/福建省南平市希望中學2021年高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知等比數列中，且，則（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：解析：，解得，，故選D2.已知(x)=是（-∞,+∞）上的減函數，那么a的取值范圍是A.（0，1）

B.（0，）

C.［，）

D.［，1）參考答案：C3.（09年宜昌一中12月月考文）已知函數的一部分圖象如下圖所示，如果，則（

）A．

B．C．

D．

參考答案：C4.曲線在點處的切線方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：【知識點】導數與切線.B11【答案解析】B解析：解：由題意可知過點，，在點處的導數為3，所以切線方程為，所以B正確.【思路點撥】根據函數的導數，可求出函數在該點處的切線斜率，再列出切線方程.5.（文）圓與直線沒有公共點的充要條件是

【

】

A．

B．C．

D．參考答案：C因為直線和圓沒有公共點，則有圓心到直線的距離，即，解得，即，選C.6.函數f（x）＝ln（x）的圖象大致是（）A. B.C. D.參考答案：B分析：首先根據對數函數的性質，求出函數的定義域，再根據復合函數的單調性求出的單調性，問題得以解決.詳解：f(x)＝ln(x－)，x－＝>0，解得－1<x<0或x>1，函數的定義域為(－1,0)∪(1,＋∞)，可排除A，D.函數u＝x－在(－1,0)和(1,＋∞)上單調遞增，函數y＝lnu在(0,＋∞)上單調遞增，根據復合函數的單調性可知，函數f(x)在(－1,0)和(1,＋∞)上單調遞增，故選：B.點睛：函數圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置；(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數的周期性，判斷圖象的循環往復；(5)從函數的特征點，排除不合要求的圖象．7.函數滿足，若，則

=

（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：C

8.圖所示的陰影部分由坐標軸、直線x=1及曲線y=ex﹣lne圍成，現向矩形區域OABC內隨機投擲一點，則該點落在非陰影區域的概率是（）A． B．C．1﹣D．1﹣參考答案：D【考點】定積分；幾何概型．【分析】求出陰影部分的面積，以面積為測度，即可得出結論．【解答】解：由題意，陰影部分的面積為（ex﹣1）dx=（ex﹣x）|=e﹣2，∵矩形區域OABC的面積為e﹣1，∴該點落在陰影部分的概率是=1﹣．故選D．【點評】本題考查概率的計算，考查定積分知識的運用，屬于中檔題．9.設復數z滿足，則|z|=（

）A.1

B.5

C.

D.2參考答案：C由題意，得，則；故選C.10.已知點是平面區域內的動點，點，O為坐標原點，設的最小值為M，若恒成立,則實數的取值范圍是 A． B．

C． D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.三棱錐的側棱兩兩垂直且長度分別為2，2，1，則其外接球的表面積是

．參考答案：12.設n為正整數，，計算得，f（4）＞2，，f（16）＞3，觀察上述結果，可推測一般的結論為

．參考答案：f（2n）≥（n∈N*）考點：歸納推理．專題：探究型．分析：根據已知中的等式：，f（4）＞2，，f（16）＞3，…，我們分析等式左邊數的變化規律及等式兩邊數的關系，歸納推斷后，即可得到答案．解答： 解：觀察已知中等式：得，f（4）＞2，，f（16）＞3，…，則f（2n）≥（n∈N*）故答案為：f（2n）≥（n∈N*）．點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）13.設向量是夾角為60°的兩個單位向量，則___________.參考答案：【知識點】向量的模．F2

解析：因為向量是夾角為60°的兩個單位向量，所以可得：故答案為：【思路點撥】由已知中，向量是夾角為60°的兩個單位向量，根據公式可以求出向量的模.14.當實數x，y滿足約束條件時，z=x﹣y的最大值為m，則對于正數a，b，若=m，則a+b的最小值是

．參考答案：考點：簡單線性規劃．專題：計算題；作圖題；不等式的解法及應用．分析：由題意作出其平面區域，z=x﹣y在x取最大，y取最小時有最大值，即（6，1）時有最大值，從而可得m=5；利用基本不等式求最值．解答： 解：由題意作出其平面區域，z=x﹣y在x取最大，y取最小時有最大值，即（6，1）時有最大值，故m=5；故=5，（）（a+b）≥（2++）≥；當且僅當a=b時，等號成立，故答案為：．點評：本題考查了簡單線性規劃，作圖要細致認真，屬于中檔題．15.已知等差數列中,,,則

.參考答案：16.已知數列{an}滿足，則數列{an?bn}滿足對任意的n∈N+，都有b1an+b2an﹣1+…+bna1=，則數列{an?bn}的前n項和Tn=．參考答案：【考點】8E：數列的求和．【分析】對任意的n∈N+，都有b1an+b2an﹣1+…+bna1=，求得n=1的情況，當n≥2時，將n換為n﹣1，相減求得bn=n，可得an?bn=n?2n，再由數列的求和方法：錯位相減法，結合等比數列的求和公式，計算即可得到所求和．【解答】解：∵數列{an}滿足，由b1an+b2an﹣1+…+bna1=2n﹣n﹣1，①令n=1，則b1a1=2﹣﹣1，解得b1=．∵b1an+b2an﹣1+…+bna1=2n﹣n﹣1，當n≥2時，b1an﹣1+b2an﹣2+…+bn﹣2a2+bn﹣1a1=2n﹣1﹣（n﹣1）﹣1，將上式兩邊同乘公比2得，b1an+b2an﹣1+…bn﹣1a2=2n﹣n﹣1．②①﹣②可得：bna1=n，（n≥2），由a1=2，可得bn=n，對n=1也成立，則an?bn=n?2n，Tn=（1?2+2?22+3?23+…+n?2n），可得2Tn=（1?22+2?23+3?24+…+n?2n+1），兩式相減可得﹣Tn=（2+22+23+24+…+2n﹣n?2n+1）=（﹣n?2n+1），化簡可得Tn=．故答案為：．17.已知，，，則的最小值是____▲_____.參考答案：4略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知點P(2,0)及橢圓C:．（Ⅰ）過點P的直線與橢圓交于M、N兩點，且|MN|=，求以線段MN為直徑的圓Q的方程；（Ⅱ）設直線與橢圓C交于A，B兩點，是否存在實數k，使得過點P的直線垂直平分弦AB？若存在，求出實數k的值；若不存在，請說明理由.參考答案：

19.已知正項數列{an}的首項，前n項和Sn滿足.（1）求數列{an}的通項公式；（2）若數列{bn}是公比為4的等比數列，且也是等比數列，若數列單調遞增，求實數的取值范圍；（3）若數列{bn}、{cn}都是等比數列，且滿足，試證明：數列{cn}中只存在三項.參考答案：（1），故當時，兩式做差得，

…………2分由為正項數列知，，即為等差數列，故

…………4分（2）由題意，，化簡得，所以，…………6分所以，由題意知恒成立，即恒成立，所以，解得

…………8分（3）不妨設超過項，令，由題意，則有，即

…………11分帶入，可得

（*），若則，即為常數數列，與條件矛盾;若，令得，令得，兩式作商，可得，帶入（*）得，即為常數數列，與條件矛盾，故這樣的只有項

……………16分20.已知函數，.（1）當，時，求的單調區間；（2）當，且時，求在區間上的最大值．參考答案：略21.（本小題滿分共12分）為了比較兩種治療失眠癥的藥（分別稱為藥，藥）的療效，隨機地選取位患者服用藥，位患者服用藥，這位患者服用一段時間后，記錄他們日平均增加的睡眠時間（單位：），試驗的觀測結果如下：服用藥的位患者日平均增加的睡眠時間：0.6

1.2

2.7

1.5

2.8

1.8

2.2

2.3

3.2

3.52.5

2.6

1.2

2.7

1.5

2.9

3.0

3.1

2.3

2.4服用藥的位患者日平均增加的睡眠時間：3.2

1.7

1.9

0.8

0.9

2.4

1.2

2.6

1.3

1.41.6

0.5

1.8

0.6

2.1

1.1

2.5

1.2

2.7

0.5（1）分別計算兩組數據的平均數，從計算結果看，哪種藥的療效更好？（3）根據兩組數據完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？參考答案：22.（16分）設函數f（x）=﹣x（x∈R），其中m＞0．（1）當m=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率；（2）求函數f（x）的單調區間與極值；（3）已知函數f（x）有三個互不相同的零點0，x1，x2，且x1＜x2，若對任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范圍．參考答案：【考點】導數的幾何意義；利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值；利用導數求閉區間上函數的最值．【專題】導數的綜合應用．【分析】（1），易得函數在所求點的斜率．（2）當f′（x）≥0，函數單增，f′（x）≤0時單減，令f′（x）=0的點為極值點．（3）由題意屬于區間[x1，x2]的點的函數值均大于f（1），由此計算m的范圍．【解答】解：（1）當，故f'（1）=﹣1+2=1，所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為1．

（2）f'（x）=﹣x2+2x+m2﹣1，令f'（x）=0，解得x=1﹣m或x=1+m．∵m＞0，所以1+m＞1﹣m，當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：x（﹣∞，1﹣m）1﹣m（1﹣m，1+m）1+m（1+m，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）單調遞減極小值單調遞增極大值單調遞減∴f（x）在（﹣∞，1﹣m），（1+m，+∞）內是減函數，在（1﹣m，1+m）內是增函數．函數f（x）在x=1﹣m處取得極小值f（1﹣m），且f（1﹣m）=，函數f（x）在x=1+m處取得極大值f（1+m），且f（1+m）=．

（3）由題設，，∴方程有兩個相異的實根x1，x2，故，∵m＞0解得m，∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2=3，故x2