b的最小值．角度3：邊的代數和最值典型例題例題1．（2023·全國·高一專題練習）在中，角所對的邊分別是是邊上一點，且，則的最小值是（

）A．4 B．6 C．8 D．9例題2．（2023·廣西·統考一模）在中，角,,的對邊分別是，，，滿足.(1)求；(2)若角的平分線交于點，且，求的最小值.例題3．（2023·全國·模擬預測）從①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下列問題中，然后解答補充完整的題目．已知的三個內角，，的對邊分別為，，,且______．(1)求角B的大小；(2)若，求的最大值．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．例題4．（2023·全國·高一專題練習）已知向量，，.(1)求的單調增區間；(2)在中，角,,的對邊分別為，，,且，，求的最大值.例題5．（2023·全國·高三專題練習）中，已知，，為上一點，，.(1)求的長度；(2)若點為外接圓上任意一點，求的最大值.練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習）已知三角形中，，D是邊上一點，且滿足，則的最大值是__________．2．（2023春·浙江寧波·高一余姚中學校考階段練習）在中，角，，的對邊分別是，，，滿足(1)求角；(2)若角的平分線交于點，且，求的最小值.3．（2023·全國·高三專題練習）如圖，△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角B的大小；(2)已知，若D為△ABC外接圓劣弧AC上一點，求AD+DC的最大值.4．（2023春·福建龍巖·高一校考階段練習）已知三角形ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求角B的大小；(2)若，求的最大值．5．（2023·山西·校聯考模擬預測）在中，角、、的對邊分別為、、，且．(1)求角的大小；(2)若，求的最大值．高頻考點三：周長（邊長）取值范圍角度1：周長取值范圍典型例題例題1．（2023春·江蘇南通·高一江蘇省南通中學校考階段練習）設函數．(1)當時，求函數的最小值并求出對應的；(2)在中，角，，的對邊分別為，，，若，且，求周長的取值范圍．例題2．（2023·全國·高三專題練習）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答該問題．在中，內角的對邊分別是，且滿足_______，．(1)若，求的面積;(2)求周長的取值范圍．練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習）在中，角的對邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)若，求周長的取值范圍.2．（2023春·河南南陽·高一南陽中學校考階段練習）在中，角所對的邊分別是，設向量，且．(1)求角A的值；(2)若，求的周長l的取值范圍．角度2：邊的代數和取值范圍典型例題例題1．（2023春·湖南永州·高一永州市第一中學校考階段練習）在銳角中，內角，，所對應的邊分別是，，，且，則的取值范圍是______．例題2．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習）在①，②，③這三個條件中任選一個作為條件，補充到下面問題中，然后解答．已知銳角的內角，，所對的邊分別為，，，且______（填序號）．(1)若，，求的面積；(2)求的取值范圍．例題3．（2023春·云南麗江·高一麗江第一高級中學校考階段練習）在銳角中，角，，所對的邊為，，，已知，．(1)求；(2)求的取值范圍．例題4．（2023·全國·高一專題練習）在中，內角的對邊分別為，且．(1)求角；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求C；(2)若A為鈍角，求的取值范圍．2．（2023·山東·沂水縣第一中學校聯考模擬預測）已知的內角的對邊分別為，，，，且．(1)求的大小；(2)若的平分線交于點，且，求的取值范圍．3．（2023·高一單元測試）設銳角三角形ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知．(1)求證：B＝2A；(2)求的取值范圍．4．（2023秋·河南·高三安陽一中校聯考階段練習）已知，，分別是的內角，，所對的邊，向量，(1)若，，證明：為銳角三角形；(2)若為銳角三角形，且，求的取值范圍.5．（2023·全國·高一專題練習）在中，角，，的對邊分別為，，．，，．(1)求；(2)求的取值范圍．角度3：銳角三角形中周長（邊長）取值范圍典型例題例題1．（2023春·浙江杭州·高一浙江大學附屬中學期中）的內角、、的對邊分別是、、，已知.(1)求；(2)若是銳角三角形，，求周長的取值范圍.例題2．（2023·廣東汕頭·金山中學校考模擬預測）在銳角中，角，，所對應的邊分別為，，，已知.(1)求角的值；(2)若，求的取值范圍．例題3．（2023春·重慶萬州·高一重慶市萬州第二高級中學校考階段練習）在銳角中，分別是角所對的邊，，且.(1)求；(2)若周長的范圍例題4．（2023秋·遼寧·高三校聯考期末）在中，角所對的邊分別為.且.(1)求證：；(2)若為銳角三角形，求的取值.練透核心考點1．（2023·遼寧·鞍山一中校聯考模擬預測）在銳角中，角，的對邊分別為，，，從條件①：，條件②：這兩個條件中選擇一個作為已知條件．(1)求角的大小；(2)若，求周