2025年高考數學必考知識點一、函數。1.函數的概念與性質。-定義域、值域的求解。對于分式函數，要注意分母不為零；對于根式函數，根號下的式子要滿足非負條件。例如，函數y=(1)/(x-1)的定義域為{xx≠1}，函數y=√(x+2)的定義域為{xx≥-2}。-函數的單調性。可以通過定義法（設x_1，比較f(x_1)與f(x_2)的大小）或者導數法（對于可導函數y=f(x)，f'(x)>0時函數單調遞增，f'(x)<0時函數單調遞減）來判斷。如y=x^2在(-∞,0)上單調遞減，在(0,+∞)上單調遞增。-函數的奇偶性。滿足f(-x)=f(x)的函數為偶函數，圖象關于y軸對稱；滿足f(-x)=-f(x)的函數為奇函數，圖象關于原點對稱。例如y=x^3是奇函數，y=x^2是偶函數。2.基本初等函數。-一次函數y=kx+b（k≠0），其圖象是一條直線，斜率k決定直線的傾斜程度，截距b是直線與y軸的交點縱坐標。-二次函數y=ax^2+bx+c（a≠0），圖象是拋物線。對稱軸為x=-(b)/(2a)，頂點坐標為(-(b)/(2a),frac{4ac-b^2}{4a})。當a>0時，拋物線開口向上；當a<0時，拋物線開口向下。-指數函數y=a^x（a>0且a≠1），當a>1時，函數在R上單調遞增；當0<a<1時，函數在R上單調遞減。-對數函數y=log_ax（a>0且a≠1），其定義域為(0,+∞)。當a>1時，函數在(0,+∞)上單調遞增；當0<a<1時，函數在(0,+∞)上單調遞減。并且y=a^x與y=log_ax互為反函數，圖象關于直線y=x對稱。-冪函數y=x^α（α∈R），當α>0時，函數在[0,+∞)上單調遞增；當α<0時，函數在(0,+∞)上單調遞減。例如y=x^2，y=x^(1)/(2)等。3.函數的圖象變換。-平移變換。y=f(x)的圖象向左平移h個單位得到y=f(x+h)的圖象（h>0）；向右平移h個單位得到y=f(x-h)的圖象（h>0）；向上平移k個單位得到y=f(x)+k的圖象（k>0）；向下平移k個單位得到y=f(x)-k的圖象（k>0）。-伸縮變換。y=f(x)的圖象縱坐標伸長為原來的A倍（A>1）得到y=Af(x)的圖象；縱坐標縮短為原來的A倍（0<A<1）得到y=Af(x)的圖象。橫坐標伸長為原來的(1)/(ω)倍（0<ω<1）得到y=f(ωx)的圖象；橫坐標縮短為原來的(1)/(ω)倍（ω>1）得到y=f(ωx)的圖象。-對稱變換。y=f(x)與y=-f(x)的圖象關于x軸對稱；y=f(x)與y=f(-x)的圖象關于y軸對稱；y=f(x)與y=-f(-x)的圖象關于原點對稱。二、導數。1.導數的概念與運算。-導數的定義：函數y=f(x)在x=x_0處的導數f'(x_0)=limlimits_Δx→0frac{f(x_0+Δx)-f(x_0)}{Δx}。-基本函數的導數公式：(x^n)'=nx^n-1，(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx，(a^x)'=a^xlna，(log_ax)'=(1)/(xlna)等。-導數的四則運算法則：(u±v)'=u'±v'，(uv)'=u'v+uv'，((u)/(v))'=(u'v-uv')/(v^2)(v≠0)。2.導數的應用。-切線問題。函數y=f(x)在點(x_0,f(x_0))處的切線方程為y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)。例如，對于函數y=x^2在點(1,1)處，y'=2x，f'(1)=2，切線方程為y-1=2(x-1)，即y=2x-1。-單調性與極值。通過求導判斷函數的單調性，令f'(x)=0求出駐點，再根據駐點兩側導數的正負判斷極值情況。如y=x^3-3x，y'=3x^2-3=3(x+1)(x-1)，當x=-1時函數取得極大值y=2，當x=1時函數取得極小值y=-2。-最值問題。在閉區間[a,b]上求函數y=f(x)的最值，需要先求出函數在區間內的極值點，再比較極值點與區間端點處的函數值大小。三、三角函數。1.三角函數的概念。-任意角的三角函數定義：設角α終邊上一點P(x,y)，r=√(x^2)+y^{2}，則sinα=(y)/(r)，cosα=(x)/(r)，tanα=(y)/(x)(x≠0)。-同角三角函數的基本關系：sin^2α+cos^2α=1，tanα=(sinα)/(cosα)。2.三角函數的圖象與性質。-正弦函數y=sinx，圖象是正弦曲線，周期T=2π，值域為[-1,1]，在[-(π)/(2)+2kπ,(π)/(2)+2kπ](k∈Z)上單調遞增，在[(π)/(2)+2kπ,(3π)/(2)+2kπ](k∈Z)上單調遞減。-余弦函數y=cosx，圖象是余弦曲線，周期T=2π，值域為[-1,1]，在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上單調遞增，在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上單調遞減。-正切函數y=tanx，圖象是正切曲線，周期T=π，定義域為{xx≠(π)/(2)+kπ,k∈Z}，在(-(π)/(2)+kπ,(π)/(2)+kπ)(k∈Z)上單調遞增。3.三角函數的變換。-誘導公式：如sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα等，用于化簡三角函數表達式。-兩角和與差公式：sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB，cos(A±B)=cosAcosBmpsinAsinB，tan(A±B)=(tanA±tanB)/(1mptanAtanB)。-二倍角公式：sin2A=2sinAcosA，cos2A=cos^2A-sin^2A=2cos^2A-1=1-2sin^2A，tan2A=(2tanA)/(1-tan^2)A。四、數列。1.數列的概念與通項公式。-數列的定義：按照一定順序排列的一列數a_1,a_2,·s,a_n,·s，a_n稱為數列的通項。-通項公式的求法：可以通過觀察法（如數列1,3,5,7,·s的通項公式為a_n=2n-1）、遞推公式法（如a_1=1，a_n=a_n-1+2(n≥2)，通過累加法可求得a_n=2n-1）等。2.等差數列。-定義：a_n-a_n-1=d（n≥2，d為常數）。-通項公式：a_n=a_1+(n-1)d。-前n項和公式：S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+(n(n-1))/(2)d。3.等比數列。-定義：frac{a_n}{a_n-1}=q（n≥2，q為常數且q≠0）。-通項公式：a_n=a_1q^n-1。-前n項和公式：當q=1時，S_n=na_1；當q≠1時，S_n=frac{a_1(1-q^n)}{1-q}。五、平面向量。1.向量的概念與運算。-向量的定義：既有大小又有方向的量。向量的大小稱為模。-向量的加法與減法：平行四邊形法則和三角形法則。如→AB+→BC=→AC，→AB-→AC=→CB。-向量的數乘：λ→a（λ∈R），當λ>0時，λ→a與→a同向；當λ<0時，λ→a與→a反向；當λ=0時，λ→a=→0。-向量的數量積：→a·→b=→a→bcosθ（θ為→a與→b的夾角），滿足→a·→b=→b·→a，(λ→a)·→b=λ(→a·→b)等運算律。2.向量的坐標表示。-設→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，則→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2)，→a-→b=(x_1-x_2,y_1-y_2)，λ→a=(λx_1,λy_1)，→a·→b=x_1x_2+y_1y_2。-向量的模→a=√(x_1)^2+y_{1^2}，兩向量夾角cosθ=frac{→a·→b}{→a→b}=frac{x_1x_2+y_1y_2}{√(x_1)^2+y_{1^2}√(x_2)^2+y_{2^2}}。六、立體幾何。1.空間幾何體的結構、表面積和體積。-棱柱、棱錐、棱臺的結構特征。棱柱的上下底面平行且全等，側面是平行四邊形；棱錐只有一個底面，側面是三角形；棱臺是用平行于底面的平面去截棱錐得到的。-圓柱、圓錐、圓臺的結構特征。圓柱是以矩形的一邊所在直線為軸旋轉而成的，圓錐是以直角三角形的一條直角邊為軸旋轉而成的，圓臺是以直角梯形垂直于底邊的腰為軸旋轉而成的。-表面積和體積公式。例如，棱柱的表面積S=S_側+2S_底，體積V=S_底h（h為高）；圓柱的表面積S=2πr(r+l)（r為底面半徑，l為母線長），體積V=πr^2h（h為高）；圓錐的表面積S=πr(r+l)，體積V=(1)/(3)πr^2h；圓臺的表面積S=π(r^2+R^2+rl+Rl)（r為上底面半徑，R為下底面半徑